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求曲线的轨迹方程
【考点预测】
曲线的方程和方程的曲线
在直角坐标系中，如果是某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f x,y = 0的实
数解建立了如下的关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解 (完备性)
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (纯粹性)
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．事实上，曲线可以看作一个点集C，以一个二元方程的
条件 (1) C F
解作为坐标的点也组成一个点集F，上述定义中 C=F条件 (2) F C
【方法技巧与总结】
一、直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
(1)建系：建立适当的坐标系
(2)设点：设轨迹上的任一点P x,y
(3)列式：列出有限制关系的几何等式
(4)代换：将轨迹所满足的条件用含 x,y的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为 x,y的方程式化简
(5)证明 (一般省略)：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 (对某些特殊值应另外补充检验)．简记为：建
设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
二、定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点 P和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦
点的特征：(1)关于坐标轴对称的点；(2)标记为F的点；(3)圆心；(4)题目提到的定点等等．当看到以上的标志
的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
三、相关点法求动点的轨迹方程
如果动点P的运动是由另外某一点P 的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该点坐标满足某已知曲线方程)，
则可以设出P(x,y)，用 (x,y)表示出相关点P 的坐标，然后把P 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨
迹方程．
四、交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点 (含参
数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为
参数．
五、参数方程法求动点的轨迹方程
动点M (x,y)的运动主要是由于某个参数 φ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即
x= f(φ) = ( )，再消参.y g φ
六、点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代
入圆锥曲线方程，两式相减可得 x1+ x2，y1+ y2，x1- x2，y1- y2等关系式，由于弦AB的中点P(x,y)的坐标满足
y - y
2x= x1+ x2，2y= y + y AB 2 11 2且直线 的斜率为 x - x ，由此可求得弦AB中点的轨迹方程．2 1
【题型归纳目录】
题型一：直接法
题型二：定义法
题型三：相关点法
题型四：交轨法
题型五：参数法
题型六：点差法
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
【典例例题】
题型一：直接法
2 y2
例1.(2022· x全国·高三专题练习)已知点P是椭圆 6 + 4 = 1上任意一点，过点P作 x轴的垂线，垂足为M，则线段
PM的中点N x,y 的轨迹方程为______．
2
【答案】x 26 + y = 1
【解析】因为PM⊥ x轴，垂足为M，且PM的中点为N x,y ，
2 y2
所以P x,2y ，又因为P是椭圆 x6 + 4 = 1 上任意一点，
x2 + (2y)
2 2
所以 6 4 = 1，即
x
6 + y
2= 1.
2
故答案为：x 26 + y = 1.
【方法技巧与总结】
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关
系“翻译”成含 x,y的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特
殊的技巧，所以被称为直接法．
例2.(2022· 3河南河南·模拟预测 (理))已知平面上的动点P到点O(0,0)和A(2,0)的距离之比为 2 ，则点P到 x轴的
距离最大值为_____.
【答案】4 3
【解析】设P(x,y)，
因为动点P到点O(0,0)和A(2,0)的距离之比为 32 ，
(x- 0)2+ (y- 0)2
所以 = 3 ，
(x- 2)2+ (y- 0)2 2
x2+ y2 3
( - )2+ 2 = 4 ，x 2 y
4x2+ 4y2= 3(x2- 4x+ 4) + 3y2，
x2+ y2+ 12x= 12
(x+ 6)2+ y2= 48，
所以点P的轨迹是以 (-6,0)为圆心，4 3 为半径的圆，
所以点P到 x轴的距离最大值为 4 3，
故答案为：4 3
例3.(2022·全国· 1 1高三课时练习)已知点P x,y 到定点M 0, 2 的距离比它到 x轴的距离大 2 ．
(1)求点P的轨迹C的方程；
2 2
【解析】依题意 x2+ y- 12 = y +
1
2 ①， x
2+ y- 12 -
1
2 = y ，
2 2
两边平方得 x2+ y- 12 - x
2+ y- 1 1 22 + 4 = y ，
x2- y- 1
2
2 = x
2+ y- 12 ②，
2 2
两边平方得 x4- 2 y- 1 x22 + y-
1
2 = x
2+ y- 12 ，
整理得 x4= 2y x2，x2 x2- 2y = 0
可得 x2= 2y或 x= 0，
当 x= 0 时，②转化为 y- 1 1 12 =- y- 2 ，所以 y- 2 ≤ 0，
此时①转化为 y- 12 =
1 1
2 - y= y + 2 , y =-y，所以 y≤ 0.
所以P点的轨迹C的方程为 x2= 2y或 x= 0 y≤ 0 .
例4.(2022·湖南·模拟预测)已知平面直角坐标系中有两点F1 -2,0 ,F2 2,0 ，且曲线C1上的任意一点P都满足 PF1
PF2 = 5．求曲线C1的轨迹方程并画出草图；
【解析】设P x,y ，
由题设有 x- 2 2+ y2 x+ 2 2+ y2= 5，
整理得到 x2- 4x+ 4+ y2 x2+ 4x+ 4+ y2 = 25，
故C1:x4+ y4+ 2x2y2- 8x2+ 8y2- 9= 0，其草图如下图所示：
例5.(2022·湖南湘潭·高三开学考试) 已知A,B两点的坐标分别为 (-2,0),(2,0)，直线AP,BP 的交点为P，且它们的
斜率之积- 14 ．求点P的轨迹E的方程;
【解析】设点P的坐标为 (x,y)，
y y
由题设得 k 1AP kBP= x+ 2 x- 2 =- 4 (x≠±2)，
2
故所求的点P的轨迹E的方程为 x4 + y
2= 1(x≠±2)．
题型二：定义法
例6.(2022·全国·高三专题练习)已知定点A(1，1)和直线 L：x+ y- 2= 0，那么到定点A和到定直线 L距离相等的点
的轨迹为 ( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线
【答案】D
【解析】点A(1，1)在直线L上，所以到定点A和到定直线L距离相等的点的轨迹为过A(1，1)且与直线L垂直的
直线.
故选：D.
【方法技巧与总结】
若动点的轨迹符合某一已知曲线 (圆，椭圆，双曲线，抛物线)的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，
故称待定系数法．
例7.(2022·全国·高三专题练习)已知圆F： x- 2 2+ y2= 1，动圆P与圆F外切，且与定直线 x=-3相切，设动点P的
轨迹为E．求E的方程；
【解析】设P x,y ，圆P的半径为R，由题可知，点P在直线 x=-3 右侧，
因为圆P与定直线 x=-3 相切，所以R= x+ 3．
又圆P与圆F外切，所以R= |PF|+1= x- 2 2+ y2+ 1，
所以 x+ 3= x- 2 2+ y2+ 1，化简得 y2= 8x，即E的方程为 y2= 8x．
例8.(2022·江西南昌·三模 (理))已知两条直线 l1：2x- 3y+ 2= 0，l2：3x- 2y+ 3= 0，有一动圆 (圆心和半径都在变
动)与 l1，l2都相交，并且 l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 26，24，则动圆圆心的轨迹是 ( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 直线
【答案】C
【解析】设动圆圆心的坐标为 x,y ，半径为 r，
圆心到 l1，l2的距离分别是 d1，d2，
则 d21+ 132= r2，d22+ 122= r2，
2x- 3y+ 2 2
所以 d2 2 22- d1= 25，又因为 d1= ，13
2= 3x- 2y+ 3
2
3x- 2y+ 3
2 2
d2 ，即 -13 13
2x- 3y+ 2 = 25，13
得 x+
x+ 1
1 2- y2= 65，即 265 -
y 2
65 = 1.
x+ 1 y所以动圆圆心的轨迹方程为 2 265 - 65 = 1，
由方程可知，动圆圆心的轨迹为双曲线.
故选：C
例9.(2022·上海市大同中学高三开学考试)已知定点P -4,0 和定圆Q:x2+ y2= 8x，动圆M和圆Q外切，且经过点
P，求圆心M的轨迹方程_______
2 y2
【答案】双曲线 x4 - 12 = 1 的左支
【解析】结合图象可得，|MQ|-|MP| = 4，可得 a= 2，c= 4，则 b= 2 3，
M的轨迹为双曲线 x
2 y2
4 - 12 = 1 的左支．
2 y2
故答案为双曲线 x4 - 12 = 1 的左支．
例10.(2022·全国·高三专题练习)设动圆M与 y轴相切且与圆C:x2+ y2- 2x= 0相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为
______.
【答案】y2= 4x或 y= 0(x< 0)
【解析】设M (x,y) ∴ (x- 1)2+ y2= 1+ x ∴ x≥ 0,y2= 4x;x< 0,y= 0，即轨迹方程为 y2= 4x或 y= 0(x< 0)
例11.(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末)已知圆C ：x21 + y+ 3 2= 9和圆C 22：x + y- 3 2= 1，动圆M同
时与圆C1及圆C2外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______.
2
【答案】y2- x8 = 1 y≥ 1
【解析】由题，设动圆M的半径为 r，圆C1的半径为 r1= 3，圆C2的半径为 r2= 1,
当动圆M与圆C1，圆C2外切时, MC1 = 3+ r, MC2 = 1+ r,
所以 MC1 - MC2 = 3+ r - 1+ r = 2,
因为圆心C1 0,-3 ,C2 0,3 ，即 C1C2 = 6，又 2< C1C2
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的上支，其中 a= 1，c= 3，
x2所以 b2= c2- a2= 8,则动圆圆心M的轨迹方程是 y2- 8 = 1 y≥ 1 ；
2
故答案为：y2- x8 = 1 y≥ 1
例12.(2022·全国·高三专题练习 (理))设圆 x2+ y2+ 2x- 15= 0的圆心为A，直
线 l过点B 1,0 且与 x轴不重合，l交圆A于C ,D两点，过B作AC的平行
线交AD于点E．证明 EA + EB 为定值，并写出点E的轨迹方程；
【解析】由题意可知 AD = AC ，故∠ACD=∠ADC，又EB∥AC，故
∠EBD=∠ACD,故∠EBD=∠ADC ,
所以 EB = ED ，故 EA + EB = EA + ED = AD ,又圆A标准方程为
x+ 1 2+ y2= 16，从而 AD = 4，所以 EA + EB = 4．由题设得A -1,0 ,
2 y2
B 1,0 , AB = 2，由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为 x4 + 3 = 1，(y≠ 0)
例13.(2022·全国·高三专题练习)已知P是圆A:(x- 1)2+ y2= 16上的动点，M是线段AP上一点，B -1,0 ，且 PM
= MB ，求点M的轨迹C的方程
【解析】由题意知A 1,0 , PA = 4.
因为 PM = MB ，所以 MA + MB = MA + PM = PA = 4>AB| = 2,
所以点M的轨迹C是以A,B为左、右焦点,长轴长为 4 的椭圆.
2 y2
设椭圆C的标准方程为 x2 + 2 = 1(a> b> 0)，则 a= 2,c= 1,a b
2 2
所以 b2= a2- c2= y3，所以点M的轨迹C的方程为 x4 + 3 = 1.
例14.(2022·河南郑州·高三阶段练习 (理))如图，已知圆F1的方程为 (x+ 1)2+ y2= 498 ，圆F2的方程为 (x- 1)
2+ y2=
1
8 ，若动圆M与圆F1内切与圆F2外切．
求动圆圆心M的轨迹C的方程；
【解析】设动圆M的半径为 r，∵动圆M与圆F1内切，与圆F2外切，
∴ MF = 7 21 4 - r，且 MF
2
2 = 4 + r. 于是， MF1 + MF2 = 2 2> F1F2 = 2，
所以动圆圆心M的轨迹是以F1,F2为焦点，长轴长为 2 2 的椭圆. 从而，a= 2,c
= 1，
2
所以 b= 1. 故动圆圆心M的轨迹C的方程为 x2 + y
2= 1．
例15.(2022·山东潍坊·模拟预测)已知圆M与圆F： x+ 2 2+ y2= 1外切，同时与圆F： x- 2 2+ y21 2 = 49内切.
说明动点M的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；
【解析】设圆M的半径为 r，由圆M与圆F1: x+ 2 2+ y2= 1 外切，得: |MF1| = r+ 1,
由圆M与圆F2： x- 2 2+ y2= 49 内切，得: |MF2| = 7- r，故 |MF1|+|MF2| = 8> |F1F2|，
则动点M的轨迹是F1，F2为焦点，长轴长为 8 的椭圆，
2 2
故椭圆的短半轴长为 42- y22= 2 3，故椭圆的方程为 x16 + 12 = 1.
例16.设圆 x2+ y2+ 2x- 15= 0的圆心为A，直线 l过点B(1,0)且与 x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的
平行线交AD于点E，求点E的轨迹方程．
【解析】因为 |AD| = |AC|，EB AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，
所以 |EB| = |ED|，故 |EA|+|EB| = |EA|+|ED| = |AD|，
又圆A的标准方程为 (x+ 1)2+ y2= 16，
从而 |AD| = 4，所以 |EA|+|EB| = 4
由题设得A(-1,0)，B(1,0)，|AB| = 2，
2 y2
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：x4 + 3 = 1(y≠ 0)
题型三：相关点法
例17.(2022·全国·高三课时练习)设A,B分别是直线 y= 2x和 y=-2x上的动点，且满足 AB = 4，则AB的中点M
的轨迹方程为 ( )
y2 2 2 2
A. x2+ 16 = 1 B. y
2+ x = 2- y16 1 C. x 16 = 1 D. y
2- x16 = 1
【答案】A
【解析】设A x1,2x1 ，B x2,-2x2 ，M x,y ，
因为M为AB的中点，则 x1+ xM 22 ,x1- x2 ，故 x=
x1+ x2
2 ，y= x1- x2，又因为 AB
2= x1- x2 2+ 2x1+ 2x2 2
2 2
= 16，所以 y2+ 4x 2= 16，即 x2+
y
16 =
y
1，所以点M的轨迹方程为 x2+ 16 = 1．
故选: A.
【方法技巧与总结】
有些问题中，所求轨迹上点M x,y 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点M x ,y 相关联的，这时要通过
建立这两点之间关系，并用 x,y表示 x ,y ，再 x ,y 将代入已知曲线方程，即得 x,y关系式．
例18.(2022·全国·高三课时练习)已知△ABC的顶点B -3,0 ，C 1,0 ，顶点A在抛物线 y= x2上运动，则△ABC的
重心G的轨迹方程为______．
【答案】y= 13 3x+ 2
2 y≠ 0
【解析】设G x,y ，A x0,y0 ．
= -3+ 1+ xx 0
由点G为△ABC的重心，得 3 x0= 3x+ 2 = y ，所以0 = ．y y0 3y3
又A x0,y0 在抛物线 y= x2上，所以 y0= x20，即 3y= 3x+ 2 2．
又点A不在直线BC上，所以 y0≠ 0，即 y≠ 0，所以所求轨迹方程为 y= 13 3x+ 2
2 y≠ 0 ．
故答案为：y= 13 3x+ 2
2 y≠ 0
例19.(2022·全国·高三课时练习)当点P在圆 x2+ y2= 1上变动时，它与定点Q 3,0 的连线PQ的中点的轨迹方程是
( )
A. x2+ y2+ 6x+ 5= 0 B. x2+ y2- 6x+ 8= 0
C. x2+ y2- 3x+ 2= 0 D. x2+ y2+ 3x+ 2= 0
【答案】C
【解析】设P x1,y1 ，PQ的中点M的坐标为 x,y ，
= xx 1+ 3 ,
∵Q 3,0 ，∴ 2 = y1+ 0y 2 ,
∴ x1= 2x- 3 y1= 2y
又∵点P在圆 x2+ y2= 1 上，
∴ 2x- 3 2+ 4y2= 1，即 x2+ y2- 3x+ 2= 0，
故选：C．
20.(2022· · ) A B y= 3 3例 全国 高三课时练习 已知 、 分别是直线 3 x和 y=- 3 x上的两个动点，线段AB的长为 2 3，
P是AB的中点．求动点P的轨迹C的方程．
【解析】设P(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2)．
= x1+ xx 2
∵P是线段AB的中点，∴ 2 y + y ，y= 1 22
∵A、B分别是直线 y= 33 x和 y=-
3
3 x上的点，
3 3 x1- x2= 2 3y∴ y1= 3 x1，y2=- 3 x2，∴ y1- ，y2= 2 33 x
∵ AB = 2 3，∴ (x1- x2)2+ (y1- y 22) = 12，∴ 12y2+ 4 x23 = 12，
2
∴动点P的轨迹C的方程为 x9 + y
2= 1．
题型四：交轨法
x2 y2
例21.(2022·四川凉山·高三期末 (理))设椭圆 4 + 8 = 1的上、下顶点分别为A、B，直线 y=m与椭圆交于两点M、
N，则直线AM与直线BN的交点F一定在下列哪种曲线上 ( )
A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆
【答案】B
【解析】设F x,y ，M x0,m , 则N -x0,m ，又A 0,2 2 ,B 0,-2 2 ，连结AN
2 2
则 x0 m4 + 8 = 1，即 8-m
2= 2x20
由椭圆的对称性可得 kAM=-kAN
又 k 2 2-m -2 2-m 8-m
2
AN kBN= x × x =- =-20 0 x20
= y- 2 2 × y+ 2 2所以 kAM k 2BN x x = 2，即 y - 2x
2= 8
所以点F在双曲线 y2- 2x2= 8 上.
故选：B
【方法技巧与总结】
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点 (含参
数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为
参数．
2 2
例22.(多选题) (2022·江苏· x y 3南京市第一中学高三开学考试)已知椭圆C：a + 2 = 1(a> 2)的离心率为 3 ，过点P
(1，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足AP= λPB.动点Q满足AQ=-λQB，则下列结论正确的是 ( )
A. a= 3
B. 动点Q的轨迹方程为 2x+ 3y- 6= 0
C. 线段OQ(O 3 13为坐标原点)长度的最小值为 13
D. 6 13线段OQ(O为坐标原点)长度的最小值为 13
【答案】ABD
2 y2
【解析】对于A：由椭圆C: xa + 2 = 1(a> 2)的离心率为
3
3 ，得 1-
2
a =
3
3 ，所以 a= 3，故A正确；
对于B：设A x1,y1 ,B x2,y2 ,Q m,n ,∴AP= 1- x1,1- y1 ,PB= x2- 1,y2- 1 ,

