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第二节 函数的定义域与值域（最值）
考纲解读 会求―些简单函数的定义域和值域
命题趋势探究 考查重点是求解函数的定义域和值域
知识点精讲
一、函数的定义域
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
二、函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法：
（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
题型归纳及思路提示
题型13 函数定义域的求解
思路提示
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式.
一、给出函数解析式求解定义域
例2.函数的定义域为（ ）．
A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1]
变式1 函数 的定义域为（）
A.(0，1) B[0，1） C.(0，1] D[0，1]
变式2求函数 的定义域.
二、抽象函数定义域
已知的定义域求的定义域，或已知的定义域求的定义域，或已知的定义域求的定义域.
解题时注意：（1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同.
例2.11 （1）已知函数的定义域为（0，1）求的定义域
（2）已知函数的定义域为（2，4）求的定义域
（3）已知函数的定义域为（1，2）求的定义域.
评注 定义域是对自变量而言的，如的定义域为（1，2）指的是x的范围而非的范围.
变式1 已知函数 的定义域是［0，1］，求的定义域．
变式2设，则的定义域为（）
A(-4,0)U(0，4) B C. D
三、实际问题中函数定义域的求解
例2.12 如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y＝，并写出其定义域.
分析 在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义城.
评注 求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域
题型14函数定义域的应用
思路提示 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.
例2.13若函数 的定义域为R，则实数a的取值范围为_____.
变式1 若函数的定义域是R，求则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
变式2 函数 的定义域是R,求a的取值范围.
变式3若函数 的定义域为R，求实数a的取值范围.
题型15 函数值域的求解
思路提示 函数值域的求法主要有以下几种
(1)观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如 ，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8) 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法.
（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.
(10) 导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.
一 观察法
例 2.14 求函数的值域.
变式1 函数的值域是 .
变式2 函数的值域是 .
二 配方法
例 2.15 求函数的值域.
变式1 求函数的值域.
变式2 求的值域.
变式3 设函数的定义域为D，若所有点构成一个正方形区域，则a的值为（ ）.
A -2 B -4 C -8 D 不能确定
三 图像法（数形结合）
例 2.16 求函数的值域.
评注 本题中也可看着动点P（x,0）与两定点A (-1,1),B (1,1)的距离之和，同理利用数形结合思想，|PA |+|PB |，则|PA |+|PB |的最小值为.
变式1 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
变式2 函数的值域是（ ）.
A B C D
变式3 函数的值域是（ ）.
A B
C D
四 基本不等式法
例2.17 已知x>2,求函数的值域.
变式1 求函数的值域.
五、换元法（代数换元与三角换元）
【例2.18】求函数的值域.
变式1：求函数的值域.
变式2：求函数的值域.
6、分离常数法
【例2.19】求的值域.
变式1：求函数的值域.
变式2：求函数的值域.
7、判别式法
【例2.20】求函数的值域.
变式1：已知函数的值域为，求的值.
变式2：已知函数的定义域为R，值域为，求的值.
8、单调性法
【例2.21】求函数的值域.
变式1：求函数的值域.
变式2：函数的值域是_______________.
变式3：求函数的值域.
变式4：求函数的值域.
9、有界性法
【例2.22】求函数的值域.
变式1：已知函数，求函数的值域.
变式2：已知函数，若有，则的取值范围为（ ）
【例2.23】已知，求函数的值域.
评注 本题也可以用数形结合思想求解，设，则的几何意义为点与点所确定直线的斜率，其中为单位圆在轴左侧部分.
变式1：已知，求函数的值域.
10、导数法
【例2.24】求函数的值域.
评注 对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍.
变式1：若函数在区间及上都是增函数，而在上是减函数，求此函数在上的值域.
最有效训练题5（限时45分钟）
1.已知，则下列函数中定义域和值域都可能是R的是（ ）
2.若函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）
3.定义域为R是函数的值域为，则函数的值域是（ ）
4.函数的值域是（ ）
5.设函数，，则的值域是（ ）
6.对任意两实数，定义运算“*”如下：，函数的值域为（ ）
7.函数的定义域是________________.
8.函数的值域为________________.
9.若函数的值域为，则函数的值域是____________.
10.已知函数，定义域为，值域为，则的取值范围是_________________.
11.求下列函数的定义域.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）已知函数的定义域是，求的定义域；
（8）已知函数的定义域为，求的定义域.
12.求下列函数的值域.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）.
