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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 尺规作图与格点作图
（解析版）
1．如图，已知和线段，请用尺规作图法作等腰，使得，． （保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，△ABC为所作．
2．尺规作图，已知∠，线段a，b，求作△ABC，使得，，．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：即为所求作的三角形，
3．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，h（如图）.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
【答案】解：①以点B为端点画射线，以B为圆心，以a为半径画弧交射线于点C，
②以点B为圆心，以大于为半径画弧，以点C为圆心以相同长度为半径画弧，连接两个交点交于BC于点D，
③以点D为圆心，以h为半径画弧交直线于点A，
④连接AB，AC，BC，
∴△ABC就是即为所求，如图所示：
4．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n.求作，使.
【答案】解：如图所示：为所求.
5．求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半.要求：
（1）根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；
（2）根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程.
【答案】（1）解：如图所示，线段为所求作的线段；
（2）解：已知：如图，是直角三角形，，.
求证：.
解法一：如图，在上截取一点D，使得，连接.
∵，，∴.
∵，∴是等边三角形.
∴，.
∵，∴.
∴.∴.
∵，∴.
解法二：如图，延长至点D，使，连接.
∵，，
∴，，
∵，，，
∴.∴.
∴是等边三角形.
∴.
∵，∴.
6．已知：线段a．
求作：等腰直角，使得斜边．
【答案】解：作图如下：就是所求的等腰直角三角形．
7．如图，已知线段a，利用尺规作图求以a为底边、以 为高的等腰三角形
【答案】解：由题意得所作的满足条件的等腰△ABC如下：
【解析】【分析】首先作线段AB使其等于a，然后作线段AB的垂直平分线，交AB于点F，截取CF=a，然后连接AC、BC即可.
8．已知∠α，∠β和线段c，求作△ABC，使∠A= ∠α，∠B=∠β，AB=c.（不写作法，保留痕迹）
【答案】解：如图所示：△ABC即为所求．
9．已知ABC中，∠B＝∠C＝α．
（1）尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
①作∠EAC的平分线AD；
②在AD上作点P，使ACP是以AC为底边的等腰三角形，并求出∠APC的度数（用含α的式子表示）；
（2）在（1）所作的AD上是否存在着另外的点P，使ACP也为等腰三角形，若有，请直接用含α的式子表示∠APC的大小；若没有，请说明理由．
【答案】（1）解：①如图，射线即为所求
②作线段的垂直平分线，交于点P，连接，则即为所求；
又平分
（2）或
解：(2)存在，当时，
当时，
综上所述，的值为或
10．如图，已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB＝a，∠A＝ ∠α，∠B＝∠α（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）．
【答案】解：如图，先作线段 ，再作 ，再作 的角平分线 ， 与 的交点为C，则 即为所求作的三角形
11．如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为6的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边.
【答案】（1）解：如图甲所示：△ABC即为所求
（2）解：如图乙所示：△ACD即为所求，
12．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点 和点 在小正方形的顶点上.
（1）在图1中画出 （点 在小正方形的顶点上），使 为直角三角形（画一个即可）；
（2）在图2中画出 （点 在小正方形的顶点上），使 为等腰三角形（画一个即可）.
【答案】（1）解：如图1，①、②，画一个即可；
（2）解：如图2，①、②，画一个即可.
13．如图，图①、图②、图③均是5X5的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，请只用无刻度直尺，在给定的网格中按下列要求以AB为一边画一个等腰三角形ABC．
⑴点C在格点上
⑵三个图中所画的三角形均不全等，
⑶若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则满足条件的C点有　 　个．
【答案】解：（1）（2） （3）6个
14．如图，在小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'．
（ 1 ）补全△A'B'C'；
（ 2 ）画出AC边上的中线BD；
（ 3 ）画出AC边上的高线BE；
（ 4 ）求△ABD的面积．
【答案】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求作三角形．
（2）如图所示，BD为AC边上的中线；
（3）如图所示，BE为AC边上的高线；
（4）S△ABD＝4×6﹣ ×1×2﹣ ×4×6﹣ ×（1+6）×2＝24﹣1﹣12﹣7＝4．
15．如图，在 8×6 的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位.
（1）在图1中画出以BC为一边，面积为12的等腰三角形.
（2）在图 2中画出△ABC 的角平分线 BE.（△ABC 的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母.）
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
16．在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，请在甲，乙，丙三个方格图中，分别按照要求画一个格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形）
（1）请在图甲中作△DEF与△ABC全等
（2）请在图乙中作格点三角形与△ABC全等，且所作的三角形有一条边经过MN的中点.
（3）请在图丙中作格点△PQR与△ABC不全等但面积相等
【答案】（1）解 ：如图
△DEF就是所求作的三角形.
（2）解：如图，
△A1B1C1就是所求作的三角形.
（3）解：
如图，
△PQR就是是求作的三角形.
