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2023届导数微专题——构造抽象函数
一、常见的构造函数方法有如下几种：
(1)利用和、差函数求导法则构造函数
①对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；
②对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；
特别地，对于不等式f′(x)>k(或(2)利用积、商函数求导法则构造函数
①对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；
②对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0)．
(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数
①对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；
②对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；
③对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xnf(x)；
④对于不等式xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；
⑤对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝exf(x)；
⑥对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝；
⑧对于不等式f′(x)＋kf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝ekxf(x)；
⑨对于不等式f′(x)－kf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝.
⑩对于不等式>0(或<0)，构造函数F(x)＝sin xf(x)；
对于不等式>0(或<0)，构造函数F(x)＝(sin x≠0)；
对于不等式>0(或<0)，构造函数F(x)＝cos xf(x)；
对于不等式>0(或<0)，构造函数F(x)＝(cos x≠0)．
二、典例分析
例1.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0,1)　　 B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
自主练习
设是定义在上的奇函数，在上有，且，则不等式的解集为 ．
例2.已知函数在上可导，其导函数，若满足：，，则下列判断一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
自主练习
函数f(x)是定义在R上的可导函数，且f(x)>f′(x)对任意x∈R都成立，则下列不等式中成立的是(　　)
A.f(2 018)>e2 018f(0)，f(2 018)>ef(2 017)
B．f(2 018)>e2 018f(0)，f(2 018)C．f(2 018)ef(2 017)
D．f(2 018)例3.已知是定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）
A. B.
C. D.
自主练习
已知函数对于任意满足（其中是函数的导函数），则下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例4.设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 018)2·f(x＋2 018)－4f(－2)>0的解集为________．
自主练习
已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
三、综合练习
1.已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集为(　　)
A．(0,1)　　B．(1，＋∞) C．(1,2) D．(2，＋∞)
2.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)A．(－∞，1) B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)
3．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
4.已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对于任意正数a，b，若aA．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a)
C．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b)
5.设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，2f(x)＋xf′(x)>x2，则下面的不等式在R上恒成立的是(　　)
A．f(x)>0 B．f(x)<0 C．f(x)>x D．f(x)6．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则不等式f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
7.设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)上可导，且f′(x)A．f(x)>g(x) B．f(x)C．f(x)＋g(a)8.函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝0，且x<0时，xf′(x)A．(－∞，0) B．[－3,0]∪[3，＋∞) C．[－3,3] D．[0,3]
2023届导数微专题——构造抽象函数解析
一、常见的构造函数方法有如下几种：
(1)利用和、差函数求导法则构造函数
①对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；
②对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；
特别地，对于不等式f′(x)>k(或(2)利用积、商函数求导法则构造函数
①对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；
②对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0)．
(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数
①对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；
②对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；
③对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xnf(x)；
④对于不等式xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)；
⑤对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝exf(x)；
⑥对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝；
⑧对于不等式f′(x)＋kf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝ekxf(x)；
⑨对于不等式f′(x)－kf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝.
⑩对于不等式>0(或<0)，构造函数F(x)＝sin xf(x)；
对于不等式>0(或<0)，构造函数F(x)＝(sin x≠0)；
对于不等式>0(或<0)，构造函数F(x)＝cos xf(x)；
对于不等式>0(或<0)，构造函数F(x)＝(cos x≠0)．
二、典例分析
例1.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0,1)　　 B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
[解析]设F(x)＝.因为f(x)是奇函数，故F(x)是偶函数，F′(x)＝，易知当x>0时，F′(x)<0，所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(－1)＝0，则f(1)＝0，于是F(－1)＝F(1)＝0，f(x)＝xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x与F(x)的符号相同的区间，易知当x∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f(x)>0，故选A.
