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章末整合提升
请从右表中选择正确的代号填入左侧框图中相应的横线上
代号内容A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形E底边和腰不相等F大于G小于H互余I180°J360°KLM与它不相邻
答案：①A ②B ③C ④E ⑤D ⑥F ⑦G ⑧I ⑨H ⑩M L K J
专题整合·深拓展
专题一 三角形三边关系的应用
三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的重要依据，它的主要应用有：（1）判断三条线段能否组成三角形；（2）已知两边求第三边的取值范围，如：已知三角形两边a，b，则第三边c满足.
【例1】已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ ）
A.1cmC.4cm解析：设，则，
所以解得.
答案：B
技巧
对于等腰三角形这一特殊三角形来说，三边关系只需满足两腰之和大于底边即可.
专题二 三角形三条重要线段的应用
三角形的高、中线和角平分线，是三角形的三条重要线段.主要应用有：（1）依据三角形的高可求三角形的面积；（2）三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分；（3）三角形的角平分线通常结合三角形的内角、外角进行有关角度的计算.
【例2】如图11-1，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数.
解：因为AD是BC边上的高，∠EAD=5°，∠B=50°，
所以∠AED=90°-5°=85°，∠BAD=90°-50°=40°，
所以∠BAE=∠BAD∠EAD=40°-5°=35°.
因为AE是∠BAC的平分线，
所以∠BAC=2∠BAE=70°，
所以∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-70°=60°.
方法
应用角平分线或高可以求得角度，应用三角形的内角和定理也可以求得角度，这是解决三角形中角度计算问题的常用方法.
专题三 三角形内角和与外角的应用
求一个角的度数，可以先看一下它是否在某个三角形中，如果是三角形的一个内角，那么可考虑三角形内角和定理或利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和来求.
【例3】如图11-2，点B，C，D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACD=90°，如果∠ECD=36°，那么∠A=________.
解析：因为CE∥AB，
所以∠B=∠ECD=36°.
又因为∠ACD=90°，
所以∠A=90°-36°=54°.
答案：54°
反思
“内外”结合，统一考虑
三角形的内角和与外角的有关计算，两者一般需要结合在一起考虑问题，“由内到外”或“由外到内”要灵活应用
专题四 多边形内角和、外角和的应用
（1）根据n边形的内角和是，外角和是360°，可对多边形的角度进行计算；
（2）已知多边形的内角和，求多边形的边数等问题，一般是设未知数，建立方程，求出结果.
【例4】（湖北仙桃中考）已知正n边形的一个内角为135°，则n的值是________.
解析：因为正n边形的一个内角为135°，且每个内角都相等，
所以正n边形的每一个外角均为180°-135°=45°，
所以n=360°÷45°=8.
答案：8
方法
正多边形中的“内外”转化
（1）由“外”及“内”：由正多边形的边数n求内角的度数时，可先求得其外角的度数为，则内角的度数为.
（2）由“内”及“外”：若一个正多边形的每个内角的度数为m°，可先确定其每个外角的度数为，则其边数.
思想方法·巧解读
专题一 分类讨论思想
已知等腰三角形的两边，求其周长或第三边长时，因为等腰三角形的腰或底边不明确，所以需要进行分类讨论；分类讨论的依据为三角形的三边关系，讨论完毕后将最后的结果进行验证.
【例1】等腰三角形的一边长是2，周长是10，求另外两边的长.
解：当2为腰长时，另一腰长是2，底边长是102-2=6，但2+2<6，两边之和小于第三边，故不能构成三角形，2不能为腰长；
当2为底边长时，两腰长是.
所以该等腰三角形另外两边的长为4，4.
技巧
有关等腰三角形中的计算需要分类讨论时，按“分类→计算→验证”步骤进行求解.
专题二 转化思想
本章的转化问题主要是把不规则图形，通过作辅助线的方法转化为规则图形，以便于计算.如把不规则图形的内角求和通过作辅助线转化为三角形的外角进行计算等.
【例2】如图11-3，求∠A+∠E+∠C+∠B+∠D=________.
解析：如图11-4所示，延长EB交AC于点F，AD与BE交于点G.
在△EFC中，∠1=∠E+∠C，
在△BDG中，∠2=∠GBD+∠D，
所以∠A+∠E+∠C+∠GBD+∠D=∠A+∠1+∠2=180°.
答案：180°
技巧
不规则图形各角和的求法一般是先通过作辅助线分割成三角形，再通过三角形外角的性质建立联系进行计算；其中，可能涉及邻补角、对顶角或多边形内角和的应用等.
专题三 方程思想
涉及本章中三角形内角和为180°、多边形内角和为以及多边形的外角和为360°等的计算，一般可通过设未知数列方程的方法进行解决，把几何问题转化为代数问题，方便、快捷.
【例3】一个多边形除一个内角外其余各内角的和为1510°，求这个多边形对角线的条数.
解：设这个内角度数为x，多边形的边数为n，
所以，
所以.
因为0°所以，
解得.
因为n是正整数，所以n-2=9，所以n=11.
所以对角线条数为.
规律
多边形问题的几个隐含条件
（1）三角形内角和为180°；
（2）多边形内角和为180°的整数倍；
（3）每个内角和每个外角都在0°（4）多边形的边数为大于或等于3的正整数.
专题四 由特殊到一般的思想
【例4】图11-5①是二环三角形，可得，图11-5②是二环四边形，可得，图11-5③是二环五边形，可得S=1080°……聪明的同学，请你根据以上规律直接写出二环n边形（的整数）中，S=________（用含n的式子表示最后结果）.
解析：依题意，可知二环三角形中，S=360°；
二环四边形中，；
二环五边形中，；
……
二环n边形（的整数）中，.
答案：
技巧
关于多边形的规律问题，一般解题思路是把每个图形的规律转化成代数（或数字）问题，分析代数（或数字）问题，从而发现规律.

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