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圆锥曲线高考大题的类型与解法
圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个
圆锥曲线问题的 12分大题。从题型上看是 20（或 21）题的 12分大题，难度为中，高档题型，一般的考生
都只能拿到 4到 10分。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲线大题问题主要包括：①已知过定点的直线
与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程（或直线的斜率）；②已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两
点，求多边形的面积（或多边形面积的最值）；③已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求某个式
子的值（或取值范围）和证明某个式子的值为定值；④已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求
点的坐标（或点的轨迹方程）；⑤已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，证明直线过定点（或点在
定直线上）等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实
际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典
型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例 1】解答下列问题：
1、设抛物线 ： y2C =2px（p>0）的焦点为 F，点 D（p，0），过点 F的直线交 C于M，N两点，当直线MD
垂直于 X轴时，|MF|=3。
（1）求抛物线 C的方程；
（2）设直线MD，ND与 C的另一个交点分别为 A，B，记直线 AB，MN的倾斜角分别为 ， ，当 -
取得最大值时，求直线 AB的方程（2022全国高考甲卷）
x2 y2
2、已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为 2 5，右焦点F2到直线 x-y+2=0
a2 b2
的距离为 2 2（2021成都市高三三诊）。
（1）求椭圆 C的方程；
（2）（理）过点M（-3，0）的直线 l与椭圆 C相交于 A，B两点，过点F2作直线 l的垂线，垂足为 N（点
A，B在点M，N之间），若 A F2 M与 B F2 N面积相等，求直线 l的方程。
（文）过点M（-3，0）的直线 l与椭圆 C相交于 A，B两点，过点F2作直线 l的垂线，垂足为 N（点 A，
B在点M，N之间），若|MA|=|BN|，求直线 l的方程。
3、在平面直角坐标系 XOY中，已知点 F (- 171 ，0)，F ( 172 ，0)，点M满足|M F1 |-|M F2 |=2,
记M的轨迹为 C。
（1）求 C的方程；
1
（2）设点 T在直线 x= 上，过 T的两条直线分别交 C于 A，B两点和 P，Q两点，且|TA|.|TB|
2
=|TP|.|TQ|，求直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和（2021全国高考新高考 I卷）。
4、抛物线 C的顶点为坐标原点 O，焦点在 X轴上，直线 l：x=1交 C于 P，Q两点，且 OP OQ，已知点
M（2，0）， M与 l相切。
（1）求 C， M的方程；
（2）设 A1，A2，A3是 C上的三个点，直线 A1 A2，A1 A3均与 M相切，判断 A2 A3与 M的位置关系，
并说明理由（2021全国高考甲卷）。
x2 y2
5、（理）已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的右顶点为 A，上顶点为 B（0,1），右焦点为 F，连接 BF
a2 b2
1
并延长与椭圆 C相交于点 C，且|CF|= |BF|。
7
（1）求椭圆 C的方程；
（2）设经过点（1，0）的直线 l与椭圆 C相交于不同的两点M，N，直线 AM，AN分别与直线 x=3相交
于点 P，点 Q，若 APQ的面积是 AMN的面积的 2倍。求直线 l的方程。
x2 y2 3 2
（文）已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且经过点（ 2， ）。
a2 b2 2 2
（1）求椭圆 C的方程；
（2）是否存在经过点（0，2）的直线与椭圆 C相交于不同的两点M，N，使得M，N与 Y轴上的一点 P
连线后组成以 P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由（2019
成都市高三零诊）
6、（理）已知长度为 4的线段 AB的两个端点 A，B分别在 X轴和 Y轴上运动，动点 P满足BP =3 PA，
记动点 P的轨迹为曲线 C。
（1）求曲线 C的方程；
（2）设不经过点 H（0，1）的直线 y=2x+t，与曲线 C相交于两点M，N，若直线 HM与 HN的斜率之和为
1，求实数 t的值。
（文）已知点 A（ ， 2 2m 0）和 B（0，n），且m + n =16，动点 P满足BP =3 PA，记动点 P的轨迹为曲线 C。
（1）求曲线 C的方程；
（2）设不经过点 H（0，1）的直线 y=2x+t，与曲线 C相交于两点M，N，若直线 HM与 HN的斜率之和为
1，求实数 t的值（2019成都市高三一诊）
x2 y2 1
7、已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的短轴长为 4 2，离心率为 。
a2 b2 3
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）（理）设椭圆 C的左右焦点分别为 F1， F2，左右顶点分别为 A，B，点M，N为椭圆
C设位于 X轴上方的两点，且 F1 M// F2 N，记直线 AM，BN的斜率分别为 k1， k2，若 3 k1
+2 k2 =0，求直线 F1 M/的方程。（文）设椭圆 C的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为 A，B，点M，
N为椭圆 C设位于 X轴上方的两点，且 F1 M// F2 N，直线F1 M 的斜率为 2 6 ，记直线 AM，BN的斜率
分别为 k1， k2，求 3 k1 +2 k2的值（2019成都市高三二诊）
『思考问题 1』
（1）【典例 1】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线
的方程或直线斜率的值（或取值范围）；
（2）解答这类问题的基本思路是：①设出两点的坐标和直线的斜率 k（注意考虑斜率不存在的情况，为了
避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，m R），然后运
用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程，消去一个未知数化为关于 x（或 y）的一元二次
方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数 k（或 m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其
他量关于参数 k（或 m）的式子；④结合问题条件得到关于参数 k（或 m）的方程（或不等式）（注意相交
于不同两点的条件）；⑤求解方程（或不等式）求出参数 k（或 m）的值；⑥得出问题的结果。
【典例 2】解答下列问题：
x2 y2
1、已知椭圆 .E： + =1（a>b>0）的右焦点为F2，上顶点为 H，O为坐标原点， OH F2 =30 ，点（1，
a2 b2
3
）在椭圆,E上。
2
（1）求椭圆 E的方程；
（2）设经过点F2且斜率不为 0的直线 l与椭圆 E相交于 A，B两点，点 P（-2，0），Q（2，0），若M，N
S MPQ
分别为直线 AP，BQ与 Y轴的交点， MPQ， NPQ的面积分别为 S ，S 求 的值（成都市 2020 MPQ NPQ
S NPQ
级高三零诊）
x2 y2
2、已知点 A（2，1）在双曲线 C： - =1（a>1）上，直线 l交 C于 P，Q两点，直线 AP，AQ的斜
a2 a2 1
率之和为 0。
（1）求直线 l的斜率；
（2）若 tan PAQ=2 2，求 PAQ的面积（2022全国高考新高考 I卷）
x2 y2
3、（理）已知椭圆 C： + =1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，|P F1 |=3，
a2 b2
1
F1 P F2 = ，且椭圆 C的离心率为 。
3 2
（1）求椭圆 C的方程；
（2）设直线 l：y=kx+m（m 0）与椭圆 C相交于 A，B两点，O为坐标原点，求 OAB面积的最大值。
x2 y2
（文）已知椭圆C： + =（1 a>b>0）的左，右焦点分别为F1，F2，点 P在椭圆C上，|P F1 |=2， F1 P F2 = ，
a2 b2 3
1
且椭圆 C的离心率为 （成都市 2019级高三零诊）
2
（1）求椭圆 C的方程；
（2）设过点M（3，0）直线 l与椭圆 C相交于 A，B两点，求 AB F2面积的最大值。
x2 y2 1
4、（理）已知椭圆 C： + =1（a>b>0）经过点（ 3， ），其右顶点为 A（2，0）。
a2 b2 2
（1）求椭圆 C的方程；
1
（2）若点 P，Q在椭圆 C上，且满足直线 AP与 AQ的斜率之积为 ，求 APQ面积的最大值。
20
x2 y2 1
（文）已知椭圆 C： + =1（a>b>0）经过点（ 3， ），其右顶点为 A（2，0）。
a2 b2 2
（1）求椭圆 C的方程；
1
（2）若点 P，Q在椭圆 C上，且满足直线 AP与 AQ的斜率之积为 ，证明直线 PQ经过定点，并求 APQ
20
面积的最大值（成都市 2019级高三二诊）
5、（理）已知抛物线 C： 2 2 2x =2py（p>0）的焦点为 F，且 F与圆M：x + (y 4) =1上点的距离的最小值为
4（2021全国高考乙卷）。
（1）求 P；
（2）若点 P在M上，PA，PB是 C的两条切线，A，B是切点，求 PAB面积的最大值。
（文）已知抛物线 C： y2 =2px（p>0）的焦点为 F到准线的距离为 2。
（1）求 C的方程；
（2）已知 O为坐标原点，点 P在 C上，点 Q满足PQ=9QF ，求直线 OQ斜率的最大值。
x2 y2 3
6、已知椭圆 C： + =1（a>b>0）经过点 A（1， ），其长半轴长为 2。
a2 b2 2
（1）求椭圆 C的方程；
（2）（理）设经过点 B（-1，0）的直线 l与椭圆 C相交于 D，E两点，点 E关于 X轴的对称点为 F，直线
DF与 X轴相交于点 G，求 DEG的面积 S的取值范围。（文）设经过点 B（-1，0）的直线 l与椭圆 C相交
于 D，E两点，点 E关于 X轴的对称点为 F，直线 DF与 X轴相交于点 G，记 BEG与 BDG的面积分别
为 S1， S2，求| S1 - S2 |的最大值（2021成都市高三二诊）。
x2 y2
7、已知椭圆 C： + =1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（- 3，0），F2（ 3，0），
a2 b2
1
且经过点 A（ 3， ）（2020成都市高三零诊）。
2
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）（理）过点 B（4，0）作一条斜率不为 0的直线 l与椭圆 C相较于 P，Q两点，记点 P
关于 X轴对称的点为P ，若直线P Q与 X轴相较于点 D，求 DPQ面积的最大值。
（文）过点 B（4，0）作一条斜率不为 0的直线 l与椭圆 C相较于 P，Q两点，记点 P关于 X轴对称的点
为P ，证明直线P Q经过 X轴上一定点 D，并求出定点 D的坐标。
（1题图） （2题图） （3题图）
x2 y2 15
8、已知椭圆 C： + =1（025 m2 4
（1）求 C的方程；
（2）若点 P在 C上，点 Q在直线 x=6上，且|BP|=|BQ|，BP BQ，求 APQ的面积（2020全国高考新课
标 III）。
x2 y2 1
9、已知椭圆 C： + =1（a>b>0）过点M（2，3），点 A为其左顶点，且 AM的斜率为 （2020全国
a2 b2 2
高考新高考 II）。
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）N为椭圆上任意一点，求 AMN面积的最大值。
『思考问题 2』
（1）【典例 2】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是多边
形面积的值（或取值范围或最值）；
（2）解答这类问题的基本思路是：：①设出两点的坐标和直线的斜率 k（注意考虑斜率不存在的情况，为了
避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，m R），运用点
斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于 x（或 y）的一元二次方程；
③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数 k（或 m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关
于参数 k（或 m）的式子；④运用多边形面积的相关知识把多边形的面积表示成关于参数的函数；⑤求出关
于参数的函数值（或值域或最值）；⑥得出问题的结果。
【典例 3】解答下列问题：
x2 y2
1、设双曲线 C： - =1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F（2，0），渐近线方程为 y= 3 x。
a2 b2
（1）求双曲线 C的方程；
（2）过 F的直线与 C的两条渐近线分别相交于 A，B两点，点 P（ x1，y1），Q（ x2，y2），在 C上，且 x1 > x2 >0，
y1 >0，过点 P且斜率为- 3的直线与过点 Q且斜率为 3的直线相交于点M，请从下面①②③中选取两个
作为条件，证明另一个条件成立。①M在 AB上；②PQ//AB，③|MA|=|MB|。注：若选择不同的组合分别解
答，则按第一个解答计分（2022全国高考新高考 II卷）
2、已知抛物线 C： y2 =2px（p＞0，p 4），过点 A（2，0）且斜率为 k的直线与抛物线 C相交于 P，Q两
点。
（1）设点 B在 x轴上，分别记直线 PB，QB的斜率为 k1， k2，若 k1 + k2 =0，求点 B的坐标；
| MN |
（2）过抛物线 C的焦点 F作直线 PQ的平行线与抛物线 C相交于M，N两点，求 的值（成都
| AP | . | AQ |
市 2019级高三一诊）
x2 y2
3、（理）已知椭圆 E： =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点 P在椭圆
a2 b2
E上，P F2 F1 F2，且|P F1 |=3|P F2 |。
（1）求椭圆 E的标准方程；
（2）设直线 ： 2 2 2 2l x=my+1(m R)与椭圆 E相较于 A，B两点，与圆 x + y = a 相较于 C，D两点，求|AB|.|CD|
的取值范围。
x2 y2 2
（文）已知椭圆 E： =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点 P（1， ）
a2 b2 2
在椭圆 E上。
（1）求椭圆 E的标准方程；
（2）设直线 2 2 2 2l：x=my+1(m R)与椭圆 E相较于 A，B两点，与圆 x + y = a 相较于 C，D两点，当|AB|.|CD|
的值为 8 2时，求直线 l的方程（2020成都市高三二诊）。
（1题图） （2题图） （3题图）
x2 y2 3
4、已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左焦点为F （- 3，0），点 Q（1， ）在椭圆 C上（2020
a2 b2
1
2
成都市高三三诊）。
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）经过圆 2O：x + y
2
=5上一动点 P作椭圆 C的两条切线，切点分别记为 A，B，直线 PA，PB分别与圆
O相较于异于点 P的M，N两点。
（理）①求证：OM +ON =0；②求 OAB的面积的取值范围。（文）①当直线 PA，PB的斜率都存在时，
| AB |
记直线 PA，PB斜率分别为 k1， k2，求证： k1 . k2 =-1；②求 的取值范围。
| MN |
x2 y2 2
5、已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点 A（2，1）。
a2 b2 2
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）点M，N在 C上，且 AM AN，AD MN，D为垂足，证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值（2020
全国高考新高考 I）。
『思考问题 3』
（1）【典例 3】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某一
式子的值（或取值范围或最值）或证明某一式子为定值；
（2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率 k（注意考虑斜率不存在的情况，为了
避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，m R），运用点
斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数得到关于 x（或 y）的一元二次方程；
③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数 k（或 m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关
于参数 k（或 m）的式子；④运用相关知识把问题中的式子表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数
的值（或值域或最值）或证明该式子的值与参数无关（为定值）；⑥得出问题的结果。
【典例 4】解答下列问题：
1、在同一平面直角坐标系 XOY中，圆 2x2 + y =4经过伸缩变换 ： x =x，后得到曲线
1
y = y，C。
2
（1）求曲线 C的方程；
（2）（理）设直线 l与曲线 C相较于 A，B两点，连接 BO并延长与曲线 C相较于点 D，且
|AD|=2，求 ABD面积的最大值；（文）设曲线 C与 X轴和 Y轴的正半轴分别相交于 A，B两点，P是曲
线C位于第二象限上的一点，且直线PA与Y轴相交于点M，直线PB与X轴相交于点N，求 ABM与 BMN
的面积之和（2021成都市高三零诊）。
x2 y2 2 x y
2、已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且直线 2
2
+ =1与圆 x + y =2相切。
a2 b2 2 a b
（1）求椭圆 C的方程；
（2）（理）设直线 l与椭圆 C相交于不同的两点 A，B，M为线段 AB的中点，O为坐标原点，射线 OM与
S
椭圆 C相交于点 P，且 O点在以 AB为直径的圆上，记 AOM， BOP的面积分别为 S ，S ，求 11 2 的取
S2
值范围。（文）设直线 l与椭圆 C相交于不同的两点 A，B，
M为线段 AB的中点，O为坐标原点，射线 OM与椭圆 C相交于点 P，且|OP|= 15 |OM|，
求 ABO的面积（2021成都市高三一诊）
x2 y2
3、已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1（- 3，0），F 32（ ，0），且经过点 A
a2 b2
1
（ 3， ）（2020成都市高三零诊）。
2
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）（理）过点 B（4，0）作一条斜率不为 0的直线 l与椭圆 C相较于 P，Q两点，及点 P关于 X轴对称
的点为 P1，若直线P Q与 X轴相较于点 D，求 DPQ面积的最大值。（文）过点 B（4，0）作一条斜率不
为 0的直线 l与椭圆 C相较于 P，Q两点，记点 P关于 X轴对称的点为P ，证明直线P Q经过 X轴上一定
点 D，并求出定点 D的坐标。
（1题图） （2题图） （3题理科图） （3题文科图）
x2 y2
4、已知椭圆C1： =1（a＞b＞0）的右焦点 F与抛物线C2的焦点重合，C2 2 1的中心与C2的顶点重合，a b
过 F且与 X轴垂直的直线交C1于 A，B两点，交C2于 C，D两点，且|CD|
4
= |AB|（2020全国高考新课标 II）。
3
（1）求C1的离心率；
（2）（理）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程。（文）若C1的四个顶点到C2的
准线距离之和为 12，求C1与C2的标准方程。
1
5、（理）已知抛物线 C： y2 =2px过点 P（1，1），过点（0， ）的直线 l与抛物线 C交于不同的两点M，
2
N，过点M作 X轴的垂线分别与直线 OP，ON交于点 A，B，其中 O为原点。
（1）求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段 BM的中点。
3
（文）已知椭圆 C的两个顶点分别为 A（-2，0），B（2，0），焦点在 X轴上，离心率为 。
2
（1）求椭圆 C的方程；
（2）点 D为 X轴上一点，过 D作 X轴的垂线交椭圆 C于不同两点M，N，过 D作 AM的垂线交 BN于点
E，求证： BDE与 BDN的面积之比为 4：5（2017全国高考北京卷）
『思考问题 4』
（1）【典例 4】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某点
的坐标（或点的轨迹方程）；
（2）解答这类问题的基本方法是：①设出两点的坐标和直线的斜率 k（注意考虑斜率不存在的情况，为了
避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，m R），运用点
斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程得到方程组，消去一个未知数化为关于 x（或 y）的一
元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数 k（或 m）的式子，并根据直线方程求出问题中需
要的其他量关于参数 k（或 m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把点的坐标表示成关于参数 k（或
m）的式子；⑤求出参数的值得到点的坐标（或消去参数得到点的轨迹方程）；⑥得出问题的结果。
【典例 5】解答下列问题：
3
1、已知椭圆 E的中心为坐标原点，对称轴为 X轴，Y轴，且过点 A（0，-2），B（ ，-1）两点。
2
（1）求椭圆 E的方程；
（2）设过点 P（1，-2）的直线交 E于M，N两点，过M且平行于 X轴的直线与线段 AB交于点 T，点 H
满足MT =TH，证明直线 HN过定点（2022全国高考乙卷）
y2 x2 1
2、已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且经过点（ 6 ，2），椭圆 C的右顶点到抛物线 E：
a2 b2 2
y2 =2px（p>0）的准线的距离为 4。
（1）求椭圆 C和抛物线 E的方程；
（2）设与两坐标轴都不垂直的直线 l与抛物线 E相交于 A，B两点，与椭圆 C相交于M，N两点，O为坐
标原点，若OA .OB =-4，则在 x轴上是否存在点 H，使得 x轴平分 MHN，若存在，求出点 H的坐标；
若不存在，请说明理由（成都市 2019级高三三珍）
x2 y2 6
3、已知椭圆 C的方程为 + =1（a＞b＞0），右焦点为 F（ 2，0），且离心率为 。
a2 b2 3
（1）求椭圆 C的方程；
（2）设M，N是椭圆 C上的两点，直线MN与曲线 2x2 y b2+ = 相切，证明M，N，F三点共线的充分必要
条件是|MN|= 3，（2021全国高考新高考 II卷）。
x2
4、（理）已知椭圆 ： y2C + =1的右焦点为 F，过点 F的直线（不与 X轴重合）与椭圆 C相交于 A，B
2
两点，直线 l：x=2与 X轴相较于点 H，过点 A作 AD l，垂足为 D。
（1）求四边形 OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；
（2）证明：直线 BD过定点 E，并求出点 E的坐标。
x2
（文）已知椭圆 C： 2+ y =1的右焦点为 F，过点 F的直线（不与 X轴重合）与椭圆 C相交于 A，B两
2
点，直线 l：x=2与 X轴相较于点 H，E为线段 FH的中点，直线 BE与直线 l的交点为 D。
（1）求四边形 OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；
（2）证明：直线 AD与 X轴平行（2020成都市高三一诊）。
x2
5、已知 A，B分别为椭圆 ： y2E + =1（a>1）的左，右顶点，G为 E上顶点，AG .GB =8，P为直线 x=6
a2
上的动点，PA与 E的另一个交点为 C，PB与 E的另一个交点为 D。
（1）求 E的方程；
（2）证明：直线 CD过定点（2020全国高考新课标 I）。
6、（理）已知抛物线 C： x2 =2py经过点（2，-1）。
（1）求抛物线 C的方程及其准线方程；
（2）设 O为原点，过抛物线 C的焦点作斜率不为 0的直线 l交抛物线 C于两点M，N，直线 y=-1分别交
直线 OM，ON于点 A和点 B，求证：以 AB为直径的圆经过 Y轴上的两个定点。
x2 y2
（文）已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的右焦点为（1，0），且经过点 A（0，1）。
