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第三节 函数的性质——奇偶性、单调性、周期性
考纲解读
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，会利用单调性解决函数的最值问题.
2.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
3.会利用函数的图像理解和研究函数的性质.
命题趋势研究
有关函数性质的高考试题，考查重点是求函数的单调区间，利用函数单调性求函数的最值（值域）、比较大小及求解函数不等式.函数奇偶性的判断及其应用是常考知识点，常与函数的单调性、周期性、对称性、最值等结合综合考查.
知识点精讲
函数奇偶性
定义
设为关于原点对称的区间），如果对于任意的，都有，则称函数为偶函数；如果对于任意的，都有，则称函数为奇函数.
性质
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
函数的单调性
定义
一般地，设函数的定义域为D，区间，若对于任意的，当时，都有（或），则称函数在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间M为函数的一个增（减）区间.
注：定义域中的具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的”.
单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.
熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：
设且，则在上是增函数过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零.
在上是减函数过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零.
性质
对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.
一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若为增函数，则为减函数”也是错误的.如，则为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立:
若为增函数，且或），则为减函数.
若为减函数，且或），则为增函数.
复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
函数的周期性
定义
设函数，如存在非零常数T，使得对任何，且，则函数为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.
注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个，都满足；若是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.
性质
若的周期为T，则也是函数的周期，并且有.
有关函数周期性的重要结论（如表所示）
函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
题型归纳及思路提示
题型16 函数的奇偶性
思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：
（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若，则函数为奇函数；若，则函数为偶函数.
（2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数的图像关于原点中心对称，则为奇函数；若函数的图像关于轴对称，则为偶函数.
【例2.25】判断下列函数的奇偶性.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
评注 利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：
①首先必须判断的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对称，则对定义域任意说明满足定义.若否定奇偶性只需有一个自变量不满足.
②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数.
③本例（3）若用奇偶性的等价形式，则，即，故为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.
变式1：判断下列函数的奇偶性.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
变式2：已知函数，试判断其奇偶性.
【例2.26】已知函数，试判断其奇偶性.
评注 ①函数是奇函数；函数是偶函数.奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称.
②若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例.
③本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由与通过加法法则运算得到的函数，而为偶函数，为奇函数，故当时，为“偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当时，则为偶函数.
变式1：函数是偶函数，并且不等于零，则是（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
变式2：对于函数，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【例2.27】定义在实数集上的函数，对任意都有，且，试判断的奇偶性.
评注 对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令等）凑成含有与的关系的式子，然后进行判断.
变式1：已知函数在R上有定义，且对任意都有，试判断的奇偶性.
变式2：若定义在R上的函数满足对任意有，则下列说法正确的是（ ）
A.是奇函数 B.是偶函数 C.+1为奇函数 D.+1为偶函数
变式3：已知函数在上有定义，且对任意都有，试判断函数的奇偶性.
变式4：已知，在R上有定义，对任意的，有，且.
(1)求证：为奇函数；
(2)若，求的值.
【例2.28】已知偶函数的定义域为，则______________.
变式1：若函数为奇函数，则（ ）
变式2：若函数是奇函数，则_____________.
变式3：若是奇函数，则_____________.
变式4：函数为常数）为其定义域上的奇函数，则____________.
变式5：函数为其定义域上的奇函数，则__________.
【例2.29】已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则当时，=_______________.
评注 解此类题分三步：第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇偶性求出解析式.
变式1：已知函数为R上的奇函数，且当时，，求函数的解析式.
【例2.30】已知为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证：一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式.
变式1：已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.若，则=（ ）
变式2：设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A.是偶函数 是奇函数
是偶函数 是奇函数
【例2.31】函数，若，则的值为（ ）
评注 本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是当为奇函数时，，特别地.
变式1：对于函数（其中），选取的一组计算和，所得出的正确结果一定不可能是（ ）
A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
变式2：已知函数，，则( )
A. B. C. D.4
变式3：设函数的最大值为M，最小值为，则
题型17 函数的单调性（区间）
思路提示
判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法.
【例2.32】求证：函数在上是增函数.
评注 利用函数单调性的定义判定时，其步骤为：（1）取值；（2）作差比较；（3）定量；（4）判断.解题时注意所设的在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时，只要取两个特殊自变量说明不满足即可.
变式1：已知函数对任意，满足，当时，，求证：在R上是增函数.
变式2：定义在R上的函数，当时，，且对任意的，有.
