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第七节幂函数
考纲解读
1.了解幂函数的概念及性质.
2.结合函数的图像，了解它们的变化情况.
命题趋势探究
有关幂函数的内容在高考中以考查基础知识为主，主要考察幂函数的图像与性质，一般以选择退或填空题形式出现，属于容易题，有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式等内容结合起来编制综合题.
复习本节不能追求难、新，而应重视基础知识，掌握教材中五种常见的幂函数即可.
知识点精讲
一、幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量.
二、幂函数的图像
幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.
当时，在同一坐标系内的函数图像如图2-18所示.
三、幂函数的性质
当时，幂函数在上是增函数，当时，函数图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的，恒过点；
当时，幂函数在上是减函数.幂函数的图像恒过点.
提醒归纳及思路提示
题型29 幂函数的定义及其图像
思路提示
确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.
例2.68函数为幂函数（为常数），且在上是减函数，则______.
变式1 函数的定义域为，求实数的取值范围.
变式2 幂函数的图像经过点，则满足的的值是______..
变式3 设，则使函数为奇函数且定义域为的所有的值为（ ）
题型30 幂函数性质的综合应用
思路提示
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
例2.69已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数.
（1）求函数的解析式；
（2）求满足的的取值范围.
评注突破点为由单调性得的取值范围，进而验证满足偶函数的值，若从偶函数的条件入手，则不易向下转化.分类讨论时，确定分类标准，做到不重不漏.
变式1 已知函数，设函数，问是否存在实数，使在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
最有效训练题10（限时45分钟）
1.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（ ）
2.幂函数的图像如图2-20所示，则的值为（ ）
3.幂函数的图像经过点，则它在点处的切线方程为（ ）
4.若幂函数的图像经过点则其定义域为（ ）
5.设，则的大小关系是（ ）
6.设，则使为奇函数且在上单调递减的值的个数为（ ）
7.已知幂函数的图像过点，则的值为_______.
8.已知幂函数为奇函数，且在区间上是减函数，则的解析式为_______.
9.已知函数，且，则的取值范围是_______.
10.设函数的定义域为，其中，若函数在区间上的最大值为6，最小值为3，则在上的最大值与最小值的和为_______.
11.已知函数，给出下列命题：
①若；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
其中，所有正确命题的序号是_______.
12.点在幂函数的图像上，点在幂函数的图像上，问当为何值时有：第七节幂函数
考纲解读
1.了解幂函数的概念及性质.
2.结合函数的图像，了解它们的变化情况.
命题趋势探究
有关幂函数的内容在高考中以考查基础知识为主，主要考察幂函数的图像与性质，一般以选择退或填空题形式出现，属于容易题，有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式等内容结合起来编制综合题.
复习本节不能追求难、新，而应重视基础知识，掌握教材中五种常见的幂函数即可.
知识点精讲
一、幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量.
二、幂函数的图像
幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.
当时，在同一坐标系内的函数图像如图2-18所示.
三、幂函数的性质
当时，幂函数在上是增函数，当时，函数图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的，恒过点；
当时，幂函数在上是减函数.幂函数的图像恒过点.
提醒归纳及思路提示
题型29 幂函数的定义及其图像
思路提示
确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.
例2.68函数为幂函数（为常数），且在上是减函数，则______.
分析根据幂函数的定义及单调性求解.
解析依题意，得，解得.
变式1 函数的定义域为，求实数的取值范围.
解析 设
原题可转化为一切有且恒成立，
由（1）得
即
所以，由（2）得，即，
综上得，故实数的取值范围是
变式2 幂函数的图像经过点，则满足的的值是______..
解析 设
故
变式3 设，则使函数为奇函数且定义域为的所有的值为（ ）
解析 时，时，或时，或的定义域为R且为奇函数，故选A。
题型30 幂函数性质的综合应用
思路提示
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
例2.69已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数.
（1）求函数的解析式；
（2）求满足的的取值范围.