A
B
C
D
图 2-3第二节 函数的定义域与值域（最值）
考纲解读 会求―些简单函数的定义域和值域
命题趋势探究 考查重点是求解函数的定义域和值域
知识点精讲
一、函数的定义域
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
二、函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法：
（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
题型归纳及思路提示
题型13 函数定义域的求解
思路提示
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式.
二、给出函数解析式求解定义域
例2.10.函数的定义域为（ ）．
A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1]
分析 本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解
解析 得，故选C
变式1 函数 的定义域为（）
A.(0，1) B[0，1） C.(0，1] D[0，1]
解析 由得，故选B.
变式2求函数 的定义域.
解析 ，得.
所以的定义域为.
三、抽象函数定义域
已知的定义域求的定义域，或已知的定义域求的定义域，或已知的定义域求的定义域.
解题时注意：（1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同.
例2.11 （1）已知函数的定义域为（0，1）求的定义域
（2）已知函数的定义域为（2，4）求的定义域
（3）已知函数的定义域为（1，2）求的定义域.
分析 已知函数的定义域为D，求函数的定又域，只需;已知函数 的定义域,求函数了的定义域，只需，即求的值域.
解析 （1）的定义域为（0，1），即0(2) 的定义域为(2，4).即2（3）因为的定义域为（1，2）即1＜＜2，所以1＜＜4，故需1＜＋1＜4．所以0＜＜， 故的定义域为
评注 定义域是对自变量而言的，如的定义域为（1，2）指的是x的范围而非的范围.
变式1 已知函数 的定义域是［0，1］，求的定义域．
解析 函数的定义域是[0，1],故，即中的范围是.因此，即，故的定义域为.
变式2设，则的定义域为（）
A(-4,0)U(0，4) B C. D
解析 的定义域为 ，所以 且 ，
解得 或 ，故选B.
三、实际问题中函数定义域的求解
例2.12 如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y＝，并写出其定义域.
分析 在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义城.
解析 由题意：于是，因此 ，化简即为
又根据实际应有,得，即所求函数的定义域为
评注 求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域
题型14函数定义域的应用
思路提示 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.
例2.13若函数 的定义域为R，则实数a的取值范围为_____.
分析 函数的定义域为R,即 ≥0在R上恒成立，再利用指数函数的单调性求解
解析 由题意知≥0在R上恒成立,所以,即有恒成立,其等价于△=, 则实数的取值范围为[―1,0]
变式1 若函数的定义域是R，求则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
分析 已知函数的定义域即为使得函数的分母恒不为0的的取值范围.
解析 由题意，对任意的恒成立.
当时，成立;
当时，.
综上所述，a的取值范围是，故选D.
评注 注意本题中的二次项系数含有参数a，故需对此参数是否为0加以讨论，一般地，我们研究函数或不等式的最高次项的系数含有参数，都需要有对此参数是否为零的讨论意识.
变式2 函数 的定义域是R,求a的取值范围.
解析 函数的定义域为R，即恒成立，当时，1>0成立；当时，应有，综上所述，的取值范围是.
变式3若函数 的定义域为R，求实数a的取值范围.
解析 依题意，当时，恒成立.
(1)当时，因为，所以.
此时有可知对任意，恒成立，所以符合题意.
(2)当时，由题意得，所以，解得.
综上所述，实数a的取值范围为.
题型15 函数值域的求解
思路提示 函数值域的求法主要有以下几种
(1)观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如 ，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8) 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法.
（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.
(10) 导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.
一 观察法
例 2.14 求函数的值域.
分析 由观察法直接得到函数的值域.
解析 因为，所以函数的值域为.
变式1 函数的值域是 .
解析 由，故函数的值域为.
变式2 函数的值域是 .
解析 由得由，得，故函数的值域为.
二 配方法
例 2.15 求函数的值域.
分析 对于根式中的二次函数，利用配方法求解.
解析 由，得.
.
变式1 求函数的值域.
解析 ，故函数的值域为.
变式2 求的值域.
解析 因为
.函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得最大值16，当或5时，函数取得最小值0，故值域为，，所以的值域为.
变式3 设函数的定义域为D，若所有点构成一个正方形区域，则a的值为（ ）.
A -2 B -4 C -8 D 不能确定
解析 如图2-36所示，设二次函数，由，则抛物线开口方向向下，函数的定义域D为不等式的解集，设两根为，则,依题意，点构成一个正方形区域，所以则满足 ,得,故选B
三 图像法（数形结合）
例 2.16 求函数的值域.
