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第五节 指数与指数函数
考纲解读
1. 了解指数函数模型的实际背景.
2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质.
3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.
4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型.
命题趋势探究
指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主，主要考查指数函数的性质及应用，一般以选择题和填空题的形式出现，例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势.
知识点精讲
一、指数的运算性质
当a>0，b>0时，有
(1)aman=am+n(m,nR)； (2)( m,nR)
(3)(am)n=amn(m,nR)； (4)(ab)m=ambm(mR)；
(5)(pQ) (6)(m,nN+)
二、指数函数
(1)一般地，形如y=ax(a>0且a1)的函数叫做指数函数；
(2)指数函数y=ax(a>0且a1)的图像和性质如表2-6所示.
y=ax a>1 0图象
(1)定义域：R (1)定义域：R
值域 (2)值域：(0,+) (2)值域：(0,+)
(3)过定点(0,1) (3)过定点(0,1)
(4)在R上是增函数. (4)在R上是减函数.(5)00y=1x=0y>1x<0
(5)01x>0
题型归纳及思路提示
题型23 指数运算及指数方程、指数不等式
思路提示
利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a2x+Bax+C=0或a2x+Bax+C0(0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.
一、指数运算
例2.48化简并求值.
(1)若a=2，b=4，的值；
(2)若，的值；
(3)设(nN+)，求的值.
变式1 设2a=5b=m，且，则m=( ).
A. B. 10 C. 20 D. 100
二、指数方程
例2.49 解下列方程
(1)9x-43x+3=0；(2)；
变式1 方程9x-63x-7=0的解是________.
变式2 关于x的方程有负实数根，则a的取值范围是__________.
三、指数不等式
例2.50若对x[1,2]，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
变式1 已知对任意xR，不等式恒成立，求m的取值范围.
变式2 函数的定义域为集合A，关于x的不等式(xR)的解集为B，求使A∩B=A的实数a的取值范围.
题型24 指数函数的图像及性质
思路提示
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
一、指数函数的图像
例2.51 函数的图象如图2-14所示，其中a，b为常数，则下列结论中正确的是( ).
A. a>1，b<0 B. a>1，b>0
C. 0评注：若本题中的函数变为，则答案又应是什么？由图2-14可知(x)单调递减，即0变式1 若函数y=ax+b-1(a>0且a1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ).
A. 00 B. a>1且b>0
C. 01且b<0
变式2 函数(a>0，a1)的图象可能是( ).
变式3 已知实数a，b满足，下列5个关系式：①0A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
例2.52 函数(x)=(a>0且a1)的图像过定点_________.
变式1 函数(x)=ax+1(a>0且a1)的图像过定点________.
变式2 函数(x)=ax+x-2的图像过定点________.
变式3 (x)=(a>0且a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(m,n>0)上，则的最小值为________.
二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))
例2.53 函数(x)=ax(a>0且a1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是_______.
变式1 函数(x)=ax(a>0且a1)在区间[a,a+2]上的最大值是最小值的3倍，则a=_____.
变式2 定义区间[x1,x2](x1变式3 若y=3|x|(x([a,b])的值域为[1,9]，则a2+b2-2a的取值范围是( ).
A. [2.4] B. [4,16] C. [2,2] D. [4,12]
例2.54 函数(0变式1 函数的单调增区间是________.
变式2 求函数(x[-3,2])的单调区间及值域.
变式3 已知0x2，求函数的最大值和最小值.
变式4 设函数y=(x)在(-,+)内有定义，对于给定的正数k，定义函数 ，取函数(x)=2-|x|，当时，函数k(x)的单调增区间为( ).
A. (-,0] B. [0,+) C. (-,-1] D. [1,+)
变式5 若函数的图像与x轴有公共点，则m的取值范围是________.
变式6 已知函数，xR，若方程(x)=a有两个不同实根，则a的取值范围是__________.
题型25 指数函数中的恒成立问题
思路提示
(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.
(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.
