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第十节 函数的综合
考纲解读
函数思想与方法渗透在数学各个分支，可解决数列、不等式等有关问题.
命题趋势探究
函数时中学数学最为重要的内容，函数与数列、不等式、导数等均有综合，高考强调在知识网络交汇处命制试题，利用函数的观点、思想和方法来认识、理解、研究数列；利用函数的构造求有关不等式恒成立问题下参数的取值范围或证明不等式；利用导函数研究函数的性质等.高等数学强调“联系”，在高考试题中，将会加大对函数的综合的考查力度.
知识点精讲
高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和 信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.
题型归纳及思路提示
题型36 函数与数列的综合
思路提示 利用函数与数列知识的相互联系、相似性质：
（1）抽象函数的关系与数列递推关系式类似.
(2)函数单调性与数列单调性的相似性.
（3）数列与不等式的综合可以利用数列的形式构造辅助函数，利用函数的性质证明不等式，因此解决数列问题可转化为函数问题，用函数的知识或方法解决.
例2.79设函数是公差为的等差数列，
则（ ）
A、 B、 C、 D、
评注 本题构造了单调递增的奇函数使得解题思路茅塞顿开，较之其他解法本法更胜一筹，望同学品评.
变式1 已知函数项数为2015的等差数列满足，且公差若则当 时，
题型37 函数与不等式的综合
思路提示 不等式问题转化为函数问题是静态转化为动态，常量转化为变量，这体现了函数思想，并能用函数的图像及性质解答.
例2.80已知函数
（1）当且时，求证：；
（2）是否存在实数使得函数的定义域和值域都是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）若讯在实数使得函数的定义域为，值域为
，求得取值范围.
变式1 对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数是倍值函数.则实数的取值范围是 .
题型38 函数中的创新题
思路提示
紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，将其转化为已有的认知结构，然后利用函数性质解题.
例2.81 设函数的定义域为,若存在非零实数使得对于任意，有且则称为上的高调函数.如果定义域为的函数为上高调函数，那么实数的取值范围是 ；如果定义域为的函数是奇函数，当时，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是 .
变式1 如果函数在区间上有定义，且对任意都有
则称函数为区间上的凹函数.
（1）已知判断是否为凹函数，若是，请给出证明，若不是，请说明理由；
（2）对于（1）中的函数有下列性质：若，则存在使得
成立.利用该性质证明唯一；
（3）设是函数图像上3个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形.
最有效训练题13
1、已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的 （ ）
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2、已知成等比数列，且曲线的项点是，则=（ ）
Ａ、3 B、2 C、1 D、
3、已知数列满足且时函数的两个零点，则（ ） A、24 B、32 C、48 D、64
4、已知是上的奇函数，
则数列的通项公式为 （ ）
Ａ、 B、 C、 D、
5、为非零向量，“” 是“函数为一次函数”的 （ ）
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
6、在区间上任意取实数，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为 ( )
A、 B、 C、 D、
7、已知关于的一次函数，设集合分别从集合和中随机取一个数作为和，函数时增函数的概率为 .
8、已知函数则满足不等式的的取值范围是 .
9、已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则 .
10、在直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图像恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数，下列函数：
； ； ；
其中是一阶格点函数的有 .
11、已知函数.
(1)若求得取值范围；
（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的解析式.
12、已知在上有定义，，且满足时有
，数列满足
（1）求的值，并证明在上为奇函数；
（2）探索与的关系式，并求得表达式；
（3）是否存在自然数，使得对于任意的恒成立？若存在，求出的最大值.第十节 函数的综合
考纲解读
函数思想与方法渗透在数学各个分支，可解决数列、不等式等有关问题.
命题趋势探究
函数时中学数学最为重要的内容，函数与数列、不等式、导数等均有综合，高考强调在知识网络交汇处命制试题，利用函数的观点、思想和方法来认识、理解、研究数列；利用函数的构造求有关不等式恒成立问题下参数的取值范围或证明不等式；利用导函数研究函数的性质等.高等数学强调“联系”，在高考试题中，将会加大对函数的综合的考查力度.
知识点精讲
高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和 信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.
题型归纳及思路提示
题型36 函数与数列的综合
思路提示 利用函数与数列知识的相互联系、相似性质：
（1）抽象函数的关系与数列递推关系式类似.
(2)函数单调性与数列单调性的相似性.
（3）数列与不等式的综合可以利用数列的形式构造辅助函数，利用函数的性质证明不等式，因此解决数列问题可转化为函数问题，用函数的知识或方法解决.
例2.79设函数是公差为的等差数列，
则（ ）
A、 B、 C、 D、
分析 本题将数列与函数结合，其解题思路是研究函数性质（单调性、奇偶性）与数列的特征.
解析 由得，
令则在上为单调递增的奇函数，故
设则也为等差数列，且，下证.反证法，若则故
，又是上单调递增的奇函数，所以，
以上相加得与矛盾，故假设
“”不成立，同理“”也不成立，故即
又数列的公差为，所以
故选D.
评注 本题构造了单调递增的奇函数使得解题思路茅塞顿开，较之其他解法本法更胜一筹，望同学品评.
变式1 已知函数项数为2015的等差数列满足，且公差若则当 时，
解析 因为在上为单调递增的奇函数，所以，又
为等差数列且，若，则，所以，所以，这与题设矛盾，同理也不成立，所以，所以当时，，所以。
评注 函数在区间D上是单调递增的奇函数，，则，同理，若在D上是单调递减的奇函数，。
题型37 函数与不等式的综合
思路提示 不等式问题转化为函数问题是静态转化为动态，常量转化为变量，这体现了函数思想，并能用函数的图像及性质解答.
