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专题十　几何动态探究题
1. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E，F分别是边AB，BC上的动点，在运动过程中，始终保持AE＝BF，若AB＝2，则EF的取值范围为________．
第1题图
2.如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F，若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为________．
第2题图
3. 如图，在Rt△ABC中， AB＝AC＝4 cm，∠BAC＝90°，O为边BC上一点，OA＝OB＝OC，点M、N分别在边AB、AC上运动，且始终保持AN＝BM.在运动过程中，四边形AMON的面积为________cm2.
第3题图
4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF.则线段OF长的最小值为________．
第4题图
5. 如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，AC＝5，BC＝4，则AB的长为________；若E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于点F，当DE∥AC时，tan∠BCD的值为________．
第5题图
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4 cm，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AB′C′，直线BB′、CC′交于点D，则CD的长为________cm.
第6题图
7. 如图，四边形ABCD是正方形，且AB＝，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转后得到正方形AEFG，在旋转过程中，当点A、G、C三点共线时，则点F到BC的距离为________．
第7题图
8.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是________．
第8题图
9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC.则EC＋GC的最小值为________．
第9题图
10. 如图，在菱形ABCD中，tanA＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为________．
第10题图
11.如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的中线，∠ADC＝60°，BC＝3AD.将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的点B′处，连接AB′交BC于点E，那么CE∶BE的值为________．
第11题图
12.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是________．
第12题图
13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN，CN，将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为________．
　第13题图
14. 如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向以每秒1个单位的速度平移得到△EFG(点E在线段AC上，运动到点C停止运动，且不与点A重合)，同时，点H从点C出发以相同的速度沿CB方向移动，当△EFG停止平移时，点H也停止移动，连接EH，GH，当EH⊥GH时，的值为________．
　
第14题图
15.如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接AE，将△ADE沿AE翻折至△AEF，连接BF并延长BF交AE延长线于点P，当PF＝BF时，＝________．
第15题图
16. 如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB＝NC.连接AM、AN、MN，MN交AC于点P，则点P到直线CD的距离的最大值为________．
第16题图
17. 如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为________；四边形PCDQ周长的最小值为________．
第17题图
18.如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，F是边AD上一点，连接BF，将△ABF沿BF折叠使点A落在G点，连接AG并延长交CD于点E，连接GD.若△DEG是以DG为腰的等腰三角形，则AF的长为________．
第18题图
19. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，D是线段AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接EF，则点D在运动过程中，EF的最大值为________，最小值为________．
第19题图
20. 如图①，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图②，点C落在点C′处，最后按图③所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG.若原正方形纸片的边长为6 cm，则FG＝________ cm.
第20题图
21. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，CD⊥AB，点P是直线CD上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转120°得到PA′，点M、N分别是线段AC、PA′的中点，连接MN，则线段MN的最小值为________．
第21题图
22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AB边上一点，且AE＝4，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点G，连接AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为________，此时BF的长为________．
第22题图
专题十　几何动态探究题
1. ≤EF≤2　【解析】如解图，连接BD，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠DBA＝∠C＝60°，AB＝BD＝BC，∵AE＝BF，∴BE＝CF，∴△DBE≌△DCF(SAS)．∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，∵∠EDF＝∠EDB＋∠BDF＝∠CDF＋∠BDF＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴EF＝DE，当点E与点H重合时，DE的值最小，此时DE＝AD·sinA＝，当点E与点A(或点B)重合时，DE的长最大，此时DE＝2，∴EF的取值范围为≤EF≤2.
第1题解图
2. 　【解析】∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝2，∴S△ADE＝4，由翻折的性质得△ADB≌△ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，∴(AF＋DF)·BF＝4，即(3＋DF)×2＝4，∴DF＝1，∴DB＝＝＝，设点F到BD的距离为h，则有BD·h＝BF·DF，即×·h＝×2×1，∴h＝.
3. 4　【解析】∵AC＝AB，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵OA＝OB＝OC，∴∠BAO＝∠CAO＝45°，∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠B＝∠BAO＝∠CAO，在△AON和△BOM中，，∴△AON≌△BOM(SAS)，∴S△AON＝S△BOM，∴S△AON＋S△AOM＝S△BOM＋S△AOM，即S四边形AMON＝S△AOB，∴S四边形AMON＝S△ABC＝××4×4＝4 cm2.
4. 2－2　【解析】如解图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得到DM，连接FM，OM，∵ ∠EDF＝ ∠ODM＝90°，∴ ∠EDO＝∠FDM，在△EDO与△FDM中，，∴ △EDO≌△FDM(SAS) ，∴ FM＝OE＝2，∵在正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，∴ OC＝2，∴OD＝＝2 ，∴OM＝OD＝2，∵OF≥OM－MF，∴OF≥2－2 ，∴线段OF长的最小值为2－2.