例2.55 设(xR)，当x(-,-1]时，(x)的图象在x轴上方，求实数a的取值范围.
变式1 已知函数(a>0且a1).
(1)判断函数(x)的奇偶性；
(2)讨论函数(x)的单调性；
(3)当x[-1,1]时，(x)b恒成立，求实数b的取值范围.
变式2定义域为R的函数是奇函数.
求a,b的值.
若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.
变式3 已知函数，若对于恒成立，求实数m的取值范围.
最有效训练题8(限时45分钟)
1.函数是指数函数，则有（ ）
A a=1或a=2 B a=1 C a=2 D 且
2.设，则（ ）
A B C D
3.设函数定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当时，，则有（ ）
A B
C D
4. 函数是（ ）
A 奇函数，在区间上单调递增
B 奇函数，在区间上单调递减
C 偶函数，在区间上单调递增
D 偶函数，在区间上单调递减.
5.若关于x的方程有解，则实数a的取值范围是（ ）
A B C D
6.函数在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A B C （1，） D
7.不等式，当时，恒成立，则实数a的取值范围为 .
8. 函数的单调递增区间是 .9.已知关于x的方程有两个不同实数根，则实数k的取值范围为 .
10. 偶函数满足 ，且在时，，则关于x的方程，在上的解的个数是 .
11.已知函数（其中a,b为常数且的图像经过点A（1,6），B（3,24）.
（1）确定.
（2）若不等式在时恒成立，求实数m的取值范围.
12.已知函数，函数的最小值为h(a).
(1)求h(a);
(2)是否存在实数m,n同时满足下列条件：①；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为.若存在，求出m,n的值；若不存在，说明理由.第五节 指数与指数函数
考纲解读
1. 了解指数函数模型的实际背景.
2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质.
3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.
4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型.
命题趋势探究
指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主，主要考查指数函数的性质及应用，一般以选择题和填空题的形式出现，例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势.
知识点精讲
一、指数的运算性质
当a>0，b>0时，有
(1)aman=am+n(m,nR)； (2)( m,nR)
(3)(am)n=amn(m,nR)； (4)(ab)m=ambm(mR)；
(5)(pQ) (6)(m,nN+)
二、指数函数
(1)一般地，形如y=ax(a>0且a1)的函数叫做指数函数；
(2)指数函数y=ax(a>0且a1)的图像和性质如表2-6所示.
y=ax a>1 0图象
(1)定义域：R (1)定义域：R
值域 (2)值域：(0,+) (2)值域：(0,+)
(3)过定点(0,1) (3)过定点(0,1)
(4)在R上是增函数. (4)在R上是减函数.(5)00y=1x=0y>1x<0
(5)01x>0
题型归纳及思路提示
题型23 指数运算及指数方程、指数不等式
思路提示
利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a2x+Bax+C=0或a2x+Bax+C0(0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.
一、指数运算
例2.48化简并求值.
(1)若a=2，b=4，的值；
(2)若，的值；
(3)设(nN+)，求的值.
分析：利用指数运算性质解题.
解析：
.
当a=2，b=4，原式.
(2)先对所给条件作等价变形：
，
，
x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.
故.
(3)因为，所以，
所以.
所以.
变式1 设2a=5b=m，且，则m=( ).
A. B. 10 C. 20 D. 100
解析 解法一：
。
解法二： 由得得，
则，
即。故选A。
二、指数方程
例2.49 解下列方程
(1)9x-43x+3=0；(2)；
分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3x)2；对于，对其底进行化简运算.
解析：(1)9x-43x+3=0(3x)2-43x+3=0，令t=3x(t>0)，则原方程变形为t2-4t+3=0，
得t1=1，t2=3，即或，故x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1.
(2)由，可得即，所以，得x=-3.
故原方程的解为x=-3.
变式1 方程9x-63x-7=0的解是________.
解析 ，令，则原方程变形为，得（舍），即， ，故原方程的解是。
变式2 关于x的方程有负实数根，则a的取值范围是__________.