17．如图，这是一个4×4的正方形网格，设每个小正方形的边长都是1．
（1）在图①网格中画出格点直角三角形（三角形的顶点都在小正方形的顶点处的三角形称为格点三角形，下同），使其斜边的长为无理数，两直角边长是有理数．
（2）在图②网格中画出格点直角三角形，使其三边的长都是无理数．
（3）在图③网格中画出格点等腰三角形，使其至少有一条边的长是无理数．
【答案】（1）解：如图所示，△ABC即为所求；
∵AB=1，BC=2，
∴，
∴△ABC符合题意；
（2）解：如图所示，△ABC即为所求；
∵，，
∴，
∴△ABC符合题意；
（3）解：如图所示，△ABC即为所求；
∵，，
∴△ABC符合题意．
18．下面为 的网格，每个小正方形的边长为1，请按要求画图．要求：所画图形的顶点均在网格的格点上．
（1）在图1中画一个面积为6的锐角三角形；
（2）在图2中画一个面积为5，且有一个内角为45°的三角形．
【答案】（1）解：如图中的三角形即为所求作的锐角三角形；
（2）解：如图中的三角形即为所求作的三角形．
19．如图4，已知每个小正方形的面积均为1，给出点C，请你按要求设计△ABC，使∠C= 90° ，AC=BC．
（1）AB的长为无理数，AC、BC的长均为有理数；
（2）AB的长为有理数，AC、BC的长均为无理数；
（3）三边的长均为无理数．
【答案】（1）解：如图．
（2）解：如图．
（3）解：如图．
20．如图，在正方形网格中每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在图（1）网格中画出长为 的线段AB．
（2）在图（2）网格中画出一个腰长为 ，面积为3的等腰
【答案】（1）解：解如图所示
（2）解：解如图所示
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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 尺规作图与格点作图
考试时间：120分钟 满分：120分
1．如图，已知和线段，请用尺规作图法作等腰，使得，． （保留作图痕迹，不写作法）
2．尺规作图，已知∠，线段a，b，求作△ABC，使得，，．（不写作法，保留作图痕迹）
3．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，h（如图）.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
4．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n.求作，使.
5．求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半.要求：
（1）根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；
（2）根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程.
6．已知：线段a．
求作：等腰直角，使得斜边．
7．如图，已知线段a，利用尺规作图求以a为底边、以 为高的等腰三角形
8．已知∠α，∠β和线段c，求作△ABC，使∠A= ∠α，∠B=∠β，AB=c.（不写作法，保留痕迹）
9．已知ABC中，∠B＝∠C＝α．
（1）尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
①作∠EAC的平分线AD；
②在AD上作点P，使ACP是以AC为底边的等腰三角形，并求出∠APC的度数（用含α的式子表示）；
（2）在（1）所作的AD上是否存在着另外的点P，使ACP也为等腰三角形，若有，请直接用含α的式子表示∠APC的大小；若没有，请说明理由．
10．如图，已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB＝a，∠A＝ ∠α，∠B＝∠α（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）．
11．如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为6的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边.
12．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点 和点 在小正方形的顶点上.
（1）在图1中画出 （点 在小正方形的顶点上），使 为直角三角形（画一个即可）；
（2）在图2中画出 （点 在小正方形的顶点上），使 为等腰三角形（画一个即可）.
13．如图，图①、图②、图③均是5X5的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，请只用无刻度直尺，在给定的网格中按下列要求以AB为一边画一个等腰三角形ABC．
⑴点C在格点上
⑵三个图中所画的三角形均不全等，
⑶若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则满足条件的C点有　 　个．
14．如图，在小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'．
（ 1 ）补全△A'B'C'；
（ 2 ）画出AC边上的中线BD；
（ 3 ）画出AC边上的高线BE；
（ 4 ）求△ABD的面积．
15．如图，在 8×6 的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位.
（1）在图1中画出以BC为一边，面积为12的等腰三角形.
（2）在图 2中画出△ABC 的角平分线 BE.（△ABC 的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母.）
16．在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，请在甲，乙，丙三个方格图中，分别按照要求画一个格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形）
（1）请在图甲中作△DEF与△ABC全等
（2）请在图乙中作格点三角形与△ABC全等，且所作的三角形有一条边经过MN的中点.
（3）请在图丙中作格点△PQR与△ABC不全等但面积相等
17．如图，这是一个4×4的正方形网格，设每个小正方形的边长都是1．
（1）在图①网格中画出格点直角三角形（三角形的顶点都在小正方形的顶点处的三角形称为格点三角形，下同），使其斜边的长为无理数，两直角边长是有理数．
（2）在图②网格中画出格点直角三角形，使其三边的长都是无理数．
（3）在图③网格中画出格点等腰三角形，使其至少有一条边的长是无理数．
18．下面为 的网格，每个小正方形的边长为1，请按要求画图．要求：所画图形的顶点均在网格的格点上．
（1）在图1中画一个面积为6的锐角三角形；
（2）在图2中画一个面积为5，且有一个内角为45°的三角形．
19．如图4，已知每个小正方形的面积均为1，给出点C，请你按要求设计△ABC，使∠C= 90° ，AC=BC．
（1）AB的长为无理数，AC、BC的长均为有理数；
（2）AB的长为有理数，AC、BC的长均为无理数；
（3）三边的长均为无理数．
20．如图，在正方形网格中每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在图（1）网格中画出长为 的线段AB．
（2）在图（2）网格中画出一个腰长为 ，面积为3的等腰
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