AQ= (m- x1,n- y1),QB= (x2-m,y2-n)，由AP= λPB,AQ=-λQB，得
1- x1= λ x2- 1 , x + λx = 1+ λ, ∴
1 2 两式相乘得 x2- λ2x2=m 1- λ2 ，同理可得 y2- λ2y2=n 1- λ2 ,
m- x1=-λ x -m , x1- λx2 2=m 1- λ , 1 2 1 2
x2 y2 x2 y2∴ 1 + 1 - λ23 2 2 + 23 2 = 1- λ2 m 3 + n2 ，

由题意知 λ> 0 且 λ≠ 1，否则与AQ=-λQB矛盾，
∴ m + n = 1,∴动点Q的轨迹方程为 x y3 2 3 + 2 = 1，即直线 2x+ 3y- 6= 0，故B正确；
对于C、D：所以线段OQ长度的最小值即为原点到直线的距离，
∴ OQ min= 6+ =
6 13
4 9 13
，
故C错误，D正确.
故选：ABD.
例23.(2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校高三阶段练习)在矩形ABB A 中，A A= 8,AB= 6，把边AB分成 n等
份，在B B的延长线上，以B B的 n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点A 作直线，过B B延长线
上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程是_____
______.
【答案】x
2 y2
16 - 9 = 1 x≥ 4,y≥ 0
【解析】设第m组对应直线AP与AB交于点R，AP与B B的延长交
于点Q，作PH⊥ x轴于点H，作QK⊥ x轴于点K，设P x,y ，
则AR= mAB= 6mn n ，AK=
m
n BB
= 8mn ，
因为PH ∕∕AR，所以△A PH △A RA，
6m
所以 PH = RA y，即 n 3m
A H A A x+ 4 = 8 = 4n ，①
因为PH ∕∕QK，所以△APH △AQK，
所以 PH = QK y，即 6 3nx- 4 = 8m = 4m，②AH AK
n
× y
2 9 x2 y2① ②得 2- = 16 ，整理得 16 - 9 = 1 x≥ 4,y≥ 0 ，x 16
2 2
所以点P满足的方程是 x16 -
y
9 = 1 x≥ 4,y≥ 0 .
x2 y2故答案为：16 - 9 = 1 x≥ 4,y≥ 0 .
2
例24.( y河北省邢台市名校联盟 2022届高三上学期开学考试数学试题)已知A1、A 22为椭圆C：x + 3 = 1的左右顶
点，直线 x= x0与C交于A、B两点，直线A1A和直线A2B交于点P.求点P的轨迹方程.
【解析】由题意得A1 -1,0 ，A2 1,0 ，
设A x0,y0 ，B x0,-y0 y0≠ 0 ，P x,y ，
则 kPA = kAA，kPA = k1 1 2 BA ，2
y 2 2
即 x+ 1 =
y0 y -y0 y -y0
x0+ 1
，x- 1 = x - 1 ，得 x20 -
= ，
1 x20- 1
2 2
又∵点 x0,
y y
y0 在C上，即 x2
0
0- 1=- 3 ，得 2- = 3，x 1
2
∴ x2- y3 = 1 y≠ 0 ；
例25.(2022· 1河南·新蔡县第一高级中学高三阶段练习 (理))已知反比例函数 y= x 的图像C是以 x轴与 y轴为渐近线
的等轴双曲线.
(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设A1 A2为双曲线C的两个顶点，点M x0,y0 N y0,x0 是双曲线C上不同的两个动点.求直线A1M与A2N
交点的轨迹E的方程；
y= 1
【解析】(1)根据题意可得，反比例函数 y= 1x 的顶点和焦点均在 y= x上，联立 x 解得 x=±1，故双曲线Cy= x
的顶点坐标 1,1 ， -1,-1 . 所以该等轴双曲线的焦距为 2 2 12+ 12 = 4，所以焦点坐标为
±2cos45 ,±2cos45 ，即 2, 2 ， - 2,- 2
(2)因为点M x0,y0 N y0,x0 是双曲线C上不同的两个动点，故 x0,y0≠ 1. 设E x,y ，A1 1,1 ,A2 -1,-1 ，根据
1
, , , , y- 1 y - 1
- 1 y+ 1
A1 M E，A2 N E分别共线，且 x0,y0 在双曲线
x
C上， y 1 0 0 10= x ，有0 x- 1
= x0- 1
= x0- 1
=- x ，且0 x+ 1
=
x0+ 1 x 20+ 1 y- 1 y+ 1 y - 1
y + 1 = 1 = x0，两式相乘有 x- 1 x+ 1 =-1，即 2- =-1，化简得 x
2+ y2= 2 x≠±1 . 即轨迹E的
0 + 1 x 1x0
方程为 x2+ y2= 2 x≠±1
例26.(2022·全国·高三专题练习)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，F 1,0 ，过直线 l：x= 4左侧且不在 x轴上的
动点P，作PH⊥ l于点H，∠HPF的角平分线交 x轴于点M，且 PH = 2 MF ，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C与 x轴正半轴交于点A1，过点S -4,0 的直线 l1交C于A，B

两点，AS= λBS，点T满足AT = λTB，其中 λ< 1，证明：∠A1TB= 2∠TSO.
【解析】(1)设P x,y y≠ 0 ，因为PH∥ x轴，所以∠HPM=∠PMF，
因为PM为∠HPF的角平分线，所以∠HPM=∠FPM，
∠ =∠ = PF = MF 所以 FPM PMF，即 MF PF ，所以 = 1 .
PH PH 2
x- 1 2+ y2 2 2即 - =
1 x y
x 4 2
，化简整理得 4 + 3 = 1，因为P不在 x轴上，
2 y2
即曲线C的方程为 x4 + 3 = 1 y≠ 0
(2)易知直线 l1的斜率存在且不为 0，设 l1的方程为 x=my- 4 m≠ 0 .
x2 2
联立方程组 4 + y = 1 3 ，消 x整理得 3m2+ 4 y2- 24my+ 36= 0，x=my- 4
所以 Δ= -24m 2- 4× 3m2+ 4 × 36> 0，得m> 2 或m<-2，
设A x1,y1 ，B x2,y2 ，则 y1+ y = 24m ，y y = 362 2+ 1 2 2+ .3m 4 3m 4

