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第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考纲解读
1．了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
命题趋势探究
预测2019年高考主要考查：复合命题真假的判断、全称命题与存在性命题的否定以及利用命题的真假求参数范围．题型主要以选择题、填空题为主．
知识点精讲
1．简单的逻样联结词
（1）一般地，用联结词“且”把命题和联结起来，得到一个新命颐，记作，读作“且；
（2）一般地，用联结词“或”把命题和联结起来，得到一个新命题．记作，读作“或”；
（3）一般地，对一个命题否定，得到一个新命题，记作，读作“非”或“的否定”．
逻辑联结词的真值规律如表1-2所示．
表1-2
真 真 真 真 假
假 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 假 假 假 真
口诀:（1）“且”，一假则假，全真才真；（2）“或”，一真则真，全假才假；（3）“”，真假相对．
2．全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称命题．全称命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．
（2）存在量词与特称命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题．特称命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（特称命题也叫存在性命题）．
3．含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题．全称命题的否定为，．
（2）特称命题的否定是全称命题．特称命题的否定为．
注：全称、特称命题的否定是高考常见考点之一．
区别否命题与命题的否定:
①只有“若，则”形式的命题才有否命题，而所有的命班都有否定形式(在高中阶段只对全称、特称命题研究否定定形式)；
命题“若，则”的否命题是“若，则，而否定形式为“若，则”．
②一个命题与其否定必有一个为真，一个为假；而一个命题与其否命题的真假无必然联系．
题型归纳及思路提示
题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假
思路提示
判断命题真假的一般步骤为：
（1）确定命题的构成形式；
（2）判断所用的逻辑联结词联结的每个简单命题的真假；
（3）报据真值表判断新命题的真假．
例1．15 判断下列命题的真假．
（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；
（2）矩形的对角线互相垂直或相等；
（3）菱形不是平行四边形；
（4）．
分析：解题步骤为分析命题的构成、联系真值表、下结论．
解析：（1）命题是的倍数，是的倍数，用“且”联结后构成新命题，即．因为都是真命题，所以为真命题．
（2）矩形的对角线垂直，矩形的对角线相等，用“或”联结后构成新命题，即．因为是真命题，所以是真命题．
（3）菱形是平行四边形，用“非”联结后构成新命题，即．因为是真命题，所以是假命题．
（4），，用“或”联结后构成新命题，即，因为命题是真命题，所以命题是真命题．
变式1已知命题；命题q： ， 下列命题为真命题的是（　　）
p∧q B． C． D．
解析：命题，则命题为真命题，则为假命题；
取，但 ， 则命题是假命题，则是真命题．
是假命题，是真命题，是假命题，是假命题．
故选B．
变式2 已知命题，则“或为真”是且为真”的( )
充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：
故选B
变式3已知命题：函数的图象恒过点；命题：已知，则直线是直线的充要条件．则下列命题为真命题的是(　　)
A． B． C． D．
解析：由指数函数恒过点知，函数是由先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到，所以函数恒过点，故命题为真命题；命题：与的位置关系也可能是，故是假命题．所以为真命题．故选D
题型8 含有一个量词的命题的否定
思路提示
（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”)．再否定结论；
（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；
（3）注意命题的否定与否命题的区别；
（4）当的真假不易判断时，可转化为去判断的真假．
例1．16 写出下列命题的否定并判断其真假．
（1）不论取何实数，方程必有实数根；
（2）有的三角形的三条边相等；
（3）菱形的对角线互相垂直；
（4），．
分析：分析命题所含量词，明确命题是全称命题还是特称命题，再对命题进行否定并判断真假．
解析：（1）存在一个实数，使方程没有实数根．因为该方程的判别式，故为假命题．
（2）所有三角形的三条边不全相等．显然为真，故为假命题．
（3）有的菱形对角线不垂直．显然为真，故为假命题．
（4）。显然，当x=1时，，故为假命题．
评注:命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语及其否定如表1-3所示．
表1-3
正面词语 否定
等于（=） 不等于（）
大于（>） 不大于（）
小于（<） 不小于（）
是 不是
都是 不都是
至多有一个 至少有两个