自主练习
设是定义在上的奇函数，在上有，且，则不等式的解集为 ．
【解析】构造，则，当时，，可以推出，，在上单调递减．为奇函数，为奇函数，所以为偶函数，在上单调递增．根据可得，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知的解集为．
例2.已知函数在上可导，其导函数，若满足：，，则下列判断一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】构造形式，则，导函数满足，则时，在上单调递增．当时，在上单调递减．又由关于对称，根据单调性和图象，可知选C．
自主练习
函数f(x)是定义在R上的可导函数，且f(x)>f′(x)对任意x∈R都成立，则下列不等式中成立的是(　　)
A.f(2 018)>e2 018f(0)，f(2 018)>ef(2 017)
B．f(2 018)>e2 018f(0)，f(2 018)C．f(2 018)ef(2 017)
D．f(2 018)【解析】选D　令函数g(x)＝.由f(x)>f′(x)，得f′(x)－f(x)<0，所以g′(x)＝＝<0，即函数g(x)＝在R上单调递减．所以<<，即有f(2 018)例3.已知是定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【解析】因为，所以在上单调递增，从而.
自主练习
已知函数对于任意满足（其中是函数的导函数），则下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为，所以在上单调递增，故选B.
例4.设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 018)2·f(x＋2 018)－4f(－2)>0的解集为________．
【解析】：令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)．结合条件2f(x)＋xf′(x)>x2，将条件两边同时乘以x，得2xf(x)＋x2f′(x)0，即g(x＋2 018)>g(－2)，得x＋2 018<－2，解得x<－2 020，∴原不等式的解集为(－∞，－2 020)．答案：(－∞，－2 020)
自主练习
已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【解析】
令，则，因为，所以，即在上为增函数，不等式可化为，即，又单调递增得，所以不等式的解集为.选B
三、综合练习
1.已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集为(　　)
A．(0,1)　　B．(1，＋∞) C．(1,2) D．(2，＋∞)
【解析】选D　因为f(x)＋xf′(x)<0，所以[xf(x)]′<0，故xf(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，又(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以x＋12.
2.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)A．(－∞，1) B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)
【解析】选D　因为g(x)＝x2f(x)，所以g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]．由题意知，当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，则g(x)也是偶函数，所以g(x)＝g(|x|)，由g(x)3．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
【解析】选D　设F(x)＝f(x)g(x)，当x<0时，∵F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，∴F(x)在(－∞，0)上为增函数．又∵F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，故F(x)为R上的奇函数．
∴F(x)在(0，＋∞)上也为增函数．由g(－3)＝0，得F(－3)＝F(3)＝0.
画出函数F(x)的大致图象如图所示，∴F(x)<0的解集为{x|x<－3或04.已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对于任意正数a，b，若aA．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a)
C．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b)
【解析】选C　∵xf′(x)＋f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0.∴f′(x)≤－，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数．又05.设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，2f(x)＋xf′(x)>x2，则下面的不等式在R上恒成立的是(　　)
A．f(x)>0 B．f(x)<0 C．f(x)>x D．f(x)【解析】选A　法一：令g(x)＝x2f(x)－x4，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)－x3＝x[2f(x)＋xf′(x)－x2]，当x>0时，g′(x)>0，∴g(x)>g(0)，即x2f(x)－x4>0，从而f(x)>x2>0；当x<0时，g′(x)<0，∴g(x)>g(0)，即x2f(x)－x4>0，从而f(x)>x2>0；当x＝0时，由题意可得2f(0)>0，∴f(0)>0.综上可知，f(x)>0.
6．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则不等式f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
【解析】选B　令m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴函数m(x)在R上为单调递增函数．又∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
7.设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)上可导，且f′(x)A．f(x)>g(x) B．f(x)C．f(x)＋g(a)【解析】选C　令函数h(x)＝f(x)－g(x)．因为f′(x)g(x)＋f(b)，故选项C正确．
8.函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝0，且x<0时，xf′(x)A．(－∞，0) B．[－3,0]∪[3，＋∞) C．[－3,3] D．[0,3]
【解析】选B　令F(x)＝，因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以F(x)为偶函数，当x<0时，F′(x)＝<0，故f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．结合f(3)＝0，画出函数F(x)＝的大致图象如图所示．所以不等式f(x)≥0的解集为[－3,0]∪[3，＋∞)．

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