资源简介

第六节对数与对数函数
考纲解读
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
2.理解对数函数的概念和单调性，掌握对数函数的图像经过的特殊点.
3.认识到对数函数是一类重要的函数模型.
4.了解指数函数与对数函数互为反函数.
命题趋势研究
对数与对数函数是高中数学重要的内容之一，也是高考必考的知识点.试题的命制常以对数函数为载体考查函数的图像和性质、研究问题方法以及数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化的数学思想，同时也考查了考生分析与解决问题的能力，是高考考查的重点与难点，可以出现在各种题型中.
知识点精讲
一、对数概念
，叫做以为底的对数.
注：①，负数和零没有对数；
②；
③.
二、对数的运算性质
特殊地
化常数为指数、对数值常用这两个恒等式.
三、对数函数
（1）一般地，形如的函数叫对数函数.
（2）对数函数的图像和性质，如表2-7所示.
图像
性质 （1）定义域：（2）值域：（3）图像过定点：（4）在上是增函数 （1）定义域：（2）值域：（3）图像过定点：（4）在上是减函数
题型归纳及思路提示
题型26 对数运算及对数方程、对数不等式
思路提示
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.
一、对数运算
例2.56（ ）
分析
解析
故选.
评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提.
变式1 已知为正实数，则（ ）
解析 由故选D
变式2 ________..
解析
变式3 ________..
解析
例2.57________. .
解析
所以原式
变式1 ________..
解析
所以
例2.58 ________..
分析
解析
则
所以
二、对数方程
例2.59解下列方程：
分析利用对数的运算性质化简后求解.
解析（1），首先方程中的应满足，原方程可变形为，即，得，从而或（舍），经检验，是原方程的解.
（2），
，解得.
经检验是方程的解.
评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据.
变式1 函数
（1）若函数是上的偶函数，求实数的值；
（2）若，求函数的零点.
解析 （1）若是偶函数，则，得
，得，故。
（2）时，
。
令，则或（舍）。
所以，故函数的零点为
三、对数不等式
例2.60设，函数，则使的的取值范围是（）
分析先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解.
解析，又，函数在上单调递减，得，因为，故，又，所以故选
变式1 已知函数为上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为 .
解析 由题意可知，在上为减函数，且。
不等式等价于或
解得不等式的解集为
例2.61设则（ ）
分析利用对数函数的单调性来比较对数的大小，通常借助0和1作为分界点.
解析因为在上单调递增，所以
故选.
变式1 设，则（ ）
解析 因为函数在上单调递增，又，所以
故选B。
变式2 设，则（ ）
解析 根据对数函数的运算性质可知，，再由指数函数为单调递增函数，因为，
，且，
所以，故选C。
变式3 已知，则（）
解析 由
且所以，故选D。
题型27 对数函数的图像与性质
思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像与性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.
一、对数函数的图像
例2.62如图2-15所示，曲线是底数分别为的对数函数的图像，则曲线对应的底数的取值依次为（）
分析给出曲线的图像，判定所对应的的值，可令求解.
解析如图2-16所示，作直线交于，其横坐标大小为，那么所对应的底数的值可能一次为.故选.
评注对数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图2-16所示，则.在第一象限的图像，越大，图像越靠近轴；越小，图像越靠近轴.
变式1 若函数是定义域为的增函数，则函数的图像大致是（ ）
解析 函数是定义域为R的增函数，
故，那么的图像过点（0，0）且单调递减，故选D。
变式2 设均为正数，且，则（）
解析 解法一：图示法，如图2-62所示，
解法二：；
；
所以，故选A。
例2.63函数的图像必过定点.
分析对数函数的图像过定点，即.
解析因为恒过点，故令时，，故恒过顶点.
变式1 函数的图像过定点.
解析 ，当时，，故过定点（－1，－3）。
二、对数函数的性质（单调性、最值（值域））
例2.64 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）
分析本题考查对数函数的单调性和最值.
解析因为对数函数的底，所以函数在区间上单调递增，故，即解得故选.
变式1 若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则等于（ ）
解析 ，故在区间上单调递减，
故，
得，故选A。
例2.65设的最大值和最小值.
解析
解得.
又.
令，则
当时，
变式1 已知，求函数的最大值与最小值.
