资源简介

第九节 函数与方程
考纲解读
1、了解函数的零点与方程根的关系，判断方程根的存在性及根的个数
2、能够根据具体函数的图像，用二分法求相应方程的近似解.
命题趋势探究
函数思想与方程思想是密切相关的，作为中学最主要内容的函数思想方法应用，在高考中的考查力度有加强趋势；函数的零点及二分法的思想会以选择题、填空题或解答题的形式出现，在今后的高考中，也将会加大考查力度.
知识点精讲
一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
题型归纳及思路提示
题型33 求函数的零点或零点所在区间
思路提示 求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
例2.74 求下列函数的零点：
（1） （2）
变式1函数的零点所在的一个区间是 （ ）
A、 B、 C、 D、
变式2 设是方程的解，则属于区间 （ ）
A、 B、 C、 D、
变式3 设函数与图像的交点为，则所在的区间是 （ ）
A、 B、 C、 D、
变式4 若则函数的两个零点分别位于区间 （ ）
A、和内 B、和内
C、和内 D、和内
题型34 利用函数的零点确定参数的取值范围
思路提示：本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.
例2.75 已知函数的图像如图2—29所示，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
变式1 若函数有两个零点，则实数的取值范围是 。
变式2已知函数，当
时，函数的零点，则 .
变式3 已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是 ．
题型35 方程根的个数与函数零点的存在性问题
思路提示
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.
例2．76 判断方程的负实数根的个数，并说明理由.
评注 如果在上的图像时连续不断的曲线，且时函数在上的一个零点，不一定有如
变式1 已知函数，且没有实数根，证明：是否是否有实数根？
变式2 设证明：（1）；（2）为单调函数时，是否有
变式3 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：
对任意的总有；；若都有+成立，则函数为理想函数.
（1）若函数为理想函数，求的值域；
（2）判断函数是否为理想函数，并给与证明；
（3）若函数为理想函数，假定存在使得，且，求证：.
例2.77 已知，则函数的零点个数是 （ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
评注 本题通过换元后，得到函数与同时做出与的图像.由得的值（或范围），再由确定的值（或范围），这时复合函数求零点个数问题的通法，望掌握.
变式1 已知函数则方程
的解的个数不可能为 （ ）
A、3个 B、4个 C、5个 D、6个
变式2 关于的方程，给出下列4个命题：
存在实数，使得方程恰有2个不同的实数根；
存在实数，使得方程恰有4个不同的实数根；
存在实数，使得方程恰有5个不同的实数根；
存在实数，使得方程恰有8个不同的实数根；
其中假命题的个数是 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
变式3、若函数有极值点且则关于的方程
的不同实根个数是 （ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
变式4 已知是实数，和是函数的两个极值点.
(1)求和的值； （2）设函数的导函数求的极值点；
（3）设其中，求函数的零点个数.
例2.78 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
评注 本题利用函数图像的中心对称性，整体求解横坐标之和，体现数学解题中整体思想的特点.
变式1 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上增函数，
若方程在区间上有4个不同的实根，则
.
最有效训练题
1、函数的零点所在区间为 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、设是函数的零点，若则有 （ ）
A、 B、 C、 D、的符号不确定
3、若函数有一个零点3，那么函数的零点是 （ ）
A、0 B、 C、 D、
4、已知函数，则关于的零点叙述正确的是 （ ）
A 、函数必有一个零点是正数 B、当时，函数有两个零点
C、当时，函数有两个零点 D、当时，函数有两个零点
5、对于实数，符号表示不超过的最大正数，例如定义函数
则下列结论正确的是 （ ）
A、函数的最大值为， B、方程有且仅有一个解
C、函数时周期函数 D、函数是增函数
6、已知，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
7、若方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为的取值范围为 .
8、设是方程(为实常数)的两个根，则 .
9、已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .
10、已知函数若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是
11、已知若关于的方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围.
12、已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）讨论函数的零点个数.第九节 函数与方程
考纲解读
1、了解函数的零点与方程根的关系，判断方程根的存在性及根的个数
2、能够根据具体函数的图像，用二分法求相应方程的近似解.
命题趋势探究
函数思想与方程思想是密切相关的，作为中学最主要内容的函数思想方法应用，在高考中的考查力度有加强趋势；函数的零点及二分法的思想会以选择题、填空题或解答题的形式出现，在今后的高考中，也将会加大考查力度.
知识点精讲
一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
题型归纳及思路提示
题型33 求函数的零点或零点所在区间
思路提示 求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
例2.74 求下列函数的零点：
（1） （2）
分析：令函数，因式分解或通分求方程的根，得的零点.
解析：（1）有得，所以
所以故函数的零点是。
（2）有得，所以所以，即，故函数的零点是.
变式1函数的零点所在的一个区间是 （ ）
A、 B、 C、 D、
解析 函数在R上单调递增,由函数零点存在性定理,可知零点在区间(-1,0)内,故选B.