解析 关于的方程有负实数解，则，将方程转化为不等式，则，解得， 故的取值范围是
。
三、指数不等式
例2.50若对x[1,2]，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
分析：利用指数函数的单调性转化不等式.
解析：因为函数y=2x是R上的增函数，又因为x[1,2]，不等式恒成立，即对x[1,2]，不等式x+m>1恒成立函数y=x+m在[1,2]上的最小值大于1，而y=x+m在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m，所以1+m>1，即m>0.
所以实数m的取值范围是{m|m>0}.
变式1 已知对任意xR，不等式恒成立，求m的取值范围.
分析 求解指数不等式，可将其化为同底的形式，利用单调性求解。
解析 原不等式化为 因为指数函数是R上的减函数。
所以，即 ①，因为原不等式对恒成立，所以①对恒成立；所以，解得， 所以的取值范围是。
变式2 函数的定义域为集合A，关于x的不等式(xR)的解集为B，求使A∩B=A的实数a的取值范围.
解析 函数的定义域，由不等式，得，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，。
由，得，
若，则，得，则；
若，则，得；若，也满足，综上，满足的实数的取值范围是。
题型24 指数函数的图像及性质
思路提示
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
一、指数函数的图像
例2.51 函数的图象如图2-14所示，其中a，b为常数，则下列结论中正确的是( ).
A. a>1，b<0 B. a>1，b>0
C. 0分析：考查指数函数的图象及其变换.
解析：由图2-14可知00，得b<0，故选D.
评注：若本题中的函数变为，则答案又应是什么？由图2-14可知(x)单调递减，即0变式1 若函数y=ax+b-1(a>0且a1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ).
A. 00 B. a>1且b>0
C. 01且b<0
分析 考查指数函数的图象及变换。
解析 由函数的图像经过第二、三、四 象限（如图2—56所示），故，得，故选C。
变式2 函数(a>0，a1)的图象可能是( ).
解析 当时，函数图像与轴交点的纵坐标应在区间（0，1）内，故排除选项A、B；当时，函数图像与轴交点的纵坐标在，故排除选项C，故选D。
变式3 已知实数a，b满足，下列5个关系式：①0A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
分析 在同一坐标系中作出与的图像，得用数形结合思想求解。
解析 作出函数与的图像，如图2—55（a）所示，要使
=，则或或，故①②⑤正确，故选B。
评注 指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图2-55（b）所示，即（设即可比较的大小关系）。函数图像在第一象限越接近轴，越大；越接近轴，越小。
例2.52 函数(x)=(a>0且a1)的图像过定点_________.
分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a0=1.
解析：因为函数(x)=ax(a>0且a1)的图像过定点(0,1)，又函数(x)=(a>0且a1)的图像是由函数(x)=ax(a>0且a1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数(x)=(a>0且a1)的图像过定点(-1,1).
变式1 函数(x)=ax+1(a>0且a1)的图像过定点________.
解析 因为函数且的图像过定点（0，1），又函数（）的图像是由函数（）的图像向上平移一个单位得到的，故函数（）的图像过定点（0，2）。
变式2 函数(x)=ax+x-2的图像过定点________.
解析 因为函数（）的图像过定点（0，1），故函数的图像过定点（0，-1）。
变式3 (x)=(a>0且a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(m,n>0)上，则的最小值为________.
分析 把所求中的“1”用替换，整理后用基本不等式求解即可。
解析 因为函数的图像恒过定点A（1，1），所以有
，即。
解法一 因为函数，
当且仅当时取“=”
解法二 由上可知，当且仅当时取“=”，所以，当且仅当时取“=”。
评注 虽然解法二多次使用了均值不等式，但因为取得等号的条件相吻合，故可以运用均值不等式求解，若求的最小值，则不能用解法二。
二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))
例2.53 函数(x)=ax(a>0且a1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是_______.
分析：本题考查指数函数的单调性.