至少有一个 一个也没有
任意 存在
所有 某个（些）
至多有n个 至少有n+1个
任意两个 某两个
特别地，联结词“且”的否定为“或”， “或”的否定为“且”．
“p且q”的否定是“或”，“p或q”的否定是“且”．即，，与集合的德摩根法则可类比记忆．
变式1 命题“存在，”的否定是（ ）
A．不存在， B．存在，
C．对任意的， D．对任意的，
解析 对于存在性命题的否定，要先改变量词，再否定结论，所以原命题的否定为“对任意的”．故选D
变式2设命题，则为（ ）
B．
D．
解析 A　由全称命题与特称命题之间的互化关系知选A．
题型9 根据命题真假求参数的范围
例 1．17 命题p:关于x的不等式，对一切恒成立，q：指数函数
是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
分析 由命题p或q为真，p且q为假，则p与q中有且只有一个为真命题，由此进行讨论．
解析 解法一：由p或q为真，p且q为假，则p与q中有且只有一个为真．
①若p真q假，p真则不等式对一切恒成立，故，即，得-2②若p假q真，p假得或，同时3-2a>1,得a<1,故．
综上，实数a的取值范围为
解，大前提是法二：由指数函数的定义可知或a<1，即p:由得，结合大前提，得；q：由3-2a>1得a<1．
如图1-8所示，则，又，所以实数a的取值范围为．
图1-8
评注：正确理解p或q为真，p且q为假的含义是解本题的关键点．把p和q 在数轴上表示出来，在中去掉，剩余部分就是所求，即．
变式1 已知命题P：关于x的不等式的解集为；命题q：函数为增函数．若命题为真命题，则实数a的取值范围为
分析 为真命题，则均为真．
解析 由分析知，为真，那么对于不等式的解集为，故；对于为真，故，如图1-16所示．综上所求实数的取值范围是．
图1-16
变式2 给定两个命题：
P：对任意实数x，都有恒成立．
Q：关于x的方程有实数根．如果P与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
解析 解法一：对于任意的都有恒成立或．
关于的方程有实数根．
如果真且假，有，得 ；如果真且假，有，且，得，如图1-17所示。所以实数的取值范围是
图1-17
解法二： ,如图1-18所示， ．所以实数的取值范围是．
例1.18已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝()x－m，若对 x1∈[0,3]， x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)
A．[，＋∞) B．(－∞，]
C．[，＋∞) D．(－∞，－]
解析：当时，，当时，，由，得，所以，故选A.
变式1已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________________．
解析：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0)．
最有效训练3（限时45分钟）
1．命题“”的否定形式是(　　)
A． B．
C． D．
2．已知p，q是简单命题，则“是真命题”是“是假命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题p:存在，当时，命题q:任意恒成立，则下列命题中是假命题的是（ ）
A．或 B．且 C．或 D．且
4．已知命题命题>0则（ ）
A．命题是假命题 B．命题是真命题
C．命题是假命题 D．命题是真命题
5．已知命题命题若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列说法错误的是（ ）
A．如果命题与命题都是真命题，那么命题q一定是真命题
B．命题“若a=0．则ab=0”的否命题是“若a0，则ab0”
C．若命题，则
D．是的充分不必要条件
7．已知命题，则p的否定形式为________．
8．给出以下四个命题:
①若为真命题，则为真命题
②命题“若,则”的逆命题
③设a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,则是的必要不充分条件
④命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题．其中真命题的序号是____________．
9．已知命题恒成立,命题为减函数,若为真命题,则实数a的取值范围为________．
10．(2016·郑州一模)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈[，3]， x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤1 B．a≥1
C．a≤0 D．a≥0
已知才c>0．设命题p:函数为减函数．命题q:当时,函数恒成立．如果p或q为真命题,p且q为假命题,求c的取值范围．
12．已知函数．且又给定
(1)在p的条件下,求的最大值和最小值;
(2)若又给定条件q：且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
13.已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a>1，x≥2)．
(1)若 x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为________________；