由AS= yλBS得-y =-λy，所以 λ= 11 2 y ，
2
设T x0,y0 ，由AT = λTB，得 y0- y1= λ y2- y0 ，
y + λy 2×
36
2
所以 y = 1 2 2y1 2y1y2 3m + 4 30 1+ =λ + y
= y + y = 24m = m，
1 1 1 2y 3m22 + 4
所以 x0=my0- 4=m× 3m - 4=-1，
所以点T -1, 3m 在直线 x=-1 上，且 y0≠ 0，
又因为S -4,0 与A1 2,0 关于直线 x=-1 对称，所以△TSA1是等腰三角形，
(或者证明直线TS与直线TA1的斜率互为相反数)
所以∠TSA1=∠TA1S，因为∠A1TB=∠TSA1+∠TA1S，所以∠A1TB= 2∠TSO，
综上所述，∠A1TB= 2∠TSO.
例27.(2022·全国·模拟预测 (文))设抛物线C：x2= 8y，过点 0,1 的直线 l与C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物
线的切线，两切线相交于点P，求点P的轨迹方程；
【解析】如图，结合图象可知，当直线 l的斜率不存在时，直线 l与C只有一个交点，不合题意；
当直线 l斜率存在时，设直线 l的方程为 y= kx+ 1，
x2联立 = 8y 2y= kx+ ，化简可得 x - 8kx- 8= 0.1
设A x1,y1 ，B x2,y2 ，则有 x1+ x2= 8k，x1x2=-8，
由 y= 18 x
2，可得 y = 14 x，所以 k
1
AP= 4 x1，k
1
BP= 4 x2，
从而结合点A在抛物线C上有 lAP:y- 18 x
2= 11 4 x1 x- x1 ，
即 y= 14 x1x-
1
8 x
2 1 1 2
1 ①，同理得 lBP:y= 4 x2x- 8 x2 ②，
联立①②可得交点 x1+ xP 2 x1x22 , 8 ，即P 4k,-1 ，故点P的轨迹
方程为 y=-1.
2 2
例28.(2022·湖南· x y长郡中学模拟预测)已知双曲线C： 2 - 2 = 1 a> 0,b> 0 的离心率为 2，Fa b 1，F2为双曲线C的
左、右焦点，A 2,3 是双曲线C上的一个点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点B 4,0 且不与渐近线平行的直线 l(斜率不为 0)与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点
2
M，N处的切线分别为 l1，l2，点P为直线 l1与直线 l2的交点，试求点P ( x的轨迹方程 注：若双曲线的方程为 2 -a
y2 = x x y1 0y2 ，则该双曲线在点 x0,y0 处的切线方程为
0 - = 1)
b a2 b2
【解析】(1)据题意 e= ca = 2，则 c= 2a，
点A 2,3 在双曲线C上，则 4 - 92 2 = 1，a b
又 b2= c2- a2= 3a2，则 4 3
a2
- 2 = 1，a
∴ a2= 1，b2= 3，c2= 4，
2
∴ y双曲线C的方程为 x2- 3 = 1．
(2)设M x1,y1 ，N x2,y2 ，直线 l：x= ty+ 4 t≠± 33 ，
x= ty+ 4联立 y2 3t2- 1 y2+ 24ty+ 45= 0，x2- 3 = 1
Δ= 24t 2- 4× 45× 3t2+ 180= 36t2+ 180> 0，y1+ y2= -24t2- ，3t 1
yy yy
由题知，切线 l ：xx - 11 1 3 = 1，切线 l2：xx
2
2- 3 = 1，
- ny1 mx1 3 = 1记P m,n ，则 ny ，mx 22- 3 = 1
两式相加得m x1+ x2 -
n y1+ y2
3 =
n y + y
2 m t y1+ y 1 22 + 8 - 3 = 2，
将 y1+ y -24t 22= 2- 代入得 1- 4m= 3t - 4tn③；3t 1
- - n y1- y两式相减得得m x x 2 1 2 3 = 0
n y - y
mt y1- y 1 22 - 3 = 0，
2 2 2
由 y ≠ y 得 t= n1 2 3m ④，联立③和④得 1- 4m=
n
2 -
4n
3m =
n
2 1- 4m ，3m 3m
n2 2故 2 - 1 1- 4m = 0，又 t≠± 33 ，所以
n
2 ≠ 1，则m=
1 ，
3m 3m 4
故点P的轨迹方程为m= 14 ．
例29.(2022·全国·高三专题练习)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F 0,c (c> 0)到直线 l:x- y- 2= 0的距离为
3 2
2 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点P(x0，y0)为直线 l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求直线AB的方
程，并证明直线AB过定点Q；
(3)过 (2)中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切线 l1，l2，求 l1，l2交点M满
足的轨迹方程．
【解析】(1)设抛物线的方程为 x2= 2py，
∵抛物线C的焦点F 0,c (c> 0)到直线 l:x- y- 2= 0 的距离为 3 22 ，
∴ |0- c- 2| = 3 22 ，解得 c= 1 或 c=-5(舍去)，2
∴ p2 = 1，p= 2，
∴抛物线C的方程为 x2= 4y．
2 2
(2)设P(x0，x0- 2)，设切点为 x, x4 ，曲线C:y=
x
4 ，y′ =
x
2 ，
x2
4 - (x0- 2)则切线的斜率为 xx- x = y′ = 2 ，化简得 x
2- 2x0x+ 4x0- 8= 0，
0
2 2
设A xx， 11 4 ，B
x
x 22, 4 ，则 x1，x2是以上方程的两根，
则 x1+ x2= 2x0，x1x2= 4x0- 8，
x 212 x2
k = 4
- 4 = x1+ x2 = x0AB x1- x
，
2 4 2
2 2
直线AB的方程为： - xy 1 = x04 2 (x- x1)，整理得 y=
x0 x x
2 x-
0 1
2 +
x1
4 ，
2
∵切线 的方程为 - x1 = x1 ( - )，整理得 = x x
2
PA y 4 2 x x1 y
1
2 x-
1
4 ，且点P(x0，y0)在切线PA上，
∴ x
2
y 1
x1 x0
0= 2 x0- 4 ，即直线AB的方程为：y= 2 x- y0，化简得 x0x- 2y- 2y0= 0，
又∵ y0= x0- 2，∴ x0 x- 2 - 2y+ 4= 0，
故直线AB过定点Q(2,2)．
2 2
(3)设A x1，x14 ，B x2,
x2
4 ，
过 的切线 = x1 ( - )+ x
2
1 ，过 x x
2
A y 2 x x1 4 B的切线 y=
2 2
2 (x- x2) + 4 ，
则交点 x1+ xM 2 ，x1x22 4
设过Q点的直线为 y= k(x- 2) + 2，
y= k x- 2 + 2联立 2= ，得 x
2- 4kx+ 8k- 8= 0，
x 4y
∴ x1+ x2= 4k，x1x2= 8k- 2，
∴M (2k,2k- 2)，
∴ y= x- 2．
∴点M满足的轨迹方程为 x- y- 2= 0．
2 y2
例30.(2022· x上海·高三专题练习)双曲线 2 - 2 = 1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，a b
A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程.
【解析】设Q(x,y)，P x0,y0 ，A1(-a,0)，A2(a,0)，
由题意可知 x0≠±a，x≠±a，否则点P(或点Q)和点A1(或点A2)重合，不符合题意；
∵A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，
y y0
∴利用垂直斜率关系可得 x+ a x0+ a
=-1 y2 2
y y ，两式相乘得 2- 2
y0
2- 2 = 1 ①0 x a x0 a
x- a x0- a =-1
2 y2 2 y2 y2 2
又点P在双曲线 x2 - 2 = 1 上，∴
x0 - 0 = 1，即 0 = b
a b a2 b2 x2- a20 a2
y2 2
将其代入①式得 2- 2
b
2 = 1，化简整理得：a2x2- b2y2= a4 x≠±a x a a
所以点Q的轨迹方程为：a2x2- b2y2= a4 x≠±a
例31.(2022·全国·高三课时练习)已知点 P -2,2 、Q 0,2 以及直线 l:y= x，设长为 2 的线段AB在直线 l上移动
(如图所示)，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．
【解析】如图所示，∵点A、B在直线 y= x上，设点A、B、M的坐标分别为 a,a ， b,b ， x,y ，其中 b> a．
当 y≠ 2 时，由P -2,2 、A a,a 、M x,y 三点共线，
得 x+ 2 = a+ 2 2 x+ yy- 2 a- 1 ，解出 ，得 =

a a x- y+ 4 ①，
由Q 0,2 、B b,b 、M x,y 三点共线，
得 x b 2xy- 2 = - ，解出 b，得 b=b 2 x- y+ 2 ．②
由条件 AB = 2，得 2 b- a = 2．∴ b= a+ 1．③，
2 x+ y
由①、②、③式得 2x x- y+ 2 = x- y+ 4 + 1．
整理得① x2- y2+ 2x- 2y+ 8= 0．④，
当 y= 2 时，两直线PA和QB的交点M与点P -2,2 或点Q 0,2 重合，得点P和点
Q的坐标都满足方程④．
总之，④式就是点M的轨迹方程．
y+ 1 2 x+ 1 2
④式可改写成 - 8 8 = 1．
∴轨迹的图形是双曲线，它的中心是点 -1,-1 ，焦点在直线 x=-1 上．
题型五：参数法
例32.(2022·新疆·皮山县高级中学高三期末 (文))已知A 2cosθ,4sinθ ，B 2sinθ,-4cosθ ，当 θ∈R时，线段AB的中
点轨迹方程为 ( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 2 y2A. 2 - 8 = 1 B. 2 + 8 = 1 C. 8 - 2 = 1 D.
x
8 + 2 = 1
【答案】B
【解析】AB中点坐标为 2sinθ+ 2cosθ , 4sinθ- 4cosθ2 2 ，
即 sinθ+ cosθ,2sinθ- 2cosθ ，
∴ x= sinθ+ cosθ y= ，2sinθ- 2cosθ
x= sinθ+ cosθ∴ y = - ，2 sinθ cosθ
2
∴ yx2+ 4 = sinθ+ cosθ
2+ sinθ- cosθ 2= 2，
∴ x
2
+ y
2
2 8 = 1．
故选：B
【方法技巧与总结】
有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现 (或经分析可发现)该动点常常受到
另一个变量 (角度，斜率，比值，解距或时间等)的制约，即动点坐标 x,y 中的 x,y分别随另一变量的变化而变化，
我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法．
例33.(2022·全国·高三专题练习 (理))已知曲线C:y= x2- 2x+ 2 和直线 l：y= kx(k≠ 0)，若C与 l有两个交点A和
B，求线段AB中点的轨迹方程.
2
【解析】依题意，由 y= x - 2x+ 2 = 分别消去 x，y得：y kx
(k2- 1)x2+ 2x- 2= 0，①
(k2- 1)y2+ 2ky- 2k2= 0，②
设AB的中点为P(x，y)，则在①②中分别有：
x
x= 1+ x22 =
1 ，③
1- k2
= y1+ yy 2 = k2 1- ，④k2
k
2- 1≠ 0
Δ= 4k2- 4× (-2k2) × (k2- 1)> 0

又对②应满足 y1+ y
2k
2= 2 > 0 ，解得
2
1- k 2
< k< 1，
2k2
y1y2= > 01- k2
结合③④，消去 k得 x2- y2- x= 0 且有 x> 2，y> 2，
所以所求轨迹方程是 x2- y2- x= 0(x> 2，y> 2).
例34.(2022· 4x江西景德镇·高三期末 (理))已知两条动直线 l1:y= 与 l2:y= λ(λ≠ 0，λ为参数)的交点为P.求点P的λ
轨迹C的方程；
y= 4x λ
【解析】设点P x,y ，联立 2 y= λ ，消去参数 λ得 y = 4x y≠ 0 ， λ≠ 0
因此，点P的轨迹C的方程为 y2= 4x y≠ 0 ；

例35.(2022·北京市第五十七中学高三期中)P是圆 x2+ y2= 4上的动点，P点在 x轴上的射影是D，点M满足DP=

2DM .
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过Q 1, 12 作弦且弦被Q平分，求此弦所在的直线方程及弦长；
(3)过点N (3，0)的直线 l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻
边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.