分析利用函数在区间上是减函数且为偶函数求，从而得到的解析式.
解析（1）因为幂函数在区间上是减函数，所以得
，当时，；当时，；当时，.
又因为为偶函数，所以.
（2）由得.
即又在上单调递增，故，整理得
，解得，如图所示.
故的取值范围为.
评注突破点为由单调性得的取值范围，进而验证满足偶函数的值，若从偶函数的条件入手，则不易向下转化.分类讨论时，确定分类标准，做到不重不漏.
变式1 已知函数，设函数，问是否存在实数，使在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
分析 判断函数单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图像与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值范围。
解析 令，设，因在上是减函数，在（-4，0）上是增函数，故在上是增函数，在（0，16）上是减函数，故函数的对称轴是，则
，得。
最有效训练题10（限时45分钟）
1.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（ ）
2.幂函数的图像如图2-20所示，则的值为（ ）
3.幂函数的图像经过点，则它在点处的切线方程为（ ）
4.若幂函数的图像经过点则其定义域为（ ）
5.设，则的大小关系是（ ）
6.设，则使为奇函数且在上单调递减的值的个数为（ ）
7.已知幂函数的图像过点，则的值为_______.
8.已知幂函数为奇函数，且在区间上是减函数，则的解析式为_______.
9.已知函数，且，则的取值范围是_______.
10.设函数的定义域为，其中，若函数在区间上的最大值为6，最小值为3，则在上的最大值与最小值的和为_______.
11.已知函数，给出下列命题：
①若；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
其中，所有正确命题的序号是_______.
12.点在幂函数的图像上，点在幂函数的图像上，问当为何值时有：
最有效训练题10
1、C 解析 A、C中的函数为偶函数，但A中函数在上为减函数，故选C。
2、 不 解析 因为在第一象限为减函数，
所以，即，又，所以的可能值为0，1，代入的函数解析式知，当0时为偶函数，故选不。
3、B 解析 设，因为的图像过点A，所以，所以，所以，所以，所以，故切线方程为，即，故选B。
4、 C 解析 设，因为图像过点所以，即，所以，即，所以，即，其定义域为
，故选C。
5、A 解析 在时是增函数，所以，指数函数
在时是减函数，所以，故选A。
6、A 解析 由在上是减函数，得是偶函数，
，在定义域上是非奇非偶函数，是奇函数，所以，故选A。
7、 解析 设，由已知，，则，
所以
8、 解析 因为在上是减函数，所以，所以，因为，所以，因为是奇函数，所以
应为奇数，或4时，是奇数；当时，不是奇数；所以或4，。
9、 解析 由得，所以。
10、-5或9 解析 依题意设，当为奇数，为偶数时，不满足的定义域关于原点对称；当为奇数，为奇数时，为奇函数，且函数在上的值域为[2，5]，所以函数
在上的值域为[-5，-2]，因此在上的值域为[-4，-1]，故在区间上的最大值与最小值之和为-5；当为偶数，为奇数时，为偶函数，且函数在上的值域为[2，5]，所以函数在上的值域为[2，5]，因此在上的值域为[3，6]，故在区间上的最大值与最小值之和为9。
11、①④ 解析 ①因为，所以在上单调递增，且恒过（1，1）点，所以当时，，故①正确；
②设，当时，，函数在上单调递增，当时，函数单调递减，故任取不恒成立，所以，即不恒成立，故②不正确。
③设在上单调递减，故任取，即，得，故③不正确。
④函数的图像如图2-67所示，任取，
，
则，故④正确，综上，正确的命题序号是①④。
12、解析 设，因为点在幂函数的图像上，将 代入中，得，解得，所以。
设，因为点在幂函数的图像上，将代入
中，得，解得，即，在同一坐标系下作出和的图像，如图2-68所示
（1）当或时，
（2）当或时，
（3）当，且时，
图 2-19

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