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巧用换元法 妙解三角函数
三角函数是高中数学的重要内容.换元法是一种非常有效的解题方法，尤其是处理一些复杂的问题，效果明显.合理代换往往能简化题目的信息，优化解题过程.当三角函数遇上换元法，往往可以提现解题的优越性，把复杂问题轻松解决.
1.一般到三角
例1(全国高中数学联赛河南预赛)已知，求函数的值域.
解：由得
则并且易知
由三角函数有界性可得：，
从而解得：
评析：引进三角函数，体现“转化”的重要数学思想方法，同时要注意的角的取值范围.
例2：(第三届“希望杯”竞赛）已知且，求证.
证明：
则已知可化为：.
即
从而有，则
故原式得证.
2.三角到一般
例3.已知，求证：
解：令.
则由已知得：
整理即得：，从而得 ，
那么
从而原式得证.
评析：借助同角三角函数平方和关系式，巧妙转换，化三角函数为一般，从而使问题简化.
例4.求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值.
解：设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°
y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，则
x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°
=－2sin100°sin60°+sin100°=0
∴x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=.
点评：换元构造对偶式，转化为函数问题，使解法更简单更精妙.
三角换元法往往侧重于一般的函数题转化为三角函数问题，事实上两者可以相互转换，要根据题意恰当的转换，充分发挥各自的威力.
下面变式供同学们练习：
变式练习：1.已知函数，求的值域.
2.
3.求值：
参考答案：1. 2.
3. （提示：令，. 由得
由得）

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