第4题解图
5. 7；　【解析】如解图，过点A作AM⊥BC于点M.在Rt△ABM中，∵∠AMB＝90°，∠B＝45°，∴BM＝AM，AB＝AM，设AM＝BM＝x，在Rt△AMC中，∵AC2＝AM2＋CM2，∴52＝x2＋(4－x)2，解得x＝或(舍)，∴AB＝x＝7.过点F作FN⊥BC于点N.∵DE∥AC，∴∠ACF＝∠D＝∠B，∵∠CAF＝∠CAB，∴△ACF∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AF·AB，∴AF＝，∴BF＝AB－AF＝7－＝，∴BN＝FN＝，∴CN＝BC－BN＝4－＝，∴tan∠BCD＝＝＝.
第5题解图
6. 2 cm　【解析】如解图，过点C作CE⊥BD交DB的延长线于点E，由旋转的性质得∠B′AB＝∠C′AC＝30°，AB′＝AB，AC′＝AC，∴∠B′BA＝∠C′CA＝×(180°－30°)＝75°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4 cm，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DCB＝90°－∠C′CA＝15°，∴∠CDE＝180°－∠B′BA－∠ABC－∠DCB＝180°－75°－45°－15°＝45°，∴∠DCE＝∠CDE＝45°，DE＝CE，∴∠BCE＝∠DCE－∠DCB＝45°－15°＝30°，在Rt△BCE中，BC＝4 cm，∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝2 cm，∴CE＝＝＝2 cm，∴CD＝＝＝2 cm.
第6题解图
7. 2－或2＋　【解析】由旋转的性质可知AG＝FG＝AB＝，AF＝AG＝2.分两种情况讨论：①如解图①，当点G在线段AC上时，连接AC，BF，可知点B在线段AF上，即点F到BC的距离为BF的长，∴BF＝AF－AB＝2－；②如解图②，当点G在CA的延长线上时，连接AC，AF，此时点F在BA的延长线上，即点F到BC的距离为BF的长，∴BF＝AB＋AF＝2＋.综上所述，点F到BC的距离为2－或2＋.
图①
图②
第7题解图
8. －1　【解析】如解图①，以点M为圆心，AM长为半径作圆，过点M作MH⊥CD交CD的延长线于点H，连接MC，∵菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，M是AD的中点，∴MA＝MA′＝MD＝AD＝1，∴点A′在⊙M上运动，由解图①得，只有当A′运动到与点M、C三点共线时，A′C的长度最小，∵CH∥AB，∴∠MDH＝∠DAB＝60°，在Rt△MDH中，DH＝MD·cos∠MDH＝，MH＝MD·sin∠MDH＝，在Rt△MHC中，HC＝DH＋DC＝＋2＝，由勾股定理得MC＝＝，此时A′C＝MC－MA′＝－1，即A′C长度的最小值为－1.
第8题解图①
【一题多解】如解图②，连接MC，过点M作MH⊥CD交CD的延长线于点H，由题意可知，MA＝MA′＝AD，在△ MA′C中，由三角形三边关系可知，一定存在MA′＋A′C≥MC，∴当点M、A′、C三点共线时，A′C的长度最小，此时A′C＝MC－MA′，其余解法同上．
第8题解图②
9. 4　【解析】如解图，连接AE并延长，作点D关于AE的对称点H，连接EH，ED，过点H作HM⊥CD，与CD的延长线交于点M，则DE＝EH，∵△ABD沿射线BD平移得△EGF，∴AE∥BD，AB＝EG，AB∥EG，∵AB∥CD，AB＝CD＝4，∴EG∥CD，EG＝CD＝4，∴四边形CDEG是平行四边形，∴CG＝DE＝EH，∴当点C，E，H三点共线时，EC＋GC取得最小值，最小值为CH的长．∵AE∥BD，AB∥CD，∴四边形ABDM为平行四边形，∴DM＝AB＝4，∠DAM＝45°，∴∠ADH＝45°，∴∠MDH＝45°，∴DM＝HM＝4，∴CH＝＝＝4，∴EC＋GC的最小值为4.
