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第八节函数的图像
考纲解读
1.掌握描绘函数图像的两种基本方法——直接描点法（列表描点）和图像变换法.
2.会利用函数图像进一步研究函数的性质，解决方程和不等式中的问题.
3.会用数形结合、转化与化归的思想，分析解决数学问题.
命题趋势探究
基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一，是用来研究其他图像问题的基础，是研究函数性质的重要工具.
解决此类问题的重要思路是要利用函数性质与图像之间的对应关系去比照，如定义域、单调性、奇偶性、特殊点等.
高考中总是以几类基本初等函数的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数行之一并考察，题型主要是选择题与填空题，考查的形式主要有知式选图、知图选式、图像变换（平移变换、对称变换）以及灵活地应用图像解题，属于每年必考内容之一
知识点精讲
一、掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.
二、函数图像作法
1.直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.
2.图像的变换
（1）平移变换
①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；
②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；
③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；
④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；
（2）对称变换
①i:函数与函数的图像关于轴对称；
ii:函数与函数的图像关于轴对称；
iii: 函数与函数的图像关于坐标原点对称；
②i:若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有
或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；
ii: 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有
③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图2-21（a）和图2-21（b））所示
④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图2-21（c）所示）.
注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.
⑤函数与的图像关于对称.
（3）伸缩变换
①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到.
②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到.
题型归纳及思路提示
题型31 由式选图（识图）
思路提示
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案
例2.70 函数的图像大致是（）
分析观察四个选项给出的图像，区别在于函数零点的个数及单调性不同.
解析解法一：当时，函数单调递增，同时函数单调递增，故函数在上单调递增，排除；当时，存在两个零点，所以排除选项.故选.
解法二：如图2-22所示，有图像可知，函数与函数的交点有3个，说明函数的零点有3个，故排除选项；当时，成立，即，故排除选项，故选.
变式1 函数的图像是（）
分析 通过函数的定义域、值域、单调性、奇偶性判断函数图像。
解析 因为函数为偶函数，故排除B、D，由值域为，排除C，故选A。
变式2 在同一坐标系中画出函数的图像，可能正确的是（）
解析 对于选项A，由对数函数与指数函数的图像知，直线不满足，故选项A不正确；对于选项B，由对数函数与指数函数的图像知，直线不满足，故选项B不正确；对于选项C，由对数函数的图像知，由指数函数的图像知，故矛盾，选项C不正确，故选D。
变式3 函数与在同一直角坐标系中的图像可能是（）
解析 对于选项A，由二次函数图像知，得，
，故对数函数的图像单调递减，故选项A不正确；对于选项B，由二次函数图像知，，故对函数的图像单调递减，故选项B不正确；对于选项C，由二次函数的图像单调递增，故选项C不正确；对于选项D，由二次函数图像知，，故对数函数的图像单调递减，故选D。
变式4已知函数，则的图像大致为（ ）
解析 函数的定义域应满足且，得
，故排除选项D。又恒成立（经典不等式），那么函数的值域为，故选B。
题型32 函数图像的应用
思路提示1
利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.
例2.71函数的零点个数为（ ）
解析令可得.设，，在同一坐标系下分别画出函数的图像，如图2-23所示.可以发现两个函数一定有2个交点，因此函数有2个零点.故选.
