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同构基础：切线不等式
常见的指数放缩：e≥X+1(X=0);e≥ex(X=1)
常见的对数放缩：1-1≤InX≤X-1(x=1;lnX≤×(x=e）)
X
e
常见三角函数的放缩：X∈0，
π
2
sin x学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
(1)当a>0且a≠1，x>0时，有ag:×=X
(2)当a>0且a≠1时，有loga=X
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中X>0)
(3)Xe*=ex+nx;x+lnx=ln(xe）】
(4)
x=ex-inx x-Inx=In e
ex
X
(5)x2ex =ex*2Inx;x+2Inx=In(x2e*)
(6)
x2=ex-2mx
ex
e
2=e*-2nx
再结合常用的切线不等式Inx≤x1,nx≤X,e'≥X+1,e≥ex等，可以得到更多的结论，这里仅以第(3)条为
e
例进行引申：
(7)Xe*=ex+nx≥x+lnx+1:x+lnx=ln(xe）sxe*-1
(xe*-exze(x+Inx):x+Inx=In(xe)s xe=xe
e
注：所有公式先证后用，否则扣分。
1
一。
指数e×≥X+1切线的放缩的推广
1.下面我对其原式“加减乘除”并进行推广：
※如果我把原式X替换成了X+a则又变成了：e+a≥x+a+1切点：X=-a
※如果我把原式x替换成了用×+lnx则又变成了：xe×≥x+lnx+1,切点：X+ln×=0→X,=0.568
※如果我把原式×替换成了X-1则又变成了：e1≥x.切点：X=1,又可表示为：e×≥ex)
※如果我把e*≥ex中的x替换成了×则又变成了：e≥eXx>0)切点：X=n
n
n
e≥xx
。X
对于常见的变换：e3≥e,一
X
e2≥e2→e*≥ex2
>x2;
272
4
2.下面我对其原式“丢1换X”并进行推广：
※如果我把原式1丢掉，则变成了：e*>X:
4
27
※如果我把e'>X中X替换成-×，则变成了：e>-X:题e<(仪<0)
X
※如果我把原式×替换成-X,则变成了：e*>-X+上取题)e*<,1
,(X<1)
1-×1
%如果我把原式×指换成X-2X-n2,则变成了：e>ex+发：e≥2X+2-2n2
1
3.常见函数的切点构造
※对于原式我们还可以有：e*≥x2+1:e≥二x2+X+1.(泰勒展开)：
3
e≥ex+x-12x≥0).ex1≥2-1e≥ex+K-2x≥0).
X.
2

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