第9题解图
10. 　【解析】如解图，延长NF与DC交于点H.由折叠的性质得∠E＝∠A，∠EFN＝∠B，EM＝AM，EF＝AB.∵EF⊥AD，∴∠MDE＝90°.在Rt△MDE中，tanE＝＝tanA＝，设DM＝4k，则DE＝3k，EM＝5k.∴AM＝5k，AD＝9k.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝AD＝9k，∠C＝∠A，AB∥CD，AD∥BC.∴∠A＋∠ADC＝180°，∠A＋∠B＝180°.∵∠ADF＝90°，∴∠A＋∠FDH＝90°.∵∠DFH＋∠EFN＝180°，∠A＋∠B＝180°，∠EFN＝∠B，∴∠A＝∠DFH.∴∠DFH＋∠FDH＝90°.∴∠DHF＝90°.∵EF＝AB＝9k，DE＝3k，∴DF＝6k.在Rt△DHF中，tan∠DFH＝tanA＝，易得sin∠DFH＝，∴DH＝DF·sin∠DFH＝k.∴HC＝9k－k＝k.在Rt△CHN中，tanC＝ tanA＝，易得cosC＝.∴NC＝＝7k.∴BN＝9k－7k＝2k.∴＝＝.
第10题解图
11. 　【解析】如解图，过点A作AF⊥BC于点F，过点B′作B′G⊥BC于点G，∵∠ADC＝60°，∴∠ADB＝120°，由折叠的性质得，∠ADB′＝120°，∠CDB′＝60°，B′D＝BD，∵BC＝3AD，AD是BC边上的中线，∴设AD＝m，则BC＝3m，BD＝B′D＝m，在Rt△ADF中，DF＝AD·cos60°＝m，AF＝AD·sin60°＝m，∴BF＝BD＋DF＝2m，CF＝BC－BF＝m，在Rt△B′DG中，DG＝B′D·cos60°＝m，B′G＝B′D·sin60°＝m，∴FG＝DG－DF＝m，∵AF⊥BC，B′G⊥BC，∴AF∥B′G，∴△AFE∽△B′GE ∴＝＝＝，∵FE＋GE＝FG＝m，∴FE＝m，∴BE＝BF＋FE＝m，CE＝CF－FE＝m，∴＝＝.
第11题解图
12. 　【解析】如解图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，连接AT，使得TA＝TK.由旋转的性质得BE＝BF，∠EBF＝60°，∵△ABK为等边三角形，∴BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE(SAS)，∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，即AF最小．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK＋∠AKT＝30°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，在Rt△AEK中，AE2＋EK2＝AK2，∴a2＋(2a＋a)2＝22，∴a＝，∴EK＝2a＋a＝，∴AF的最小值为.
第12题解图
13. 　【解析】如解图，连接CM，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠D＝90°，由折叠的性质得，AM＝PM，∠MPN＝∠A＝90°，∠AMN＝∠PMN，∴∠CPM＝90°，∵点M为AD的中点，∴AM＝DM＝AD＝2，∴PM＝AM＝DM＝2，在Rt△CPM与Rt△CDM中，，∴Rt△CPM ≌Rt△CDM(HL)，∴CP＝CD＝3，∠CMP＝∠CMD，∴∠NMC＝∠NMP＋∠CMP＝(∠AMP＋∠DMP)＝90°，∴CM＝＝＝，∵∠CPM＝∠CMN＝90°，∠MCP＝∠NCM，∴△CMP∽△CNM，∴＝，即＝，∴CN＝.
第13题解图
14. 　【解析】如解图，过点E作EM⊥BC的于点M，过点G作GN⊥BC交BC的延长线于点N，∴四边形EMNG是矩形，∴EG＝MN＝5，EM＝GN，∵∠BAC＝∠EMH＝90°，∠ACB＝∠MCE，∴△ABC∽△MEC，∴＝＝，∵AB＝3，BC＝5，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝4，设运动时间为t(0＜t≤4)，则AE＝CH＝t，CE＝4－t，∴＝＝，∴EM＝，CM＝，∴HN＝5－MH＝5－(CM－CH)＝5－(－t)＝.∵EH⊥GH，∴∠EHG＝90°，∴∠EHM＋∠GHN＝90°，又∵EM⊥BC，∴∠EHM＋∠MEH＝90°，∴∠GHN＝∠MEH，又∵∠EMH＝∠HNG＝90°，∴△EMH∽△HNG，∴＝，即＝，整理得2t2－3t＝0，解得t＝或t＝0(舍去)，即AE＝，BH＝5－CH＝5－＝，∴＝＝.
