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2023届高考数学一轮复习：导数与三角函数
一、证明极值点、零点个数问题
【例1】已知函数，为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点.
自主训练
已知函数，为的导数．证明：有且仅有2个零点．
二、已知有极值点、零点（个数），求参数取值范围
【例2】已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）当时，证明：对；
（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围.
自主练习
已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点.
三、在定区间上不等式恒成立，求参数取值范围
【例3】已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
自主练习
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围.
四、综合练习
1.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3.已知函数，（）．
（1）当时，求函数的极小值点；
（2）当时，若对一切恒成立，求实数的取值范围．
2023届高考数学一轮复习：导数与三角函数
一、证明极值点、零点个数问题
【例1】已知函数，为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点.
【解析】：
（1）由题意知：定义域为：且
令，
，
在上单调递减，在上单调递减
在上单调递减
又，
，使得
当时，；时，
即在上单调递增；在上单调递减
则为唯一的极大值点
即：在区间上存在唯一的极大值点.
自主训练
已知函数，为的导数．证明：有且仅有2个零点．
【解析】，
①当时，由（1）可知在上单调递增
在上单调递减
又
为在上的唯一零点
②当时，在上单调递增，在上单调递减
又
在上单调递增，此时，不存在零点
又
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，此时不存在零点
③当时，单调递减，单调递减
在上单调递减
又，
即，又在上单调递减
在上存在唯一零点
④当时，，
即在上不存在零点
综上所述：有且仅有个零点.
二、已知有极值点、零点（个数），求参数取值范围
【例2】已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）当时，证明：对；
（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围.
【答案】：（1）见证明；（2）.
【解析】：(1)当时，，于是，.
又因为，当时，且.
故当时，，即.
所以，函数为上的增函数，于是，.
因此，对，；
(2) 方法一：由题意在上存在极值，则在上存在零点，
①当时，为上的增函数，
注意到，，
所以，存在唯一实数，使得成立.
于是，当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数；
所以为函数的极小值点；
②当时，在上成立，
所以在上单调递增，所以在上没有极值；
③当时，在上成立，
所以在上单调递减，所以在上没有极值，
综上所述，使在上存在极值的的取值范围是.
方法二：由题意，函数在上存在极值，则在上存在零点.
即在上存在零点.
设，，则由单调性的性质可得为上的减函数.
即的值域为，所以，当实数时，在上存在零点.
下面证明，当时，函数在上存在极值.
事实上，当时，为上的增函数，
注意到，，所以，存在唯一实数，
使得成立.于是，当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数；
即为函数的极小值点.
综上所述，当时，函数在上存在极值.
自主练习
已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点.
【解析】
令，则
当时，令，解得：
当时，；当时，
在上单调递增；在上单调递减
又，，
即当时，，此时无零点，即无零点
，使得
又在上单调递减 为，即在上的唯一零点，综上所述：在区间存在唯一零点
三、在定区间上不等式恒成立，求参数取值范围
【例3】已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【解析】若时，，即恒成立
令
则，
在上单调递增；在上单调递减
且，，
，
①当时，，即在上恒成立
在上单调递增
，即，此时恒成立
②当时，，，
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，即恒成立
③当时，，
，使得
在上单调递减，在上单调递增
时，，可知不恒成立
④当时，
在上单调递减
可知不恒成立
综上所述：
自主练习
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调递增区间为，，
单调递减区间为，；
（2）.
【解析】：(1) 由于，所以
.
当，即时，；
当，即时，.
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2) 令，要使总成立，只需时.
对求导得，
令，则，()
所以在上为增函数，所以.
对分类讨论：
① 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；
② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，，所以，不符合题意；
③ 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.
综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.
四、综合练习
1.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：对恒成立，
故，即恒成立，
即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．
2.设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意知：的极值为，所以，因为，
所以，所以即，所以，即
3，而已知，所以3，故，解得或，故选C.
3.已知函数，（）．
（1）当时，求函数的极小值点；
（2）当时，若对一切恒成立，求实数的取值范围．
【答案】：（1）；（2）．
【解析】：
（1）当时，，则．
当时，，所以在上单调递增，故无极值点；
当时，由 ，得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
所以的极小值点为．
（2）当时，可化为，即，
令，则．
当时，对于一切，有，，
所以恒成立．
下面考虑时的情况．
当时，对于一切，有，，所以恒成立，
所以在上是增函数，所以，符合题意；
当时，，，由零点存在性定理可知，一定存在，使得，且当时，，所以在上单调递减，从而有：时，，不符合题意．
综上可知，的取值范围是．

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