a2 b2
（1）求椭圆 C的方程；
（2）设 O为原点，直线 l：y=kx+t（t 1）与椭圆 C相较于不同两点 P，Q，直线 AP与 x轴相较于点M，
直线 AQ与 x轴相较于点 N，若|OM|.|ON|=2，求证：直线 l经过定点（2019全国高考北京）
『思考问题 5』
（1）【典例 5】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线
过定点（或点在定直线上）；
（2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率 k（注意考虑斜率不存在的情况，为了
避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，m R），运用点
斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于 x（或 y）的一元二次方程；
③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数 k（或 m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关
于参数 k（或 m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把直线方程（或某点的坐标）表示成关于参数 k
（或 m）的式子；⑤确定直线存在与参数 k（或 m）无关的点（定点）（或把某点的坐标代入给定的直线方
程验证）；⑥得出问题的结果。
圆锥曲线高考大题的类型与解法
圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个
圆锥曲线问题的 12分大题。从题型上看是 20（或 21）题的 12分大题，难度为中，高档题型，一般的考生
都只能拿到 4到 10分。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲线大题问题主要包括：①已知过定点的直线
与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程（或直线的斜率）；②已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两
点，求多边形的面积（或多边形面积的最值）；③已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求某个式
子的值（或取值范围）和证明某个式子的值为定值；④已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求
点的坐标（或点的轨迹方程）；⑤已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，证明直线过定点（或点在
定直线上）等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实
际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典
型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例 1】解答下列问题：
1、设抛物线 C： y2 =2px（p>0）的焦点为 F，点 D（p，0），过点 F的直线交 C于M，N两点，当直线MD
垂直于 X轴时，|MF|=3。
（1）求抛物线 C的方程；
（2）设直线MD，ND与 C的另一个交点分别为 A，B，记直线 AB，MN的倾斜角分别为 ， ，当 -
取得最大值时，求直线 AB的方程（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②求抛物线方程的基本方法；③已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基
本方法；④求直线方程的基本方法；⑤正切三角函数差角公式及运用。
【解题思路】（1）根据抛物线的性质，运用求抛物线方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线 C 的
y2 y2
方程；（2）如图，设M（ 1 ， y 21），N（ ， y2），根据已知直线两点的坐标，求直线斜率的基本方法，
4 4
结合问题条件分别表示出 kMN ， kAB A1 A2， A1 A3均与 M 相切，得到关于 y1， y2， y3的等式，运用判
断直线与圆位置关系的基本方法就可判断 A2 A3与 M的位置关系。
1
【详细解答】（1）如图， 当直线MD垂直于 X轴时，点M为（p， 2 p），在 Rt MDF中，|FD|= p，
2
1
|DM|= 2 p ， ， 2 2 2 2 2 2|FM|=3 |FD| +|DM| =|FM| ， p +2 p =9， p=2， 抛物线 C的方程为： y =4x；
4
y2 y2
（2）如图，设M（ 1 ， y1），N（
2 ， y2）， B
4 4
F（1，0），D（2，0），直线MN过点 F， 直 y M
线MN的方程为：x=my+1，联立直线MN和抛物
线 C的方程得： y2 -4my-4=0， y1 + y2 =4m， 0 N F D
4(y y )
y1 . y2 =-4， kMN =tan =
1 2 A
(y1 y2 )(y1 y2 )
4 1 4y
= = ①， 点 A，D，M在直线 AM上， k 1AD = kDM ，
y m1 y2 (y1 2 2)(y1 2 2)
4yA 8 8= ， yA =- ，同理由点 B，D，N在直线 BN上可得 yB =- ，
(y 2 2)(y 2 2) y1 yA A 2
4 4y1.y2 4 1 tan tan mkAB = tan = =- =- = ，tan( - )= = 2
yA yB 8(y 8m 2m1 y2 ) 1 tan . tan 2m 1
1 1 2 2
= ， 当且仅当 2m= ，即 m=- 时，tan( - )= 为最大值，此时 - 取得最大值，
1 m 2 4
2m
m
1 2 8(y y ) 64
k = =- ， y + y = 1 2AB A B =8m=-4 2， yA . yB = =-16， 直线 AB的方程为：
2m 2 y1.y2 y1.y2
2 y2
y- yA =- （x-
A ），即 x+ 2 y-4=0。
2 4
x2 y2
2、已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为 2 5，右焦点F2到直线 x-y+2=0
a2 b2
的距离为 2 2（2021成都市高三三诊）。
（1）求椭圆 C的方程；
（2）（理）过点M（-3，0）的直线 l与椭圆 C相交于 A，B两点，过点F2作直线 l的垂线，垂足为 N（点
A，B在点M，N之间），若 A F2 M与 B F2 N面积相等，求直线 l的方程。
（文）过点M（-3，0）的直线 l与椭圆 C相交于 A，B两点，过点F2作直线 l的垂线，垂足为 N（点 A，
B在点M，N之间），若|MA|=|BN|，求直线 l的方程。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④两
点之间的距离公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥求直线方程的基本方法。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于 a，b，c的方程组，求
解方程组求出 a，b的值就可求出椭圆 C的方程；（2）（理）设 A（ x1， y1），B（ x2， y2），根据求直线
方程的基本方法求出直线F2 N的方程，从而得到点 N的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点
之间的距离公式，得到|MN|关于参数 m的表示式，利用点到直线的距离公式和三角形面积公式得到关于 m
的方程，求解方程求出 m的值就可求出直线 l的方程。（文）设 A（ x1， y1），B（ x2， y2），根据求直线
方程的基本方法求出直线F2 N的方程，从而得到点 N的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点
之间的距离公式，得到|MA|，|BN|关于参数 m的表示式，从而得到关于 m的方程，求解方程求出 m的值就
可求出直线 l的方程。
x2 y2
【详细解答】（1） 椭圆 C： =1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为 2 5，右焦点F 到
a2 b2
2
| c 0 2 | | c 2 |
直线 x-y+2=0的距离为 2 2， 2 2 22ab=2 5 ①，d = = =2 2 ②，a =b + c ③，联立F2 1 1 2
x2 2
①②③解得：a2 2=5，b =1， 椭圆 C的方程为 + y =1；（2）（理）设 A（ x1， y1），B（ x2， y2），
5
直线 l过点M（-3，0）， 直线 l的方程为 x=my-3，
6m 4
联立直线 l和椭圆 C的方程得：（ 2 2m +5） y -6my+4=0， y1 + y2 = ， y1 . y2 = ，
m2 5 m2 5
2m2 3 5m 5m2 5m
直线F2 N的方程为 y=-mx+2m， N（ ， ），
2 2
|MN|= ( ) ( )
2 m2m 1 1 m2 1 m2 1
5 | m | m2 1 | 2 0 3 | 5 1
= ， d = = ，S = -F BF N S MF N S = S , |MN| 2 2 2 2 2 2 BF2M AF2Mm 1 m 1 m 1 2
5 | m | m21 1 1 5 30 | m | 2
. d - |M F2 |.| y1 |= |M F2 |.| y2 |， . =（2+3）| y1 + yF2 2 2 |= ， 5（m +5）2 2 m 1 m2 1 m
2 5
2
=6（m +1）， m= 19， 直线 l的方程为 x= 19 y-3或 x=- 19 y-3。
（文）设 A（ x1， y1），B（ x2， y2）， 直线 l过点M（-3，0）， 直线 l的方程为 x=my-3，
6m 4
联立直线 l和椭圆 的方程得：（ 2 ） y2C m +5 -6my+4=0， y1 + y2 = ， y1 . y2 = ，
m2 5 m2 5
2m2 3 5m 5m
直线F2 N的方程为 y=-mx+2m， N（ ， ）， |MA|=|BN|， | y1 -0|=|
m2
2 2
1 m 1 m 1
5m 6m 5m
- y2 |， 点 A，B在点M，N之间， y 191 + y2 = ， = ， m= ，即直线 l的
m2 1 m2 5 m2 1
方程为 x= 19 y-3或 x=- 19 y-3。
3、在平面直角坐标系 XOY中，已知点 F1 (- 17 ，0)，F ( 172 ，0)，点M满足|M F1 |-|M F2 |=2,
记M的轨迹为 C。
（1）求 C的方程；
1
（2）设点 T在直线 x= 上，过 T的两条直线分别交 C于 A，B两点和 P，Q两点，且|TA|.|TB|
2
=|TP|.|TQ|，求直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和（2021全国高考新高考 I卷）。
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；
④求圆方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的
基本方法。
【解题思路】（1）根据双曲线的性质和求双曲线方程的基本方法，结合问题条件就可求出 C的方程；（2）
1
如图，设 A（ x1， y1），B（ x2， y2），T（ ，m），直线 AB的斜率为 k1，直线 PQ的斜率为 k2，根据直
2
线点斜式方程求出直线 AB的方程，联立直线 AB和双曲线 C的方程消去 y得到关于 x的一元二次方程，
运用设而不求，整体代入的数学思想，得到|TA|.|TB|关于 k1，m的表示式，同理可得|TP|.|TQ|关于 k2，m的
表示式，联立两个表示式得到关于 k1，k2的等式，求出 k1，k2之间的关系就可求出直线 AB的斜率与直线
PQ的斜率之和。
【详细解答】（1） 点 F (- 17 ，0)， F ( 171 2 ，0)，点M满足|M F1 |-|M F2 |=2, a=1，c= 17 ，
y2
b2 c2 a2= - =17-1=16， C的方程为 x2 - =1（x 1）；（2）如图，设 A（ x1，
16
1
y1），B（ x2， y2），T（ ，m），直线 AB的斜率为 k1，直线 PQ的斜率为 k2， 直线
2
1 1
AB过点 T（ ，m），斜率为 k1， 直线 AB的方程为 y= k1 x- k1 +m，联立直线 AB和双曲线 C的方程
2 2
1
消去 y得：（ k 216- ）1 x
2
+（ k 2 -2 k1 m）
2 2
x- k + k1 m- m -16=0， x1 1 1 + x2
4
2k m k 2 4k m k 2 4m21 1 1 1 64 1 1= ， x1 . x2 = ， |TA|.|TB|=（1+ k
2）（ x1 - ）（ x2 - ）