【解析】(1)设M (x，y)，则D(x，0)，由DP= 2DM，得P(x，2y)，
因为点P在圆 x2+ y2= 4 上，所以 x2+ 4y2= 4，
2
故点M的轨迹C的方程为：x4 + y
2= 1；
(2)设该弦所在的直线为 k1，且与椭圆交于点F x3，y3 ，G x4，y4 ，
x2则 3 + 2= ①，x
2
4
4 y3 1 4 + y
2
4 = 1 ②；又点Q 1，12 是弦长FG的中点，
+ y - y则 x + x y - yx3 x4= 2，y 3 4 1 3 4 3 43+ y4= 1，k1= x3- x
，由①-②得- 4 4 y3+ y
=
4 x3- x
，
4
即 k1=- 12 ，又该直线过点Q 1，
1
2 ，所以直线方程为：y-
1 =- 12 2 (x- 1)，

1 y=-
1 x+ 1
即 y=- 2 x+ 1，联立椭圆方程，得
2
x2 ，解得 x3= 0，x4= 2， 2 4 + y = 1
所以弦长为FG= 1+ k21 x3- x4 = 5；
(3)设E(x，y)，由题意知直线 l的斜率存在，设 l：y= k(x- 3)，
2
代入方程 x 24 + y = 1，得 (1+ 4k
2)x2- 24k2x+ 36k2- 4= 0，
△= (-24k2)2- 4(1+ 4k2) (36k2- 4)> 0，得 0< k2< 15 ，设A x1，y1 ，B x2，y2 ，
则 x + x = 24k
2
1 2 + 2 ，所以 y
-6k
1 4k 1
+ y2= k(x1- 3) + k(x2- 3) = k(x1+ x2) - 6k= + ，1 4k2
又四边形OAEB为平行四边形，
2
所以OE=OA+OB= (x1+ x2，y + y ) = 24k ， -6k1 2 ，1+ 4k2 1+ 4k2
24k2
x= 2
又OE= (x，y)，所以 1+ 4k- ，消 k得，x2+ 4y2- 6x= 0，y= 6k
1+ 4k2
又 0< k2< 15 ，所以 0< x<
8
3 ，
所以顶点E的轨迹方程为：x2+ 4y2- 6x= 0 0< x< 83 .
例36.(2022·全国·高三专题练习)已知直线 l1：y= k1x和 l2：y= k2x与抛物线 y2= 2px(p> 0)分别相交于A，B两点
(异于原点O)与直线 l：y= 2x+ p分别相交于P，Q两点，且 k1 k2=-2．
求线段AB的中点M的轨迹方程；
2 2p
【解析】联立 y = 2px = ，解得：x= ，y k1x k21
2p 2p
把 x= 2 代入 y= k1x得：y= k1x= ，k1 k1
2p 2p
所以A , ，k2 k1 1
2p 2p同理可得：B k2 , ，2 k2
p + p , p + p则线段AB的中点M的坐标为 2 ，k1 k22 k1 k2
因为 k1k2=-2，
p p p k2 2 2
x= 2 + 2 =
1+ k2
4 =
p k1+ k2 + 4
k1 k2 4所以 ，y= p p p k1+ k2 k +1 k =2 -2
消去 k1+ k2得：y2= px- p2
所以线段AB的中点M的轨迹方程为 y2= px- p2
例37.(2022·江苏·周市高级中学高三阶段练习)已知直线 l: x + y = 1,θ∈ 0, π2 与坐标轴的交点分别为A，sinθ cosθ
B，则线段AB的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形面积为 ( )
A. π B. π2 4 C.
π
8 D.
π
16
【答案】D
【解析】不妨设A为直线与 x的轴的交点，B为直线与 y的轴的交点，
则A sinθ,0 ,B 0,cosθ ，故C sinθ , cosθ 2 2 ，
设C 1 x,y ，则 x2+ y2= 4 且 x> 0,y> 0，
2
故C的轨迹与坐标轴为 14 × π×
1 π
2 = 16 ，
故选：D.
( · · ) : x y 例38. 2022 全国 高三课时练习 已知曲线C1 a + = 1 a> b> 0 所围成的封闭图形的面积为 4 5，曲线Cb 1的内
2 5
切圆的半径为 3 ，记C2是以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
(1)求椭圆C2的标准方程；
(2)设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是 l上异于椭圆中心的点， MO = λ OA (O
为坐标原点，λ≠ 0)，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程．
2 2 2 2
【答案】(1) x5 +
y = 1; (2) x + y4 4 5 = λ
2 λ≠ 0 .
【解析】(1)
∵ : x + y C1 a = 1 a> b> 0 ,b
∴C1的轨迹为对角线长分别为 2a,2b，边长为 a2+ b2，原点为内切圆圆心的菱形，
其顶点分别为 (0,±b),(±a,0)，
2ab= 4 5,所以由题意得 ab = 2 5 ,a2+ b2 3
2 2
所以 a2= 2= y5，b 4，所以C2的标准方程为 x5 + 4 = 1．
(2)设A(xA,yA)，当AB所在直线的斜率存在且不为 0 时，设AB所在直线的方程为 y= kx k≠ 0 ，
x
2 y2
由 5 + 4 = 1
2
可得 x2 =
20 2 20k
A
y= kx 4+
，y = ，
5k2 A 4+ 5k2
2
所以 OA 2=
20 1+ k
x2A+ y2A= 4+ ，5k2
20 1+ k2
设M x,y ，由题意得 MO 2= λ2 OA 2 λ≠ 0 ，即 x2+ y2= λ2 ，
4+ 5k2
2
20 1+ xy2 20 x2+ y2
又因为直线 l的方程为 y=- 1 x，即 k=- xy，所以 x
2+ y2= λ2 2 = λ2

k 2 2
，
4+ 5 x 4y + 5x
y2
2 2
又因为 x2+ yy2≠ 0，所以 x4 + 5 = λ
2．
易得当AB所在直线的斜率不存在时，M (x,0)且 x2= 4λ2；AB所在直线斜率为 0 时，
M (0,y)且 y2= 5λ2，上式仍然成立．
2 y2
综上所述，点M的轨迹方程为 x + 24 5 = λ λ≠ 0 ．
题型六：点差法
2
例39.(2022· x全国·高三专题练习)椭圆 4 + y
2= 1 1，则该椭圆所有斜率为 2 的弦的中点的轨迹方程为________
_________．
【答案】y=- x2 - 2< x< 2
【解析】设斜率为 12 的直线方程为 y=
1
2 x+ b，与椭圆的交点为A x1,y1 ,B x2,y2 ，
, y2- y设中点坐标为 x y ，则 1 1 x + x 1 2
y2+ y1
x1- x
=-
2 2
, 2 = x, 2 = y，
x2 14 + y
2
1 = 1 x1- x所以 ，两式相减可得 2 x+ x2 x2 4 = y2- y1 y2+ y1 ，
2
4 + y
2
2 = 1
x+ x2 y2- y1 x
4 = x - x y2+ y1 ，即 y=- 2 ，1 2
x2 4 + y
2= 1 2
由于在椭圆内部，由 x 1 得 2 + bx+ b
2- 1= 0，
y= 2 x+ b
所以 Δ= b2- 2 b2- 1 = 0 时，即 b=± 2 直线与椭圆相切，
2
此时由 x2 ± 2x+ 1= 0 解得 x= 2 或 x=- 2，
所以- 2< x< 2，
所求得轨迹方程为 y=- x2 - 2< x< 2 ．
故答案为：y=- x2 - 2< x< 2 ．
【方法技巧与总结】
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法．
例40.(2022·全国·高三课时练习)斜率为 2的平行直线截双曲线 x2- y2= 1所得弦的中点的轨迹方程是______．
【答案】x- 2y= 0(x> 2 33 或 x<-
2 3
3 ).
【解析】设直线为 y= 2x+m，与双曲线交点为 (x1,y1),(x2,y2)，
联立双曲线可得：3x2+ 4mx+m2+ 1= 0，则 Δ= 16m2- 12(m2+ 1) = 4m2- 12> 0，即m> 3 或m<- 3，
所以 x1+ x 4m2=- 3 ，故 y1+ y2= 2(x1+ x2) + 2m=-
2m，则弦中点为 - 2m3 3 ,-
m
3 ，
所以弦的中点的轨迹方程为 x- 2y= 0(x> 2 3 或 x<- 2 33 3 ).
故答案为：x- 2y= 0(x> 2 33 或 x<-
2 3
3 )
2 2
例41.( y2022· x全国·高三专题练习)已知椭圆 4 + 3 = 1的弦AB所在直线过点E 1,1 ，求弦AB中点F的轨迹方程.
【解析】设 x + x = 2xA x1,y1 ，B x2,y2 ，弦AB的中点F x,y ，则 1 2 ，y1+ y2= 2y
x
2 2
1 +
y1 = 1
将A，B代入椭圆方程得 4 3 x2 y2 ， 2 2 4 + 3 = 1
x1+ x2 x - x两式相减得 1 2 + y1+ y2 y1- y2 4 3 = 0，
x x - x
所以 1 2 2 +
2y y1- y2
3 = 0，
≠ x - 2y y1- y当 x x 时， 2 1 2 2 = 0
x - 2y × y1- y2 = 0，
3 x1- x2 2 3 x1- x2
= y1- y2 = y- 1 2y y- 1因为 kEF kAB，所以 x - x x- 1 ，则
x
2 - 3 ×1 2 x- 1
= 0，
整理得 3x2+ 4y2- 3x- 4y= 0 x≠ 1 ；
当 x1= x2时，则直线AB方程为 x= 1，代入椭圆方程解得A 1, 32 ,B 1,-
3
2
所以F 1，0 满足上述方程，
故点F的轨迹方程 3x2+ 4y2- 3x- 4y= 0.
例42.(2022·上海市行知中学高三开学考试)已知曲线 Γ上一动点P到两定点F1 0,-2 ，F2 0,2 的距离之和为 4 2，
过点Q -1,0 的直线L与曲线Γ相交于点A x1,y1 ，B x2,y2 ．
(1)求曲线Γ的方程；

(2)动弦AB满足：AM =MB，求点M的轨迹方程；
【解析】(1)因为动点P到两定点F1 0,-2 ，F2 0,2 的距离之和为 4 2> 4，
所以曲线 Γ 是以F1 0,-2 ，F2 0,2 为焦点的椭圆，c= 2，2a= 4 2，
y2 2
所以 a= 2 2，b2= a2- c2= 4，所以曲线 Γ 的方程为 x8 + 4 = 1；
(2)因为AM =MB，所以M为AB中点，设M x,y ，
y2 2 y2 2
当AB的斜率存在且不为 0 时，将 x xA x1,y1 ，B x2,y2 代入椭圆方程中得： 1 18 + 4 = 1，
2 + 28 4 = 1，两式相减得
y2- y2 x2 21 2 + 1- x2 y - y y + y8 4 = 0，故
1 2 × 1 2 8x1- x2 x1+ x
=-2 故得 kAB kOM=- 4 =-2，2
y y
所以 kQM kOM=-2，所以 2 2x+ 1 x =-2，整理得 2x+ 1 + 2y = 1；
当AB的斜率不存在或为 0 时，M -1,0 或M 0,0 ，出满足 2x+ 1 2+ 2y2= 1；
所以点M的轨迹方程是 2x+ 1 2+ 2y2= 1；
例43.(2022·全国·高三期中) (1)若双曲线的一条渐近线方程为 2x+ 3y= 0，且两顶点间的距离为 6，求该双曲线方程．
2 2
( ) y2 一组平行直线 y= 2x+ b x与椭圆 12 + 9 = 1相交，求弦的中点的轨迹方程．
【解析】(1)若焦点在 x轴上，渐近线方程为 y=± ba x，所以
b
a =
2
3 ，又 2a= 6，所以 a= 3,b= 2
x2 y2所以双曲线的标准方程为 9 - 4 = 1
若焦点在 y轴上，渐近线方程为 y=± a x，所以
b
a = 23 ，又 2a= 6，所以 a= 3,b=
9
b 2
y2 y2
所以双曲线的标准方程为 9 - 81 = 1
4
2 2
( y2)设 y= 2x+ b与椭圆 x12 + 9 = 1 的两交点P(x1，y1)，Q(x2，y2) 的中点为M (x,y)，
2 2 x1 y 1
则 12
+ 9 = 1
2 ，
x2 + y
2
2
12 9 = 1
(x + x ) (x - x
两式相减得： 1 2 1 2
) =- (y1+ y2) (y1- y2)12 9 ，
即- 912 = 2
y
x 即 3x+ 8y= 0，
x
2 y2 2 2
又 12
+ 9 = 1，消去 y得 x12 +
x = 1，解得 x=± 8 5764 19 ，3x+ 8y= 0
所以弦的中点M的轨迹方程为 3x+ 8y= 0 - 8 57 < x< 8 5719 19 ．
2 y2
例44.(2022·上海· x高三专题练习)已知椭圆 4 + 2 = 1，M x1,y1 ，N x2,y2 是椭圆上的两个不同的点.
(1)若点A 1,1 满足MA=AN，求直线MN的方程；