分析 首先求解函数的定义域，根据定义域通过换元法求最值。
解析 且，所以，所以，
又，解得，
所以的定义域为[1，3]，
设，所以，且函数图像的对称轴为，又函数定义域为[0，1]，因此此区间为单调递增区间，所以当，即时，取得最小值；
当时，取最大值。
评注：本题易错点在于定义域的问题，将函数的定义域误认为[1，9]，导致最值出错。
例2.66若函数，且则实数的取值范围是.
解析依题意，函数的图像如图2-17所示，知为奇函数，由的得，解得.
变式1 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）
解析 依题意，函数的图像如图2—63所示，因为，，得即，所以在上单调递减，故，故选C。
变式2 定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为 .
解析 依题意，函数的图像如图2—64所示，
所以，或，
所以，
所以
题型28 对数函数中的恒成立问题
思路提示
（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；
（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.
例2.67 已知函数，若时有意义，求得取值范围.
解析因为在上有意义，即在上恒成立.
所以在上恒成立.
令.
因为与在上为减函数，故在上为增函数，所以对任意的时，.
因为在上恒成立，所以.
所以的取值范围是.
评注为了求的取值范围，把进行了分离，若存在最大值，则恒成立等价于；若不存在最大值，设其值域为，则恒成立等价于.
变式1 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）
解析 图示法（如图2-65所示），作出函数与函数 的图像，当时，如图2-69所示，当时，需使，得，故选C。
变式2 函数，当点是函数图像上的点时，点是函数图像上的点.
（1）写出函数的解析式；
（2）当时，恒有，试确定的取值范围.
解析 （1）设点是函数图像上的点，点是函数图像上的点，得，所以
，所以，
故函数的解析式为。
（2）因为，所以。
因为与在时均有意义，所以，得；
因为恒成立，所以恒成立，故，得，
令，其图像的对称轴为，
因为，所以在上单调递增。
令
最有效训练题9（限时45分钟）
1.设，则（ ）
2.设函数，若，则的取值范围是（ ）
3.设定义在区间上的函数是奇函数，则的取值范围是（ ）
4.已知在上是的减函数，则的取值范围是（ ）
5.已知，则函数与函数的图像可能是（ ）
6.已知函数是上的偶函数，且，当时，，则函数的零点个数是（ ）
7.设函数，若，则的取值范围是________.
8.已知，则________.
9.若函数在上为增函数，则实数的取值范围是________..
10.已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为，则________.
11.设为奇函数，为常数.
（1）求的值；
（2）证明：在区间内单调递增；
（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围.
12.已知集合，函数的定义域为.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若方程在内有解，求实数的取值范围.
最有效训练题9
1、 D 解析 因为 且，则，
且，因此，故选D。
2、 C 解析 或
所以或，故选C。
3、 A 解析 因为函数是定义在上的奇函数，
则，得，所以
则，又，所以，故，函数的定义域，因此，故选A。
4、B 解析 解法一：先求函数的定义域，由，有，因为是对数的底，故有，于是得函数的定义域，从而，若，当在[0，1]必须在函数的定义域内，故有，从而。若，当在[0，1]上增大时，减小，从而增大，即函数在[0，1]上是单调递增的，所以的取值范围应是（1，2），故选B。
解法二：由复合函数同增异减且为减函数，知，又因为在[0，1]上恒成立，所以，得。综上，，故选B。
5、B 解析 ，得，得，
因此，函数与互为反函数，图像关于直线轴对称，单调性相同，故选B。
6、B 解析 因为，
所以，所以是周期为2的周期函数，因为时，，函数
是偶函数，所以时，，函数的图像如图2-66所示，的图像与的图像共有4个交点，故选B。
7、 解析 依题意，得，得，
得，
，
则（当且仅当时取“=”），
又当时，，不满足，因此的取值范围是。
8、 2 解析 因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以
9、 （1，2）解析 令，当，
即时，对称轴，函数在[1，2]上单调递增，又因为在[1，2]上单调递减。
当时，，函数在[1，2]上是增函数，则在[1，2]上单调递增，则，且，所以
，综上，实数的取值范围是（1，2）。
10、 解析 由题意可知，，即在区间上的最大值为，解得，所以。
11、解析 （1）解法一：为奇函数，所以恒成立，所以恒成立，
得，所以，即，经检验不合题意，所以。
（2）由（1）知，，设任意的，
则，
因为
且，所以，
故，所以，所以
在上是增函数。
（3）由（2）知函数在[3，4]上单调递增，所以的最小值为，所以使恒成立的
的取值范围是。
12、 解析 （1）若，则在内，至少有一个值使得
成立，即在内，至少有一个值使得
成立。
设，当时，，所以
（2）方程在内有解，则在内有解。即在内有值使得成立，
当时，，所以，所以实数的取值范围为第六节对数与对数函数
考纲解读
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
2.理解对数函数的概念和单调性，掌握对数函数的图像经过的特殊点.