变式1 已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是
解析 图像法，如图2-69所示，单调递减且值域为
（0，1]，单调递增且值域为，若 有两个不同的实跟，则实数的取值范围是（0，1）。
变式2 直线与曲线有4个交点，则的取值范围是
解析 是偶函数，函数图像如图2-70所示，直线与曲线有4个交点，则满足，所以，故的取值范围为（1，）。
变式3 函数的图像与函数的图像的交点个数为（）
解析 由已知,所以其顶点为(2,1),又可知点(2,1)位于f(x)=2lnx图像的下方,如图2-71所示,故函数f(x)=2lnx的图像与函数的图像有2个交点,故选B
变式4 设定义域为的函数，则关于的方程
有7个不同实数解的充要条件是（）
分析 用图示法解本题，即对函数的图像加以分析，即可得到所给方程有7个不同实数解的充要条件。
解析 作出的图像，如图2-72所示，设，那么欲使原方程有7个解，则方程的两根，这是因为
时，方程有4个实数解；当时有3个实数解。由二次方程根与系数的关系得到，，故选C。
评注：本题很好地体现了函数图像对解题的作用，若有8个不同的实数解，令，方程必有两根
，故，故选A。
变式5 设定义域为的函数，若关于的方程有7个不同实数解，则
解析 作出函数的图像，如图2-73所示，令，原方程变形为，若原方程有7个不同的实数解，则
，则，即或6，当时，，解得或4，满足题意；
当时，，解得或9，不满足题意，故。
思路提示2
利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案
例2.72设函数，若，则的取值范围是（）
分析作出函数与的图像，由图像得不等式的解集.
解析作出函数与的图像，如图2-24所示，得所对应的的取值范围是，故选.
变式1 (2010新课标全国卷理24)设函数若不等式的解集非空，求的取值范围.
解析 函数y=f(x)与函数y=ax的图像如图2-74所示,可知,当且仅当时,函数y=f(x)的图像与函数y=ax有交点,故不等式的解集是非空时,a的取值范围是
变式2 已知函数若不等式，则实数的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
解析 作出函数的图像,如图2-75所示,函数
在R上单调递增,由得,即,故选C.
变式3 （2012福建理15）对于实数和，定义运算“*”：*= ，设
*，且关于的方程恰有3个互不相等的实数根
，则的取值范围是 .
解析 根据新定义写出f(x)的解析式,数形结合求出m的取值,再根据函数的图像和方程的根等条件求解,由定义知,,作出函数f(x)的图像,如图2-76所示.
由图可知,当时,恰有3个互不相等的实数根不妨设,则是方程(2x-1)x=m①的负实根, 是方程-x(x-1)=m②的两不等实根,由②知, =m,又,所以令则,当上为增函数,所以
变式4已知函数若互不相等，且则的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
解析 f(x)的图像如图2-77所示,不妨设a所以,故选C
思路提示3
利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
例2、73 用表示三个数中的最小值，设
，则的最大值为 （ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
分析 题设中的函数实际上是一个定义在上的分段函数，利用数形结合思想即可作答.
解析 如图2—25所示，图像（实线）的最高点，即直线与直线的交点A，的纵坐标即为所求.由得函数的最大值为6.故选.
变式1 设若则的最大值为 .
解析 当(x)时,
当(x)时,
则,如图2-78所示为函数F(x)的图像
变式2已知两条直线和与函数的图像从左到右相交于点，与的图像从左到右相交于点，记线段和在轴上的投影长度分别为.当变化时，的最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
分析 函数的图像与与y=m(m>0)的图像交点的横坐标互为倒数,
解析 求出与函数图像交点的横坐标,利用基本不等式求解,由题意得,所以,所以,因为,当,即时取得等号,所以的最小值为,故选B
最 有 效 训 练 题
1、若点在图像上，，则下列点中也在此图像上的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、为得到函数的图像，可将函数的图像上所有点的 （ ）
A、纵坐标缩短到原来的横坐标不变，再向右平移1个单位长度.
B、纵坐标缩短到原来的横坐标不变，再向左平移1个单位长度.
C、横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度.
D、横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度.
3、函数的图像如图2—26所示，则函数的图像大致是 （ ）
4、函数与的图像关于 （ ）
A、直线对称 B、轴对称 C、轴对称 D、原点对称
5、若函数满足，且时，.则函数的图像与函数的图像的交点个数为 （ ）
A、3 B、4 C、6 D、8
6、函数与函数的图像分别如图2—27（）（）所示.则函数的图像可能是 （ ）
7、把函数的图像向左平移1个单位长度得到函数 的图像.
