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九年级数学上册《23.2.1中心对称》导学案
1、理解什么是中心对称
2、学会运用中心对称的性质去解题
重点：认识中心对称，理解其性质
难点：运用中心对称的性质作图
1、中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
2、中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
1、（2021春 南京期中）如图，线段与线段关于点对称，若点、、，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：线段与线段关于点对称，
点为线段、的中点．
，
，
2、（2020春 长春期末）如图，已知和△关于点成中心对称，则下列结论错误的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：和△关于点成中心对称，
△，
，，，
可得，
故，，正确，只有选项错误．
3、（2020 武汉模拟）在平面直角坐标系中，点关于点中心对称的点的坐标是　 　．
【解答】解：如图所示：
点关于点中心对称的点的坐标是：．
4、在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为4的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1.（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，A1、A3、A5、 、A2n+1在第一象限，它们的纵坐标为边长为4的等边三角形的高，即它们的纵坐标为
∵点A1的横坐标为2，
点A2的横坐标为4+2，
点A3的横坐标为4×2+2，
点A4的横坐标为4×3+2，

所以点A2n+1的横坐标为4×（2n+1﹣1）+2，即8n+2，
即点A2n+1的坐标是
5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．
（1）填空：E是线段CD的 　 　，点A与点F关于点 　 　成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 　 　三角形．
（2）四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．
【解答】解：（1）∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE＝EC，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
∵AB＝AD+BC，
∴AB＝BF，
则△ABF是等腰三角形．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE与△FCE面积相等，
∴△ABF的面积等于四边形ABCD的面积，
∵四边形ABCD的面积为12，
∴△ABF的面积为12．
1、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（　　）
A．3 B．4 C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC＝2，
∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，
∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，
∵AB′＝5，
∴
∴
∴
即菱形ABCD的边长是
2、如图，以某网格线所在直线建立平面直角坐标系，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，已知点A（2，﹣1），点P的坐标为（　　）
A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）
【解答】解：如图所示，连接AD，CF，交点即为点P，
∵点A（2，﹣1），
∴点A在第四象限，距离x轴1个单位，距离y轴2个单位，如图所示，
∴点P的坐标为（1，﹣3）
3、如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，点E、F分别为边BC、AD上任意一点，且O、E、F三点在一条直线上，连接AO，BO，EO，FO．若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是 　 　．
【解答】解：如图所示，连接CO，过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝4，∠ABC＝60°，∠AHB＝90°，
∴∠BAH＝30°，BH=AB＝2，
∴AH＝，
∴
又∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴O是AC的中点，
∴
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，且O、E、F三点在一条直线上，
∴AO＝CO，FO＝EO，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（SAS），
∴S△AOF＝S△COE，
∴S阴影部分＝S△BOC＝
4、如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 　 　．
【解答】解：设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B，
∵16个边长为1的正方形面积为16，
∴△AOB的面积为8﹣4+1＝5，
∵OB＝4，
∴AB＝5×2÷4=
∴A（，4），
即4=k，
解得k=，
5、（2021春 海陵区校级月考）已知，点和点关于点成中心对称，则的值为　 　．
【解答】解：点和点关于点成中心对称，
，
解得，，
，
6、（2021春 秦淮区月考）如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是　 　．
【解答】解：和关于点成中心对称，
，
，，，
，
．
7、如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心．
（2）若AC＝6，AB＝5，BC＝4，求△DEF的周长；
（3）连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求．
（2）由题意，△ABC≌△DEF，
∵△DEF的周长＝△ABC的周长＝6+5+4＝15．
（3）结论：四边形ACDF是平行四边形．
理由：由题意，OA＝OD，OC＝OF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
本节课所学知识点
错题及错误原因
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1、理解什么是中心对称
2、学会运用中心对称的性质去解题
重点：认识中心对称，理解其性质
难点：运用中心对称的性质作图
1、中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
2、中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
1、（2021春 南京期中）如图，线段与线段关于点对称，若点、、，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
2、（2020春 长春期末）如图，已知和△关于点成中心对称，则下列结论错误的是　　
A． B．
C． D．
3、（2020 武汉模拟）在平面直角坐标系中，点关于点中心对称的点的坐标是　 　．
4、在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为4的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1.（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．
（1）填空：E是线段CD的 　 　，点A与点F关于点 　 　成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 　 　三角形．
（2）四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．
1、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（　　）
A．3 B．4 C． D．
2、如图，以某网格线所在直线建立平面直角坐标系，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，已知点A（2，﹣1），点P的坐标为（　　）
A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）
3、如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，点E、F分别为边BC、AD上任意一点，且O、E、F三点在一条直线上，连接AO，BO，EO，FO．若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是 　 　．
4、如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 　 　．
5、（2021春 海陵区校级月考）已知，点和点关于点成中心对称，则的值为　 　．
6、（2021春 秦淮区月考）如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是　 　．
7、如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心．
（2）若AC＝6，AB＝5，BC＝4，求△DEF的周长；
（3）连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
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