第14题解图
15. －1　【解析】如解图，过点A作AM⊥BP于点M，过点E作EN⊥BP于点N.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，由翻折的性质得AD＝AF，∠DAE＝∠EAF，∴AB＝AF，∵AM⊥BF，∴BM＝FM，∠BAM＝∠FAM，∴∠PAM＝∠PAF＋∠FAM＝∠BAD＝45°，∵∠AMP＝90°，∴∠P＝∠PAM＝45°，∴AM＝MP，设BF＝2a，则BM＝MF＝a，PF＝BF＝a，∴AM＝PM＝FM＋PF＝a＋a，∵∠AMF＝∠AFE＝∠ENF＝90°，∴∠AFM＋∠EFN＝90°，∠EFN＋∠FEN＝90°，∴∠AFM＝∠FEN，∴△AMF∽△FNE，∴＝＝＝1＋，设EN＝PN＝x，则FN＝(1＋)x，∴(1＋)x＋x＝a，∴x＝(－1)a，∴EN＝(－1)a，∴＝＝＝－1，∵CD＝AD＝AF，DE＝EF，∴＝＝－1.
第15题解图
16. 　【解析】如解图，过点P作PE⊥CD于点E.∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形，∠ACB＝∠ACD＝60°，在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN(SAS)，∴AM＝AN，∠BAM＝∠CAN，∴∠MAN＝∠BAM＋∠MAC＝60°，∴△AMN为等边三角形，∵∠B＝∠ACB＝∠AMP＝60°，∴∠BAM＋∠BMA＝∠BMA＋∠CMP＝180°－60°＝120°，∴∠BAM＝∠CMP，∠BMA＝∠CPM，∴△BAM∽△CMP，∴＝，设BA长为a，BM长为x，则CM＝a－x，∴＝，∴a·CP＝x(a－x)＝－x2＋ax＝－(x－)＋，∴CP＝－(x－)＋，∴当x＝时，CP最长，即当AM⊥BC时，△AMN边长最小，此时CP最长，满足条件，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝MC＝3，∠CMP＝30°，∠CPM＝90°，∴PC＝MC＝，在Rt△PCE中，∵∠ACD＝60°，∴PE＝PC·sin60°＝.
第16题解图
17. ；6＋　【解析】设AQ＝x，则S四边形PCDQ＝S△ABC－S△ADQ－S△BCP＝×62－·x·×1－×(6－x－1)××6＝＋x，∵x的最大值为6－1＝5，∴当x＝5时，S四边形PCDQ最大，最大值为＋×5＝；如解图，作点D关于AB的对称点D′，连接D′Q，以D′Q、PQ为边作平行四边形PQD′M，则DQ＝D′Q＝MP，∴C四边形PCDQ＝PM＋PC＋PQ＋DC，DD′＝2AD·sin60°＝，D′M＝PQ＝1，过点C作CH⊥AB，交AB于点H，交D′M的延长线于点N，则∠N＝90°，CH＝BC·sin60°＝3，NH＝DD′＝，∴MN＝AH－D′M－AD·cos60°＝AC·cos60°－1－＝3－1－＝，CN＝NH＋CH＝＋3＝，当点M，P，C在同一直线上时，MP＋CP的最小值等于CM的长，即DQ＋CP的最小值等于CM的长，此时，Rt△MNC中，CM＝＝＝，又∵PQ＝1，CD＝6－1＝5，∴四边形PCDQ周长的最小值为CM＋PQ＋CD＝6＋.
第17题解图
18. 或　【解析】分两种情况讨论，如解图①，当GD＝GE时，过点G作GM⊥AD于点M，GN⊥CD于点N.设AF＝x.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝12，∠BAF＝∠ADE＝90°，由翻折的性质得AF＝FG，BF⊥AG，∴∠DAE＋∠BAE＝90°，∠ABF＋∠BAE＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∴△BAF∽△ADE，∴＝，即＝，∴DE＝x，∵GM⊥AD，GN⊥CD，∴∠GMD＝∠GND＝∠MDN＝90°，∴四边形GMDN是矩形，∴GM＝DN＝EN＝x，∵GD＝GE，∴∠GDE＝∠GED，∵∠GDA＋∠GDE＝90°，∠GAD＋∠GED＝90°，∴∠GDA＝∠GAD，∴GA＝GD＝GE，∵GM⊥AD，∴AM＝MD＝6，在Rt△FGM中，由勾股定理得x2＝(6－x)2＋(x)2，解得x＝或(舍)，∴AF＝；如解图②，当DG＝DE时，由翻折的性质得，BA＝BG，∴∠BAG＝∠BGA，∵DG＝DE，∴∠DGE＝∠DEG，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DEG，∴∠AGB＝∠DGE，∴B，G，D三点共线，∵BD＝＝＝15，BG＝BA＝9，∴DG＝DE＝6，由①知，△BAF∽△ADE，∴＝，即＝，∴AF＝.综上所述，AF的值为或.