16 k 2
1
1 4(16 k
2 2 2
1 )
4k m k 2 4m2 64 4k m 2k 2 16 k 2 m22 2 12 2
=（1+ k ）[ 1 1 - 1 1 + 1 ]=-（1+ k ） =（1+1 1 k ） 1
4(16 k 21 ) 4(16 k
2
1 ) 4(16 k
2
1 ) 16 k
2
1
m2 12 m2 12 m2 12
，同理可得|TP|.|TQ|=（ 21+ k ） ， 2|TA|.|TB|=|TP|.|TQ|， （1+ k ）
k 2
2 2 1 2
1 16 k2 16 k1 16
m2 12
（ k 2） ， （ k 2）（ k 2 16） 2 2 2 2= 1+ 1+ =（1+ k ）（ k 16）， k = k ， k1 k2 2 1 2 2 1 1 2 2， k2 16
k1 =- k2， k1 + k2 =0， 直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和为 0。
4、抛物线 C的顶点为坐标原点 O，焦点在 X轴上，直线 l：x=1交 C于 P，Q两点，且 OP OQ，已知点
M（2，0）， M与 l相切。
（1）求 C， M的方程；
（2）设 A1，A2，A3是 C上的三个点，直线 A1 A2，A1 A3均与 M相切，判断 A2 A3与 M的位置关系，
并说明理由（2021全国高考甲卷）。
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线方程的基本方法；④求圆方程的基本方
法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】（1）根据抛物线与圆的性质和求抛物线与圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线
和圆的方程；（2）如图，设 A （ y21 ， y1）， A2（1 y
2， y2）， A （ y
2
3 ， y3），根据直线 A2 3 1 A2， A1 A3均
与 M相切，得到关于 y1，y2，y3的等式，运用判断直线与圆位置关系的基本方法就可判断 A2 A3与 M
的位置关系。
【详细解答】（1）设抛物线的方程为 y2 =2px（p>0）， 直线 l：x=1交 C于 P，Q两点， P（1， 2p ），
1
Q（1，- 2p ）， OP =（1， 2p ），OQ =（1，- 2p ）， OP OQ， OP .OQ =1-2P=0， p= ，
2
抛物线 C的方程为： y
2 2 2
=x， 点M（2，0）， M与 l相切， M的方程为： (x 2) + y =1；如
图，设 A （ y21 ， y1）， A
2
2（ y ， y2）， A1 2 3（ y
2， y3）， 直线 A3 1 A2， A1 A3的方程 y
A2
1 y y 1
分别为： x-y+ 1 2 =0， x-y 0 A1
y1 y2 y1 y2 y1 y3
y y
+ 1 3 =0，直线 A1 A2， A1 A3均与 M相 A3
y1 y3
| 2 y y | | 2 y y |
切， 1 2 2 2 2=1， 1 3 ， y2， y3是方程（ y -1）x +2 y1 x- y +3=0的两根， 直1 1
(y 21 y2 ) 1 (y1 y3)
2 1
线 A2 A3的方程为：x-( y2 + y3 )y+ y2 y3 =0， 点M到直线 A2 A3的距离dM
| 2 y y | | 2y2 2 y2 3 | | y2
= 2 3 1 1 1
1|
= = =1， 直线 A2 A3与 M相切。
(y2 y3)
2 1 4y21 y
4
1 2y
2
1 1 y
4
1 2y
2
1 1
x2 y2
5、（理）已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的右顶点为 A，上顶点为 B（0,1），右焦点
a2 b2
1
为 F，连接 BF并延长与椭圆 C相交于点 C，且|CF|= |BF|。
7
（1）求椭圆 C的方程；
（2）设经过点（1，0）的直线 l与椭圆 C相交于不同的两点M，N，直线 AM，AN分别与直线 x=3相交
于点 P，点 Q，若 APQ的面积是 AMN的面积的 2倍。求直线 l的方程。
x2 y2 3 2
（文）已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且经过点（ 2， ）。
a2 b2 2 2
（1）求椭圆 C的方程；
（2）是否存在经过点（0，2）的直线与椭圆 C相交于不同的两点M，N，使得M，N与 Y轴上的一点 P
连线后组成以 P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由（2019
成都市高三零诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③求直线方程的基本方法； ④设而不求，整体代
入数学思想及运用；⑤直线斜率的定义与基本求法；⑥求解探索性问题的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于 a，b，c的方程
组，求解方程组求出 a，b的值就可得出椭圆 C的方程；（2）根据求直线方程的基本方法求出直线 l的方程；
联立直线方程和椭圆方程消去 x得到关于 y的一元二次方程，结合问题条件得到关于参数 m的方程，求解
方程求出 m的值就可求出直线 l的方程。（文）运用椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得
到关于 a，b，c的方程组，求解方程组求出 a，b的值就可得出椭圆 C的方程；（2）根据求直线方程的基本
方法求出直线 l的方程；联立直线方程和椭圆方程消去 x得到关于 y的一元二次方程，结合问题条件得到关
于参数 m的方程，求解方程就可得出结论。
x2 y2
【详细解答】（理）（1）设点 C（ xc， yc）， 椭圆 C： =1（a＞b＞0）的右顶点
a2 b2
为 A，上顶点为 B（ 20,1），右焦点为 F， b=1，A（a，0），F（ a 1，0）， 连接 BF并延长与椭圆 C
1 1 4 3a 4 3a
相交于点 ，且 2C |CF|= |BF|， yc = ， xc = ， - a 1
7 7 7 7
1 2
a2
x
= 1， a=2，即椭圆 C的方程为：
2
+ y =1；（2）设点M（ x1， y1），N（ x2， y2）， 直线
7 4
l过点（1，0）， 直线 l的方程为：x=my+1，联立直线 l的方程和椭圆 C的方程得：（ 2
2
4+ m ）y +2my-3=0，
2m 3 y y
y1 + y2 =- ， y1 . y2 =- ，直线 AM，AN的方程分别为：y=
1 (x-2)，y= 2 (x-2)，直
4 m2 4 m2 x1 2 x2 2
y y
线 AM，AN分别与直线 x=3相交于点 P，点 Q， P（3， 1 ），Q（3， 2 ）， ｜MN｜
x1 2 x2 2
1 m2
2m 2 12
= ( )
4 m2 4 m2
4 (1 m2 )(m2 3) ｜2-0-1｜ 1 y y
= ， dA = = ，｜PQ｜=
2 - 1
4 m2 1 m2 1 m2 x2 2 x1 2
2 2 2
y y 1 4 (1 m )(m 3) 1 2 m +3
= 2 1 ， S AMN = = ， 2
m2 y1y2 -m（y1+y 2
2 2 4+m
2）+1 4 m 1 m
2 2
1 y y 4 m +3 m +3 S 1
S = 2 1 1= = ， AMN = ， APQ
2 m2 （ 2 2 2y1y2 -m y1+y ）+1 -3m +2m +4+m 2 S APQ 22
4 1
= ， m= 2， 直线 l的方程为：x-2y-1=0或 x+2y-1=0。
4+m2 2
x2 y2 3 2
（文）（1） 椭圆 C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且经过点（ 2， ），
a2 b2 2 2
c 3 2 1
= ①，且 + =1②，a2 2=b2 + c2 ③，联立①②③解得：a =4，b2 =1， 椭圆 C的方程为：
a a2 2b22
x2
+ y
2
=1；（2）设存在经过点（0，2）的直线与椭圆 C相交于不同的两点M，N，使得M，N与 Y轴上
4
的一点 P连线后组成以 P为直角顶点的等腰直角三角形，点M（ x1， y1），N（ x2， y2），P（0， y0），线
段MN的中点为 Q（ x , y ） 直线 l过点（0，2）， 直线 l的方程为：x=my-2m，联立直线 l的方程和Q Q
椭圆 C的方程得：（ m2） y
2 2
4+ -4 m y
4m2 4m22 4m 4 2 2 2+4 -4=0， y1 + y2 = ， y1 . y2 = ， =16 m -4（4+ m ）（4 m -4）=-48 m +64
m2 +4 m2 +4
16m 4 8m 2m2 8m
>0， x 21 + x2 =m（ y1 + y2）-4m= , m < ， x = , y = , Q（ , 2 Q 2 Qm +4 3 m +4 2m2 +4 m +4
2m2 2m2
）, PMN是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形， 直线 PQ的方程为：y-
m2 +4 m2 +4
8m 6m2 6m2 8m 2 2m
2 6m2 2
=-m(x- )，令 x=0，得 y= , y0 = , |PQ|= ( ) ( )
m2 +4 m2 +4 m2 +4 m2 +4 m2 +4 m2 +4
2 2
8 | m | 1 m2 2 4 4 3m
2 4 (1 m )(4 3m )
= ，|MN|= 1 m . = ， |MN|=2|PQ|，
m2 +4 m2 +4 m2 +4
(1 m2)(4 3m2) 4 | m | 1 m2 2
= ， m= ， 存在经过点（0，2）直线 l，其
m2
2
+4 m +4 19
方程为： 19 x-2y+4=0或 19 x+2y-4=0与椭圆 C相交于不同的两点M，N，使得M，N与 y轴上的一点 P
3
（0，- ）连线后组成以 P为直角顶点的等腰直角三角形。
10
6、（理）已知长度为 4的线段 AB的两个端点 A，B分别在 X轴和 Y轴上运动，动点 P满足BP =3 PA，
记动点 P的轨迹为曲线 C。
（1）求曲线 C的方程；
（2）设不经过点 H（0，1）的直线 y=2x+t，与曲线 C相交于两点M，N，若直线 HM与 HN的斜率之和为
1，求实数 t的值。
（文）已知点 A（m，0）和 B（0，n），且m2 n2+ =16，动点 P满足BP =3 PA，记动点 P的轨迹为曲线 C。
（1）求曲线 C的方程；
（2）设不经过点 H（0，1）的直线 y=2x+t，与曲线 C相交于两点M，N，若直线 HM与 HN的斜率之和为
1，求实数 t的值（2019成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①点轨迹方程的定义与基本求法；②椭圆的定义与性质；③直线斜率的定义与基本求法；④设而
不求，整体代入数学思想及运用。
【解题思路】（理）（1）运用求点的轨迹方程的基本方法就可求曲线 C的方程；（2）联立直线方程和曲线方
程联立消去 y得到关于 x的一元二次方程，；结合韦达定理得到两根之和与两根之积关于 t的式子，利用已
知直线上两点的坐标求直线的斜率的公式分别求出直线 HM，HN的斜率，根据斜率之和为 1得到关于 t的
方程，求解方程并注意M，N是不同两点，直线 y=2x+t不经过点（0，1）的条件就可求出 t的值；
【详细解答】如图，设 P（x，y），A（ x0，0），B（0， y0）， y
BP =（x，y- y0），PA =（ x0 -x，-y）， BP =3 PA， B
（x，y- y0）=（3 x0 -3x，-3y）， x=3 x0 -3x， P（x，y）
4
x0 = x， y- y0 =-3y， 0 A x
3
2 2 16 2 x
2
y 20 =4y， |AB|= x y ， x
2
=4 +16 y =16， + y =1，0 0 曲线 C的方程是：
9 9
x2
y2+ =1；（2）设M（ x1， y1），N（ x2， y2）， 直线 y=2x+t不经过点（0，1），
9
x2 36t
1 0+ t，即 ，由 y2 2 2t 1 + =1，得：37 x +36tx+9 t -9=0， x1 + x2 =- ， x1 . x2
9 37
9t 2 9
y=2x+t，= ， M，N是不同两点， 2 = (36t) -4 37
37
2 2 2 y1 1 y 1 （9 t -9）=36（36 t -37 t +37）>0， - 37 x1 x2
y1 1 y1 1 y1x2 x2 y2x1 x1 2x1x2 tx x 2x x tx x K 2 2 2 1 1 1HM + KHN = + = = =4
x1 x1 x1x2 x1x2
(x1 x2 )(t 1） 36t(t 1）+ = +4=1， t=3 1，且 - 37 <3< 37 ， t的值是 3。
x x （9 t21 2 1)
（文）（1）如图，设 P（x，y），A（ x0，0），B（0， y0）， y
BP =（x，y- y0），PA =（ x0 -x，-y）， BP =3 PA， B
