资源简介

第04讲 复数 艺术体育生夯实基础突破90讲义
一、热考点梳理
强记清单
（一）、基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.
（2）形如的数叫复数，记作.全体复数所成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示
①复数叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
当两个复数有虚数时，不可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小.
②复数的分类
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：
③两个复数相等（两复数对应同一点）
④复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，. 特别的，时，复数是一个
它的模就等于(的绝对值)．类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示复数z1, z2对应的点之间的离.
a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
（二）、基本性质
1.复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数.
（3）.
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
2.复数的几何意义
（1）复数与复平面上的点一一对应;
（2）复数与复平面向量一一对应；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
典例热身
1．【2022年新高考1卷】若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．【2022年新高考2卷】（ ）
A． B． C． D．
3．【2021年新高考1卷】已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．【2021年新高考1卷】复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．【2022年全国甲卷】若．则（ ）
A． B． C． D．
6．【2022年全国甲卷】若，则（ ）
A． B． C． D．
7．【2022年全国乙卷】设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
8．【2021年甲卷文科】已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．【2021年乙卷文科】设，则（ ）
A． B． C． D．
10．【2021年乙卷理科】设，则（ ）
A． B． C． D．
11．【2020年新高考1卷（山东卷）】（ ）
A．1 B． 1
C．i D． i
12．【2020年新高考2卷（海南卷）】=（ ）
A． B． C． D．
达标自检
（一）单选题
1．【2020年新课标3卷文科】若，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
2、（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知复数，那么的虚部为（ ）
A． B． C．4 D．
3、（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（ ）
A． B． C． D．
4、（2022·安徽黄山·二模（理））已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·模拟预测）已知，，，复数的实部为，虚部为，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021 北京）若复数z满足（1﹣i） z＝2，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数的共轭复数为，若（i为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式(是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识，试判断表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9、（2022·山西晋中·模拟预测（理））已知，（为虚数单位），则等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
10、（2022·浙江·高三专题练习）已知复数，，并且，则的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
11、（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））若，其中，为虚数单位，则实数的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12、（2022·福建宁德·模拟预测）若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
13、（2022·陕西西安·三模（理））已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
14、（2022·江苏南通·模拟预测）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
15、（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））已知是虚数单位，复数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
16、（2022·全国·高三专题练习（理））已知复数3–2i是关于x的方程的一个根，则实数m，n的值分别为（ ）
A．6，5 B．12，10 C．12，26 D．24，26
（二）、多选题
17．（2022·江苏·高三专题练习）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是
A．的虚部为 B．
C．为纯虚数 D．的共轭复数为
18．（2021·全国·高三专题练习）设是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
19、（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）若为复数，则（ ）
A． B．
C． D．
20．（2021·全国·高三专题练习）设是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
、填空题
21．【2020年新课标2卷理科】设复数，满足，，则=__________.
22．【2020年全国2卷理科15】设复数，满足，，则=__________.
五、自评（自我总结）
第04讲 复数掌握情况自我鉴定表
考点内容 掌握情况
考点一 复数的有关概念 负数的实部与虚部 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
共轭复数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
复数相等 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
复数分类（实数、虚数、纯虚数、非纯虚数） 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
待定系数求虚数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点二 复数的模 求复数的模 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
求点的轨迹 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
求模的最值 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点三 复数的四则运算 负数的运算 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
复数范围内方程根的问题 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点四 复数的几何意义 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
教师指导意见与措施第04讲 复数 艺术体育生夯实基础突破90讲义
一、热考点梳理
强记清单
（一）、基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.
（2）形如的数叫复数，记作.全体复数所成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示
①复数叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
当两个复数有虚数时，不可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小.
②复数的分类
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：
③两个复数相等（两复数对应同一点）
④复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，. 特别的，时，复数是一个
它的模就等于(的绝对值)．类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示复数z1, z2对应的点之间的离.
a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
（二）、基本性质
1.复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数.
（3）.
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
2.复数的几何意义
（1）复数与复平面上的点一一对应;
（2）复数与复平面向量一一对应；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
典例热身
1．【2022年新高考1卷】若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】
由题设有，故，故，
故选：D
2．【2022年新高考2卷】（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的乘法可求.
【详解】
，
故选：D.
3．【2021年新高考1卷】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】
因为，故，故
故选：C.
4．【2021年新高考1卷】复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】