（1）求证：；
（2）求证：对任意的，恒有；
（3）证明：是R上的增函数；
（4）若，求的取值范围.
【例2.33】设是函数的一个减区间，则实数的取值范围是（ ）
变式1：下列区间中，函数在其上为增函数的是（ ）
变式2：已知函数为常数）.若在区间上是增函数，则的取值范围是__________________.
变式3：定义在R上的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ）
A.在区间上是增函数，在区间上是减函数
B.在区间上是增函数，在区间上是减函数
C.在区间上是减函数，在区间上是增函数
D.在区间上是减函数，在区间上是增函数
变式4：已知是R上的减函数，那么的取值范围是（ ）
题型18 函数的周期性
思路提示
（1）；；
（2）；
；
.
（3）.
【例2.34】已知函数对任意实数都满足，若，则___________.
变式1：函数对任意实数都满足，若，则____.
【例2.35】已知函数满足，则_____________.
【例2.36】已知函数是定义在实数集R上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）
A.0 B. C.1 D.
评注 本题也可以从另外一方面解答，先构造一个函数，当时，.令，则.所以，，令，得.因为，即.故.
变式1：已知为非零常数，且，试判断的周期性.
题型19 函数性质的综合
思路提示
（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.
（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.
如函数的图象关于点和点中心对称，可得.
，所以，可得.
如函数的图象关于直线和直线轴对称，可得.，所以，可得.
如函数关于点中心对称，且关于直线轴对称，可得.，所以，故，.
【2.37】定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，则当时，有（ ）
变式1：已知定义域为R的函数在区间上减函数，且函数为偶函数，则（ ）
变式2：已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
变式3：设函数是奇函数，并且在R上为增函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
变式4：设函数是公差不为0的等差数列，，则（ ）
A. 0 B. 7 C. 14 D. 21
【例2.38】函数的定义域为R，若与都是奇函数，则（ ）
A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数
变式1：定义在R上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（ ）
变式2：已知定义在R上奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
【例2.39】定义在R上的函数是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则=( )
变式1：已知是R上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【例2.40】函数的定义域为D，若对任意的，当时，都有，则称函数在D上为非减函数，设函数在上为非减函数，且满足以下3个条件：①；②；③，则( )
变式1：定义在R上的函数满足，，且当时，，则___________.
变式2：设是定义在R上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为_____________.
变式3：对于定义域为的连续函数，如果同时满足以下3个条件：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则为理想函数.
（1）若函数为理想函数，求的值域；
（2）判断函数是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数为理想函数，假定存在，使得，且，求证：.
最有效训练题6（限时45分钟）
1.已知函数，现使为减函数的区间是（ ）
2.已知函数，如果存在实数，使得对任意实数，都有，则的值是（ ）
A.0 B.2 C.3 D.5
3.函数的图象如图所示，则下列哪个区间是函数的单调减区间（ ）
4.已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（ ）
5.函数是以2为周期的偶函数，且当时，，则的值为（ ）
6.设，若，则( )
7.设函数是偶函数，则实数__________.
8.(1)奇函数的定义域为，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是__________.
(2)已知函数是R上的偶函数，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是________.
9．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则_________.
10.已知函数的最大值为,最小值为，则的值为___________.
11.设是定义在上的奇函数，且对任意实数恒有.当时, .（1）求证: 是周期函数；（2）当时，求的解析式；（3）计算.
12．已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
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2第三节 函数的性质——奇偶性、单调性、周期性
考纲解读
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，会利用单调性解决函数的最值问题.
2.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
3.会利用函数的图像理解和研究函数的性质.
命题趋势研究
有关函数性质的高考试题，考查重点是求函数的单调区间，利用函数单调性求函数的最值（值域）、比较大小及求解函数不等式.函数奇偶性的判断及其应用是常考知识点，常与函数的单调性、周期性、对称性、最值等结合综合考查.
知识点精讲
函数奇偶性
定义
设为关于原点对称的区间），如果对于任意的，都有，则称函数为偶函数；如果对于任意的，都有，则称函数为奇函数.
性质
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
函数的单调性
定义
一般地，设函数的定义域为D，区间，若对于任意的，当时，都有（或），则称函数在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间M为函数的一个增（减）区间.
注：定义域中的具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的”.
单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.
熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：
设且，则在上是增函数过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零.
在上是减函数过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零.
性质
对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.