（x，y- y0）=（3 x0 -3x，-3y）， x=3 x0 -3x， P（x，y）
4
x0 = x， y- y0 =-3y， 0 A x
3
16 x2 x2
y 2 2 20 =4y， |AB|= x0 y
2
0 =4， x
2
+16 y =16， + y =1， 曲线 C的方程是：
2
+ y =1；（2）
9 9 9
设M（ x1， y1），N（ x2， y2）， 直线 y=2x+t不经过点（0，1），
x2 2 36t
1 0+ t，即 t 1，由 + y =1，得： 37 x2 2+36tx+9 t -9=0， x1 + x2 =- ， x1 . x2
9 37
9t 2 9
y=2x+t， = ，M，N是不同两点， = (36t)
2
-4 37
37
y 1 y 1
（ 2 2 29 t -9）=36（36 t -37 t +37）>0， - 37 2
HN ，
x1 x2
y 1 y 1 y
K + K = 1 + 1 = 1
x2 x2 y2x1 x1 2x1x= 2
tx2 x2 2x2x1 tx1 x1
HM HN =4
x1 x1 x1x2 x1x2
(x1 x2 )(t 1） 36t(t 1）+ = +4=1， t=3 1，且- 37 <3< 37 ， t的值是 3。
x1x2 （9 t
2 1)
x2 y2 1
7、已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的短轴长为 4 2，离心率为 。
a2 b2 3
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）（理）设椭圆 C的左右焦点分别为 F1， F2，左右顶点分别为 A，B，点M，N为椭圆
C设位于 X轴上方的两点，且 F1 M// F2 N，记直线 AM，BN的斜率分别为 k1， k2，若 3 k1
+2 k2 =0，求直线 F1 M/的方程。（文）设椭圆 C的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为 A，B，点M，
N为椭圆 C设位于 X轴上方的两点，且 F1 M// F2 N，直线F1 M 的斜率为 2 6 ，记直线 AM，BN的斜率
分别为 k1， k2，求 3 k1 +2 k2的值（2019成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与性质；③椭圆标准方程的定义与求法；④设而不求，
整体代入数学思想运用的基本方法；⑤直线与椭圆相交的定义与性质；⑥已知直线上两点的坐标，求直线
斜率的基本方法；⑦求直线方程的基本方法。
【解题思路】（1）运用椭圆的定义与性质，结合椭圆离心率的定义与性质，求出 a，b的值，从而得到椭
圆的标准方程；（2）（理）运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件和已知直线上两点求直线斜
率的公式把 k1， k2表示出来，从而得到关于参数M的方程，求解方程得出 m的值，利用求直线方程的基
本方法就可求出直线 F1 M的方程。（文）运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件和已知直线上
两点求直线斜率的公式把 k1， k2表示出来，从而得到关于参数 m的方程，求解方程得出 m的值，利用求
直线方程的基本方法就可求出直线 F1 M的方程。
c 1
【详细解答】（1） 由题意有： 22b=4 2 ①， = ②, a = b2 2+ c ③，联立①②③解
a 3
得 a2 2=9, b =8, 椭圆 C的标准方程是： N y
x2 y2
+ =1；（2）（理）设M（ x1， y1）， M
9 8
D（ x2， y2），N（ x0， y0），由（1）知， A F O F x B 1 2
F1（-1，0），F2（1，0），A（-3，0），
B（3，0），如图， 直线M F1过点 F1（-1，0）， 直线M F1的方程为：x=my-1,
2 2 16m 64由 x=my-1,得：（8 m +9） y -16my-64=0， y1 + y2 = ， y2 1 . y2 =- ， 8m 9 8m2 9
x2 y2
+ =1， F1 M// F2 N, 点 D与点 N关于原点对称， x0 =- x2， y0 =- y2，
9 8
y1 y y 3y 2yN（- x2，- y2）， K1 = ，K =
2
2 =
2 ，3 K1 +2 K 2 =0，
1 =- 2 ，
x1 3 x2 3 x2 3 x1 3 x2 3
3 y1（ x2 +3）=-2 y2（ x1 +3）， 3 y1 x2 +2 y2 x1 +9 y1 +6 y2 =0， 3 y1（m y2 -1）
128m
+2 y2 (m y1 -1) +9 y1 +6 y2 =0， 5m y1 y2 -3 y1 +2 y2 + y1 +4 y2 =0， y1 = , y2
8m2 9
112m 128m 112m 64 6
=- , y1 >0， m>0， y1 . y2 =- . =- ， m= ， 直线M F1的方程
8m2 9 8m2 9 8m2 9 8m2 9 12
6
是：x= y-1，即：y=2 6 x+2 6 。（2）设 M（ x1， y1），直线M F1与椭圆 C 的另一个交点为 D
12
（ x2， y2），N（ x0， y0），由（1）知，F1（-1，0），F2（1，0），A（-3，0），B（3，0），如图，
直线 M F 过点 F （-1，0），斜率为 2 61 1 直线 M F1的方程为：y=2 6 (x+1)，由 y=2 6 (x+1)，
27
14 x2 +27x+9=0， x1 + x2 =- ，
14
x2 y2 9
+ =1， x1 . x2 = ，F1 M// F2 N, 点 D与点 N关于原点对称，
9 8 14
y y
x0 =- x2， y0 =- y2， N（- x2，- y2）， K =
1 ，K 21 2 =
x1 3 x2 3
y2 3y 2y 3y (x 3) 2y (x 3)= ， 3 K 1 2 1 2 2 11 +2 K 2 = + =
x2 3 x1 3 x2 3 (x1 3)(x2 3)
6 6(x1 1)(x2 3) 4 （6 x2 1)(x1 3) 10 6x1x2 22 6x1 18 6x 30 6 = = 2
(x1 3)(x2 3) x1x2 3(x1 x2 ) 9
9 27
10 6 18 6 ( ) 4 6x1 30 6
14 14 24 6 56 6x1 27= = , x1 + x2 =- ， 9 27 54 14
3 ( ) 9
14 14
9 3 3 3
x1 . x2 = ， x1 =- 或 x1 =- ， y 61 =2 (x+1)>0， x1 =- ， 3 K1 +2 K 2
14 7 2 7
3
24 6 56 6 ( )
24 6 56 6x
= 1 = 7 =0。
54 54
『思考问题 1』
（1）【典例 1】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线
的方程或直线斜率的值（或取值范围）；
（2）解答这类问题的基本思路是：①设出两点的坐标和直线的斜率 k（注意考虑斜率不存在的情况，为了
避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，m R），然后运
用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程，消去一个未知数化为关于 x（或 y）的一元二次
方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数 k（或 m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其
他量关于参数 k（或 m）的式子；④结合问题条件得到关于参数 k（或 m）的方程（或不等式）（注意相交
于不同两点的条件）；⑤求解方程（或不等式）求出参数 k（或 m）的值；⑥得出问题的结果。
【典例 2】解答下列问题：
x2 y2
1、已知椭圆 E： + =1（a>b>0）的右焦点为F2，上顶点为 H，O为坐标原点， OH F
.
2 2 2
=30 ，点（1，
a b
3
）在椭圆,E上。
2
（1）求椭圆 E的方程；
（2）设经过点F2且斜率不为 0的直线 l与椭圆 E相交于 A，B两点，点 P（-2，0），Q（2，0），若M，N
S MPQ
分别为直线 AP，BQ与 Y轴的交点， MPQ， NPQ的面积分别为 S ， 求 的值（成都市 2020 MPQ S NPQ
S NPQ
级高三零诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；
④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦基本不等式及运用。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆 C 的方程；
（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，
点 O到直线 AB的距离关于参数 k，m的式子，根据三角形的面积公式得到 OAB面积关于参数 k，m的
表示式，运用基本不等式求出表示式的最值就可得到 OAB面积的最大值。
x2 y2
【详细解答】（1） 椭圆 C： + =1（a>b>0）的右焦点为F2，上顶点为 H，O为坐标原点，
.
OH F2 = 30 ，
a2 b2
3 c 1
点（ ， ）在椭圆 上， ①， b2 2 2 21 ,E = 4 +9 a =4 a b ②，a2 2 2=b + c ③，联立①②③解得：a2 =4，
2 a 2
x2 y2
b2 =3， 椭圆 E的方程为： + =1；（2）设 A（ x1， y1），
4 3
B（ x2， y2）， 由（1）知F2（1，0），直线 y
l经过点F2， 直线 l的方程为 x=my+1，联立 A
F O F
直线 l和椭圆 E的方程得：（ 24+3 m ） y
2 1 2
+6my-9=0， P Q x
6m 9 3 y
y1 + y2 =- ， y1 y2 =- ， m y1 y2 = （ y
y ）O， 1 + 2 k
1
AP = ， 直线 AP的方程为
4 3m2 4 3m2 2 x1 2
y 1 2y 2y 2yy= (x+2)，令 x=0，得 y= 1 ， 点 M（0， 1 ），同理可得点 N（0，- 2 ）， |PQ|=2-
x1 2 x1 2 x1 2 x2 2
1 4y 1 4y
（ -2 ） =4 ， S = |PQ| y = 1M ， S = |PQ|| y |=
2
N ， MPQ NPQ
2 x1 2 2 x2 2
S MPQ y (x 2) y (my 1) my y y
= 1 2 = 1 2 = 1 2 1
S NPQ y 2(x1 2) y 2(my1 3) my 2 y1 3y 2
3y2 y 1 3y2 y 1 1= = = 。
3y1 9y 2 3(y1 3y 32)
x2 y2
2、已知点 A（2，1）在双曲线 C： - =1（a>1）上，直线 l交 C于 P，Q两点，直线 AP，AQ的斜
a2 a2 1
率之和为 0。
（1）求直线 l的斜率；
（2）若 tan PAQ=2 2，求 PAQ的面积（2022全国高考新高考 I卷）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②求双曲线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④
椭圆弦长公式及运用；⑤三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）设 P（ x1， y1），Q（ x2， y2），直线 l的方程为 y=kx+m，根据双曲线的性质和求双曲
线方程的基本方法，结合问题条件得到关于a2的方程，求解方程求出a2的值，从而得到双曲线的方程，联
立直线 l和双曲线 C的方程得到关于 x的一元二次方程，运用设
而不求，整体代入数学思想得到 x1 + x2， x1 . x2关于 k，m的式子，由 kAP + k =0得到关于 k，m的方程，AQ
求解方程就可求出直线 l的斜率；（2）如图，设直线 AP的倾斜角为 ，根据直线倾斜角与斜率的关系，结
合问题条件得到直线 AP的斜率，由点 P在双曲线 C上得到关于 x1， y1的方程组，求解方程组求出 x1， y1
的值，从而求出 m， x1 + x2， x1 . x2的值，得到直线 AP的方程，|AP|，|AQ|关于 x1， x2的表示式，从而求
出 PAQ的面积。
【详细解答】（1）设 P（ x1， y1），Q（ x2， y2），直线 l的方程为 y=kx+m， 点 A（2，1）在双曲线 C：
x2 y2
- =1（a>1）上， a2 2 2 2 24 -4- a = a （a -1）， a =2， 双曲线 C
a2 a2 1
x2
的方程为 - y2 =1，联立直线 l和双曲线 C的方程得：（2 k 2 -1） x2 2+4kmx+2 m +2=0，
2
4km 2m2 2
x1 + x2 =- ， x2 1 . x2 = ， kAP + k y A P AQ2k 1 2k 2 1
y1 1 y2 1 2kx1x2 (m 1 2k)(x1 x2) 4(m 1) = + = 0 x
x1 2 x2 2 x1x2 2(x1 x2 ) 4