(2)若M x1,y1 ，N x2,y2 的坐标满足 x1x2+ 2y1y2= 0，动点P满足OP=OM + 2ON (其中O为坐标原点)，求动
点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

【解析】(1)由已知MA=AN 可得，A 1,1 是线段MN中点
x1+ x2 y1+ y2
2 = 1， 2 = 1
x2 y2由已知 1 + 1 = x
2 2
1 24 2 4 +
y2
2 = 1
y
两式相减化简整理得 1
- y2 1 x1+ x2
x - x =- ×1 2 2 y1+ y2
所以 kMN=- 12
直线MN的方程是 x+ 2y- 3= 0
(2)设P x0,y0 ，M x1,y1 ，N x2,y2

由OP=OM + 2ON，可得 x0= x1+ 2x2 y0= y1+ 2y2
由 x1x2+ 2y1y2= 0 ②
结合①②可得，x2+ 2y2= x + 2x 2+ 2 y + 2y 20 0 1 2 1 2 = x21+ 2y21 + 4 x2+ 2y22 2
又M，N是椭圆上的点，故 x2+ 2y2= 4,x2+ 2y21 1 2 2= 4
2 y2
所以 xx2 2 0 00+ 2y0= 20，即 20 + 10 = 1
根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以F1 - 10,0 ，F2 10,0 为左右焦点，长轴长为 4 5 的椭圆.
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
例45.(2022·全国·高三专题练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，F为底面ABCD上一动点，且
EF与底面ABCD所成的角为 60°．若该正方体外接球的表面积为 12π，则动点F的轨迹长度为 ( )．
A. 4 3 39 π B. 3 π C.
2 3 π D. 4 33 3 π
【答案】A
【解析】
如图 1，取AD的中点H，连接EH，则EH AA1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以EH⊥底面ABCD.
所以∠EFH为EF与底面ABCD所成的角，则∠EFH= 60°．
设正方体的棱长为 a，因为该正方体外接球的表面积为 12π，
2 2
所以 4π× 3a2 = 3πa2= 12π，解得 a= 2，
所以EH=AA1= a= 2，从而HF= 2 ，3
所以F的轨迹为以H为圆心， 2 为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，如图 2．
3
在图 2 中，HG=HM= 2 ，
3
所以 cos∠AHG= AH = 3 ，则∠AHG= π ，
HG 2 6
根据对称性可知∠DHM= π6 ，所以∠MHG= π- 2×
π = 2π6 3 ，
故动点F的轨迹周长为 2π × 2 = 4 33 9 π．3
故选：A
【方法技巧与总结】
利用坐标法解决．
例46.(2022·全国·高三专题练习)如图，点A是平面 α外一定点，过A作平面 α的斜线 l，斜线 l与平面 α所成角为 50°．
若点P在平面 α内运动，并使直线AP与 l所成角为 35°，则动点P的轨迹是 ( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线的一支
【答案】B
【解析】用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到
椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就
可以得到双曲线．
故可知动点P的轨迹是椭圆的一部分．
故选：B．
例47.(2022·北京市第十三中学高一阶段练习)如图，正方体ABCD-A1BlClDl中，P为底面ABCD上的动点，且PE
⊥A1C于E，且PA=PE，则点P的轨迹是 ( )
A. 线段 B. 圆弧 C. 抛物线的一部分 D. 以上答案都不对
【答案】A
【解析】连接PA1、AE，如下图所示：
因为AA1⊥平面ABCD，PA 平面ABCD，∴PA⊥AA1，
因为PE⊥A1C，PA=PE，PA1=PA1，所以，Rt△A1AP≌Rt△A1EP，∴AA1=
A1E，
所以，E为定点，取线段AE的中点F，连接PF，
因为PA=PE，则PF⊥AE，所以点P在过点F且垂直于线段AE的垂面上，
而此垂面与底面ABCD相交于一条线段，故点P的轨迹为线段.
故选：A.
例48.(多选题) (2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测)如图所示，在棱长为 2的正六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为
线段A1C的中点 (图中未标出)，以下说法正确的有 ( )．
A. 1线段CD中点为E，则直线OE与平面A1BCD1所成角的正弦值为 2 ．
B. 在线段AB上取靠近B点的三等分点F，则直线OF与直线C1D1不共面．
C. 在平面ABCD上存在一动点P，满足 AP + BP = 2，则P点轨迹为一椭圆．
D. 在平面C1D1AB上存在一动点Q，点Q到点O的距离和点Q到直线AB的距离相
等，则点Q的轨迹为抛物线，其准线到焦点的距离为 2．
【答案】AD
【解析】选项A：取D1C中点H，连接HD、A1H、OE、A1B、CD1、A1D
正六面体ABCD-A1B1C1D1中，DH⊥D1C,DH⊥BC,D1C∩BC=C
则DH⊥平面A1BCD1，则∠DA1H为直线A1D与平面A1BCD1所成角
Rt△DA1H，中DH⊥A1H， DH= 2，A1D= 2 2
则 sin∠DA 2 11H= = 2 ，即直线A1D与平面A1BCD1所成角的正弦值为
1
2 2 2
．
由O为线段A1C的中点，E为线段CD中点，可得A1D OE
则直线OE与平面A1BCD1所成角的正弦值为
1
2 ．判断正确；
选项B：在线段C1D1上取靠近D1点的三等分点H，连接HF、D1B、D1C
正六面体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1 BC，A1D1=BC
则四边形A1D1CB为平行四边形，则A1C、BD1相交且互相平分，则A1C∩BD1=O
又HD1 BF，HD1=BF，则四边形HD1FB为平行四边形，
则HF、BD1相交且互相平分，则HF∩BD1=O
又四边形HD1FB为平行四边形，则C1D1∩OF=H
则直线OF与直线C1D1共面．判断错误；
选项C：在平面ABCD上一动点P，满足 AP + BP = 2，
又正六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2 ，则P点轨迹为线段AB．判断错误；
选项D：连接AC1、D1B、AD1
则正六面体ABCD-A1B1C1D1中，D1B∩A1C=O,AC1∩A1C=O
则O点为矩形C1D1AB的中心.
在平面C1D1AB上一动点Q，点Q到点O的距离和点Q到直线的距离相等，
则点Q的轨迹是以O为焦点以直线AB为准线的抛物线，
焦点O到准线AB的距离为 2．判断正确.
故选：AD
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
例49.(2022·河南开封·高三阶段练习 ( )) i z = 1- 3i文 已知 为虚数单位，且 0 1+ 2i，复数 z满足 z- z0 = 1，则复数 z对应点
的轨迹方程为 ( )
A. x- 1 2+ y+ 1 2= 4 B. x- 1 2+ y+ 1 2= 4
C. x+ 1 2+ y+ 1 2= 1 D. x- 1 2+ y- 1 2= 1
【答案】C
= 1- 3i = 1- 3i【解析】 1- 2i z0 1+ 2i 5 =-1- i，表示点 (-1,-1)，
故复数 z的轨迹是以 (-1,-1)为圆心，半径为 1 的圆.
故选：C
【方法技巧与总结】
(1)利用坐标法解决．
(2)利用复数几何意义
例50.(多选题) (2022·重庆一中高一期末)若复数 z在复平面对应的点为 Z，则下来说法正确的有 ( )
A. 若 |z| = 3，则 Z在复平面内的轨迹为圆
B. 若 |z+ 4|+|z- 4| = 8，则 Z在复平面内的轨迹为椭圆
C. 不可能存在复数 z同时满足 |z| = 3和 |z+ 4|+|z- 4| = 10
D. 若 |z| = 3，则 |z+ 4|+|z- 4|的取值范围为 [8，10]
【答案】AD
【解析】对于A，设 z= x+ yi,x，y∈R，则有 |z| = x2+ y2= 3 x2+ y2= 9，可知 Z在复平面内的轨迹为圆，故A
正确；
对于B，设 z= x+ yi,x，y∈R且 z+ 4 + z- 4 = 8，所以 (x+ 4)2+ y2+ (x- 4)2+ y2= 8= 8，
所以 z在复平面内的轨迹是以 -4,0 和 4,0 为端点的线段，故B不正确；
对于C，设 z= x+ yi,x，y∈R且 z+ 4 + z- 4 = 8，所以 (x+ 4)2+ y2+ (x- 4)2+ y2= 10> 8，
x2 2所以 z在复平面内的轨迹是以 -4,0 和 4,
y
0 为焦点，长轴为 10 的椭圆，其方程为 25 + 9 = 1，若 |z| = 3，则有
x2 y2
x2+ y2= 9，两者联立 25 + 9 = 1 ，有解 x= 0，y=±3，所以存在复数 z同时满足 |z| = 3 和 |z+ 4|+|z- 4| = 10，x2+ y2= 9
故C不正确；
对于D，设 z= x+ yi,x，y∈R，若 |z| = 3，则有 x2+ y2= 9，令 t= |z+ 4|+|z- 4| = (x+ 4)2+ y2+ (x- 4)2+ y2
= x2+ y2+ 16+ 8x+ x2+ y2+ 16- 8x
= 25+ 8x+ 25- 8x
则 t2= 50+ 2 252- 64x2，(-3≤ x≤ 3)
令 y= 252- 64x2，可得 72≤ y≤ 252，
所以 64≤ t2≤ 100，于是得 8≤ t≤ 10，故D正确.
故选：AD
例51.(2022·上海市徐汇中学高三期末)如果复数 z满足 z+ 1+ 3i + |z - 2 - i| = 6，则复数 z对应的点的轨迹是
( )
A. 直线 B. 椭圆 C. 线段 D. 圆
【答案】B
【解析】∵复数 z满足条件 z+ 1+ 3i + |z- 2- i| = 6，设 z= x+ yi x,y∈R ，因为 z+ 1+ 3i = x+ yi+ 1+ 3i
= x+ 1 2+ y+ 3 2 表示复数 z在复平面内对应的点 x,y 到点A -1,-3 的距离，同理 |z- 2- i| =
x+ yi- 2- i = x- 2 2+ y- 1 2 表示复数 z在复平面内对应的点 x,y 到点B 2,1 的距离，
所以 z+ 1+ 3i + |z- 2- i| = 6 表示复数 z对应的点 z到点A -1,-3 和到点B 2,1 的之和等于 6，因为 AB =
2+ 1 2+ 1+ 3 2= 5< 6，故点 z的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
故选：B．
例52.(2022·全国·高一课时练习)已知复数 z满足 |z|2- 2|z|-3= 0，则复数 z对应的点的轨迹是___________．
【答案】圆
【解析】由题意，复数 z满足 |z|2- 2|z|-3= 0，可得 (|z|-3) (|z|+1) = 0，
解得 |z| = 3 或 |z| =-1，
因为 |z| ≥ 0，所以 |z| = 3，
所以复数 z对应的点的轨迹是以原点为圆心，3 为半径的圆．
故答案为：圆.
例53.(2022·江西赣州·高三期末 (文))设复数 z= 1+ cosθ + i sinθ(i为虚数单位)，则复数 z在复平面内对应的点
x,y 的轨迹方程为___________.
【答案】 x- 1 2+ y2= 1
【解析】由题意， x,y = 1+ cosθ,sinθ ，故 x- 1 2+ y2= cos2θ+ sin2θ= 1，故 x,y 的轨迹方程为 x- 1 2+ y2
= 1
故答案为： x- 1 2+ y2= 1
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹

例54.(2022·全国·高三课时练习)已知A 2,1 ，B 2,-1 ，O为坐标原点，动点P x,y 满足OP=mOA+ nOB，其中
m,n∈R m2+n2= 1，且 2 ，则动点P的轨迹方程是 ( )
2+ y
2 x2 2 2A. x = 1 B. + y2= 1 C. x2 y x 24 4 - 4 = 1 D. 4 - y = 1
【答案】B
【解析】由题意得 x,y = 2m+ 2n,m-n ，
∴ x= 2m+ 2n，y=m-n，
∴ = x+ 2y = x- 2ym 4 ，n 4 ，
∵m2+n2= 12 ，
∴ x+ 2y
2
+ x- 2y
2 2
= 1 ，即 x + y24 4 2 4 = 1．
故选：B
【方法技巧与总结】
(1)利用坐标法解决．
(2)利用向量几何意义

例55.(2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测 (理))已知向量 a，b是单位向量，若 a b= 0，且 c- 3a + c- 4b = 5，则
c + a 的取值范围是___________．
【答案】 16 5 , 17



【解析】因为向量 a ，b是单位向量，且 a b= 0，所以不妨设 a = (1,0)，b= (0,1)，设 c = (x,y)，
c - 3a

= (x- 3,y)，c - 4b= (x,y- 4)，c + a = (x+ 1,y)，
则由 c

- 3a + c - 4b = 5 得 (x- 3)2+ y2+ x2+ (y- 4)2= 5，
设A(3,0)，B(0,4)，则 AB = 5，
所以 (x- 3)2+ y2+ x2+ (y- 4)2= 5 表示的点C(x,y)在线段AB上．
c + a = (x+ 1)2+ y2 表示C(x,y)到P(-1,0)的距离，如图，
PA = 4， PB = 12+ 42= 17，
y
直线AB方程为 x3 + 4 = 1，即 4x+ 3y- 12= 0，
-4- 12
P到直线AB的距离为 d= = 16 ，
42+ 32 5
所以 c + a = (x+ 1)2+ y2 的取值范围是 16 5 , 17 ．
故答案为： 16 5 , 17
例56.(2022·全国·高三课时练习)设过点P x,y 的直线分别与 x轴的正半轴和 y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与

点P关于 y轴对称，O为坐标原点．若BP= 2PA，且OQ AB= 1，则点P的轨迹方程是______．
【答案】3 x2+ 3y22 = 1 x> 0,y> 0
【解析】设点P x,y ，则Q -x,y ，设A a,0 ，B 0,b ，则 a> 0,b> 0，

∴BP= x,y- b ，PA= a- x,-y ，

∵BP= 2PA，∴ a= 32 x,b= 3y，∴ x> 0,y> 0，

又∵AB= -a,b = - 32 x,3y ，OQ= -x,y ，OQ AB= 1，
∴ - 32 x -x + 3y y= 1，即
3 2
2 x + 3y
2= 1 x> 0,y> 0 .
故答案为：32 x
2+ 3y2= 1 x> 0,y> 0 .

例57.(2022· π 陕西师大附中高一期中)已知向量 a，b，c，满足 a = 4，a与 b的夹角为 3 ，c (c- a) =-3，则 b- c 的
最小值为 ( )
A. 2 3+ 2 B. 3- 32 C. 3+ 1 D. 3- 1
【答案】D
【解析】如图，建立平面直角坐标系，

设OB= b= m,0 ，点B在 x轴上，

设点A在第一象限，a =OA= 2,2 3 ，
设 c

=OC = x,y ，则C x,y ，
则 c (c - a )= x,y x- 2,y- 2 3 =-3，
整理得 x- 1 2+ y- 3 2= 1，
所以点C的轨迹是以 1, 3 为圆心，1 为半径的圆，设圆心为D，

又 b- c = m- x 2+ y2= BC ，
当直线BC过点D且垂直于 x轴时， BC 取得最小值，最小值为 3- 1，

即 b- c 的最小值为 3- 1.
故选：D.
2 2
例58.(2022·全国·高三专题练习) x已知椭圆的标准方程为 4 +
y
2 = 1．

(1) 1设动点P满足：OP=OM +ON，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为- 2 ，问：是否存在
两个定点F1,F2，使得 PF1 + PF2 为定值？若存在，求F1,F2的坐标；若不存在，说明理由．

(2)设动点P满足：OP=OM + 2ON，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON 1的斜率之积为- 2 ，问：是否存
在点F，使得点P到F的距离与到直线 x= 2 10 的距离之比为定值？若存在，求F的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】(1)设椭圆上一点为 (x,y)，椭圆上的点M (x1,y1)，N (x2,y2)，
2 2
令 x = x = ，∵椭圆的方程为
x
4 +
y 2
2 = 1，∴ x + y
2= 4，
y 2y
可得 (x ,y )是以 (0,0)为圆心，半径为 2 的圆上的点，记仿射变换下M，N在圆上对应的点为M (x 1,y1)，N (x 2,
y 2)，
y y y y 2y y
直线OM 与ON 的斜率之积为 k 1 2 1 2OM KON = = =
1 2
x1 x2 x1x2 x x
=-1
1 2
∴OM ⊥ON ．可得 M N = 22+ 22= 2 2.

∵OP =OM +ON ，∴四边形OM P N 为正方形，于是 OP = M N = 2 2，
2 2
则点P 的轨迹方程为 x 2+ y 2= y8，因此点P的轨迹方程为 x2+ 2y 2= 8，即 x 8 + 4 = 1.∵ 8- 4= 2，
∴由椭圆的定义可得，存在符合题意的点F1,F2，坐标为 -2,0 , 2,0 (即椭圆的两个焦点)．

(2) ∵OP =OM + 2ON ，由 (1)可知，此时四边形OM P N 为矩形，于是 OP = M N = 22+ 42= 2 5，∴点
2 2
P
y
的轨迹方程为 x 2+ y 2= 20，因此点P的轨迹方程为 x2+ 2y 2= 20，即 x 20 + 10 = 1.∵ 20- 10= 10，
20 = 2 10，
10
2 y2∴直线 x= 2 10 为椭圆 x20 + 10 = 1 的右准线.
∴由椭圆的定义可得，存在符合题意的点F，坐标为 10,0 (即椭圆的右焦点)．
例59.(2022·重庆八中高三阶段练习)抛物线C :y2= 2px(p> 0)的焦点为 F，P在抛物线C上，O是坐标原点，当PF
与 x轴垂直时，△OFP的面积为 1.
(1)求抛物线C的方程；

(2)若A，B都在抛物线C上，且OA OB=-4，过坐标原点O作直线AB的垂线，垂足是G，求动点G的轨迹方
程.
p p
【解析】(1)当PF与 x轴垂直时，P 2 ,p ，故S =
1
△OFP 2 × 2 × p= 1，故 p= 2，
故抛物线的方程为：y2= 4x.
( ) y
2 2
2 设A 14 ,y1 ,B
y2
4 ,y2 ，直线AB:x= ty+m，
y2y2
因为OA OB=-4，故 1 216 + y1y2=-4，整理得到：y
2y21 2+ 16y1y2+ 64= 0，
故 y1y2=-8.
由 x= ty+m 2= 可得 y
2- 4ty- 4m= 0，故-4m=-8 即m= 2，
y 4x
故直线AB:x= ty+ 2，此直线过定点M 2,0 .
因为OG⊥GM，故G的轨迹为以OM为直径的圆，
其方程为： x- 0 x- 2 + y- 0 y- 0 = 0 即 x2+ y2- 2x= 0.
因为直线AB:x= ty+ 2 与 x轴不重合，故G不为原点，
故G的轨迹方程为：x2+ y2- 2x= 0 x≠ 0 .
例60.(2022·全国·高三专题练习)已知平面上一定点C(2，0) 和直线 l：x= 8，P为该平面上一动点，作PQ⊥ l，垂足

为Q，且 PC + 12 PQ · PC -
1
2 PQ = 0．求动点P的轨迹方程；
【解析】设P(x，y) ，则Q(8，y)，

由 PC + 12 PQ · PC -
1
2 PQ = 0，得 4|PC|
2= |PQ|2，
即 4 (x- 2)2+ y2 = (x- 8)2+ (y- y)2
x2 y2化简得 16 + 12 = 1，
2 y2
所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为 x16 + 12 = 1．
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
2
例61.(2022·全国·高三课时练习)设椭圆E x的方程为 22 + y = 1，斜率为 1的动直线 l交椭圆E于A，B两点，以线段
AB的中点C为圆心， AB 为直径作圆，圆心C的轨迹方程为______．
【答案】y=- 1 x - 2 3 < x< 2 32 3 3
x2
【解析】设动直线 的方程为 = + ，联立 2 + y2= 1l y x t 消去 y，得 3x2+ 4tx+ 2t2- 2= 0，y= x+ t
则 Δ= 16t2- 12 2t2- 2 = 24- 8t2> 0，即- 3< t< 3,
设A 4t 2t
2- 2
x1,y1 ，B x2,y2 ，C x,y ，由根与系数的关系得 x1+ x2=- 3 ，x1x2= 3 ，则 y1+ y2= x1+ t+ x2+ t=
- 4t + 2t= 2t，故C - 2t , t ，即 x=- 2t ,y= t3 3 3 3 3 3 ，
∴圆心C的轨迹方程为 y=- 12 x -
2 3 < x< 2 33 3 ．
故答案为：y=- 12 x -
2 3
3 < x<
2 3
3 .
【方法技巧与总结】
联立直线与曲线方程得出两根之和与之积关系，再进行转化.
例62.(2022·全国·高三专题练习)设不同的两点A，B在椭圆C :x2+ 2y2= 3上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原
点O，过O作OM⊥AB，M为垂足．求点M的轨迹方程.
【解析】①若直线AB的斜率不存在，由已知得点M的坐标为 ±1,0 ；
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为 y= kx+m，联立椭圆C:x2+ 2y2= 3，得： 1+ 2k2 x2+ 4kmx+ 2m2- 3
= 0，
设A x ,y ，B x ,y ，则 x + x = -4km ，x x = 2m
2- 3
1 1 2 2 1 2 1+ 2k2 1 2 1+ 2k2 ，
以线段AB为直径的圆过原点O，即OA⊥OB，
2 2
所以 x1x2+ y1y2= x1x2+ kx1+m kx2+m = 1+ k2 x x +mk x + x +m2= 3m - 3k - 3 1 2 1 2 1+ 2 = 0，2k
所以m2= k2+ 1，又OM⊥ m AB，故O到AB的距离 OM = = 1．
k2+ 1
综合①②，点M的运动轨迹为O以为圆心，以 1 为半径的圆，轨迹方程为：x2+ y2= 1．
y2
例63.(2022· 2浙江·杭州市富阳区场口中学高三期末)已知椭圆C的离心率为 2 ，其焦点是双曲线 x
2- 3 = 1的顶点.
(1)写出椭圆C的方程；
(2)直线 l：y= kx+m与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线 l的垂线分别交 x轴 y轴于A x,0 ，B 0,y
两点，当点M运动时，求点P x,y 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
2 y2 2
【解析】(1)设椭圆C的方程为 x2 + 2 = 1, a> >
y
b 0 ，a2= b2+ c2, c> 0 ，由题意，双曲线 x2- 3 = 1 的顶点为a b
±1,0 ，故 c= 1. 又 c 2
2
= ，故 a= 2，故 b2a 2 = 2- 1= 1，故椭圆C的方程为
x + y22 = 1
x2 2
(2)由题意，直线 l与椭圆C相切，联立 2 + y = 1 得 1+ 2k2 x2+ 4kmx+ 2m2- 2= 0，故 Δ= 16k2m2-y= kx+m
4 1+ 2k2 2m2- 2 = 0，即m2= 2k2+ 1. 设M xM,y ，则 x = -2km 2k 2kM M + 2 =- m，故 yM= k - m +m=1 2k
m2- 2k2 = 1m m，故M -
2k
m ,
1
m . 所以直线AB的方程为 y-
1 =- 1 x+ 2km m ，即 y=-
1 x- 1m，当 y= 0 时，k k
x=- k ，故A - k ,0 ，当 x= 0 时，x=- 1m m m，故B 0,-
1
m ，故P -
k
m ,-
1 2k 1
m . 又M - m ,m ，故P x,y 则
2 2x 2
M 2x,-y ，又M 2x,-y 在 x2 + y
2= 1 上，故 22 + -y = 1，即 2x
2+ y2= 1，由题意可得 x≠ 0,y≠ 0，故点
P x,y 的轨迹方程为 2x2+ y2= 1, x≠ 0,y≠ 0 ，为椭圆 2x2+ y2= 1 除去 4 个顶点
64.(2022· · ) E: x
2 y2
例 广东 高三阶段练习 已知椭圆 2 + 2 = 1 a> b> 0
3
的离心率是 2 ，其左、右顶点分别是A、B，且a b
AB = 4．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点M、N是椭圆E上异于A、B的不同两点，设点P是以AM为直径的圆O1和以AN为直径的圆O2的另
一个交点，记线段AP的中点为Q，若 kAM kAN=-1，求动点Q的轨迹方程．
c a =
3
2 2
【解析】(1)由题意可得 ，解得 a= 2，b= 1，故椭圆E的标准方程为 x + y2
2a= 4 4
= 1．
a2= b2+ c2
(2)当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为 y= kx+m，
设点M x1,y1 、N x2,y2 ．
x2联立 + 4y
2= 4
= + ，整理得 1+ 4k
2 x2+ 8kmx+ 4m2- 4= 0，y kx m
Δ= 64k2m2- 4 4k2+ 1 4m2- 4 > 0，可得m2< 4k2+ 1，
2
则 x1+ x =- 8km 4m - 42 4k2+ ，x x = ，1 1 2 1+ 4k2
2 2
y1y2= kx1+m kx2+m = k2x1x2+ km x + x +m2= m - 4k1 2 ，
4k
2+ 1
因为 kAM kAN=-1，所以AM⊥AN，则AM AN = 0，