解析：当0当a>1时，函数(x)=ax在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a2，最小值为a，那么，得，又a>1，所以.
综上所述，a的值是或.
评注：函数(x)=ax(a>0且a1)，不论01都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得.
所以，解得或.
变式1 函数(x)=ax(a>0且a1)在区间[a,a+2]上的最大值是最小值的3倍，则a=_____.
解析 当时，，
所以成立；
当时，，
所以成立，故答案为或。
变式2 定义区间[x1,x2](x1解析 函数的图像如图2-56所示，，
所以，或，
所以，因此区间的长度的最大值与最小值的差为1。
变式3 若y=3|x|(x([a,b])的值域为[1,9]，则a2+b2-2a的取值范围是( ).
A. [2.4] B. [4,16] C. [2,2] D. [4,12]
解析 作的图像如图2-57所示，由于的值域为[1，9]，所以，当时，，故必有，且或。
若，则；若，则，故点的轨迹是如图2-58所示的线段AB、BC（其中A（-2，0），B（-2，2），CD（0，2），而可视为点与点N（1，0）的距离的平方与1的差，结合图象可知，当点M运动到C时，取最小值4；当点M运动到B时，取最大值12。因此。故选D。
例2.54 函数(0分析：复合函数内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.
解析：因为u=-4x2-8x+1=-4(x+1)2+5在[-1,+)上单调递减，在(-,-1]上单调递增，且y=ax(0变式1 函数的单调增区间是________.
解析 。
令，对称轴在[0，2]上单调递增，在[2，4]上单调递减，所以在[2，4]上单调递增，故答案为[2，4]。
变式2 求函数(x[-3,2])的单调区间及值域.
分析 复合函数，外层为二次函数，内层为指数函数，利用复合函数单调性判定法求解。
解析 因为。设，由于，所以，且为减函数，令，此函数的对称轴为。
①当，即时，单调递减，因为为单调递减，根据复合函数性质，单调递增；
②当，即时，单调递增，因为为单调递减，根据复合函数性质，单调递减。
综上，的单调增区间为[1，2]，单调减区间为[-3，1]。
所以，
。
所以函数的值域为。
变式3 已知0x2，求函数的最大值和最小值.
分析 根据解析式的特点，可以转化为关于的二次型函数最值问题，再行求解。
解析 ，设，因为
，所以，原式化为。
①当时，函数为单调增函数。
故
②当时，函数为单调减函数。
故。
③当时，函数在上为减函数，在上为增函数，故；
④当时，函数在上为减函数，在上为增函数，故。
变式4 设函数y=(x)在(-,+)内有定义，对于给定的正数k，定义函数 ，取函数(x)=2-|x|，当时，函数k(x)的单调增区间为( ).
A. (-,0] B. [0,+) C. (-,-1] D. [1,+)
解析 或.
所以
即 ，其图像大致如图2-59所示.
所以增区间为，故选C.
变式5 若函数的图像与x轴有公共点，则m的取值范围是________.
解析
【例2.54 变式6】
解析 函数的图像如图2-60所示，若方程有2个不同实根，则。
变式6 已知函数，xR，若方程(x)=a有两个不同实根，则a的取值范围是__________.
解析 （1）函数定义域为R，又因为
，所以为奇函数。
（2）当时，为增函数，为减函数，从而为增函数，所以为增函数。
当时，为减函数，为增函数，从而为减函数，所以为增函数。
综上可知，当且时，函数在定义域上为单调递增函数。
（3）由（2）可知在R上为增函数，所以在区间[-1，1]上为增函数，
所以，所以，要使恒成立，只需，故的取值范围为。
题型25 指数函数中的恒成立问题
思路提示
(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.
(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.
例2.55 设(xR)，当x(-,-1]时，(x)的图象在x轴上方，求实数a的取值范围.
分析：本题等价于当x1时，>0恒成立.分离自变量x与参变量a，转化为求解函数的最值.