2(k km m 2k 2 1) 2
= =0， k+km+m+2 k -1 Q
(m2 4km 4k 2 1)
=(k+1)(m+2k-1)=0， 直线 l不过点 A， k=-1；
PAQ 2
（2）如图，设直线 AP的倾斜角为 ， tan PAQ=2 2， tan = ，
2 2
y1 12 + PAQ= ， kAP = =tan = 2 ①， 点 P（ x1， y1）在双曲线 C上，
x1 2
x21 2 10 4 2 4 2 5 5 20- y =1②，联立①②解得： x1 = ， y1 = ， m= ， x1 + x1 2 = ，
2 3 3 3 3
68
x1 . x2 = ， 直线 AP的方程为 y= 2 (x-2)+1， 点 P（ x1， 2 ( x1 -2)+1）， |AP|=
9
2
(x1 2)
2 2(x1 2) 1 1 = (x1 2)
2 2(x 2)2 = 31 | x1 -2|，同理可得|AQ|= 3
2 2 1 8 2 2 1 2 2
| x2 -2|，sin PAQ= = ， S = 3| x1 . x2 -2（ x1 + x2）+4| = 2 PAQ
1 8 3 2 3
68 40 16 16 2 16 2
| - +4|= 2 = ， PAQ的面积为 。
9 3 9 9 9
x2 y2
3、（理）已知椭圆 C： + =1（a>b>0）的左，右焦点分别为F ，F ，点 P 在椭圆 C 上，|P F |=3，
a2 b2
1 2 1
1
F1 P F2 = ，且椭圆 C的离心率为 。
3 2
（1）求椭圆 C的方程；
（2）设直线 l：y=kx+m（m 0）与椭圆 C相交于 A，B两点，O为坐标原点，求 OAB面积的最大值。
x2 y2
（文）已知椭圆 C： + =1（a>b>0）的左，右焦点分别为 F1，F2，点 P在椭圆 C上，
a2 b2
1
|P F1 |=2， F1 P F2 = ，且椭圆 C的离心率为 （成都市 2019级高三零诊）
3 2
（1）求椭圆 C的方程；
（2）设过点M（3，0）直线 l与椭圆 C相交于 A，B两点，求 AB F2面积的最大值。
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；
④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦基本不等式及运用。
【解题思路】（理）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆 C的方
程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求
出|AB|，点 O到直线 AB的距离关于参数 k，m的式子，根据三角形的面积公式得到 OAB面积关于参数 k，
m 的表示式，运用基本不等式求出表示式的最值就可得到 OAB 面积的最大值。（文）（1）根据椭圆的性
质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆 C 的方程；（2）根据设而不求，整体代入的
数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点 O到直线 AB的距离关于参
数 k，m 的式子，根据三角形的面积公式得到 OAB 面积关于参数 k，m 的表示式，运用基本不等式求出
表示式的最值就可得到 OAB面积的最大值。
x2 y2
【详细解答】（理）（1） 椭圆 C： + =1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1，F2，点 P在椭圆 C上，
a2 b2
1 2 2 c 1 2 2 2
|P F1 |=3， F1 P F2 = ，且椭圆 C的离心率为 ， 4 c =4+ (2a 2) -2（2a-3）①，e= = ②，a =b + c
3 2 a 2
③，联立①②③解得：a2 =4，b2 =3， 椭圆 C的方程为：
x2 y2
+ =1；（2）设 A（ x1， y1 ），B（ x2 ， y2 ），联立直线 l 和椭圆 C 的方程得：（
2
3+4 k ）
4 3
8km
x2 2+8kmx+4 m -12=0， x1 + x2 =- ， x1 x2 A y P
3 4k 2
4m2 12 48( m
2 3 4k 2 )
= ， |AB|= F O F 2 2 2 1 2 x 3 4k (3 4k )
2 4 3 (1 k
2 )(4k 2 m2 3) O
1 k = ， dO B
3 4k 2
| 0 0 m | | m | 1 4 3 (1 k
2 )(4k 2 m2 3) 2 2 2| m | m (4k m 3)
= = S OAB = =2 3 2
1 k 2 1 k 2 2 3 4k
2
1 k 2 3 4k
2
4k 2 m2 3 m2
3 3 4k2 m2 3= m2，即m2
2(3 4k 2 ) ，当且仅当
2 3
=2 k + ， OAB的面积取得最大值 3
2 。
x2 y2
（文）（1） 椭圆 C： + =1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，|P F1 |=3，
a2 b2
1 c 1
F1 P F2 = ，且椭圆 C的离心率为 ，
2 2 2 2 2
4 c =4+ (2a 2) -2（2a-2）①，e= = ②，a =b + c ③，
3 2 a 2
联立①②③解得：a2 2=4，b =3， 椭圆 C的方程为：
x2 y2
+ =1；（2）设 A（ x1， y1），B（ x2， y2）， 直线 l过点M（3，0）， 直线 l的方程为：x=my+3，
4 3
联立直线 l和椭圆 C的方程得：（ 2 ） y23 m +4 +18my+15=0， y1 + y2
18m 15 2
=- ， y1 y2 = ， |AB|= 1 m y
3m2 4 3m2 4
48(3m2 5) 4 3 (1 m
2)(3m2 5)
. = ， A P
(3m2 4)2 3m2 4
F
|1 0 3 | 2 1 1
O F2
d = = ， S = B x F2 2 2 ABF21 m 1 m 2
O
4 3 3m2 5 2
|AB|. d = ，设 t= 3m 5， A，B是不同两点， 2=48（3 m -5）>0， F2 3m2 4
2 5 2 4 3t 4 3 2 3 2 3 9 m > ， t （0，+ ）， 3 m = t2 +5， S = = 即 ABF
3 2 t2 9 9 ，当且仅当 t=
t 9 3
t
t
3m2 5 2
14 2 3
t= =3，也就是m = 时， A F2 B的面积取得最大值
3 3 。
x2 y2 1
4、（理）已知椭圆 C： + =1（a>b>0）经过点（ 3， ），其右顶点为 A（2，0）。
a2 b2 2
（1）求椭圆 C的方程；
1
（2）若点 P，Q在椭圆 C上，且满足直线 AP与 AQ的斜率之积为 ，求 APQ面积的最大值。
20
x2 y2 1
（文）已知椭圆 C： + =1（a>b>0）经过点（ 3， ），其右顶点为 A（2，0）。
a2 b2 2
（1）求椭圆 C的方程；
1
（2）若点 P，Q在椭圆 C上，且满足直线 AP与 AQ的斜率之积为 ，证明直线 PQ经过定点，并求 APQ
20
面积的最大值（成都市 2019级高三二诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④
椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数最值的基本方
法。
【解题思路】（理）（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于b2的方程，求解
方程求出b2的值就可得到椭圆的方程；（2）设 P（ x1， y1），Q（ x2， y2），根据求直线方程的基本方法，
结合问题条件求出直线 PQ的方程，联立直线 PQ和椭圆 C的方程得到关于 y的一元二次方程，运用设而不
求，整体代入的数学思想和已知直线上两点，求直线斜率的基本方法，得到 kAP，kBP关于 x1，y1，x2，y2
的表示式，从而得到关于 n的方程，求解方程求出 n的值，由椭圆的弦长公式和点到直线的距离公式求出|PQ|，
dA关于参数 m的表示式，利用三角形的面积公式得到 APQ面积关于参数 m的函数，由求函数最值的基
本方法求出函数的最值就可得到 APQ面积的最大值。（文）（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，
结合问题条件得到关于b2的方程，求解方程求出b2的值就可得到椭圆的方程；（2）设 P（ x1，y1），Q（ x2，
y2），根据求直线方程的基本方法，结合问题条件求出直线 PQ的方程，联立直线 PQ和椭圆 C的方程得到
关于 y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想和已知直线上两点，求直线斜率的基本方法，
得到 kAP， kBP关于 x1， y1， x2， y2的表示式，从而得到关于 n的方程，求解方程求出 n的值，由椭圆的
弦长公式和点到直线的距离公式求出|PQ|，dA关于参数 m的表示式，利用三角形的面积公式得到 APQ面
积关于参数 m的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到 APQ面积的最大值。
x2 y2 1
【详细解答】（理）1） 椭圆 C： + =1（a>b>0）经过点（ 3， ），其右顶点为 A（2，0）， a=2
a2 b2 2
3 1 x2
， 2 2 2① + =1②，联立①②解得：a =4，b =1， 椭圆 C的方程为 + y =1；（2）设 P（ x ， y
2 2 1 1
），
a 4b 4
Q（ x2， y2），直线 PQ的方程为
2 2 2
x=my+n，联立直线 PQ和椭圆 C的方程得：（m +4） y +2mny+ n -4=0，
2mn n2 4 2m2n 2m2n 8n 8n
y1 + y2 =- ， y1 . y2 =- ， x1 + x2 =m( y2 1 + y2 )+4n= = ，m 4 2m2 4 m2 4 m 4
m2n2 4m2 2m2n2 m2n22 2 4n
2 4m2 4n2
x1 . x2 = m y1 . y2 + mn( y1 + y2 )+ n = ， 直线 AP的斜率
m2 4 m2 4
y 0 y y 0 y y .y
为 kAP =
1 = 1 ，直线 BP的斜率为 k = 2 = 2 1 2BP ， kAP . kBP =
x1 2 x1 2 x2 2 x2 2 (x1 2).(x2 2)
y .y n21 2 4 (n 2)(n 2) n 2 1= = = = = ，
x1x2 2(x1 x2 ) 4 4m
2 4n2 16n 4m2 16 4(n 2)2 4(n 2) 20
36m2 20(m22 4) 4 m
2
2 5 | 2 0 3 |
n=-3， |PQ|= 1 m . = 1 m . ，dA =
(m2 4）2 2(m2 4）2 m 4 1 m2
2
5 1 1 4 m 5
2
5 10 m 5
= ， S = |PQ| dA = 1 m
2
. . = ，令 t= m2 5，t [0， APQ
1 m2 2 2 m
2 4 21 m2 m 4
10t 10 10 5
+ ）， S = = ，当且仅当 t=3时，S = = 为最大值， APQ APQ APQ的面积最大值为
t 2 9 9 3 3 3
t
t
5 x2 y2 1 3 1
。（文）（1） 椭圆 C： + =1（a>b>0）经过点（ 3， ），其右顶点为 A（2，0）， a=2①， + =1
3 a2 b2 2 a
2 4b2
x2
②，联立①②解得：a2
2
=4，b2 =1， 椭圆 C 的方程为 + y =1；（2）设 P（ x1， y1），Q（ x2， y2），
4
直线 PQ 的方程为 x=my+n，联立直线 PQ 和椭圆 C 的方程得：（ 2 ） y2m 2+4 +2mny+ n -4=0，
2mn n2 4 2m2n 2m2n 8n 8n
y1 + y2 =- ， y1 . y2 =- ， x1 + x2 =m( y1 + y2 )+4n= = ，
m2 4 2m2 4 m2 4 m 4
m2n2 4m2 2m2 22 2 n m
2n2 4n2 4m2 4n2
x1 . x2 = m y1 . y2 + mn( y1 + y2 )+ n = = ，直线 AP的斜率
m2 4 m2 4
y1 0 y为 k = = 1
y 0 y
AP ， 直 线 BP 的 斜 率 为 k
2 2
BP = = ，
x1 2 x1 2 x2 2 x2 2
y1.y2 y .y n
2
1 2 4 (n 2)(n 2)kAP . kBP = = = = =
(x 2).(x 2) x x 2(x x ) 4 4m2 2 2 21 2 1 2 1 2 4n 16n 4m 16 4(n 2)
n 2 1
= ， n=-3， 直线 PQ的方程为：x=my-3， 当 y=0时，x=0-3=-3， 直线 PQ过定点（-3，
4(n 2) 20
2 36m
2 20(m2 4)
0） ， |PQ|= 1 m .
(m2 4）2 (m2 4）2
2 4 m
2 5 | 2 0 3 | 5 1 1
= 1 m . ， dA = = ， S = |PQ| dA = 1 m
2
.