且A -2,0 ，则AM = x1+ 2,y1 ，AN = x2+ 2,y2 ，
2 2 2 2
因为AM AN = x x + 2 x + x + 4+ y y = 4m - 4 -16km 4+ 16k m - 4k1 2 1 2 1 2 1+ + + + ， 4k2 1+ 4k2 1+ 4k2 1+ 4k2
5m2- 16km+ 12k2 = 5m- 6k所以 m- 2k 6
1+ 4k2 1+ 4k2 = 0，解得m= 5 k或m= 2k(舍去)．
则直线MN的方程为 y= kx+ 65 k= k x+
6
5 ，所以直线MN过定点T -
6
5 ,0 ．
当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为 x= t，其中-2< t< 2，
2 2 2
将 x= t代入椭圆E的方程可得 y2= 1- t4 ，设点M t, 1- t4 、N t,- 1- t4 ，
2 2
AM = t+ 2, 1- t4 ，AN = t+ 2,- 1- t4 ，
2 2
则AM AN = t+ 2 2- 1- t = 5t 4 4 + 4t+ 3= 0，因为-2< t< 2，解得 t=-
6
5 ，
故直线MN过定点T - 65 ,0 ．
因为O1为AM的中点，O2为AN的中点，所以O1O2过线段AT的中点H - 85 ,0 ．
因为两圆相交，则连心线O1O2垂直平分公共弦AP，所以，AQ⊥QH，
线段AH的中点为G - 95 ,0 ，则
1 1
QG = 2 AH = 5 ，且点Q不能与点A重合，
所以点Q在以AH为直径的圆上运动，且该圆圆心为G - 95 ,0 ，半径为
1
5 .
2
故动点Q的轨迹方程为 x+ 95 + y
2= 125 x≠-2 ．
例65.(2022·全国·高三专题练习)已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆 4x2+ 5y2= 80上，且点A是椭圆短轴的一个
端点 (点A在 y轴正半轴上).
(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
(2)若角A为 900，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
【解析】(1)设B x1,y1 ,C x2,y2 ,A 0,4 ，BC中点为 (x0,y0)，F(2，0)，
2 2
则有 x1 + y1 = ，x
2 y22 2
20 16 1 20 + 16 = 1，
(x1+ x2) (x1- x2) + (y1- y2) (y + y )两式相减，得 1 220 16 = 0，
x0 + y0k即 5 4 = 0， ①
F( y + y + 42，0)为三角形重心，所以由 x1+ x23 = 2，得 x0= 3；由
1 2
3 = 0，得 y0=-2，代入①得 k=
6
5 ，素以直线
BC的方程为 6x- 5y- 28= 0.

(2)由AB⊥AC得AB AC = 0，所以 x1x2+ y1y2- 4 y1+ y2 + 16= 0 ②
设直线BC方程为 y= kx+m，与椭圆方程联立消元，得 (4+ 5k2)x2+ 10mkx+ 5m2- 80= 0，
所以 x + x = -10km ，x x = 5m
2- 80 2 2
1 2 + 2 1 2 + ，y + y =
8m ,y y = 4m - 80k ，
4 5k 4 5k2 1 2 4+ 5k2 1 2 4+ 5k2
代入②式得 9m
2- 32m- 16 = 0，解得m= 4(舍)或m=- 4
4+ 5k2 9 ，
所以 y= kx- 49 ，所以直线过定点 0,-
4
9 ，
y+ 4
设D 9
y- 4
x,y ，则 x ×
2
x =-1，即 9y + 9x
2- 32y- 16= 0，
2 2
所以所求点D的轨迹方程是 x2+ y- 16 209 = 9 (y≠ 4).
【过关测试】
一、单选题
1. (2022·江苏省木渎高级中学模拟预测)复平面中有动点 Z，Z所对应的复数 z满足 |z- 3| = |z- i|，则动点 Z的轨
迹为 ( )
A. 直线 B. 线段 C. 两条射线 D. 圆
【答案】A
【解析】设动点 Z坐标为 x,y ，则 z= x+ yi，所以 |x+ yi- 3| = |x+ yi- i|，即 x- 3 2+ y2= x2+ y- 1 2，化简
得：3x- y- 4= 0，故动点 Z的轨迹为直线.
故选：A

2. (2022·全国·高三专题练习)正三角形OAB的边长为 1，动点C满足OC = λOA+ μOB，且 λ2+ λμ+ μ2= 1，则点C
的轨迹是 ( )
A. 线段 B. 直线 C. 射线 D. 圆
【答案】D

【解析】方法一：由题可知： OA = OB = AB ，∠AOB= 60°

∴OA OB= 1× 1× cos60° = 1
2
又OC = λOA+ μOB
2 ∴ = + 2

OC λOA μOB = λ2
2 2
OA + 2λμOA OB+ μ2OB
= λ2+ λμ+ μ2= 1

所以 2

OC = 1，即 OC = 1
所以点C的轨迹是圆.

方法二：由题可知： OA = OB = AB ，∠AOB= 60°
如图，以O为原点OB为 x轴，过O点与OB垂直的直线为 y轴建立平面直角坐标系，
所以A 12 ,
3
2 ,B(1,0)

设C(x,y) ，∴OC = λOA+ μOB= λ 1 3 1 32 , 2 + μ(1,0) = 2 λ+ μ, 2 λ
1
x= 2 λ+ μ μ= x-
3
∴ 3
y
y= 3 λ 2 λ= 2 33 y
又 λ2+ λμ+ μ2= 1
2 2
所以 2 33 y +
2 3 3
3 y x- 3 y + x-
3
3 y = 1
整理得：x2+ y2= 1
所以点C的轨迹是圆.
故选：D.

3. (2022· π全国·高三专题练习)四边形ABCD为梯形，且AB= 2DC，|DC | = |DA| = 2，∠DAB= ，点P是四边形

3
ABCD内及其边界上的点.若 (AP-DP) (PB+BA) =-4，则点P的轨迹的长度是 ( )
A. 3 B. 2 3 C. 4π D. 16π
【答案】B

【解析】∵ (AP-DP) (PB+BA) = (AP+PD) (PB+BA)

=AD PA=-AP AD=-4，即AP AD= 4.

设向量AP与AD的夹角为 θ，则AP AD= |AP||AD|cosθ= 4，

因为 |DA| = 2，所以 |AP|cosθ= 2，

由向量投影定义得，向量AP在向量AD上的投影为 2，
即动点P在过点D且垂直于AD的直线上.
在 ΔBAD中，∠DAB= π3 ，AD= 2，AB= 2DC= 2AD= 4，
由余弦定理得BD2=AD2+AB2- 2AB ADcos60°= 12，所以BD= 2 3；
则BD2+AD2=AB2，所以BD⊥AD.
因为P是四边形ABCD内及其边界上的点，所以点P的轨迹为线段BD.
所以点P的轨迹的长度为 2 3.
故选：B.
4. (2022·全国·高三专题练习)已知复数 z满足 z+ i + z- i = 2，则 z的轨迹为 ( )
A. 线段 B. 直线 C. 椭圆 D. 椭圆的一部分
【答案】A
【解析】z= x+ yi(x,y∈R)，根据复数的几何意义知 z+ i + z- i = 2 表示点 Z(x,y)到定点A(0,-1)与B(0,1)
的距离之和为 2，而 AB = 2，故点 Z的轨迹为线段AB.
故选：A
5. (2022·河南安阳·高三开学考试 (文))平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这
两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线 x- y=
0，y= 0的距离之和为 2的点 P的轨迹为曲线 Γ，则曲线 Γ围成的图形面积为
( )
A. 8 2 B. 6 2
C. 4 2 D. 2 2
【答案】A
【解析】
由题意知，曲线 Γ 围成的图形为平行四边形，且 x- y= 0，y= 0 为两条对角线所
在直线，
则曲线 Γ 和 x- y= 0，y= 0 的交点即为平行四边形的四个顶点；
设曲线 Γ 和 x- y= 0 的交点为P1,P2，曲线 Γ 和 y= 0 的交点为P3,P4，
则P1,P2到直线 x- y= 0 的距离为 0，到直线 y= 0 的距离为 2，
作P1M⊥ x轴于M，则 P1M = 2；同理可得P3,P4到直线 x- y= 0 的距离为 2，
作P3N⊥P1P2于N，则 P3N = 2，又∠NOM= π4 ，
则 OP3 = 2 2，则 P3P4 = 4 2，
则曲线 Γ 围成的图形面积为 P3P4 P1M = 4 2 × 2= 8 2.
故选：A.
6. (2022·河南·郑州四中高三阶段练习 (理))下列四个命题中不正确的是 ( )
A. 4若动点P与定点A -4,0 、B 4,0 连线PA、PB的斜率之积为定值 9 ，则动点P的轨迹为双曲线的一部分．
B. 设m，n∈R，常数 a> 0，定义运算“*”：m *n= m+n 2- m-n 2，若 x≥ 0，则动点P x, x * a 的轨迹是
抛物线的一部分．
C. 已知两圆A: x+ 1 2+ y2= 1、圆B: x- 1 2+ y2= 25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨
迹是椭圆．
D. 已知A 7,0 ，B -7,0 ，C 2,-12 ，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双
曲线．
【答案】D
( , ) = y y【解析】A，设P x y ，则 k 4PAkPB x+ 4 × x- 4 = 9 (x≠±4)，变形得：
x2 9y2
16 - 64 = 1 x≠±4 ，即动点P的轨迹为双曲线的一部分，A正确；
B，设点P纵坐标为 y，则 y= x a= (x+ a)2- (x- a)2= 4ax，即 y2= 4ax(a> 0,y≥ 0)，
即动点P x, x * a 的轨迹是抛物线的一部分，B正确；
C，两圆心坐标分别是A -1,0 ,B 1,0 ，半径分别为 1,5，
设动圆圆心M (x,y)，半径为 r ，则 MA = r+ 1, MB = 5- r，
∴ MA + MB + 6> AB = 2，动圆的圆心M的轨迹是椭圆，故C正确；
D，设另一焦点为F，因为 AB = 14, AC = 13, BC = 15，由椭圆定义得，
AC + AF = BC + BF ，即 13+ |AF| = 15+ |BF|，
所以 AF - BF = 2< AB ，即椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线的一支，故D错误.
故选：D.
7. (2022·全国·高三专题练习)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2,E F分
别是棱AA1 A1D1的中点，点P为底面四边形ABCD内 (包括边界)的一动点，
若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为 ( )
A. 2 B. 5
C. 6 D. 2 2
【答案】B
【解析】取BC的中点G，连接AG,D1G,AD1，如图所示：
E F分别是棱AA1 A1D1的中点，所以EF AD1，
又因为EF 平面BEF，AD1 平面BEF，所以AD1 平面BEF .
因为FD1 BG，FD1=BG，所以四边形FBGD1为平行四边形，
所以FB GD1.
又因为FB 平面BEF，GD1 平面BEF，所以GD1 平面BEF .
因为GD1∩AD1=D1，所以平面AD1G 平面BEF .
因为点P为底面四边形ABCD内 (包括边界)的一动点，直线D1P与平面BEF无公共点，
所以P的轨迹为线段AG，则 AG = 22+ 12= 5.
故选：B
8. (2022·安徽·合肥一中模拟预测 (文))首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的
设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷
爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看