例2.80已知函数
（1）当且时，求证：；
（2）是否存在实数使得函数的定义域和值域都是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）若讯在实数使得函数的定义域为，值域为
，求得取值范围.
解析 （1）函数的图像如图2—33所示，当且时，则即
得
（2）假设存在实数使得函数的定义域和值域都是，
当时，函数单调递减，
则当
，不符号题意，故舍去；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，故
与矛盾，故舍去;
当时，函数在上单调递增，且与
矛盾.
综上，不存在实数使得函数的定义域和值域都是
（3）依题意，
当时，函数在上单调递减，则即
得与矛盾，故舍去；
当时， ，与矛盾，舍去；
当时，函数在上单调递增，则即
故方程即方程存在两个大于1的实根，满足得综上，的取值范围是
变式1 对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数是倍值函数.则实数的取值范围是 .
解析 若函数是倍值函数，则在上有相异实根，即，令，函数在上单调递增，函数的图像如图2-103所示，因此有两相异实根，则，即，所以实数的取值范围为。
题型38 函数中的创新题
思路提示
紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，将其转化为已有的认知结构，然后利用函数性质解题.
例2.81 设函数的定义域为,若存在非零实数使得对于任意，有且则称为上的高调函数.如果定义域为的函数为上高调函数，那么实数的取值范围是 ；如果定义域为的函数是奇函数，当时，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是 .
解析 解法一：由高调函数定义可知，对恒成立，即不等式恒成立，令则得故的取值范围是.
解法二：（图示法）.如图2—34（a）所示，恒成立，所以
即则故实数的取值范围是.
函数的图像如图2—34(b)所示，又函数为上的奇函数，利用对称性作出函数的图像，若为上的4高调函数，则需满足得
故实数的取值范围是
变式1 如果函数在区间上有定义，且对任意都有
则称函数为区间上的凹函数.
（1）已知判断是否为凹函数，若是，请给出证明，若不是，请说明理由；
（2）对于（1）中的函数有下列性质：若，则存在使得
成立.利用该性质证明唯一；
（3）设是函数图像上3个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形.
分析 根据体重所给凹函数的定义去判断是否是凹函数，利用反证法证明唯一性，利用向量的方法（向量的数量积）判定是钝角三角形。
解析 （1）函数是凹函数，证明如下:设且，则
。
因为，且，所以，
所以，
所以，
所以，即，故是凹函数。
（2）假设，且，使得 ①
②
①—②得。
因为，所以，所以
因为，记，所以
所以是上的单调增函数，所以，这与矛盾，即是唯一的。
（3）设，且，因为，所以是上的单调减函数，所以。
因为，
所以。
因为所以，
故，且，所以B为钝角，故为钝角三角形。
最有效训练题13
1、已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的 （ ）
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2、已知成等比数列，且曲线的项点是，则=（ ）
Ａ、3 B、2 C、1 D、
3、已知数列满足且时函数的两个零点，则（ ） A、24 B、32 C、48 D、64
4、已知是上的奇函数，
则数列的通项公式为 （ ）
Ａ、 B、 C、 D、
5、为非零向量，“” 是“函数为一次函数”的 （ ）
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
6、在区间上任意取实数，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为 ( )
A、 B、 C、 D、
7、已知关于的一次函数，设集合分别从集合和中随机取一个数作为和，函数时增函数的概率为 .
8、已知函数则满足不等式的的取值范围是 .
9、已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则 .
10、在直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图像恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数，下列函数：
； ； ；
其中是一阶格点函数的有 .
11、已知函数.
(1)若求得取值范围；
（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的解析式.
12、已知在上有定义，，且满足时有
，数列满足
（1）求的值，并证明在上为奇函数；
（2）探索与的关系式，并求得表达式；
（3）是否存在自然数，使得对于任意的恒成立？若存在，求出的最大值.
。
最有效训练题13
1.B 解析 点在上，则有为等差数列，若为等差数列，则有，不一定为，故为充分不必要条件，故选B。
2.B 解析 因为曲线的顶点是，所以，又因为成等比数列，所以，故选B，
3.D 解析 依题意有，所以，两式相除得，所以成等比数列，因为，所以，所以。又因为，所以，故选D。
4.C 解析 因为为奇函数，所以，
即，所以，
所以，
所以，令 得
所以，故选C。
5.B 解析 若，则有，不一定是一次函数（当时不是一次函数），反之成立，故选B，
6.C 解析 因为且，所以在上为增函数，若在上有且仅有一个零点，则，则，对应区域如图2-104阴影部分所示，故所求事件的概率。故选C。
7. 解析 函数的单调性只与有关，因此概率为。
8. ， 解析 函数的图像如图2-105所示，要满足，得或，解得或，则的取值范围是。
9.6 解析 因为函数在上是单调函数，且对于，都有，则（为正实数），且，令，得，即，所以，因此。
10.③④ 解析 根据为阶格点函数的定义，可知一阶格点函数的图像知经过一个整点，①，易知由于，即函数经过整点，不符合一阶格点函数的定义；②，由知不符合定义，③，故仅有，只有一个整点，符合定义；④将函数配方得
，当时，，此时满足条件的整点只有，因此，是一阶格点函数的只有③④。
11. 解析 （1）函数的定义域为，①②且满足，即，得，得③，由①②③得，的取值范围为，
（2）当时，，
当时，，
所以当时，，因此，当时，，
令，则，
所以。
12. 解析 （1）令得，即又令，有
，即，所以在上为奇函数。
（2）因为，因为。所以（常数）故为等比数列。又，公比，所以。
（3）假设存在自然数m满足题设条件，则
对于任意的成立，所以对于任意的成立，当时，的最小值为12，故，所以自然数m的最大值为11。

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