(2)若 x1∈[2，＋∞)， x2∈[2, ＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________________．
最有效训练题3
D解析 由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D．
2．A 解析 由“是真命题”，得命题均为真命题，“是假命题”，则是真命题，因此“是真命题”是“为假命题”的充分不必要条件．故选A．
3．B解析 由基本不等式可得，故命题为假命题，为真命题；任意，命题为真命题，为假命题，为假命题，故选B．
4．D 解析 对于命题成立，因此命题是真命题；对于命题，显然时不满足，因此命题是假命题，所以命题是真命题，故选D
5．A解析 由已知可知均为真命题，由命题为真得，由命题为真得，所以，故选A
6．D解析 因为“”真，所以为假，又“”为真，所以为真，故A正确；B,C显然正确；因为时， ,但时,不一定为300，故是的必要不充分条件．故选D
7． 解析 特称命题的否定是全称命题，求特称命题的否定时，先将“”改为“”，再否定结论，所以的否定形为．
8．②③④ 解析 ①因为为真，所以真或真，故不一定为真命题，故①假；②逆命题：若，则，因为，所以，故②真；③由条件得，，当时，有，注意，故,但当时，有，故③真；④否命题：若不是奇函数，则不是奇函数，这是一个真命题，假若为奇函数，则，即，所以为奇函数，与条件矛盾．故填②③④
9．解析 因为恒成立知 ,即 ,
由为减函数得，即，又因为为真命题，所以均为真命题，得，则实数的取值范围是 ．
10．C 解析：∵x∈[，3]，∴f(x)≥2 ＝4，当且仅当x＝2时，f(x)min＝4，当x∈[2,3]时，g(x)min＝22＋a＝4＋a，依题意f(x)min≥g(x)min，∴a≤0，故选C.
11．解析 解法一：由为减函数得；当时，因为，故函数在上为减函数，在上为增函数，所以在上的最小值为
当时，由函数恒成立，得，解得，如果真且假，则；如果假且真，则
所以的取值范围为．
解法二：,如图1-20所示，．
12．解析
（1）因为
又因为，所以
即。所以的最大值为5，最小值为3．
（2）因为，所以，又因为是的充分条件，，所以实数的取值范围是．
13.解析　(1)因为f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以若 x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞)．
(2)因为当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若 x1∈[2，＋∞)， x2∈[2，＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，则解得a∈(1，]．
0
4
4
0
图1-18
1
图1-20第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
知识点精讲
1．简单的逻样联结词
（1）一般地，用联结词“且”把命题和联结起来，得到一个新命颐，记作，读作“且；
（2）一般地，用联结词“或”把命题和联结起来，得到一个新命题．记作，读作“或”；
（3）一般地，对一个命题否定，得到一个新命题，记作，读作“非”或“的否定”．
逻辑联结词的真值规律如表1-2所示．
表1-2
真 真 真 真 假
假 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 假 假 假 真
口诀:（1）“且”，一假则假，全真才真；（2）“或”，一真则真，全假才假；（3）“”，真假相对．
2．全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称命题．全称命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．
（2）存在量词与特称命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题．特称命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（特称命题也叫存在性命题）．
3．含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题．全称命题的否定为，．
（2）特称命题的否定是全称命题．特称命题的否定为．
注：全称、特称命题的否定是高考常见考点之一．
区别否命题与命题的否定:
①只有“若，则”形式的命题才有否命题，而所有的命班都有否定形式(在高中阶段只对全称、特称命题研究否定定形式)；
命题“若，则”的否命题是“若，则，而否定形式为“若，则”．
②一个命题与其否定必有一个为真，一个为假；而一个命题与其否命题的真假无必然联系．
题型归纳及思路提示
题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假
思路提示
判断命题真假的一般步骤为：
（1）确定命题的构成形式；
（2）判断所用的逻辑联结词联结的每个简单命题的真假；
（3）报据真值表判断新命题的真假．
例1．15 判断下列命题的真假．
（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；
（2）矩形的对角线互相垂直或相等；
（3）菱形不是平行四边形；
（4）．
变式1已知命题；命题q： ， 下列命题为真命题的是（　　）
p∧q B． C． D．
变式2 已知命题，则“或为真”是且为真”的( )