一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若为增函数，则为减函数”也是错误的.如，则为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立:
若为增函数，且或），则为减函数.
若为减函数，且或），则为增函数.
复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
函数的周期性
定义
设函数，如存在非零常数T，使得对任何，且，则函数为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.
注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个，都满足；若是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.
性质
若的周期为T，则也是函数的周期，并且有.
有关函数周期性的重要结论（如表所示）
函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
题型归纳及思路提示
题型16 函数的奇偶性
思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：
（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若，则函数为奇函数；若，则函数为偶函数.
（2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数的图像关于原点中心对称，则为奇函数；若函数的图像关于轴对称，则为偶函数.
【例2.25】判断下列函数的奇偶性.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
解析 （1）由可知，故函数的定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.
(2)由，故函数的定义域为，关于原点对称，故，所以，所以函数既是奇函数又是偶函数.
(3)因为对任意实数，都有，故定义域为R.且，故为奇函数.
(4)由，定义域关于原点对称.
此时，，故有，所以为奇函数.
(5)当时，；当时，.故为奇函数.
评注 利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：
①首先必须判断的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对称，则对定义域任意说明满足定义.若否定奇偶性只需有一个自变量不满足.
②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数.
③本例（3）若用奇偶性的等价形式，则，即，故为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.
变式1：判断下列函数的奇偶性.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解析 （1）函数的定义域为，其定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数.
（2）函数的定义域为（-2，2），其定义域关于原点对称，又函数，可得，故函数为奇函数.
（3）解法一：设，则，
同样当时，，故函数为奇函数.
解法二：（图象法）函数的图象如图2-42所示，知函数为奇函数.
（4）函数的定义域为R，关于原点对称，
又，故函数为偶函数.
变式2：已知函数，试判断其奇偶性.
解析 函数的定义域为R,又，故函数为奇函数.
【例2.26】已知函数，试判断其奇偶性.
分析 利用函数奇偶性的定义进行判断.
解析 当时，，满足，故为偶函数；
当时，，假设对任意，恒成立，则此时，与前提矛盾；
假设对任意，恒成立，则此时，即，与条件定义域矛盾.
综上所述，当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数.
评注 ①函数是奇函数；函数是偶函数.奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称.
②若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例.
③本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由与通过加法法则运算得到的函数，而为偶函数，为奇函数，故当时，为“偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当时，则为偶函数.
变式1：函数是偶函数，并且不等于零，则是（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
解析 可证明为奇函数，要使是偶函数，由运算函数的奇偶性规律可知，是奇函数，故选A.
变式2：对于函数，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若函数是奇函数，则，此时，，因此是偶函数，其图象关于y轴对称，但当的图象关于y轴对称时，未必推出是奇函数，如是偶函数，且，其图象关于y轴对称，并非奇函数，故“的图象关于y轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.故选B.
【例2.27】定义在实数集上的函数，对任意都有，且，试判断的奇偶性.
分析 对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法得到与的关系.
解析 由函数定义域为R可知定义域关于原点对称.依题意可令，得，因为，所以.令，可得，即，所以，故函数为偶函数.
评注 对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令等）凑成含有与的关系的式子，然后进行判断.
变式1：已知函数在R上有定义，且对任意都有，试判断的奇偶性.
解析 令，得，令，得，所以函数是奇函数.
变式2：若定义在R上的函数满足对任意有，则下列说法正确的是（ ）
A.是奇函数 B.是偶函数 C.+1为奇函数 D.+1为偶函数
解析 解法一：由有，
设，则，
所以，令，
故，所以是奇函数，故选C.
变式3：已知函数在上有定义，且对任意都有，试判断函数的奇偶性.
分析 对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法，如令转化.
解析 由于，令，得，即；令，则，所以，故为奇函数.
变式4：已知，在R上有定义，对任意的，有，且.
(1)求证：为奇函数；
(2)若，求的值.
解析 解法一：令，则=0，
令，则，又，所以 ，
令，则，所以为奇函数..
解法二：令，则
所以，，
，所以为奇函数.
（2）令,则，所以，又因为，所以，故的值为1.
【例2.28】已知偶函数的定义域为，则______________.
分析 定义域关于原点对称是奇函数或偶函数的必要条件.
解析 因为为偶函数，故其定义域必关于原点对称，所以，且，解得.由函数为偶函数得的系数为0，则，即，故.
变式1：若函数为奇函数，则（ ）
解析 解法一： 由函数的定义域为且，有因为奇函数，可知定义域关于原点对称，故，故选A.