APQ
m2 4 1 m2 1 m2 2 2
4 m2 5 25 10 m 5 2 10t 10
. = ，令 t= m 5，t [0，+ ）， S = = ，当且仅当 t=32 2 APQm 4 21 m2 m 4 t 9 9t
t
10 5 5
时， S = = 为最大值， APQ的面积最大值为 。 APQ
3 3 3 3
5、（理）已知抛物线 C： 2x2 2=2py（p>0）的焦点为 F，且 F与圆M：x + (y 4) =1上点的距离的最小值为
4（2021全国高考乙卷）。
（1）求 P；
（2）若点 P在M上，PA，PB是 C的两条切线，A，B是切点，求 PAB面积的最大值。
（文）已知抛物线 ： y2C =2px（p>0）的焦点为 F到准线的距离为 2。
（1）求 C的方程；
（2）已知 O为坐标原点，点 P在 C上，点 Q满足PQ=9QF ，求直线 OQ斜率的最大值。
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线切线方程的基本方法；④设而不求，整
体代入数学思想及运用；⑤抛物线弦长公式及运用；⑥点到直线的距离公式及运用；⑦三角形面积公式及
运用；⑧求函数最值的基本方法；⑨平面向量的定义与性质；⑩已知直线上两点的坐标，求直线斜率的公
式及运用。
【解题思路】（理）（1）根据抛物线和圆的性质，结合问题条件得到关于 p的方程，求解方程就可求出 p的
值；（2）根据求曲线在某点处切线方程的基本方法分别求出切线 PA，PB的方程，从而求出直线 AB的方程，
联立直线 AB与抛物线 C的方程消去 y得到关于 x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想，
弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|，点 P到直线 AB的距离关于点 P横坐标的式子，根据三角形的面
积公式得到 PAB面积关于点 P横坐标的函数，利用求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到 PAB
面积的最大值。（文）（1）根据抛物线的性质，结合问题条件得到关于 p的方程，求解方程求出 p的值就可
求出抛物线 C的方程；（2）根据平面向量的性质，结合问题条件求出点 Q关于点 P
坐标的表示式，由点 P在抛物线 C上求出点 Q的轨迹方程，联立直线 OQ与点 Q的轨迹方程消去 y得到关
于 x的一元二次方程，运用直线 OQ与点 Q的轨迹相切时斜率最大得到关于直线 OQ斜率 k的方程，求解
方程就可求出直线 OQ斜率的最大值。
p
【详细解答】（理）（ 21） F（0， ），F与圆M： x + (y 4)
2
=1上点的距离的最小值为
2
p
4， +3=4， p=2， p=2；（2）设 A（ x1， y1），B（ x2， y2），P（ x0， y0），由（1）知， x
2
=4y，
2
1 1
切线 PA，PB的方程分别为：y= x1 x- y1 , y= x2 x- y2，切线 PA，PB均过点 P（ x0， y0），
2 2
1 1
y0 = x1 x0 - y1， y0 = x2 x0 - y2， 直线 AB的方程为 y
2 2
1 1 1
= x0 x- x1 x0 + y1 = x0 x- y0，联立直线 AB与抛物线 C的方程消去
2
y得： x -2 x0 x+4 y0
2 2 2
x2
， x x 2 2 2=0 1 + 2 =2 x0， x1 . x2 =4 y0， x +0 (y 4)
2
=1， |AB|= 1 0 4x0 16y = 0 0 4 x0
4
| x x 2y 2y 2
x2 4y ， d 0 0 0 0
| | x0 4y0 | 1 1， S d | x2P = = PAB = |AB| P = 4y | 0 0 0 0
4 x2 4 x2 2 20 0
3 3
2 1 1x 4y = (x2 4y )2 2= ( y 12y 15)2， -5 y0 0 0 0 0 0 0 -3， 当且仅当 y0 =-5时，S PAB取得最大
2 2
3
1
值 ( 25 60 15)2 =20 5，即 PAB面积的最大值为 20 5。（文）（1）
2
抛物线 ： y2
p p
C =2px（p>0）的焦点为 F到准线的距离为 22， + =p=2，抛物线 C的方程为 y =4x；
2 2
（2）设 P（ x0，y0），Q（x，y），直线 OQ的方程为 y=kx， PQ =（x- x0，y- y0），QF =（1-x，-y），PQ =9QF ,
2
x- x0 =9-9x，y- y0 =-9y， x0 =10x-9， y0 =10y， P（10x-9，10y）， 点 P在抛物线 C上， 100 y =4
2 9
（10x-9）， 点 的轨迹方程为 y
2
Q = x- （x>0），联立直线 OQ和点 Q的轨迹方程消去 y得：
5 25
k 2 2
2 9
x - x+ =0， 当且仅当直线 OQ与点 Q的轨迹相切时，直线 OQ的斜率最大，
5 25
4 2 9 4 36 = -4 k = -
25 25 25 25
k 2
1 1
=0， k= ， 直线 OQ斜率的最大值为 。
3 3
x2 y2 3
6、已知椭圆 C： + =1（a>b>0）经过点 A（1， ），其长半轴长为 2。
a2 b2 2
（1）求椭圆 C的方程；
（2）（理）设经过点 B（-1，0）的直线 l与椭圆 C相交于 D，E两点，点 E关于 X轴的对称点为 F，直线
DF与 X轴相交于点 G，求 DEG的面积 S的取值范围。（文）设经过点 B（-1，0）的直线 l与椭圆 C相交
于 D，E两点，点 E关于 X轴的对称点为 F，直线 DF与 X轴相交于点 G，记 BEG与 BDG的面积分别
为 S1， S2，求| S1 - S2 |的最大值（2021成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④椭
圆弦长公式及运用；⑤两点之间的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数值域（或最值）
的基本方法。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于b2的方程，求解方程
求出b2的值就可得到椭圆的方程；（2）（理）设 D（ x1， y1），E（ x2， y2），F（ x2，- y2），根据求直线
方程的基本方法，结合问题条件求出直线 DF 的方程，从而求出点 G 的坐标，运用设而不求，整体代入的
数学思想，两点之间的距离公式和椭圆的弦长公式求出|BG|关于参数 m 的表示式，利用三角形的面积公式
得到 DEG 面积关于参数 m 的函数，由求函数值域的基本方法求出函数的值域就可得到 DEG 面积的取
值范围。（文）设 D（ x1， y1），E（ x2， y2），F（ x2，- y2），根据求直线方程的基本方法，结合问题条
件求出直线 DF 的方程，从而求出点 G 的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想，两点之间的距离公
式和椭圆的弦长公式求出|BG|关于参数 m的表示式，利用三角形的面积公式得到 BEG与 BDG面积 S1，
S2关于参数 m的表示式，从而得到| S1 - S2 |关于 m的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最大值就
可得到| S1 - S2 |的最大值。
x2 y2 3
【详细解答】（1） 椭圆 C： + =1（a>b>0）经过点 A（1， ），其长半轴长为 2，
a2 b2 2
1 3 x2
a=2①， + =1②，联立①②解得：a2 =4，b2 =1， 椭圆 C的方程为 + y
2
=1；
a2 4b2 4
（2）（理）设 D（ x1， y1），E（ x2， y2），F（ x2，- y2）， 直线 l过点 B（-1，0）， 直线 l的方程为
x=my-1，联立直线 l和椭圆 C的方程得：（ 2m2 +4） y -2my-3=0， y1 + y2
2m 3 y y
= ， y1 . y2 =- ，直线 DF的方程为 y- y
1 2
1 = (x- x1 )，令 y=0，x= x1 -
m2 4 m2 4 x1 x2
y1(x1 x2 ) y1x2 y2x1 2my1y2 (y1 y2 ) 6m 2m= = = =-4， G（-4，0）， |BG|=-1-（-4）=3，
y1 y2 y1 y2 y1 y 2m2
1 1 4m2 12m2 48 6 m
2 3
S BDE = |BG|| y1 - y2 |= 3 = ，令 t= 2
2 2 (m2 4)2 (m2 4)2 m 4
m2
6t 6 3 3 3 3
3，t （ 3 ,+ ）， 0< S BDE = = < ， DEG的面积 S的取值范围是（0， ）。
t 2 1 1 2 2
t
t
（文）设 D（ x1， y1），E（ x2， y2），F（ x2，- y2）， 直线 l过点 B（-1，0）， 直线 l的方程为 x=my-1，
2m 3
联立直线 和椭圆 的方程得：（m2l C +4） y
2
-2my-3=0， y1 + y2 = ， y1 . y2 2 =- ，直线 DFm 4 m2 4
y y
的 方 程 为 y- y = 1 21 (x- x1 ) ， 令 y=0 ，
x1 x2
y1(x1 x2 ) y1x2 y2x1 2my1y2 (y1 y2 ) 6m 2mx= x1 - = = = =-4， G（-4，0）， |BG|=-1-（-4）=3，
y 2m1 y2 y1 y2 y1 y2
1 1 1 3 2m 3 3
S1 = |BG| y1，S2 = |BG（| - y2）， 0<| S1 - S2 |= |BG|| y1 + y2 |= | |= ， | S1 - S2 |
2 2 2 2 m2 4 4 4
| m |
| m |
3
的最大值为 。
4
x2 y2
7、已知椭圆 C： + =1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（- 3，0），F 32（ ，0），
a2 b2
1
且经过点 A（ 3， ）（2020成都市高三零诊）。
2
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）（理）过点 B（4，0）作一条斜率不为 0的直线 l与椭圆 C相较于 P，Q两点，记点 P
关于 X轴对称的点为P ，若直线P Q与 X轴相较于点 D，求 DPQ面积的最大值。
（文）过点 B（4，0）作一条斜率不为 0的直线 l与椭圆 C相较于 P，Q两点，记点 P关于 X轴对称的点
为P ，证明直线P Q经过 X轴上一定点 D，并求出定点 D的坐标。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基
本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数最
值的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出a2，b2的值就可得到椭圆的标准方
程；（2）（理）利用设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条
件求出|PQ|，点 D到直线 PQ的距离关于参数 k的式子，根据三角形的面积公式得到 DPQ面积关于参数 k
的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到 DPQ面积的最大值。（文）利用设而不求，整
体代入的数学思想，求直线方程的基本方法求出直线P Q 的方程，运用证明直线过定点的基本方法证明直
线P Q经过 X轴上一定点 D，并求出定点 D的坐标。
1 3 1
【详细解答】（1） c= 3，A（ 3， ）在椭圆 C上， a2 =b2 +3①， + =1②，联立①②解得：
2 a2 4b2
2
a2 ，b2
x
=4 =1， 椭圆 C的标准方程为 + y
2
=1；（2）（理）设 P（ x1， y1），Q（ x2， y2）， 直线 l的
4
斜率不为 0，过点 B（ 2 24，0）， 直线 l的方程为：x=my+4，由 x=my+4，得（m +4） y +8my+12=0，
8m 12
y 21 + y2 =- ， y1 . y2 = ， |PQ|= 1 m .
m2 4 m2 4
x2
2 2
2 8m 2 48 4 m
2 12 4 (1 m )(m 12)
+ y =1， ( ) 2= 1 m = ， 点
m2 4 m24 4 m
2 4 m2 4
y y
P关于 X轴对称的点为P ， P （ x1，- y 1）， 直线P Q的方程为，y- y2 =
2 1 (x- x2 )，令 y=0得
x2 x1
y2 (x2 x1) y2x2 y1x2 y xx= x - = 2 2
y2x1 y= 1
(my2 4) y2 (my1 4)
2
y2 y1 y2 y1 y2 y1
2my2 y1 4(y2 y1) 24m |1 0 4 | 3= =4+ =4-3=1， 点 D（1，0）， dD = = ，
y y 8m2 1 1 m
2 1 m2
P，Q是不同的两点， m2 2 2 2=64 -48（4+ m ）=16 m -16 12>0， m >12， S DPQ
1 1 4 (1 m
2)(m2 12) 6 m23 12 2
= |PQ|. dD = . = ，设 t= m 12，t （0， 2
2 2 m2 4 1 m2 m 4
6t 6 6 3
+ ）， S = = = ，当且仅当 t=4，即 m= 2 7 时，等号成立， DPQ DPQ
t 2 16 16 4
t 162 t.
