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2022-2023学年北师大版九年级数学
第一章《特殊平行四边形》基础过关训练
一、单选题
1．若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ）
A．矩形 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
2．如图，剪两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB＝BC B．∠DAB+∠ABC＝180°
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD
3．如图，菱形中，对角线相交于点O，E为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
4．如图，菱形的边长为，对角线，交于点，，则菱形的面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
5．在矩形ABCD中，AD＝3AB，点G、H分别在AD、BC上，连BG、DH，且BG∥DH．当＝（ ）时，四边形BHDG为菱形
A． B． C． D．
6．如图，点为矩形的对称中心，动点从点出发沿向点移动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形一矩形一平行四边形一矩形 B．平行四边形一矩形一菱形一矩形
C．平行四边形一菱形一平行四边形一矩形 D．平行四边形一菱形一平行四边形
7．如图，在△ABC中，AC=BC，D、E分别是边AB、AC的中点，△ADE≌△CFE，则四边形ADCF一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定
8．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D = 90°，BC'=，则线段C'D的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
10．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，，下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形是平行四边形
B．如果，那么四边形是矩形
C．如果平分，那么四边形是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
二、填空题
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，E是CD的中点，则OE的长等于________．
12．在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，添加一个条件________，即可判定该四边形是菱形．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长为______cm．
14．如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果，，则EC的长_________．
15．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，过点任意作一条直线，分别交，于点，，则阴影部分的面积是______．
三、解答题
16．如图，在中，，为的中点，AE//CD，CE//AB，连接交于点．求证：四边形为菱形．
17．如图，在同一平面内，△BEC绕点B逆时针旋转60°得到△BAD，且AB⊥BC，BE＝CE．连接DE．
（1）求证：△BDE≌△BCE；
（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE．
（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．
19．如图，在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为，则当t为何值时，四边形是矩形？
20．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
21．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数．
22．如图，四边形ABCD是正方形，E是AD上任意一点，延长BA到F，使得AF＝AE，连接DF：
（1）旋转△ADF可得到哪个三角形？
（2）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
（3）BE与DF的数量关系、位置关系如何？为什么？
参考答案
1．C
2．A
3．A
4．D
5．A
6．C
7．B
8．B
9．D
10．D
11．4
12．AB＝AD（答案不唯一）
13．8
14．
15．1
16．解：证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D是AB边的中点，
∴CD=AB=DA，
∴四边形ADCE为菱形．
17．解： (1)证明：∵△BEC绕点B逆时针旋转60°得到△BAD，
∴AD＝EC，BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°，
又∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°
∴∠ABD＝∠DBE＝∠CBE＝30°
∵BE=BE
∴△BDE≌△BCE(SAS)
(2) 四边形ABED是菱形．
理由：∵△BDE≌△BCE，
∴DE＝CE，
∵BE＝CE，AB＝EB，AD＝EC，
∴AB＝EB＝DE＝AD，
∴四边形ABED是菱形．
18．（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，
∵AE＝DE，
∴CE＝DE；
（2）如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∵CE＝DE＝AE＝1，
∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，
∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴菱形的边长为．
19．解：由题意得：AP=4t，DQ=20-t；
∵四边形APQD是矩形，
∴AP=DQ，即4t=20-t，
解得：t=4（s）．
即当t=4s时，四边形APQD是矩形．
20．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的中点是O，
∴OA＝OC，
在和中，
，
，
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE，
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD，
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPE＝∠EDF＝90°．
22．解：（1）旋转可得
（2）旋转中心是点 顺时针旋转了
（3） 理由如下：
如图，延长交于
四边形ABCD是正方形，

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