解法二：为奇函数，由于分子为奇函数，则分母为偶函数，又知分母为二次函数，则一次项系数为0，所以，故选A.
变式2：若函数是奇函数，则_____________.
分析 由函数的定义域含有数0，则必有
解析 函数且）为定义域为R的奇函数，且在有意义，故满足，从而得又且，所以.
变式3：若是奇函数，则_____________.
解析 解法一：因为为奇函数，所以，
即，整理得，得.
解法二：（赋值法）因为为奇函数，所以，解得.
变式4：函数为常数）为其定义域上的奇函数，则____________.
解析 依题意，函数（k为常数）为其定义域上的奇函数，则，
得故，，
若k=1，得故为奇函数；
若k=-1，得故为奇函数；
故k=1或k=-1
变式5：函数为其定义域上的奇函数，则__________.
解析 依题意，函数为其定义域上的奇函数，则
即
若k=1，得无意义，故舍去；
若k=-1，得满足为奇函数，故k=-1
【例2.29】已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则当时，=_______________.
解析 当时，则，因为是偶函数，所以，故当时，.
评注 解此类题分三步：第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇偶性求出解析式.
变式1：已知函数为R上的奇函数，且当时，，求函数的解析式.
解析 当x﹤0时，-x﹥0，
所以f(-x)=-x-(-x)2=-x-x2,因为f(x)为奇函数，所以f(x)=- f(-x)= x2+x,
所以当x﹤0时f(x)=- f(-x)= x2+x；当x=0时，f(0)=0,
所以
【例2.30】已知为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证：一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式.
分析 先设能写成一个函数和一个偶函数之和，再利用奇偶函数的定义列方程组，解方程组即得.
解析 先假设存在……………①
其中为奇函数，是偶函数，则………②
由①+②得，，由①-②得，.
由此，我们得出结论，对定义域关于原点对称的函数，都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和.
变式1：已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.若，则=（ ）
解析 因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以由f(x)+g(x)=ax-a-x+2…①得
f(-x)+g(-x)=a-x-ax+2即-f(x)+g(x)= a-x-ax+2….②
1 +② ，得g(x)=2，①-②得f(x)= ax-a-x，又g(2)=a，所以a=2,
所以f(x)= 2x-2-x，f(2)= 22-2-2=15/4,故选B
变式2：设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A.是偶函数 是奇函数
是偶函数 是奇函数
解析 令f(x)=x2,g(x)=x3,则
A.f(x)+|g(x)|= x2+| x3|, f(-x)+|g(-x)|= x2+| x3|= f(x)+|g(x)|,故选项A正确.同理B,C,D错误.
【例2.31】函数，若，则的值为（ ）
分析 函数中为奇函数，借助奇函数的性质求解.
解析 令，得，依题意得，，所以.由为奇函数，故，所以，故选B.
评注 本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是当为奇函数时，，特别地.
变式1：对于函数（其中），选取的一组计算和，所得出的正确结果一定不可能是（ ）
A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
解析 f(1)+ f(-1)=asin1+b+c+asin(-1)-b+c=2c,因为cZ,则f(1)+ f(-1为偶数，在4个选项中，只有选项D中1+2=3不是偶数，故选D.
变式2：已知函数，，则( )
A. B. C. D.4
分析 根据函数y=ax3+bsinx为奇函数求解.
解析 由则f()+f(=8,故f(=3，故选C.
变式3：设函数的最大值为M，最小值为，则
解析 将函数解析式化简，利用函数的奇偶性求解.
，设，则，所以是奇函数，由奇函数图像的对称性知所以
题型17 函数的单调性（区间）
思路提示
判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法.
【例2.32】求证：函数在上是增函数.
分析 利用函数单调性的定义来证明.
解析 设任意的两个实数且，则有.因为，所以，，，故在上是增函数.
评注 利用函数单调性的定义判定时，其步骤为：（1）取值；（2）作差比较；（3）定量；（4）判断.解题时注意所设的在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时，只要取两个特殊自变量说明不满足即可.
变式1：已知函数对任意，满足，当时，，求证：在R上是增函数.
分析 判断抽象函数的单调性利用定义法求解.