图①
图②
第18题解图
19. 4；2　【解析】如解图，取BC的中点G，连接DG，由旋转的性质得DC＝EC，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，∴CG＝CF，∠DCG＋∠ACD＝∠ECF＋∠ACD＝90°，∴∠DCG＝∠ECF，∴△DCG≌△ECF(SAS)，∴DG＝EF.分两种情况讨论：如解图①，当GD⊥AB时，DG最短，此时△BDG是等腰直角三角形，∴DG＝BG·sin45°＝4×＝2，∴EF的最小值为2；当点D与点B重合时，DG＝BG＝4；如解图②，当点D与点A重合时，DG＝＝＝4＞4，∴EF的最大值为4，最小值为2.
图①
图②
第19题解图
20. 　【解析】如解图，过点A′作A′H⊥AD于点H，延长FA′与BE的延长线交于点J，过点F作FI⊥BE于点I，∵A′是DE的中点，∴A′H是△DC′E的中位线，∴A′H＝C′E＝×3＝ cm，由折叠性质知∠A′DH＝45°，∴DH＝A′H＝ cm，设AF＝x cm，则FH＝6－x－＝(－x) cm，由折叠的性质得A′F＝AF＝x cm，在Rt△A′HF中，由勾股定理得A′F2－FH2＝A′H2，即x2－(－x)2＝()2，解得x＝，∴A′F＝AF＝ cm，FH＝－＝2 cm，∴EI＝FC′＝FH＋DH－C′D＝2＋－3＝ cm，∵A′是DE的中点，易证△A′DF≌△A′EJ，∴EJ＝DF＝2＋＝ cm，A′F＝A′J＝ cm，∴FJ＝5 cm，由折叠的性质得∠AFG＝∠JFG，∵AD∥BJ，∴∠JGF＝∠AFG＝∠JFG，∴JG＝JF＝5 cm，∴GI＝JG－JE－EI＝5－－＝1 cm，在Rt△FGI中，FI＝3 cm，∴FG＝＝ cm.
第20题解图
21. 　【解析】如解图，点P在直线CD上运动时，当MN垂直于点N的运动轨迹(直线)时，MN最短，当点P和C重合时，N1 是CB的中点，当PA′和直线CD重合时，N2 是PA′的中点，∵AC＝CB＝4，∠ACB＝120°，CD⊥AB，∴CD＝2，AD＝2，∴AB＝2AD＝4，∵M、N1分别是AC、BC中点，∴MN1∥AB，MN1＝AB＝2，DE＝1，∵PA′是PA绕点P逆时针旋转120°得到的，当PA′和直线CD重合时，PA′＝PA，∠APA′＝120°，∴∠APD＝60°，∴AP＝＝＝4，DP＝AP·cos60°＝4×＝2，∵N2是PA′的中点，∴PN2＝2，EN2＝2＋2＋1＝5，∵MN1∥AB，CD⊥AB，MN1⊥CD，在△MEN2和△N1EN2中，，∴△MEN2≌△N1EN2(SAS)，∴N2M＝N2N1，在Rt△MN2E中，N2M＝＝＝2，∴S△MN1N2＝MN1·EN2＝×2×5＝5，又∵S△MN1N2＝N1N2·MN，∴×2×MN＝5，∴MN＝.
第21题解图
22. 30；6　【解析】如解图①，连接AC，分别过点E，G作AC的垂线，垂足为M，N，易证△AEM∽△ACB，∴＝，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∴＝，∴EM＝.∵△BEF沿EF翻折后点B的对应点为点G，∴GE＝BE＝2，∴点G在以点E为圆心，2为半径的⊙E(在矩形ABCD内的部分)上．连接EN，则EG＋GN≥EN≥EM，∴GN≥EM－EG＝－2＝.∵S四边形AGCD＝S△ACD＋S△AGC＝AD·CD＋AC·GN＝24＋5GN，如解图②，当点G在EM上，即点N与点M重合，此时GN取得最小值，S四边形AGCD取得最小值为24＋5GN＝24＋5×＝30；如解图②，过点F作FH⊥AC于点H，∵EM⊥FG，EM⊥AC，∴四边形FGMH是矩形，∴FH＝GM＝，∵∠FCH＝∠ACB，∠CHF＝∠CBA＝90°，∴△CHF∽△CBA，∴＝，即＝，∴CF＝2，∴BF＝BC－CF＝8－2＝6.
图①
图②
第22题解图

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