8、指数函数的图像如图2—28所示，则二次函数的顶点的横坐标取值范围是 .
9、若则函数的零点为，
的零点为，则的取值范围是
10、若直角坐标平面内的两点满足条件：都在函数的图像上；关于原点对称，则称函数对是函数的一对“友好点对”（点对于看作同一对“友好点对”）.已知函数
，则此函数的“友好点对”有 对.
11、作出下列函数的图像.
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7)
12、已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求得取值范围，使得方程有4个不等实根.
最有效训练题11
1.D 解析 由题意也在函数图像上,故选D.
2.A 解析 ,将函数的图像纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,再向右平移1个单位长度得到,故选A.
3.C 解析 由f(x)图像先减后增,在x=1处取极小值,及为减函数知, ,故选C.
4.D 解析 若函数y=xlnx过点,则函数y=xln(-x)过点,故函数y=xlnx与函数y=xln(-x)关于原点对称,故选D.
5.C 解析 本题考查周期函数图像与偶函数,对数函数图像,在同一直角坐标系中于y轴右侧作出函数y=f(x)与函数的图像,如图2-79所示,得3个交点,再由两个函数都是偶函数可知,在y轴左侧也有3个交点,故两个函数的图像共有6个交点,故选C.
6.A 解析 从f(x),g(x)图像可知它们分别为偶函数,奇函数.故f(x)g(x)是奇函数,排除B,由g(x)图像不过(0,0)得f(x)g(x)图像也不过(0,0),排除C,D,故选A.
7. 解析 由题意得所求解析式为
8. 解析 由图可知函数是减函数,所以,而二次函数的顶点的横坐标为,所以,即二次函数的顶点的横坐标取值范围为.
9.解析 依题意令,函数图像如图2-80所示,函数与函数图像的交点的横坐标为m,函数与函数的图像交点的横坐标为n.且函数与函数的图像关于直线y=x对称,且直线y=x与直线y=-x+4互相垂直,联立,解得交点坐标为(2,2),所以m+n=4(m,n>0),
(当且仅当m=n时取=),但010.2解析 函数f(x)的图像如图2-81所示,将部分的图像关于原点在对称后与x>0的部分图像有两个交点,故此函数的友好点对有2对
11.解析 (1)化简解析式
,作出其图像,如图2-82(a)所示
(2)因为,先作出的图像,将其图像向右平移一个单位,再向上平移一个单位即得的图像,如图2-82(b)所示.
(3)先作出的图像,再将其图像向下平移一个单位,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图像翻折到x轴上方,即得的图像,如图2-82(c)所示.
(4)先作出的图像,保留的部分,再关于y轴对称得到图像,然后右移一个单位,即得的图像,如图2-82(d)所示.
(5),其图像如图2-82(e)所示.
(6)作出的图像,保留图像中的部分,加上的图像中x>0的部分关于y轴的对称部分,即得的图像如图2-82(f)所示.
(7)偶函数变形为,其图像如图2-82(g)实线部分所示
12.解析 (1) f(x)＝的图像如图2-83所示.
函数的单调区间为,,减区间为
(2)方程有四个不相等的实根,就是直线与的图像有四个不同的交点,设直线与的图像有3个公共点,令它的斜率为k,则,则方程组 x2＋(k－4)x＋3＝0.①令Δ＝(k－4)2－12＝0，得k＝4±2
当k＝4＋2时，方程①的两根x1＝x2＝－ (1,3)，不合题意；当k＝4－2时，方程①的两根x1＝x2＝∈(1,3)，符合题意．
故m的取值范围是(0,4－2)．
图 2-27第八节函数的图像
考纲解读
1.掌握描绘函数图像的两种基本方法——直接描点法（列表描点）和图像变换法.
2.会利用函数图像进一步研究函数的性质，解决方程和不等式中的问题.