解析 任取x1,x2R，设x1﹤x2, x2- x1﹥0,因为x﹥0,时，f(x)﹥2,
所以f( x2- x1) ﹥2,由f(x)+ f(y)= f(x+y)+2,可得f(x+y)- f(x)= f(y)-2，
设x+y=x2,x=x1,则y=x2-x1,所以f( x2)- f( x1)= f( x2- x1)-2.
因为f( x2- x1) ﹥2,所以 f( x2)- f( x1)= f( x2- x1)-2﹥0，所以f( x2)﹥ f( x1)，
当即x1﹤x2, f( x2)﹥ f( x1)，所以f(x)在R上是增函数.
评注：判定抽象函数的单调性时，常利用赋值法和定义法比较f( x2)和 f( x1)的大小
变式2：定义在R上的函数，当时，，且对任意的，有.
（1）求证：；
（2）求证：对任意的，恒有；
（3）证明：是R上的增函数；
（4）若，求的取值范围.
（5）解析 （1）令a=b=0,则f(0)=[ f(0)]2,因为f(0)≠0，所以f(0)=1.
（6）（2）当x﹥0 时，f( x)﹥1﹥0；当x=0 时，f( 0)=1﹥0；
（7）当x﹤0 时，f( x) f(- x)= f( 0)=1，则f( x)= 【f(- x)】-1﹥0，
（8）故对任意的xR，恒有f( x)﹥0.
（9）（3）令a﹥0，则a+b﹥b,f(a+b)- f(b)= f(a) fb)- f(b)=[ f(a)-1] fb),
（10）当a﹥0时，f( a)﹥1,且bR,恒有f(b)﹥0.故f(a+b) ﹥ f(b)，
（11）所以f(x)在R上是增函数.
（12）（4）因为f(x). f(2x-x2)= f(3x-x2) ﹥1= f( 0),所以3x-x2 ﹥ 0，
（13）所以0﹤x﹤3,故x的取值范围时（0,3）
【例2.33】设是函数的一个减区间，则实数的取值范围是（ ）
分析 作出函数的图象，找出递减区间，从而确定的取值范围.
解析 由得，，知为偶函数，其图象关于轴对称.只要画出当时的图象，然后作出其关于轴对称的图形即可得到部分的图象，如图所示.可知，若为函数的减区间，则.故选B.
变式1：下列区间中，函数在其上为增函数的是（ ）
解析 用图象法解决，将y=lnx的图像关于y轴对称得到y=ln（-x），再向右平移两个单位，得到y=ln（-（x-2））的图像，将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到f(x)=|ln(2-x)|的图像，由图2-43知，选项中f(x)是增函数的显然只有D.故选D.
评注：要得到函数f(x)=|ln(2-x)|的图像，也可先作函数y=ln(x+2)的图像，将其关于y轴对称得函数y=ln(-x+2)的图像，在x轴下方的部分翻折上来，即得到f(x)=|ln(2-x)|的图像.
变式2：已知函数为常数）.若在区间上是增函数，则的取值范围是__________________.
解析 如图2-44所示，函数f(x)在区间【a,+∞)上单调递增，
因此【1,+∞) 【a,+∞)，故a的取值范围是（-∞，1】.
变式3：定义在R上的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ）
A.在区间上是增函数，在区间上是减函数
B.在区间上是增函数，在区间上是减函数
C.在区间上是减函数，在区间上是增函数
D.在区间上是减函数，在区间上是增函数
E.分析 根据题意，作出函数f(x)的草图，判断函数的单调性即求函数的单调区间.
F.解析 由f(x)= f(2-x)可知f(x)的图像关于x=1对称，又因为f(x)为偶函数，其图像关于x=0对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2，结合f(x)在区间[1,2]是减函数，可得到如图2-45所示的函数f(x)的草图，观察可知，f(x)在区间[-2,-1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数.故选B.
G.
变式4：已知是R上的减函数，那么的取值范围是（ ）
分析 本题所给的函数为分段的形式，要满足在R上的递减不仅要满足在每个子区间上递减，而且要满足在整个定义域上都递减.
解析 函数f(x)在R上递减，故x﹤1时，f(x)=(3a-1)x+4a单调递减，因此3a-1﹤0，得a﹤ ；当x≥1时，f(x)=logax单调递减，
故0 ﹤a﹤1.同时结合f(x)的图像（如图2-46所示），
当x=1时，（3a-1）+4a≥loga1,解得a≥1/7,
综上a的取值范围是[1/7, 1/3).故选C.