解析：因为当x(-,1]时，(x)的图像在x轴上方，所以对于任意x1，>0恒成立，即(x1)恒成立.
令(x1)，a>u(x)max，x(-,1].
因为，均是减函数，
所以u(x)在(-,1]上单调递增，故当x=1时，，故.
故实数a的取值范围为(,+).
变式1 已知函数(a>0且a1).
(1)判断函数(x)的奇偶性；
(2)讨论函数(x)的单调性；
(3)当x[-1,1]时，(x)b恒成立，求实数b的取值范围.
解析 （1）函数定义域为R，又因为
，所以为奇函数。
（2）当时，为增函数，为减函数，从而为增函数，所以为增函数。
当时，为减函数，为增函数，从而为减函数，所以为增函数。
综上可知，当且时，函数在定义域上为单调递增函数。
（3）由（2）可知在R上为增函数，所以在区间[-1，1]上为增函数，
所以，所以，要使恒成立，只需，故的取值范围为。
变式2定义域为R的函数是奇函数.
求a,b的值.
若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.
解析 （1）为定义在R上的奇函数，则，得，
得。
（2）由
得在R上单调递减，又为奇函数，且不等式
，
则对任意的恒成立，
则，故的取值范围为。
变式3 已知函数，若对于恒成立，求实数m的取值范围.
解析 因为为递增函数，，所以，
，
，所以。
故的取值范围为
最有效训练题8(限时45分钟)
1.函数是指数函数，则有（ ）
A a=1或a=2 B a=1 C a=2 D 且
2.设，则（ ）
A B C D
3.设函数定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当时，，则有（ ）
A B
C D
4. 函数是（ ）
A 奇函数，在区间上单调递增
B 奇函数，在区间上单调递减
C 偶函数，在区间上单调递增
D 偶函数，在区间上单调递减.
5.若关于x的方程有解，则实数a的取值范围是（ ）
A B C D
6.函数在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A B C （1，） D
7.不等式，当时，恒成立，则实数a的取值范围为 .
8. 函数的单调递增区间是 .9.已知关于x的方程有两个不同实数根，则实数k的取值范围为 .
10. 偶函数满足 ，且在时，，则关于x的方程，在上的解的个数是 .
11.已知函数（其中a,b为常数且的图像经过点A（1,6），B（3,24）.
（1）确定.
（2）若不等式在时恒成立，求实数m的取值范围.
12.已知函数，函数的最小值为h(a).
(1)求h(a);
(2)是否存在实数m,n同时满足下列条件：①；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为.若存在，求出m,n的值；若不存在，说明理由.
最有效训练题8
1、 C 解析 由已知，即，得，故选C。
2、 D 解析 ，因为在R上是单调递增函数，所以，故选D。
3、B 解析 由题设知，在时单调递减，时单调递增，而为对称轴，所以，所以，
，故选B。
4、 A 解析 因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，故选A。
5、D 解析 因为，所以，故选D。
6、 A 解析 当在R上单调递增时，则，得；
当在R上单调递减时，则，得。
综上所述，或，故选A。
7、 解析 设，则，原不等式可化为
，等价于大于在[1，3]上的最大值，即，解得或。
8、[1，3] 解析 由复合函数的单调性，以及函数的定义域可得[1，3]。
9、 解析 令，则方程化为①要使原方程有两个实数根，方程①必须有两个正根。
所以 ，解得。
10、 2014 解析 函数与的图像如图2-63所示，则方程在[0，2014]上的解的个数是2014。
11、解析 （1）因为的图像过点A（1，6），B（3，24），所以 得，又且，所以
， 所以。
（2）在上恒成立转化为在上单调递减，在上单调递减，
，故所求实数的取值范围是。
12、解析 （1）因为，所以，设，则，其对称轴为，当时，；
当时，；
当时，，
综上所述，
（2）假设满足题意的存在，因为，所以在上是减函数，因为的定义域为，值域为，所
以 （2）－（1）得，
得，这与，即相矛盾，所以满足题意的不存在。

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