3.会用数形结合、转化与化归的思想，分析解决数学问题.
命题趋势探究
基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一，是用来研究其他图像问题的基础，是研究函数性质的重要工具.
解决此类问题的重要思路是要利用函数性质与图像之间的对应关系去比照，如定义域、单调性、奇偶性、特殊点等.
高考中总是以几类基本初等函数的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数行之一并考察，题型主要是选择题与填空题，考查的形式主要有知式选图、知图选式、图像变换（平移变换、对称变换）以及灵活地应用图像解题，属于每年必考内容之一
知识点精讲
一、掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.
二、函数图像作法
1.直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.
2.图像的变换
（1）平移变换
①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；
②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；
③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；
④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；
（2）对称变换
①i:函数与函数的图像关于轴对称；
ii:函数与函数的图像关于轴对称；
iii: 函数与函数的图像关于坐标原点对称；
②i:若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有
或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；
ii: 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有
③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图2-21（a）和图2-21（b））所示
④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图2-21（c）所示）.
注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.
⑤函数与的图像关于对称.
（3）伸缩变换
①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到.
②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到.
题型归纳及思路提示
题型31 由式选图（识图）
思路提示
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案
例2.70 函数的图像大致是（）
变式1 函数的图像是（）
变式2 在同一坐标系中画出函数的图像，可能正确的是（）
变式3 函数与在同一直角坐标系中的图像可能是（）
变式4已知函数，则的图像大致为（ ）
题型32 函数图像的应用
思路提示1
利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.
例2.71函数的零点个数为（ ）
变式1 已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是
变式2 直线与曲线有4个交点，则的取值范围是
变式3 函数的图像与函数的图像的交点个数为（）
变式4 设定义域为的函数，则关于的方程
有7个不同实数解的充要条件是（）
变式5 设定义域为的函数，若关于的方程有7个不同实数解，则
思路提示2
利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案
例2.72设函数，若，则的取值范围是（）
变式1 设函数若不等式的解集非空，求的取值范围.
变式2 已知函数若不等式，则实数的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
变式3 对于实数和，定义运算“*”：*= ，设
*，且关于的方程恰有3个互不相等的实数根
，则的取值范围是 .
变式4已知函数若互不相等，且则的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
思路提示3
利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
例2、73 用表示三个数中的最小值，设
，则的最大值为 （ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
变式1 设若则的最大值为 .
变式2已知两条直线和与函数的图像从左到右相交于点，与的图像从左到右相交于点，记线段和在轴上的投影长度分别为.当变化时，的最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
最 有 效 训 练 题
1、若点在图像上，，则下列点中也在此图像上的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、为得到函数的图像，可将函数的图像上所有点的 （ ）
A、纵坐标缩短到原来的横坐标不变，再向右平移1个单位长度.
B、纵坐标缩短到原来的横坐标不变，再向左平移1个单位长度.
C、横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度.
D、横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度.
3、函数的图像如图2—26所示，则函数的图像大致是 （ ）
4、函数与的图像关于 （ ）
A、直线对称 B、轴对称 C、轴对称 D、原点对称
5、若函数满足，且时，.则函数的图像与函数的图像的交点个数为 （ ）
A、3 B、4 C、6 D、8
6、函数与函数的图像分别如图2—27（）（）所示.则函数的图像可能是 （ ）
7、把函数的图像向左平移1个单位长度得到函数 的图像.
8、指数函数的图像如图2—28所示，则二次函数的顶点的横坐标取值范围是 .
9、若则函数的零点为，
的零点为，则的取值范围是
10、若直角坐标平面内的两点满足条件：都在函数的图像上；关于原点对称，则称函数对是函数的一对“友好点对”（点对于看作同一对“友好点对”）.已知函数
，则此函数的“友好点对”有 对.
11、作出下列函数的图像.
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7)
12、已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求得取值范围，使得方程有4个不等实根.
图 2-27

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