评注：关于分段函数的单调性应注意：
若，g(x)在[a,b]上是增函数，h(x)在[c,d]上是增函数，则f(x)在区间[a,b]∪ [c,d]上不一定是增函数，若使f(x)在区间[a,b]∪ [c,d]上一定是增函数，需补充条件g(b)≤h(c).
即有下面的重要结论：
分段函数为单调增函数
分段函数为单调减函数
题型18 函数的周期性
思路提示
（1）；；
（2）；
；
.
（3）.
【例2.34】已知函数对任意实数都满足，若，则___________.
解析 ，有，所以，故，所以.
变式1：函数对任意实数都满足，若，则____.
解析 有所以f(x+4)=f(x),故T=4，f(5)=f(1)=-5,所以f(f(5))=f(-5)=f(-1)=1/f(1)=-1/5
【例2.35】已知函数满足，则_____________.
解析 令
，，所以，又令，有，所以.
【例2.36】已知函数是定义在实数集R上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）
A.0 B. C.1 D.
分析 为偶函数，有，只能从或者时入手.
解析 当时，即时，，得，故选A.
评注 本题也可以从另外一方面解答，先构造一个函数，当时，.令，则.所以，，令，得.因为，即.故.
变式1：已知为非零常数，且，试判断的周期性.
解析 ,
所以，即所以f(x+4a)=f(x),T=4|a|,
故(x)为周期函数，且T=4|a|.
题型19 函数性质的综合
思路提示
（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.
（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.
如函数的图象关于点和点中心对称，可得.
，所以，可得.
如函数的图象关于直线和直线轴对称，可得.，所以，可得.
如函数关于点中心对称，且关于直线轴对称，可得.，所以，故，.
【2.37】定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，则当时，有（ ）
分析 偶函数关于轴对称，关于轴对称的两部分图象单调性相反.
解析 由，有可得时，单调递增，因为为偶函数，所以当时，单调递减，所以自变量绝对值越小，所对应的的函数值越大.因为，所以，故选C.
变式1：已知定义域为R的函数在区间上减函数，且函数为偶函数，则（ ）
解析 因为s(x+8)为周期函数，所以f(-x+8)=f(x+8),所以f(x)关于x=8对称，又因x∈(8,+ ∞)时，f(x)为减函数，所以x∈(-∞，8)时，f(x)为增函数，所以|x-8|越小，f(x)越大，
|6-8|>|7-8|f(6)|9-8|f(6)|7-8|=|9-8|f(7)=f(9) ;|7-8|<|10-8|f(7) >f(10).故选D.
变式2：已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
解析 偶函数f(x)在区间（- ∞，0）上单调递增，所以f(x)在区间[0,+ ∞）上单调递减，即|x|越小，f(x)越大，由f(2x-1)=f (|2x-1|)可得|2x-1|<1/3，解得1/3变式3：设函数是奇函数，并且在R上为增函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
解析 因为f(x)是奇函数，且在R上为增函数，又f(msin )+ f(1-m) >0
所以f(msin ) >- f(1-m) =f(m-1),所以msin >m-1，令t=sin ∈[0,1],构造函数g(t)=mt-m+1, t∈[0,1],由函数g(t)在[0,1]上恒大于0，则-m+1>0,故m<1,故选D.
变式4：设函数是公差不为0的等差数列，，则（ ）
A. 0 B. 7 C. 14 D. 21
解析f(x)=(x-3)3+x-1=(x-3)3+x-3+2,设t=x-3,令g(t)=t3+t,易知g(t)在R上为单调递增的奇函数.有f(a1)+ f(a2)+…+ f(a7)=14,得
g(t1)+g(t2)+…+g(t7)=0,其中t1=a1-3,t2=a2-3,…
当t1+t7>0时，得t1>-t7,g(t1) >g(-t7)=- g(t7),即g(t1) + g(t7)>0，同理g(t2) + g(t6)>0，g(t3) + g(t5)>0，g(t4) >0，
故t1+t7>0得g(t1) + g(t2) +…+ g(t7)>0.
当t1+t7<0得g(t1) + g(t2) +…+ g(t7) <0.
又g(t1) + g(t2) +…+ g(t7)=0，故只有t1+t7=0
即a1+a7=6,则a1+a2+…+a7=( a1+ a7)x7/2=21.故选D.
评注 :本题考查了单调递增的奇函数的性质：若，或
【例2.38】函数的定义域为R，若与都是奇函数，则（ ）
A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数
分析 由奇偶性对称性周期性.