变式2 设是方程的解，则属于区间 （ ）
A、 B、 C、 D、
解析 解法一:令又函数在定义域上递增,且.由函数零点存在性定理,故函数在(2,3)上有唯一实根,故选C.
解法二(图像法)
方程,即,在同一坐标系中作出两个函数和的图像,如图2-84所示,则两函数图像交点的横坐标即为所求零点,故易知,故选C
变式3 设函数与图像的交点为，则所在的区间是 （ ）
A、 B、 C、 D、
解析 解法一:利用等价转化思想将交点问题转化为函数零点问题.令,则在R上为增函数,所以函数的零点所在的区间为(1,2)故选B.
变式4 若则函数的两个零点分别位于区间 （ ）
A、和内 B、和内
C、和内 D、和内
解析 函数y=(x-a)(x-b),函数y=(x-b)(x-c),函数y=(x-c)(x-a)的图像,如图2-86所示,当xc时,f(x)>0,故函数f(x)的零点不能位于区间上,故排除选项BCD,故选A.
题型34 利用函数的零点确定参数的取值范围
思路提示：本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.
例2.75 已知函数的图像如图2—29所示，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
分析 找出的零点，利用的零点及性质建立参数关系，得出参数范围.
解析 由图2—29可得，故，且有3个零点，故可设比较已知的解析式，得当时，因此故故选.
变式1 若函数有两个零点，则实数的取值范围是 。
解析 设函数和函数,则函数有两个零点,即函数与函数有两个交点,如图2-86(a)所示,当01时,因为函数的图像过点(0,1),而直线为所过的点一定在点(0,1)的上方所以有两个交点,故实数a的取值范围是
变式2已知函数，当
时，函数的零点，则 .
解析 因为23,所以-b<-3,所以2-b<-1,所以,所以,即,由.
变式3 已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是 ．
解析 .在直角坐标系中画出该函数的图像,如图中实线所示,根据图像可知,当时,有两个交点,所以实数k的取值范围是
题型35 方程根的个数与函数零点的存在性问题
思路提示
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.
例2．76 判断方程的负实数根的个数，并说明理由.
分析 找区间使得，然后判定在区间上的单调性，从而得到负实数根的个数.
解析 解法一：设因为又因为函数的图像在上连续不断，根据零点存在性定理可知，函数在内有零点.又因为在上，函数递增，递减，所以在上单调递增，所以
在内只有一个零点.因此方程只有一个负实数根.
解法二：如图2—30所示，在同一坐标系中，作出函数与函数的图像，易知只有一个负零点，即方程只有一个负实数根.
评注 如果在上的图像时连续不断的曲线，且时函数在上的一个零点，不一定有如
变式1 已知函数，且没有实数根，证明：是否是否有实数根？
解析 无实根,证明如下:
若a>0,则对一切恒成立,于是
若a<0,则对一切恒成立,于是
所以没有实数根.
变式2 设证明：（1）；（2）为单调函数时，是否有
解析(1)证明:若M=,则显然有,若,则存在,满足所以 故,所以.(2)M=N,用反证法证明:
假如,由于,必存在,因此,
①若,由于f(x)为单调增函数,所以,即矛盾.
②若,由于f(x)为单调增函数,所以,即矛盾.
综合①②可知,因此,与假设矛盾,所以假设不成立,即M=N
变式3 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：
对任意的总有；；若都有+成立，则函数为理想函数.
（1）若函数为理想函数，求的值域；
（2）判断函数是否为理想函数，并给与证明；
（3）若函数为理想函数，假定存在使得，且，求证：.
解析 (1)因为函数为理想函数,所以满足①②③,
由③因为,则,所以.
由②因为,所以,所以.
因为，所以。
因为当时，，所以，所以的值域为，
（2）是理想函数，证明如下：
①因为，，所以，即；
②；
③，。
因为，所以，所以，所以是理想函数。
（3）可证在上有如下结论：当，。
因为，所以
当时，以为。则成立。
当时，。
若，则，若，则。
均与矛盾，所以，综合得。
例2.77 已知，则函数的零点个数是 （ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
分析 对于复合函数的零点问题，利用换元法与图像法综合求解.
解析 令则由图2—30（a）知，得，对应图2—30（b）知，因此函数的零点个数是4，故选A.
评注 本题通过换元后，得到函数与同时做出与的图像.由得的值（或范围），再由确定的值（或范围），这时复合函数求零点个数问题的通法，望掌握.