，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
5．【2022年全国甲卷】若．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】
因为，所以，所以．
故选：D.
6．【2022年全国甲卷】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
7．【2022年全国乙卷】设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】
因为R，，所以，解得：．
故选：A.
8．【2021年甲卷文科】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】
，
.
故选：B.
9．【2021年乙卷文科】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】
由题意可得：.
故选：C.
10．【2021年乙卷理科】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】
设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
11．【2020年新高考1卷（山东卷）】（ ）
A．1 B． 1
C．i D． i
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数除法法则进行计算.
【详解】
故选：D
【点睛】
本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．【2020年新高考2卷（海南卷）】=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接计算出答案即可.
【详解】
故选：B
达标自检
（一）单选题
1．【2020年新课标3卷文科】若，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.
【详解】
因为，所以.
故选：D
2、（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知复数，那么的虚部为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
由，即的虚部为4，
故选：C.
3、（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
【解析】
【详解】
，所以，解得，
故选：B.
4、（2022·安徽黄山·二模（理））已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
【解析】
【详解】
，，
，故复数的虚部为.
故选：A
5．（2022·全国·模拟预测）已知，，，复数的实部为，虚部为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由复数的除法运算化简复数后结合复数的定义可得．
【解析】
【详解】
，所以，，
所以.
故选：A.
6．（2021 北京）若复数z满足（1﹣i） z＝2，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
【答案】D
【分析】
【解析】
【详解】
因为（1﹣i） z＝2，
所以．
故选：D．
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数的共轭复数为，若（i为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用复数相等列方程组，解方程组求得，由此求得的虚部.
【解析】
【详解】
设，，则，
∵，
∴，
即，解得，
∴，
故复数的虚部为.
故选：D
8．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式(是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识，试判断表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】
根据欧拉公式，化简复数得的，结合复数的几何意义，即可求解.
【解析】
【详解】
由题意，可得，
所以复数表示的复数在复平面内对应的点为位于第二象限．
故选：B.
9、（2022·山西晋中·模拟预测（理））已知，（为虚数单位），则等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
【解析】
【详解】，所以.
故选：B.
10、（2022·浙江·高三专题练习）已知复数，，并且，则的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
【解析】
【详解】
∵，∴，化为，
∴，
∵，
∴当时，取得最小值；当时，取得最大值7，
∴，
∴的取值范围是，
故选：A.
11、（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））若，其中，为虚数单位，则实数的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
由题意得，得，得，
故选：C．
12、（2022·福建宁德·模拟预测）若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
因为，所以，
故设，则，
所以.
故选：D
13、（2022·陕西西安·三模（理））已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由，
所以，
故选：B
14、（2022·江苏南通·模拟预测）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
令且，则，
所以，即对应区域是圆心为，半径分别为1，2的两个同心圆的面积差，
所以区域的面积为.
故选：C
15、（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））已知是虚数单位，复数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
复数满足，设，，则，即，
复平面内复数对应的点在圆上，
在复平面内的几何意义是圆上的点与的距离，
则的最小值为：，
故选：A．
16、（2022·全国·高三专题练习（理））已知复数3–2i是关于x的方程的一个根，则实数m，n的值分别为（ ）
A．6，5 B．12，10 C．12，26 D．24，26
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
复数是关于的方程的一个根，
则复数也是关于的方程的一个根，
，．
，．
故选：．
（二）、多选题
17．（2022·江苏·高三专题练习）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是
A．的虚部为 B．
C．为纯虚数 D．的共轭复数为
【答案】ABC
【分析】
首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.
【解析】
【详解】
因为，
对于A：的虚部为，正确；
对于B：模长，正确；
对于C：因为，故为纯虚数，正确；
对于D：的共轭复数为，错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.
18．（2021·全国·高三专题练习）设是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】
对于A，B，利用复数模和共轭复数的意义即可判断；对于C，设出复数和的代数形式，根据给定条件计算判断；对于D，举特例说明并判断作答.
【解析】
【详解】
对于A，因，则，即，则为真，A正确；
对于B，因，则和互为共轭复数，则为真，B正确；
对于C，设，因，则，即，
于是得，则为真，C正确；
对于D，当，有，而，即为假，D不正确.
故选：ABC
19、（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）若为复数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
【解析】
【详解】
对于A选项，当，时，
，，，
则，故A错误；
对于B选项，当，时，
，
则
，
因为，，
则，故B正确；
对于C选项，若，当时，，
，则，即，故C错误；
对于D选项，设，则，所以，
，即，故D正确；
故选：BD
20．（2021·全国·高三专题练习）设是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】
对于A，B，利用复数模和共轭复数的意义即可判断；对于C，设出复数和的代数形式，根据给定条件计算判断；对于D，举特例说明并判断作答.
【解析】
【详解】
对于A，因，则，即，则为真，A正确；
对于B，因，则和互为共轭复数，则为真，B正确；
对于C，设，因，则，即，
于是得，则为真，C正确；
对于D，当，有，而，即为假，D不正确.
故选：ABC
、填空题
21．【2020年新课标2卷理科】设复数，满足，，则=__________.
【答案】
【解析】
【分析】
方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.
【详解】
方法一：设，，
，
，又，所以，，
.
故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，
∴.
故答案为：.
22．【2020年全国2卷理科15】设复数，满足，，则=__________.
【答案】
【分析】
【解析】
【详解】
，可设，，
，
，两式平方作和得：，
化简得：，
.
故答案为：.
五、自评（自我总结）
第04讲 复数掌握情况自我鉴定表
考点内容 掌握情况
考点一 复数的有关概念 负数的实部与虚部 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
共轭复数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
复数相等 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
复数分类（实数、虚数、纯虚数、非纯虚数） 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
待定系数求虚数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点二 复数的模 求复数的模 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
求点的轨迹 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
求模的最值 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点三 复数的四则运算 负数的运算 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
复数范围内方程根的问题 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点四 复数的几何意义 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
教师指导意见与措施

展开更多......

收起↑