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立体几何——球的切接问题
类型一：对棱相等模型
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以.
【例1】三棱锥中，已知，，，那么该三棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例2】已知三棱锥，三组对棱两两相等，且，，若三棱锥的外接球表面积为．则　　．
【例3】在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为　　．
类型二、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【例1】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于　　．
【例2】在直三棱柱中，，，，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为　　
A．624 B．576 C．672 D．720
【例3】正四棱柱中，，二面角的大小为，则该正四棱柱外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例4】已知直三棱柱的高为，，，则该三棱柱外接球的表面积为　　；
【例5】直三棱柱中，，，则该三棱柱的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
类型三：直棱锥模型（一条直线垂直于一个平面）
如图，平面，求外接球半径.
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②.
【例1】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥为阳马，底面为矩形，平面，，，二面角为，则四棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例2】三棱锥中，平面且，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例3】三棱锥中，，，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为　　
A． B． C． D．
【例4】在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例5】在三棱锥中，平面，，，，设为中点，且直线与平面所成角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为　　．
【例6】已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且AB＝BC＝AD＝1，BD＝AC＝，BC⊥AD，则球O的体积为________．
类型四：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
【例1】四面体ABCD的四个顶点都在球O上且AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝4，AD＝2，则球O的表面积为(　　)
A. B. C．30π D．40π
【例2】已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为(　　)
A. B. C. D.
【例3】已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　．
【例4】在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　．
【例5】在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为　　．
【例6】已知空间四边形，，，，，且平面平面，则该几何体的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例7】在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为　　
A． B． C． D．
【例8】在三棱锥中，与都是正三角形，平面平面，若该三棱锥的外接球的体积为，则边长为　　
A． B． C． D．6
【例9】已知矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AD＝2，AB＝3，AF＝，M为EF的中点，求多面体M－ABCD的外接球的表面积和体积．
类型五：二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
【例1】如图所示，在三棱锥S－ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A－BC－S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为________.
【例2】在等腰直角中，，，为斜边的高，将沿折叠，使二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为　　．
【例3】在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为　　．
【例4】已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例5】在正方体中，为棱上一点，且，若二面角为，则四面体的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例6】在菱形中，，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球心为，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例7】在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积是　　
A． B． C． D．
【例8】在菱形ABCD中，A＝，AB＝4，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若取BD中点为E，此时∠PEC＝，三棱锥P－BCD的外接球心为O，则三棱锥P－BCD的外接球的表面积为________．
类型六：内切球
(1)题设：如图①，三棱锥P－ABC是正三棱锥，求其内切球的半径．
图①
第一步：先画出内切球的截面图，E，H分别是两个三角形的外心；
第二步：求DH＝CD，PO＝PH－r，PD是侧面△ABP的高；
第三步：由△POE∽△PDH，建立等式：＝，解出r．
(2)题设：如图②，四棱锥P－ABC是正四棱锥，求其内切球的半径．
图②
第一步：先画出内切球的截面图，P，O，H三点共线；
第二步：求FH＝BC，PO＝PH－r，PF是侧面△PCD的高；
第三步：由△POG∽△PFH，建立等式：＝，解出r．
(3)题设：三棱锥P－ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径．
方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；
第三步：解出r＝
【例1】已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为_______．
【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．
【例3】在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)
A．4π B． C．6π D．
【例4】四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是 (　　)
A．6 B．5 C． D．
【例5】所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角．例如：正四面体(即正棱锥体)的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的．由棱长为1的正方体的六个表面的中心可构成一正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为________．
【例6】已知正四面体ABCD的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体ABCD，则所得截面的面积为(　　)
A．27 B．27
C．54 D．54

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