解析 因为为奇函数，所以，故为函数的对称中心，由为奇函数，同理也为函数的对称中心，利用结论知函数的周期为4，则，所以为奇函数.故选D.
变式1：定义在R上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（ ）
解析 由f(x+1)= -f(x)，可得T=2，所以a=f(3)=f(-1),b=f()=f(-2),c=f(2)=f(0),因为f(x)在[-1,0]上单调递增，所以f(0) >f(-2) > f(-1)，所以c>b>a,故选B.
变式2：已知定义在R上奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
解析 由f(x-4)= -f(x)，可得T=8，所以f(80)=f(0), f(-25)=f(-1),
f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1),因为f(x)为定义在R上的奇函数且在[0,2]上单调递增，所以f(x)在[-2,2]上单调递增，所以f(1) >f(0) >f(-1),即f(-25) 【例2.39】定义在R上的函数是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则=( )
解析 因为的T=2，且是定义在R上的奇函数，所以，则，故选B.
变式1：已知是R上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
解析 因为当0≤x﹤2时，f(x)=x3-x=x(x2-1),又因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)=0,所以f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,又因为f(1)=0,f(3)=0,f(5)=0,故函数y=f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为7个，故选B.
【例2.40】函数的定义域为D，若对任意的，当时，都有，则称函数在D上为非减函数，设函数在上为非减函数，且满足以下3个条件：①；②；③，则( )
解析 ，也可得，由可得，所以.因为当时都有，所以可由得，，即，所以.故选A.
变式1：定义在R上的函数满足，，且当时，，则___________.
分析 当x1解析 由f(0)=0,f(x)=+f(1-x)=1,可得f()=,f(1)=1-f(0)=1,
f()=f(1)= ,当x∈ [,]时，,所以
同理
又因为
变式2：设是定义在R上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为_____________.
解析 设x1∈[3,4],f(x1)=x1+g(x1) ∈[-2,5],因为g(x)是定义在R上且周期为1的函数，所以当x2=x1+1∈[4,5]时，f(x2)=x1+1+g(x1+1)= x1+g(x1) +1∈[-1,6], 当x3=x2+1∈[5,6]时，f(x3)=x1+2+g(x1+2)= x1+g(x1) +2∈[0,7]；…当x7=x1+6∈[9,10]时，f(x7)=x1+6+g(x1+6)= x1+g(x1) +6∈[4,11].同理当x∈[-10,-9]时，f(x)=f(x1-13)=x1-13+g(x1-13)= x1+g(x1) -13∈-15,-8],综上，当x∈[-10,10]时，函数f(x)的值域为[-15,11].
变式3：对于定义域为的连续函数，如果同时满足以下3个条件：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则为理想函数.
（1）若函数为理想函数，求的值域；
（2）判断函数是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数为理想函数，假定存在，使得，且，求证：.
（4）解析 (1)由③得f(1)≥f(1)+f(0) f(0) ≤0, 由①得f(0) ≥0,所以f(0) =0，当00且t+x=1,由②③得f(1)≥f(x)+f(t),又因为f(x)为[0,1]上的连续函数，所以f(x) ≤1，所以0≤f(x)≤1，所以f(x)的值域为[0,1].
（5）(2) g()x=2x-1(x∈[0,1])是理想函数，证明如下：x∈[0,1]时，1≤2x≤2，所以2x-1≥0，所以满足①；f(1)= 21-1=1,所以满足②；
（6）X1≥0, x2≥0,x1+x2≤1时，
（7）g(x1+x2)-g(X1)-g(x2)=2x1+x2 -2x1-2x2+1=(2x1-1)(2x2-1) ≥0,
（8）所以g(x1+x2)-g(X1)-g(x2)≥0,即g(x1+x2) ≥g(X1)+ -g(x2)，所以满足③.
（9）故函数g()x=2x-1(x∈[0,1])是理想函数.
（10）（3）证明：假设f(x0)=t,当x0﹥t时，f(f(x0))=f(t)=x0,因为x0﹥t,函数f(x)在[0,1]上非减，所以f(x) ≥f(t),即t≥x0与x0﹥t矛盾，故当x0﹥t时不成立，同理当x0﹤t时，也与已知矛盾.所以f(x0)= x0.
