资源简介

函数性质的综合运用
1．周期性的几个常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；
(3)f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．
2．函数的奇偶性与对称性的关系
①若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则其函数图象关于直线x＝a对称；当a＝0时可以得出f(x)＝f(－x)，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数．
②若函数f(x)满足f(2a－x)＝2b－f(x)，则其函数图象关于点(a，b)对称；当a＝0，b＝0时得出f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数．
3．函数的对称性与周期性的关系
①若函数f(x)关于直线x＝a与直线x＝b对称，那么函数的周期是2|b－a|.
②若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是2|b－a|.
③若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是4|b－a|.
4．若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c.
1．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1,2) B．[0,2)
C．[0,1) D．[－1,1)
2．已知函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2)
D．(－2,1)
3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)≤2的解集为________．
4．已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　　)
A．0 B．2
C．4 D．8
5．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50　　　B．0 C．2　　　D．50
6．已知f (x)的定义域为R，其函数图象关于x＝－1对称，且f (x＋4)＝f (x－2)．若当x∈[－4，－1]时，f (x)＝6－x，则f (919)＝________.
7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
8．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
9．已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f＝(　　)
A．－1　　 　B．0　　 　C．1　　 　D．2
10．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
11．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________.
12．函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________．
13．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝(　　)
A．0 B．m
C．2m D．4m
14．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝(　　)
A．0 B．m
C．2m D．4m
15．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)＞2的解集为(　　)
A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞)
C.∪(，＋∞) D．(，＋∞)
16．若定义在R上的偶函数f (x)满足f (x)>0，f (x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f (2 023)＝________.
17．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1＜x2时，都有＞0恒成立；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(7)，b＝f(11)，c＝f(2 018)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
18．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图象关于x＝1对称；
③f(x)在[1,2]上是减函数；
④f(2)＝f(0)，
其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．
19．定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0,2]上是增函数；③f(x＋2)的图象关于y轴对称．则下列结论正确的是(　　)
A．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5)
B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)
C．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7)
D．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)
20．(多选)已知函数f (x)对 x∈R，都有f (－2－x)＝f (x)，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，以下结论中正确的是(　　 )
A．f (0)＞f (－3)
B． x∈R，f (x)≤f (－1)
C．f (a2－a＋1)≥f
D．若f (m)＜f (2)，则－4＜m＜2
21．(多选)已知函数y＝f (x)是R上的奇函数，对任意x∈R，都有f (2－x)＝f (x)＋f (2)成立，当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有＞0，则下列结论正确的有(　　 )
A．f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝0
B．直线x＝－5是函数y＝f (x)图象的一条对称轴
C．函数y＝f (x)在[－7,7]上有5个零点
D．函数y＝f (x)在[－7，－5]上为减函数
函数性质的综合运用
1．周期性的几个常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；
(3)f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．
2．函数的奇偶性与对称性的关系
①若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则其函数图象关于直线x＝a对称；当a＝0时可以得出f(x)＝f(－x)，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数．
②若函数f(x)满足f(2a－x)＝2b－f(x)，则其函数图象关于点(a，b)对称；当a＝0，b＝0时得出f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数．
3．函数的对称性与周期性的关系
①若函数f(x)关于直线x＝a与直线x＝b对称，那么函数的周期是2|b－a|.
②若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是2|b－a|.
③若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是4|b－a|.
4．若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c.
1．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1,2) B．[0,2)
C．[0,1) D．[－1,1)
C　[因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，
所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故选C.]
2．已知函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2)
D．(－2,1)
D　[因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．
因为当x≤0时，
函数f(x)＝x3为增函数，
当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，
所以函数f(x)是定义在R上的增函数．
因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，
即x2＋x－2＜0，
解得－2＜x＜1.]
3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)≤2的解集为________．
(8,9]　[因为2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2可得f[x(x－8)]≤f(9)，f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得84．已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　　)
A．0 B．2
C．4 D．8
(2)f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.
5．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50　　　B．0 C．2　　　D．50
C　[法一：(直接法)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
6．已知f (x)的定义域为R，其函数图象关于x＝－1对称，且f (x＋4)＝f (x－2)．若当x∈[－4，－1]时，f (x)＝6－x，则f (919)＝________.