充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式3已知命题：函数的图象恒过点；命题：已知，则直线是直线的充要条件．则下列命题为真命题的是(　　)
A． B． C． D．
题型8 含有一个量词的命题的否定
思路提示
（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”)．再否定结论；
（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；
（3）注意命题的否定与否命题的区别；
（4）当的真假不易判断时，可转化为去判断的真假．
例1．16 写出下列命题的否定并判断其真假．
（1）不论取何实数，方程必有实数根；
（2）有的三角形的三条边相等；
（3）菱形的对角线互相垂直；
（4），．
评注:命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语及其否定如表1-3所示．
表1-3
正面词语 否定
等于（=） 不等于（）
大于（>） 不大于（）
小于（<） 不小于（）
是 不是
都是 不都是
至多有一个 至少有两个
至少有一个 一个也没有
任意 存在
所有 某个（些）
至多有n个 至少有n+1个
任意两个 某两个
特别地，联结词“且”的否定为“或”， “或”的否定为“且”．
“p且q”的否定是“或”，“p或q”的否定是“且”．即，，与集合的德摩根法则可类比记忆．
变式1 命题“存在，”的否定是（ ）
A．不存在， B．存在，
C．对任意的， D．对任意的，
变式2设命题，则为（ ）
B．
D．
题型9 根据命题真假求参数的范围
例 1．17 命题p:关于x的不等式，对一切恒成立，q：指数函数
是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
分析 由命题p或q为真，p且q为假，则p与q中有且只有一个为真命题，由此进行讨论．
变式1 已知命题P：关于x的不等式的解集为；命题q：函数为增函数．若命题为真命题，则实数a的取值范围为
变式2 给定两个命题：
P：对任意实数x，都有恒成立．
Q：关于x的方程有实数根．如果P与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
例1.18已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝()x－m，若对 x1∈[0,3]， x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)
A．[，＋∞) B．(－∞，]
C．[，＋∞) D．(－∞，－]
变式1已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________________．
最有效训练3（限时45分钟）
1．命题“”的否定形式是(　　)
A． B．
C． D．
2．已知p，q是简单命题，则“是真命题”是“是假命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题p:存在，当时，命题q:任意恒成立，则下列命题中是假命题的是（ ）
A．或 B．且 C．或 D．且
4．已知命题命题>0则（ ）
A．命题是假命题 B．命题是真命题
C．命题是假命题 D．命题是真命题
5．已知命题命题若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列说法错误的是（ ）
A．如果命题与命题都是真命题，那么命题q一定是真命题
B．命题“若a=0．则ab=0”的否命题是“若a0，则ab0”
C．若命题，则
D．是的充分不必要条件
7．已知命题，则p的否定形式为________．
8．给出以下四个命题:
①若为真命题，则为真命题
②命题“若,则”的逆命题
③设a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,则是的必要不充分条件
④命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题．其中真命题的序号是____________．
9．已知命题恒成立,命题为减函数,若为真命题,则实数a的取值范围为________．
10．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈[，3]， x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤1 B．a≥1
C．a≤0 D．a≥0
已知才c>0．设命题p:函数为减函数．命题q:当时,函数恒成立．如果p或q为真命题,p且q为假命题,求c的取值范围．
12．已知函数．且又给定
(1)在p的条件下,求的最大值和最小值;
(2)若又给定条件q：且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
13.已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a>1，x≥2)．
(1)若 x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为________________；
(2)若 x1∈[2，＋∞)， x2∈[2, ＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________________．

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