最有效训练题6（限时45分钟）
1.已知函数，现使为减函数的区间是（ ）
2.已知函数，如果存在实数，使得对任意实数，都有，则的值是（ ）
A.0 B.2 C.3 D.5
3.函数的图象如图所示，则下列哪个区间是函数的单调减区间（ ）
4.已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（ ）
5.函数是以2为周期的偶函数，且当时，，则的值为（ ）
6.设，若，则( )
7.设函数是偶函数，则实数__________.
8.(1)奇函数的定义域为，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集是__________.
(2)已知函数是R上的偶函数，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是________.
9．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则_________.
10.已知函数的最大值为,最小值为，则的值为___________.
11.设是定义在上的奇函数，且对任意实数恒有.当时, .（1）求证: 是周期函数；（2）当时，求的解析式；（3）计算.
12．已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
最有效训练6
1.D 解析 由x2-2x-3 ﹥0得函数的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞），且二次函数t= x2-2x-3在（-∞，-1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，而y=log2t是增函数，所以复合函数f(x)= log2(x2-2x-3)
在（-∞，-1）上是减函数.故选D.
2.C 解析 由于f(x)=x2在[-2,0]上单调递减，在[0,3]上单调递增，故最小值点x1=0，最大值点x2=3，∣x1- x2∣=3.故选C.
3.C 解析 令t=logax(0﹤a﹤1),则此函数为减函数，由图2-6知y=f(t)在（-∞，0）和（，+∞）上都是减函数，在[0, ]上是增函数，
当t∈[0, ]时，x∈[,1],所以，函数g(x)=f(logax)在 [,1]上是减函数.故选C.
4.C 解析 依题意得，函数f(x)在r上单调递减，则故选C.
5.A 解析 f(log212)= f(log212-4)= f(log2)= f(-log2)= f(log2),
由于0﹤log2﹤1，故f(log2)=.故选A.
6.B 解析 令g(x)=x3+x,x∈R,则g(x)为单调递增的奇函数，又f(a)=1,f(b)=-5,所以f(a)+f(b)=g(a)-2+g(b)-2=-4,即g(a) +g(b)=0，所以a+b=0.故选B.
7. -1 解析 令g(x)=x,h(x)=ex+ae-x，因为函数g(x)=x是奇函数，则由题意知，函数h(x)=ex+ae-x是奇函数，又函数f(x)的定义域为R，
所以h(0)=0,解得a=-1.
8. (1) (-2,0) ∪(2,5]; (2)（-∞,-2] ∪[2, +∞）
解析 （1）由奇函数图像的对称性补出其在[-5,0)上的图像，由图像知解集为(-2,0) ∪(2,5].
（2）由已知f(x)在[0, +∞）上都是减函数，且f(a)=f(∣a∣)
所以f(a) ≥f(2),故f(∣a∣) ≥f(2)所以∣a∣ ≥2，得a≤-2或a≥2，
则实数a的取值范围是（-∞,-2] ∪[2, +∞）.
9.2x-x2-3 解析 依题意，f(-x)+g(-x)=x2-2x+3=- f(x)+g(x),
因此f(x)-g(x)= 2x-x2-3（x∈R）
10. 2 解析 将f(x)变形，利用奇函数的图像冠宇原点对称的特殊性质，因为其中是奇函数，所以M=1+,m=1-故 M+m=2.
11.解析 （1）证明：因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
所以f(x)是周期为4的周期函数.
（2）当x∈[2,4]时，x-2∈[0,2],所以f(x-2)=-x2+6x-8,又因为f(x-2)=-f(（x-2）+2)= -f(x)，所以当x∈[2,4]时f(x) =-x2+6x-8.
（3）f(0)=0, f(2)=0, f(1)=1, f(3)=-1, 又f(x)是周期为4的周期函数.所以f(0)+ f(1)+f(2)+f(3)= f(4)+ f(5)+f(6)+f(7)=…
= f(2012)+ f(2013)+f(2014)+f(2015)=0所以f(0)+ f(1)+f(2)+…+f(2015)=0
12. 解析 (1) 由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)=0,所以：
（2）由，得根据复合函数单调性的判定知函数f(x)在R上单调递减.
（3）依题意知函数f(x)是定义在R上的单调递减的奇函数，由f(t2-2t)+f(2t2-k)﹤0,得f(t2-2t) ﹤-f(2t2-k) = f(-2t2+k)，所以t2-2t ﹥k-2t2
即k<3t2-2t,t∈R,得k<(3t2-2t)min, t∈R,因此k<
所以k的取值范围是（-∞，）.
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