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2023届导数微专题——极值点偏移
一、知识梳理
(1)极值点不偏移
已知函数是连续函数,在区间内有且只有一个极值点,且,若极值点左右的“增减速度”相同,常常有极值点，这种状态为极值点不偏移，如图(1).
图(1)
(无偏移，左右对称，二次函数)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0.
(2)极值点偏移
若极值点左右的“增减速度”不同,函数的图象不具有对称性,常常有极值点的情况,我们称这种状态为“极值点偏移”.如图(2)(3).
图(2) 图(3)
二、方法提示
（1）用对称化构造的方法求解极值点偏移问题：
①求导,获得的单调性,极值情况,作出的图像,由得,的取值范围（数形结合）；
②构造辅助函数（对结论,构造；对结论,构造）,求导,限定范围（或的范围）,判定符号,获得不等式；
③代入（或）,利用及的单调性证明最终结论．
（2）比值代换法：
通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.
（3）用对数均值不等式求解极值点偏移问题：
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时,等号成立.
三、典例分析
例1.已知函数，若，且，证明：.
自主练习
已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明:当时，.
例2.已知函数，正实数满足.
证明：.
自主练习
已知函数恰有两个零点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：.
例3.已知函数.
（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递增区间；
（2）若方程有两个不相等的实数解，证明： .
自主练习
已知函数有两个极值点x1,x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）证明：x1x2＜4．
例4.已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：
自主练习
已知函数.
（1）当时,求的最大值；
（2）设点和是曲线上不同的两点,且,若恒成立,求实数k的取值范围.
四、综合训练
1.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个相异零点,求证：.
2.已知函数（）有两个零点.
（1）证明：.
（2）若的两个零点为,,且,证明：.
2023届导数微专题——极值点偏移解析
一、知识梳理
(1)极值点不偏移
已知函数是连续函数,在区间内有且只有一个极值点,且,若极值点左右的“增减速度”相同,常常有极值点，这种状态为极值点不偏移，如图(1).
图(1)
(无偏移，左右对称，二次函数)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0.
(2)极值点偏移
若极值点左右的“增减速度”不同,函数的图象不具有对称性,常常有极值点的情况,我们称这种状态为“极值点偏移”.如图(2)(3).
图(2) 图(3)
二、方法提示
（1）用对称化构造的方法求解极值点偏移问题：
①求导,获得的单调性,极值情况,作出的图像,由得,的取值范围（数形结合）；
②构造辅助函数（对结论,构造；对结论,构造）,求导,限定范围（或的范围）,判定符号,获得不等式；
③代入（或）,利用及的单调性证明最终结论．
（2）比值代换法：
通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.
（3）用对数均值不等式求解极值点偏移问题：
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时,等号成立.
三、典例分析
例1.已知函数，若，且，证明：.
【解析】由函数单调性可知：若，则必有，。
所以，而，
令，则
所以函数在为减函数，所以，所以即，所以，所以.
自主练习
已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明:当时，.
【解析】 (1) 在上单调递增，在上单调递减；
(2)由(1)知当时，．
不妨设，因为，即，则，
要证明，即，只需证明，即．而等价于，
令，则，
令，则，
所以单调递减，，即，所以单调递减，
所以，得证．
例2.已知函数，正实数满足.
证明：.
【解析】由，得
从而，
令，构造函数，
得，可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，也即，
解得：.
自主练习
已知函数恰有两个零点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：.
【解析】（1）函数定义域为,
当时,单调递增,至多一个零点,不合题意,舍去；当时,
当时,单调递减,当时,单调递增,
所以,记,
则,当时单调递增,
当时单调递减,所以0,
即,故,且
令,则,
故函数在区间分别存在一个零点.
综上可得,当时,函数有两个零点.
当时,令,则,且,
所以,①
即②，①-②,得,即,
所以,要证,即证,
又,即证,又,即证,即证
令,
则
所以在时单调递增,且,
所以式得证,即成立.
例3.已知函数.
（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递增区间；
（2）若方程有两个不相等的实数解，证明： .
【详解】
（Ⅰ），∴，
令
即的单调减区间为
（Ⅱ）由，
，只要证
只需证，不妨设
即证，
只需证，
则在上单调递增， ，即证
自主练习
已知函数有两个极值点x1,x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）证明：x1x2＜4．
【解析】（1）有两个极值点x1,x2,
在有两不等实根,
,记,
,单调递减,单调递增,
最小值，因为在有两根,
所以；
（2）由（1）,
,,
要证x1x2＜4,只需证明：即可,不妨设,则
即证,即证,只需证明,令,记函数
,所以单调递减,
,所以成立,同理可证当时结论成立,
所以原命题x1x2＜4得证.
例4.已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：
【解析】
法一：利用参数作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设，
∵，∴，
∴，欲证明，即证.
∵，∴即证，
∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.
法二：直接换元构造新函数：
设，
则，
反解出：，
故，转化成法二，下同，略.
自主练习
已知函数.
（1）当时,求的最大值；
（2）设点和是曲线上不同的两点,且,若恒成立,求实数k的取值范围.
【解析】（1）当时,,的定义域为,
当时,；当时,,
所以在上为增函数,在上为减函数,
所以是的极大值点,也是的最大值点,
故.
（2）不妨设,由,得
由,得,即
设,,则
记,
（i）当时,则图像的对称轴为,所以在上是增函数,
又,从而当时,,
所以,于是在上是减函数,
所以,此时适合题意
（ii）当时,,则恒成立,从而,所以在上是减函数,于是,此时适合题意.
（iii）当时, 的对称轴方程为,且,,所以存在,使得 ,于是在内只有一个零点,
所以当时,,从而
所以在上是增函数,于是当时,,此时不适合题意.
综上,实数k的取值范围
四、综合训练
1.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个相异零点,求证：.
【解析】由题意得,
①时,恒成立,
所以,所以在单调递增.
②时,在上,在上,
所以在单调递减,在单调递增.
综上,时,在单调递增.
时,在单调递减,在单调递增.
（2）因为有两个相异零点,,由（1）可知,,
不妨设,因为,,
所以,,所以,
要证,即证,等价于证明,而,
所以等价于证明,
也就是. （*）
令,则,于是欲证（*）成立,等价于证明成立,
设函数,求导得,
所以函数是上的增函数,所以,
即成立,所以成立.
2.已知函数（）有两个零点.
（1）证明：.
（2）若的两个零点为,,且,证明：.
【解析】（1）证明：由,,可得,.
当时,,所以在上单调递增,与题意不符.
当时,令,得.当时,,单调递减；
当时,,单调递增.可得当时,取得极小值.又因为函数有两个零点,所以,可得.综上,.
（2）解：由上可得的极小值点为,则.
设,,
可得,,
所以在上单调递增,所以,
即,则,,
所以当时,,且.
因为当时,单调递增,所以,即.
设,,则则,即.
所以,
所以.
又因为,则,
所以在上单调递减,所以,所以,即
综上,.

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