分析 由函数表达式易联想到两点间距离公式，可将其转化为动点与两定点的距离之和.
解析 如图2-4所示，，所示动点P（x,1）到两定点A（-1,0）和B（1,0）的距离之和，作点B（1,0）关于直线y=1的对称点，连接
B A交y=1于点P （0,1）,此时AB 的长即为PA与PB的长之和的最小值，点P （0,1）到A,B两点的距离之和为，故函数的值域为[,+∞﹚.
评注 本题中也可看着动点P（x,0）与两定点A (-1,1),B (1,1)的距离之和，同理利用数形结合思想，|PA |+|PB |，则|PA |+|PB |的最小值为.
变式1 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解析 由绝对值的几何意义，如图2-37所示知表示数轴上的点与定点和的距离之和，因此，所以函数的值域为
变式2 函数的值域是（ ）.
A B C D
解析 ，的几何意义为动点到直线的距离，的几何意义为动点到定点（1，1）的距离，如图2-38所示，,所以.故选B
变式3 函数的值域是（ ）.
A B
C D
解析 令，则，于是，而的几何意义为动点与定点所确定直线的斜率，如图2-39所示，所以
，
直线AC与单位圆上半部分相切，所以圆心到直线AC的距离为1，即，得，由图知，负根舍去.所以，
所以函数的值域为.故选D.
四 基本不等式法
例2.17 已知x>2,求函数的值域.
解析 令,则，
（当且仅当，即t=2,x=3时取等号）.故函数的值域为.
变式1 求函数的值域.
解析 由，若，则（当且仅当时，即时取“=”）；若时，（当且仅当时，即时取“=”），因此函数的值域为.
五、换元法（代数换元与三角换元）
【例2.18】求函数的值域.
解析 令，则，得.因为函数的对称轴，所以函数在区间上单调递增，所以值域为.故函数的值域为.
变式1：求函数的值域.
解析 令，则，原式可化为，因为，所以，所以函数的值域是
评注 对于含根号的无理函数，通过换元将根号脱去，转化为整式函数（特别是二次函数）求值域.
变式2：求函数的值域.
解析 令，则.
又，所以.
所以，函数的值域是
6、分离常数法
【例2.19】求的值域.
分析 本例中的函数是关于的齐次分式，故可以考虑使用分离常数法加以求解.
解析 由题意得，因为，所以.
，故值域为.
变式1：求函数的值域.
解析 因为，所以函数的值域为.
评注 对于分式型函数，函数的值域为.若本题中将x的范围限定在区间，其答案如何？.
变式2：求函数的值域.
解析 因为，所以且（当时，1-）.
评注 一般地，值域为且（因为且，所以把带入约分后的式子即可）
7、判别式法
【例2.20】求函数的值域.
解析 因为恒成立，所以函数的定义域为R.
原式可化为.整理得.若，即，即；若，因为，即有，所以，解得且.综上所述，函数的值域为.
变式1：已知函数的值域为，求的值.
由得，
即，其解集为，则方程的两根为，
由韦达定理得解析 由得
，即，所以.
变式2：已知函数的定义域为R，值域为，求的值.
解析 由题意知，令，则 ，即 .由，得，即方程的两根是1，9.
即，所以.
8、单调性法
【例2.21】求函数的值域.
解析 由函数的定义域为，且函数在区间上单调递增.当时，，所以函数的值域为.
变式1：求函数的值域.
解析 由，得为的单调递减函数，又，因此.
所以函数的值域为
变式2：函数的值域是_______________.
解析 函数的定义域为，又因为在上是增函数，从而可知的值域为[-3，].
变式3：求函数的值域.
解析 因为=，且函数在上单调递减，在单调递增，所以函数在处取得最小值3，故函数的值域为.
变式4：求函数的值域.
解析
，令，则，在单调递减，当时，，因此，故函数的值域为.
9、有界性法
【例2.22】求函数的值域.
解析 解法一（有界性法）：由题意可得，即有，由，可知，故，可得，因此所求函数的值域为.
解法二（分离常数法）：，由，可知，故，因此函数的值域为.
变式1：已知函数，求函数的值域.
解析 解法一：（反解有界性）由题意可得
，
即有，故需可求得，
因此所求函数的值域为.
本题具备齐次分式的结构特征，还可以利用分离常数法求解，解法如下：
解法二： ，在上函数单调递增，故，因此所求函数的值域为.
变式2：已知函数，若有，则的取值范围为（ ）
析 由题意可知，若有，即，解得，故选B.