答案　216
解析　由f (x＋4)＝f (x－2)，得f (x＋6)＝f (x)．
故f (x)是周期为6的函数．
所以f (919)＝f (6×153＋1)＝f (1)．
因为f (x)的图象关于x＝－1对称，所以f (1)＝f (－3)．
又x∈[－4，－1]时，f (x)＝6－x，
所以f (－3)＝6－(－3)＝216.
从而f (1)＝216，故f (919)＝216.
7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
D　[因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．]
8．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
2　[显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]
9．已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f＝(　　)
A．－1　　 　B．0　　 　C．1　　 　D．2
D　[设g(x)＝ln(－3x)，易知函数的定义域为R，关于原点对称，
∵g(x)＋g(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＝ln(－3x)(＋3x)＝ln 1＝0，
∴g(x)为奇函数，
∴g(lg 2)＋g＝g(lg 2)＋g(－lg 2)＝0，
又∵f(x)＝g(x)＋1，
∴f(lg 2)＋f＝g(lg 2)＋1＋g＋1＝2.]
10．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
C　[因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(－2 017)＝－f(2 017)，
因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．
又当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，
∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，
f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.
故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1.]
11．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________.
　[∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，
∴f＝，∴f＝.]
12．函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________．
4　[因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，
所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，
所以f(x)是R上的奇函数，
则f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，
所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4)＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0，
所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4.]
13．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝(　　)
A．0 B．m
C．2m D．4m
B　[∵函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，
故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
函数y＝|x2－2x－3|的图象也关于直线x＝1对称，
故函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点也关于直线x＝1对称，且相互对称的两点横坐标和为2.当f(x)不过点(1,4)时，xi＝×2＝m，当f(x)过点(1,4)时，xi＝×2＋1＝m.
综上，xi＝m.]
14．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝(　　)
A．0 B．m
C．2m D．4m
B　[函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，即f(x)＋f(－x)＝2，可得f(x)的图象关于点(0，1)对称，函数y＝，即y＝1＋的图象关于点(0，1)对称，∴函数y＝与y＝f(x)图象的交点也关于(0，1)对称，关于(0，1)对称的两个点的横坐标和为0，纵坐标和为2.
当交点不在对称轴上时，m为偶数，
∴(xi＋yi)＝xi＋yi＝0×＋2×＝m；
当有交点在对称轴上时，m为奇数，则 (xi＋yi)＝xi＋yi＝0×＋0＋2×＋1＝m.
综上， (xi＋yi)＝m.]
15．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)＞2的解集为(　　)
A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞)
C.∪(，＋∞) D．(，＋∞)
B　[f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，因为f(1)＝2，所以f(－1)＝2，所以f(log2x)＞2 f(|log2x|)＞f(1) |log2x|＞1 log2x＞1或log2x＜－1 x＞2或0＜x＜.故选B.]
16．若定义在R上的偶函数f (x)满足f (x)>0，f (x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f (2 023)＝________.
答案　1
解析　因为f (x)>0，f (x＋2)＝，
所以f (x＋4)＝f [(x＋2)＋2]
＝＝＝f (x)，
即函数f (x)的周期是4，
所以f (2 023)＝f (506×4－1)＝f (－1)．
因为函数f (x)为偶函数，
所以f (2 023)＝f (－1)＝f (1)．
当x＝－1时，f (－1＋2)＝，得f(1)＝.
由f (x)>0，得f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (1)＝1.
17．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1＜x2时，都有＞0恒成立；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(7)，b＝f(11)，c＝f(2 018)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
B　[由①知函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以c＝f(2 018)＝f(252×8＋2)＝f(2)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(2)＝f(6)．因为函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜c＜a，故选B.]