3.认识到对数函数是一类重要的函数模型.
4.了解指数函数与对数函数互为反函数.
命题趋势研究
对数与对数函数是高中数学重要的内容之一，也是高考必考的知识点.试题的命制常以对数函数为载体考查函数的图像和性质、研究问题方法以及数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化的数学思想，同时也考查了考生分析与解决问题的能力，是高考考查的重点与难点，可以出现在各种题型中.
知识点精讲
一、对数概念
，叫做以为底的对数.
注：①，负数和零没有对数；
②；
③.
二、对数的运算性质
特殊地
化常数为指数、对数值常用这两个恒等式.
三、对数函数
（1）一般地，形如的函数叫对数函数.
（2）对数函数的图像和性质，如表2-7所示.
图像
性质 （1）定义域：（2）值域：（3）图像过定点：（4）在上是增函数 （1）定义域：（2）值域：（3）图像过定点：（4）在上是减函数
题型归纳及思路提示
题型26 对数运算及对数方程、对数不等式
思路提示
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.
一、对数运算
例2.56（ ）
变式1 已知为正实数，则（ ）
变式2 ________..
变式3 ________..
例2.57________. .
变式1 ________..
例2.58 ________..
二、对数方程
例2.59解下列方程：
变式1 函数
（1）若函数是上的偶函数，求实数的值；
（2）若，求函数的零点.
三、对数不等式
例2.60设，函数，则使的的取值范围是（）
变式1 已知函数为上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为 .
例2.61设则（ ）
变式1 设，则（ ）
变式2 设，则（ ）
变式3 已知，则（）
题型27 对数函数的图像与性质
思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像与性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.
一、对数函数的图像
例2.62如图2-15所示，曲线是底数分别为的对数函数的图像，则曲线对应的底数的取值依次为（）
评注对数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图2-16所示，则.在第一象限的图像，越大，图像越靠近轴；越小，图像越靠近轴.
变式1 若函数是定义域为的增函数，则函数的图像大致是（ ）
变式2 设均为正数，且，则（）
例2.63函数的图像必过定点.
变式1 函数的图像过定点.
二、对数函数的性质（单调性、最值（值域））
例2.64 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）
变式1 若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则等于（ ）
例2.65设的最大值和最小值.
变式1 已知，求函数的最大值与最小值.
例2.66若函数，且则实数的取值范围是.
变式1 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）
变式2 定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为 .
题型28 对数函数中的恒成立问题
思路提示
（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；
（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.
例2.67 已知函数，若时有意义，求得取值范围.
评注为了求的取值范围，把进行了分离，若存在最大值，则恒成立等价于；若不存在最大值，设其值域为，则恒成立等价于.
变式1 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）
变式2 函数，当点是函数图像上的点时，点是函数图像上的点.
（1）写出函数的解析式；
（2）当时，恒有，试确定的取值范围.
最有效训练题9（限时45分钟）
1.设，则（ ）
2.设函数，若，则的取值范围是（ ）
3.设定义在区间上的函数是奇函数，则的取值范围是（ ）
4.已知在上是的减函数，则的取值范围是（ ）
5.已知，则函数与函数的图像可能是（ ）
6.已知函数是上的偶函数，且，当时，，则函数的零点个数是（ ）
7.设函数，若，则的取值范围是________.
8.已知，则________.
9.若函数在上为增函数，则实数的取值范围是________..
10.已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为，则________.
11.设为奇函数，为常数.
（1）求的值；
（2）证明：在区间内单调递增；
（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围.
12.已知集合，函数的定义域为.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若方程在内有解，求实数的取值范围.

展开更多......

收起↑