【例2.23】已知，求函数的值域.
解析 由，得，且，故.得或.又，，则.故.因此函数的值域为.
评注 本题也可以用数形结合思想求解，设，则的几何意义为点与点所确定直线的斜率，其中为单位圆在轴左侧部分.
变式1：已知，求函数的值域.
解析 ,则，得，故值域为.
10、导数法
【例2.24】求函数的值域.
解析 由，得.由表看出，的最大值的最小值，故的值域为.
评注 对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍.
变式1：若函数在区间及上都是增函数，而在上是减函数，求此函数在上的值域.
解析 ,由题意是函数的两个极值点，所以，即，故，得.
所以当单调递增；当单调递减；当 ，单调递增.如表2-8所示.
表2-8
x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 (2,4) 4
+ 0 - 0 +
-4 极大值 极小值 16
所以；.
故所求值域为.
最有效训练题5（限时45分钟）
1.已知，则下列函数中定义域和值域都可能是R的是（ ）
2.若函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）
3.定义域为R是函数的值域为，则函数的值域是（ ）
4.函数的值域是（ ）
5.设函数，，则的值域是（ ）
6.对任意两实数，定义运算“*”如下：，函数的值域为（ ）
7.函数的定义域是________________.
8.函数的值域为________________.
9.若函数的值域为，则函数的值域是____________.
10.已知函数，定义域为，值域为，则的取值范围是_________________.
11.求下列函数的定义域.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）已知函数的定义域是，求的定义域；
（8）已知函数的定义域为，求的定义域.
12.求下列函数的值域.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）.
最有效训练题5
1.C 解析 选项A与D中的函数均为二次函数，值域不可能是R，故排除A，D；选项B当时，，当时，y是二次函数，所以值域不可能是R，故排除B；C选项中当时为一次函数，定义域和值域均为R，故选C.
2.D 解析 当时，,定义域为R；当时，由定义域为R，知抛物线，开口向上且与x轴无交点，即，且，解得，综上可知，故选D.
3.C 解析 函数的图象在左右平移时不改变函数的值域，故选C.
4.C 解析 令，则，因为，所以，即，所以，故选C.
5.D 解析 由题意可知
①当时，，由函数可得.
②当时，，
故当时，
当或时，.
综上所述，该分段函数的值域为.故选D.
6.C 解析 因为，所以，而函数与的大致图像如图2-40所示，所以的值域为.故选C.
7. 解析 函数的定义域满足，解得，所以函数的定义域为.
8. 解析 如图2-41所示，函数表示点与点（2，1）连线的斜率.而点，，表示单位圆的右半部分，由几何意义知，又，则，故.
9. 解析 因为，所以，所以，即的值域为.
10. 解析 由，知函数的对称轴为，
函数在上单调递减，在上单调递增，若函数的值域为，则，令，得或，故.综上，.
11.解析（1）由，得.
所以函数的定义域为
（2）由，得，
所以函数的定义域为.
（3）由，得
所以函数的定义域为
（4）由得.即，
解得或.所以函数的定义域为｛x|或｝.
（5）由，得，所以函数的定义域为｛x| ｝.
（6）要使函数有意义，则只需要，即，
解得或，所以函数的定义域为.
（7）依题意，只需，即，即
解得或.故的定义域是.
（8）因为的定义域为，所以，令，所以，所以的定义域，即的定义域为.
要使有意义，需使，所以或所以函数的定义域为或｝.
12解析 （1），又，据此函数的图象，可以得到所求函数的值域为.
（2）（有界性法）由，得.因为，所以，
所以，解得.所以原函数的值域是.
（3）(配方法)由，得.因为，所以当时，；当或3时，所以函数的值域为
（4）（代数换元法）令，则.
因为，
所以当即时,y无最小值.所以函数值域为.
（5）（三角换元法）函数的定义域是
设，则化为.
因为.
所以，所以.
所以原函数的值域是.
(6)解法一：由题意，可得，于是必有，
即，所以原函数的值域是 .
解法二：（分子常数化），
且，得函数的值域为.
(7)因为（当且仅当时取“=”），所以，因此函数的值域为.
(8)(判别式法)因为，所以由，得.
当时，此等式不成立，故.
所以.
整理得，解得，又，故函数值域为.
评注 本题第（8）问亦可用分离常数法得，故函数值域为.
A
B
C
D
图 2-3
B’
O
P(x,1)
A
B
A’
B’
A’’
图2-4
P

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