变式1 已知函数则方程
的解的个数不可能为 （ ）
A、3个 B、4个 C、5个 D、6个
解析 令，则方程。函数与的图像如图2-89（）和图像2-89（）所示，
当时，，，则方程对应4个解，排除选项B；当时，，则对应的的值有5个解，排除选项C，当时，，，则对应的的值的可能有4个，5个或6个，排除选项D，故选A。
变式2 关于的方程，给出下列4个命题：
存在实数，使得方程恰有2个不同的实数根；
存在实数，使得方程恰有4个不同的实数根；
存在实数，使得方程恰有5个不同的实数根；
存在实数，使得方程恰有8个不同的实数根；
其中假命题的个数是 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
解析 令，则原方程可变形为与的图像，如图2-90（）和图2-90（）所示：
当时，有两个不同的值与之对应，则原方程有两个根；
当时，或有5个不同的值与之对应，则原方程有5个根；
当时，有8个不同的值与之对应，则原方程有8个根；
当时，有4个不同的值与之对应， 原方程有4个根，则假命题的个数是0，故选A。
变式3、若函数有极值点且则关于的方程
的不同实根个数是 （ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
分析 先求函数的导数，由极值点的性质及题意，得出或，再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数。
解析 因为，函数的两个极值点为，所以，所以是方程的两根，所以解关于的方程得或
不妨设，由题意知函数在，上单调递增，在上单调递减，又，如图2-91所示，有数形结合可知有两个不同实根，有一个实根，所以不同实根的个数为3，故选A
变式4 已知是实数，和是函数的两个极值点.
(1)求和的值； （2）设函数的导函数求的极值点；
（3）设其中，求函数的零点个数.
例2.78 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
分析 本题考查利用数形结合思想求解函数图像交点个数问题及整体性质.
解析在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，利用两个函数图像共同的对称中心，设个交点的横坐标分别为，结合函数图像，如图2—32所示，由对称性得故所有交点的横坐标之和等于8，故选D.
评注 本题利用函数图像的中心对称性，整体求解横坐标之和，体现数学解题中整体思想的特点.
变式1 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上增函数，
若方程在区间上有4个不同的实根，则
.
解析 如图2-92所示，由函数图象的对称性，关于与对称，得，，所以。
评注 本题结合函数图象的对称性（轴对称）得到方程根的和这一整体性质。
最有效训练题
1、函数的零点所在区间为 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、设是函数的零点，若则有 （ ）
A、 B、 C、 D、的符号不确定
3、若函数有一个零点3，那么函数的零点是 （ ）
A、0 B、 C、 D、
4、已知函数，则关于的零点叙述正确的是 （ ）
A 、函数必有一个零点是正数 B、当时，函数有两个零点
C、当时，函数有两个零点 D、当时，函数有两个零点
5、对于实数，符号表示不超过的最大正数，例如定义函数
则下列结论正确的是 （ ）
A、函数的最大值为， B、方程有且仅有一个解
C、函数时周期函数 D、函数是增函数
6、已知，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
7、若方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为的取值范围为 .
8、设是方程(为实常数)的两个根，则 .
9、已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .
10、已知函数若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是
11、已知若关于的方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围.
12、已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）讨论函数的零点个数.
最有效训练题12
1.C 解析 函数在上单调递增，且
，由函数零点存在性定理知，函数在区间上有唯一零点，故选C。
2.C 解析 解法一：如图2-93所示为函数与函数的图象，为函数图象交点的横坐标，当时，，故选C,
解法二：函数是上的减函数，又，且
，所以。故选C。
3.C 解析 因为有一个零点为3，所以，即，令得，即，所以或，所以的零点为0或-1，故选C。
4.A 解析 函数的零点即为方程的根，因为，所以为方程的根，也即为函数的图像交点横坐标，作为两个函数图象可知当时，函数有两个零点，当时，函数有一个零点，选项A正确，故选A，
5.C 解析 函数的图像如图2-94所示，函数的值域为，选项A错误，当时，方程有无数个解，否则方程无解，选项B错误；函数在定义域内不具有单调性，选项D错误，所以选项C正确，故选C。
6．B 解析 函数的图像如图2-95所示，设直线与相切于点，则过，得，解得。所以此时切线的斜率为，若直线与函数图象有3个交点，则，故选B。
7. ， 解析 函数的图像如图2-96所示若直线与函数图象有3个交点，则的取值范围为。
8.4 解析 依题意，设的图像如图2-97所示，直线与的图像交于两点，且A，B两点关于直线对称，所以。
9. 解析 函数的图像如图2-98所示，函数有两个不同的零点，则函数图象与直线有两个交点，则。
10. 解析 令，则函数可变为，当时，函数与如图2-99（），（）所示，直线与函数的图像交点的横坐标为，这样与的图像交于一点，故当时，函数的零点有一个，同理，当时，函数的零点只有一个，综上所述，实数的取值范围是。
11. 解析 函数的解析式为，函数的图像如图2-100所示，若函数与的图像有3个不同的交点，当与图像相切时，有，得，当过时，有，则的取值范围为，
12. 解析 （1）当时，，当时，，当时，，函数的图像如图2-101中实线所示，函数在，上单调递增，在上单调递减。
（2），当时，函数的图像如图2-102中实线所示，当，即时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，当时，函数有3个零点，同理，当时，若，函数有一个零点，当时，函数有3个零点，当时，函数有2个零点，综上，当时，函数有一个零点，当或4时，函数有2个零点，当时，函数有3个零点。

展开更多......

收起↑