18．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图象关于x＝1对称；
③f(x)在[1,2]上是减函数；
④f(2)＝f(0)，
其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．
①②③④　[因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．
令x＝y＝0，
所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，
所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
因为f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，
所以f(x)在[0,1]上为增函数．
由f(x＋2)＝－f(x) f(x＋4)＝－f(x＋2)
f(x＋4)＝f(x)，
所以周期T＝4，
即f(x)为周期函数．
f(x＋2)＝－f(x) f(－x＋2)＝－f(－x)．
又因为f(x)为奇函数．
所以f(2－x)＝f(x)，
所以函数关于x＝1对称．
由f(x)在[0,1]上为增函数，
又关于x＝1对称，
所以f(x)在[1,2]上为减函数．
由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．]
19．定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0,2]上是增函数；③f(x＋2)的图象关于y轴对称．则下列结论正确的是(　　)
A．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5)
B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)
C．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7)
D．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)
D　[由①知函数f(x)的周期为4，由③知f(x＋2)是偶函数，则有f(－x＋2)＝f(x＋2)，即函数f(x)图象的一条对称轴是x＝2，由②知函数f(x)在[0,2]上单调递增，则在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上越靠近x＝2，对应的函数值越大，又f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)＜f(3)＜f(2.5)，即f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．故选D.]
20．(多选)已知函数f (x)对 x∈R，都有f (－2－x)＝f (x)，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，以下结论中正确的是(　　 )
A．f (0)＞f (－3)
B． x∈R，f (x)≤f (－1)
C．f (a2－a＋1)≥f
D．若f (m)＜f (2)，则－4＜m＜2
答案　AB
解析　根据题意，函数f (x)对 x∈R，都有f (－2－x)＝f (x)，
则函数f (x)的图象关于直线x＝－1对称，
又由任取x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，
则f (x)在区间[－1，＋∞)上为减函数，
则f (x)在(－∞，－1]上为增函数；
据此分析选项：
对于A，f (－3)＝f (1)，则有f (0)＞f (1)＝f (－3)，A正确；
对于B，f (x)在区间[－1，＋∞)上为减函数，在(－∞，－1]上为增函数，故f (x)在x＝－1时，取得最大值，即有 x∈R，f (x)≤f (－1)，B正确；
对于C，f (x)在区间[－1，＋∞)上为减函数，又由a2－a＋1＝2＋≥，则f (a2－a＋1)≤f ，C错误；
对于D，若f (m)＜f (2)，则有|m＋1|＞3，解得m＜－4或m＞2，D错误．
21．(多选)已知函数y＝f (x)是R上的奇函数，对任意x∈R，都有f (2－x)＝f (x)＋f (2)成立，当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有＞0，则下列结论正确的有(　　 )
A．f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝0
B．直线x＝－5是函数y＝f (x)图象的一条对称轴
C．函数y＝f (x)在[－7,7]上有5个零点
D．函数y＝f (x)在[－7，－5]上为减函数
答案　ABD
解析　根据题意，函数y＝f (x)是R上的奇函数，
则f (0)＝0；
对任意x∈R，都有f (2－x)＝f (x)＋f (2)成立，
当x＝2时，有f (0)＝2f (2)＝0，则有f (2)＝0，
则有f (2－x)＝f (x)，
即x＝1是函数f (x)的一条对称轴；
又由f (x)为奇函数，则f (2－x)＝－f (－x)，
变形可得f (x＋2)＝－f (x)，
则有f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
故函数f (x)是周期为4的周期函数，
当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有＞0，则函数f (x)在区间[0,1]上为增函数，
又由y＝f (x)是R上的奇函数，
则f (x)在区间[－1,1]上为增函数；
据此分析选项：
对于A，f (x＋2)＝－f (x)，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝[f (1)＋f (3)]＋[f (2)＋f (4)]＝0，
f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝505×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0，A正确；
对于B，x＝1是函数f (x)的一条对称轴，且函数f (x)是周期为4的周期函数，则x＝5是函数f (x)的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线x＝－5是函数y＝f (x)图象的一条对称轴，B正确；
对于C，函数y＝f (x)在[－7,7]上有7个零点：分别为－6，－4，－2,0,2,4,6，C错误；
对于D，f (x)在区间[－1,1]上为增函数且其周期为4，函数y＝f (x)在[－5，－3]上为增函数，
又由x＝－5为函数f (x)图象的一条对称轴，则函数y＝f (x)在[－7，－5]上为减函数，D正确．

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