t t
3
面积的最大值为 。（2）设 P（ x1， y1），Q（ x2， y2）， 直线 l的斜率不为 0，且过点 B（4，0）， 直
4
线 l的方程为： 2 2x=my+4由 x=my+4，得（m +4） y +8my
x2 2 8m
+ y =1，+12=0， y1 + y2 =- ，
4 m
2 4
12 y y
y1 . y2 = 点 P关于 X轴对称的点为P ， P （ x1，- y1）， 直线P Q的方程为，y- y
2 1
2 2
=
m 4 x2 x1
y (x x ) y x y x y x y x
(x- x2 )，令 y=0得 x= x2 -
2 2 1 = 2 2 1 2 2 2 2 1
y2 y1 y2 y1
y
= 1
(my2 4) y2 (my1 4) 2my= 2
y1 4(y2 y1) 24m=4+ =4-3=1为定值， 直线P Q经过 X轴上一定
y2 y1 y2 y 8m1
点 D，且定点 D的坐标为（1，0）。
（1题图） （2题图） （3题图）
x2 y2 15
8、已知椭圆 C： + =1（025 m2 4
（1）求 C的方程；
（2）若点 P在 C上，点 Q在直线 x=6上，且|BP|=|BQ|，BP BQ，求 APQ的面积（2020全国高考新课
标 III）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④求直线
方程的基本方法；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥两点之间的距离公式及运用；⑦三角形面积公式及运
用。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出m2的值就可得到椭圆的标准方程；
（2）设点 P（ x1， y1），Q（6， y2），根据等腰直角三角形的性质，直线垂直直线的性质和两点之间的距
离公式，结合问题条件得到关于 x1， y1， y2的方程组，求解方程组求出 x1， y1， y2的值，利用三角形的
面积公式通过运算就可求出 APQ的面积。
x2 y2 15 c2 15
【详细解答】（1） 椭圆 C： + =1（025 m2 4 a2 16
2 15 25 375 2 2 2 375 25 x
2 16y2
c = = ， 25= m + c ， m =25- = ，即椭圆 C的方程为： + =1；
16 16 16 16 25 25
（2）如图设点 P（ x1， y1），Q（6， y2）， A（-5，0），B（5，0），|BP|=|BQ|，BP BQ，点 P在 C上，
y1 y2 x
2
1 16y
2
2 2. =-1①， + 1 =1②， (x = 1 5) y1 (6 5)
2 y2 ③，联立①②③解得： x1 =3，2
x1 5 6 5 25 25
y1 =1， y2 =2，或 x1 =-3， y1 =1， y2 =8， P（3，1），Q（6，2），或 P（-3，1），Q（6，8），
(6 5)2|AQ|= (2 0)2 =5 5，或|AQ|= (6 5)2 (8 0)2
| 2 3 11 1 10 |
= 185，直线 AQ的方程为：2x-11y+10=0，或 8x-11y+40=0， d P =
4 121
5 | 8 ( 3) 11 1 40 | 185 1 1 5 5
= ，或d P = = ， S = |AQ|. d = 5 5 = , APQ P
5 64 121 37 2 2 5 2
1 1 185 5 5
或 S = |AQ|. d = 185P = , 综上所述 APQ的面积为 。 APQ
2 2 37 2 2
x2 y2 1
9、已知椭圆 C： + =1（a>b>0）过点M（2，3），点 A为其左顶点，且 AM的斜率为 （2020全国
a2 b2 2
高考新高考 II）。
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）N为椭圆上任意一点，求 AMN面积的最大值。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③求直线方程的基本方法；④点到直线的
距离公式及运用；⑤两点之间的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求三角函数最值的基本方
法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出a2，b2的值就可得到椭圆的标准方
程；（2）设点 N（x，y），根据椭圆的性质，点到直线的距离公式和两点之间的距离公式，结合问题条件求
出|AM|的值，得到点 N 到直线 AM的距离关于角 的三角函数式，由三角形的面积公式得到 AMN 面积
关于角 的三角函数式，利用求三角函数最值的基本方法就可求出 AMN面积的最大值。
x2 y2 1
【详细解答】（1） 椭圆 C： + =1（a>b>0）过点M（2，3），点 A为其左顶点，且 AM的斜率为 ，
a2 b2 2
4 9 3 0 3 1 x2 y2
+ =1①， = = ②，联立①②解得：a2 =16，b2 =12， 椭圆 C的标准方程为： + =1；
a2 b2 2 a 2 a 2 16 12
（2）如图设点 N（x，y）， 点 A（-4，0），点 N为椭圆 C上任意一点， 2|AM|= (2 4) (3 0)2 =3 5，
（ ， 3 ）（0.N 4cos 2 sin
| 4cos 4 3sin 4 |
360.）， 直线 AM的方程为：x-2y+4=0， dN =
1 4

4 | 2sin( ) 1| 4 | 2sin( ) 1|
= 6
1 1
， S AMN = |AM|. d = 3 5
6
N
5 2 2 5
3 5
=6 | 2sin( ) 1|，当且仅当 = ，即 = 时， S AMN取得最大值为 18，
6 6 2 3
AMN面积的最大值为 18。
『思考问题 2』
（1）【典例 2】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是多边
形面积的值（或取值范围或最值）；
（2）解答这类问题的基本思路是：：①设出两点的坐标和直线的斜率 k（注意考虑斜率不存在的情况，为了
避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，m R），运用点
斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于 x（或 y）的一元二次方程；
③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数 k（或 m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关
于参数 k（或 m）的式子；④运用多边形面积的相关知识把多边形的面积表示成关于参数的函数；⑤求出关
于参数的函数值（或值域或最值）；⑥得出问题的结果。
【典例 3】解答下列问题：
x2 y2
1、设双曲线 C： - =1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F（2，0），渐近线方程为 y= 3 x。
a2 b2
（1）求双曲线 C的方程；
（2）过 F的直线与 C的两条渐近线分别相交于 A，B两点，点 P（ x1，y1），Q（ x2，y2），在 C上，且 x1 > x2 >0，
y1 >0，过点 P且斜率为- 3的直线与过点 Q且斜率为 3的直线相交于点M，请从下面①②③中选取两个
作为条件，证明另一个条件成立。①M在 AB上；②PQ//AB，③|MA|=|MB|。注：若选择不同的组合分别解
答，则按第一个解答计分（2022全国高考新高考 II卷）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②求双曲线标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；
④已知直线上一点的坐标和斜率，求直线方程的基本方法；⑤两点之间距离公式及运用。
【解题思路】（1）根据双曲线的性质，运用求双曲线标准方程的基本方法，结合问题条件求出a2，b2的值
就可得到双曲线 C方程；（2）设直线 PQ的方程为 x=my+n，选取①②为条件，根据直线 AB过点 F（2，0），
2 2 3
得到直线 AB的方程为 x=my+2，分别联立直线AB和双曲线 C的渐近线方程，求出 A（ ， ），
1 3m 1 3m
2 2 3
B（ ，- ），联立直线 PQ和双曲线 C的方程得到关于 x的一元二次方程，由设而不求，整
1 3m 1 3m
体代入数学思想得到 x1 + x2， x1 . x2关于 k，n的表示式，从而得到点M的轨迹方程，由点M在直线 AB上
得到证明点M是线段 AB的中点，就可证明结论。
x2 y2
【详细解答】（1） 双曲线 C： - =1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F（2，0），渐近线方
a2 b2
b
程为 y= 3 x， a2 +b2 =4①， = 3 ②，联立①②解得：a2 =1，b2 =3， 双曲线 C
a
y2
的方程为 x2 - =1，（2）设直线 PQ的方程为 x=my+n，点M（ xM ， yM ），选取①②为条件， 直线 AB
3
过点 F（2，0），PQ//AB， 直线 AB的方程为 x=my+2，分别联立直线 AB
2 2 3 2 2 3 2
和双曲线C的渐近线方程解得：xA = ，yA = ，xB = ，yB =- ， A（ ，
1 3m 1 3m 1 3m 1 3m 1 3m
2 3 2 2 3
）， 2 2B（ ，- ），联立直线 PQ与双曲线 C的方程得：（3 m -1）y +6mnx+3 n2 -3=0，
1 3m 1 3m 1 3m
6mn 3n2 3
x1 + x2 =- ， x1 . x2 = ， x1 - x2 =
3m2 1 3m2 1
2 3 n2 3m22 1 y1 yM y2 y(x1 x2) 4x 3
M 3 y y
1x2 = ， =- ， = ， 1 M
3m2 1 x1 xM x2 xM
=- 3（ x1 xM ）①，y y = 32 M （ x2 xM ）②，①-②得：y1 - y2 =-2 3 xM - 3（ x1 + x2）=m（ x1 - x2），
m2n2 3m2 1 mn
xM = ，①+②得： y1 + y2 -2 yM = m（ x1 + x2）+2n-2 y 3M =- （ x1 - x2），
3m2 1
3m m2n2 3m2 1 3m2n
yM = =3m xM ， 点M的轨迹为直线 y=3mx，
3m2 1
2 2 2(1 3m) 2(1 3m) 4
xA + xB = + = = ， yA 2 2
1 3m 1 3m 1 3m 3m 1
2 3 2 3 2 3(1 3m) 2 3(1 3m) 12m
+ yB = - = = ，点M的坐标同时满足 xM =m y2 2 M +2
1 3m 1 3m 1 3m 3m 1
2 6m
和 yM =3m xM ， xM = ， yM = ， 点M是线段 AB的中点， |MA|=|MB|。
3m2 1 3m2 1
2、已知抛物线 ： y2C =2px（p＞0，p 4），过点 A（2，0）且斜率为 k的直线与抛物线 C相交于 P，Q两
点。
（1）设点 B在 x轴上，分别记直线 PB，QB的斜率为 k1， k2，若 k1 + k2 =0，求点 B的坐标；
| MN |
（2）过抛物线 C的焦点 F作直线 PQ的平行线与抛物线 C相交于M，N两点，求
| AP | . | AQ |
的值（成都市 2019级高三一诊）
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；③设而不求，整体代
入数学思想及运用；④弦长公式及运用；⑤两点之间距离公式及运用。
【解题思路】（1）根据抛物线的性质和已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件得
到关于 k，p的方程，求解方程就可求出点 B的坐标；（2）设M（ x1， y1），N（ x2， y2），联立直线与抛
物线的方程，得到关于 x 的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，运用弦长公式和两点之
| MN | | MN |
间的距离公式得到 关于 k，p的等式，从而求出 的值。
| AP | . | AQ | | AP | . | AQ |
【详细解答】（1）设 B（ x0，0），P（ x1， y1），Q（ x2， y2）， 直线过点 A（2，0）且斜率为 k， 直
2 p
线的方程为 y=k(x-2)，联立直线和抛物线 的方程得： y2C - y-4p=0， y1 + y2
k
2 p 2 py 2 py 2 py 2 py
= ， y1 . y2 =-4p， k1 =
1 ， k2 =
2 ， k1 + k2 =0，
1 + 2
k y21 2 px
2 2
0 y2 2 px0 y1 2 px
2
0 y2 2 px0
y y (y y ) 2 p
= 1 2 1 2 - x0（ y1 + y2）= （-2- x0）=0， x0 =-2， 点 B的坐标为（-2，0）；（2）设M（ x3，
2p k
p
y3），N（ x4， y4）， 直线过抛物线 C的焦点 F，且与直线 PQ的平行， 直线的方程为 y=k(x- )，联
2
2 p
立直线和抛物线 C的方程得： y2 2- y- p =0， y3 + y4
k
2 p 2 1 4p
2 2
2 2p(1 k ） 1 1
= ， y . y =- p ， |MN|= 1 . 4p = ， |AP|= 1 3 4 | y1 |，|AQ|= 1
k 2 2 2 k 2k k k k
2
(1 k 2） 4p(1 k 2） | MN | 2p(1 k 2）
| y2 |， |AP|.|AQ|= | y . y |= ， =
k 2
1 2
k 2 | AP | . | AQ | k 2
k 2 1
. = 。
4 p(1 k 2） 2
x2 y2
3、（理）已知椭圆 E： =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点 P在椭圆
a2 b2
E上，P F2 F1 F2，且|P F1 |=3|P F2 |。
（1）求椭圆 E的标准方程；
（2）设直线 l：x=my+1(m R)与椭圆 E相较于 ， 两点，与圆 2 y
2 2
A B x + = a 相较于 C，D两点，求
2
|AB|.|CD|
的取值范围。
x2 y2 2
（文）已知椭圆 E： =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点 P（1， ）
a2 b2 2
在椭圆 E上。
（1）求椭圆 E的标准方程；
2
（2）设直线 ： 2 2 2l x=my+1(m R)与椭圆 E相较于 A，B两点，与圆 x + y = a 相较于 C，D两点，当|AB|.|CD|
的值为 8 2时，求直线 l的方程（2020成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④设而不
求，整体代入数学思想及运用；⑤

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