成一个线段PQ和一段圆弧QM组成，如图所示.假设圆弧QM所在圆的方程为C :(x+ 25)2+ (y- 2)2= 162，若
某运动员在起跳点M以倾斜角为 45 且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在 y轴上的
抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为 ( )
A. y2=-32(x- 1) B. y=- 164 x
2- 3 C. x2=-32(y- 1) D. x2=-36y+ 4
【答案】C
【解析】由于某运动员在起跳点M以倾斜角为 45 且与圆C相切的直线方向起跳，
故 kCM=-1,所以直线CM所在的方程为：y- 2=- (x+ 25)，
代入 (x+ 25)2+ (y- 2)2= 162，解得 x=-16 x=-34 y=- 或7 = (舍，离 y轴较远的点)，y 11
所以点M的坐标为 (-16,-7).
由于起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在 y轴上的抛物线的一部分，
故设抛物线方程为：y= ax2+ c，则 y = 2ax，
则由M点处切线斜率为 1 可得-32a= 1，∴ a=- 132 ，
又-7=- 132 (-16)
2+ c，解得 c= 1，
所以该抛物线的轨迹方程为 y=- 132 x
2+ 1，即 x2=-32(y- 1)，
故选：C .
二、多选题
9. (2022·福建省福州第一中学三模)已知曲线C是平面内到定点F(0,1)和定直线 l:y=-1的距离之和等于 4的点的
轨迹，若P x0,y0 在曲线C上，则下列结论正确的是 ( )
A. 曲线C关于 x轴对称 B. 曲线C关于 y轴对称
C. - 2≤ x0≤ 2 D. 1≤ |PF| ≤ 4
【答案】BD
【解析】由题，曲线C上任意一点Q x,y ，则 x2+ y- 1 2+ y+ 1 = 4. 当 y≥-1 时 x2+ y- 1 2= 3- y，即 x2
+ y- 1 2= y2- 6y+ 9，
化简得 y= 2- 1 x24 ，且-1≤ y≤ 2；当 y<-1 时， x
2+ y- 1 2= y+ 5，
化简可得 y= 1 212 x - 2，且-2≤ y≤-1，画出曲线C的图象：
对A,B，显然图象不关于 x轴对称，关于 y轴对称，故A错误，B正确；
对C，当 y= 2- 14 x
2=-1 时，解得 x=±2 3，故-2 3≤ x0≤ 2 3，故C错误；
对D，因为 y=- 1 2 24 x 即 x =-4y的焦点为 0,-1 ，故抛物线 y= 2-
1 x24 的焦点为F 0,1 ，
同理F 0,1 也是抛物线 y= 1 212 x - 2 的焦点.
故PF的最小值为 0,2 到F 0,1 的距离 1，最大值为方程左右端点
±2 3,-1 到F 0,1 的距离 2 3 2+ 22= 4，故 1≤ PF ≤ 4，故D
正确；
故选：BD
10.(2022·全国·高三专题练习)已知抛物线C：y2= 2px(p> 0)的焦点F与圆E:x2+ y2- 2x= 0的圆心重合，直线 l与

C交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，且满足：OA OB= 0(其中O为坐标原点且A、B均不与O重合)，则 ( )
A. x1x2= 16,y1y2=-16 B. 直线 l恒过定点 4,0
C. A、B中点轨迹方程：y2= 2x- 4 D. △AOB面积的最小值为 16
【答案】ABD
【解析】圆E:x2+ y2- 2x= 0 可化为 (x- 1)2+ y2= 1，则E(1,0)，半径 r= 1，
∴抛物线的焦点为E(1,0) ∴ p， 2 = 1，p= 2，∴抛物线C的方程为 y
2= 4x，
由题可知直线 l斜率若存在，则斜率不为 0，故设 l为 x= ty+n，
由 x= ty+n 2 22= ，得 y - 4ty- 4n= 0，则 Δ= 16t + 16n> 0，即 t
2+n> 0，
y 4x
∴ y1+ y2= 4t，y1y2=-4n，
y2y2
则OA OB= x 1 2 21x2+ y1y2= 16 + y1y2=n - 4n= 0，
解得n= 4 或n= 0(舍，否则直线 l过原点)，
2
∴ y1y2=-
(y y )
16，x1x = 1 22 16 = 16，故A正确；
直线 l方程为 x= ty+ 4，恒过定点 (4,0)，故B正确；
设AB中点为M (x,y)，
= y1+ y则 y 2 = 2t，x= ty+ 4= 2t22 + 4，消去参数 t得 y
2= 2x- 8，故C错误；
|AB| = 1+ t2 y - y = (1+ t21 2 ) [(y 2 2 2 21+ y2) - 4y1y2] = (1+ t ) (16t + 64) = 4 (1+ t ) (t2+ 4)，
|0- 0- 4|
原点O到直线AB的距离为 d= = 4 ，
1+ t2 1+ t2
∴S 1△OAB= 2 |AB|d= 8 t
2+ 4，
∴ t= 0 时，S△OAB= 16 为最小值，故D正确．
故选：ABD．
y2
11. (2022·福建·模拟预测)已知双曲线C:x2- 4 = 1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线C的右支上，若∠F1PF2
= θ，△PF1F2的面积为S，则下列选项正确的是 ( )
A. 若 θ= 60°，则S= 4 3
B. 若S= 4，则 PF2 = 2 3
C. 若△PF1F2为锐角三角形，则S∈ 4,4 6
2
D. 若△ 9yPF 11F2的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为 9x2- 4 = 1 x> 3
【答案】ACD
2
【解析】对A，根据焦点三角形PF F 的面积公式：S= b1 2 = 4 ，
tan θ2 tan
θ
2
将 θ= 60°代入可得：S= 4 460 = = 4 3，故A正确；tan 2 33
2
对 B，当S= 4 时，即S= b = 4 = 4，
tan θ2 tan
θ
2
即 tan θ2 = 1，
又∵ θ∈ 0,π ，
故 θ= 90°，
PF由 1 - PF2 = 2 PF 2+ PF 22 1 = ， F 21F2
PF
即 1 - PF2 = 2 PF2 2+ PF 21 = 20
解得： PF2 = 2，故B错误；
对 C，当∠F1PF2= 90°时，S= 4，
当∠PF °2F1= 90 时，S= 4 5，
∴S∈ 4,4 5 ，故C正确；
对 D，设G x,y ，P x0,y0 x0> 1 ，
2- y
2
则 x 00 4 = 1 x0> 1 ，
由题设知F1 - 5,0 ,F2 5,0 ，
则 x0= 3x = ，y0 3y
2
∴ 9x2- 9y4 = 1 x>
1
3 ，故D正确.
故选：ACD.
12.(2022·全国·高三专题练习)已知A、B两点的坐标分别是 (-1,0)，(1,0)，直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜
率之积为m，则下列结论正确的是 ( )
A. 当m=-1时，点P的轨迹圆 (除去与 x轴的交点)
B. 当-1C. 当 0D. 当m> 1时，点P的轨迹为焦点在 x轴上的双曲线 (除去与 x轴的交点)
【答案】ABD
y y
【解析】设点P的坐标为 (x,y)，直线AP，BP的斜率为 kAP= x+ 1 x≠-1 ，kBP= x- 1 x≠ 1
y
由已知得，x+ 1 ×
y
x- 1 =m x≠±1
y2
化简得点P的轨迹方程为 x2+ -m = 1 x≠±1,m≠ 0
当m=-1 时，点P的轨迹圆 (除去与 x轴的交点)所以A正确；
当-1当 0当m> 1 时，点P的轨迹为焦点在 x轴上的双曲线 (除去与 x轴的交点)，所以D正确；
故选：ABD
三、填空题
13.(2022·浙江·高三开学考试)已知双曲线 x2- y2= 1与直线 l:y= kx+m k≠±1 有唯一的公共点A，过点A且与 l
垂直的直线分别交 x轴 y轴于B x0,0 ,C 0,y0 两点，当点A运动时，点D x0,y0 的轨迹方程是_________
__.
x2 2【答案】4 -
y
4 = 1
【解析】由 x
2- y2= 1
得， k2- 1 x2= + + 2kmx+m
2+ 1= 0，
y kx m
因为 y= kx+m k≠±1 与双曲线有唯一的公共点A，即相切于A点，
所以 Δ= (2km)2- 4 k2- 1 m2+ 1 = 0,x = -kmA k2- 1
化简得m2= k2- 1，yA= kxA+m= -m ，k2- 1
所以过点A且与 l垂直的直线为 y=- 1 x+ km m2- - 2- ，k k 1 k 1
所以B -2mk2- ,0 ,C 0,
-2m
k 1 k2- ，1
2 2 2 2 2
所以 x2 4m kD= 2- 2 =
4k
2- ,y
2
D= 4m = 4 ,x2 2 4k 4k 1 k 1 k2- 1 2 k2- 1 D- yD= 2- - 2- = 4 k 1 k 1
2 y2
所以点D x,y 的轨迹是 x4 - 4 = 1.
2 y2
故答案为：x4 - 4 = 1
14.(2022·江西· 4 3上饶市第一中学模拟预测 (文))①已知点A 3,0 ，直线 l:x= 3 ，动点P满足到点A的距离与到直
线 l 3的距离之比为 2 ；
②已知圆C的方程为 x2+ y2= 4，直线 l为圆C的切线，记点A 3,0 ，B - 3,0 到直线 l的距离分别为 d1，d2，
动点P满足 PA = d1， PB = d2；

③点S，T 2 1分别在 x轴，y轴上运动，且 ST = 3，动点P满足OP= 3 OS+ 3 OT；
在①，②，③这三个条件中，动点P的轨迹W为椭圆的是______．
【答案】①②③
【解析】对于①，
( , ) (x- 3)
2+ y2 2
设P x y ，根据题意， = 3 ，整理得 x + y22 4 = 1， x- 4 33
2
所以轨迹方程为 x4 + y
2= 1；
对于②，
设P(x,y)，直线 l与圆相切于点H，则 |PA|+|PB| = d1+ d2= 2|OH | = 4> 2 3= |AB|，
由椭圆定义知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以 2a= 4,2c= |AB| = 2 3，，
2
故 a= 2,c= 3,b= 1，所以轨迹方程为 x4 + y
2= 1；
对于③，
设P(x,y)，S(x ,0)，T(0,y )，则 (x )2+ (y )2= 3，
x= 2 x 3
因为OP= 2 1 3 x = x3 OS+ 3 OT，所以 1 ，整理得y= y 2 ， 3 y = 3y
2
代入 (x )2+ (y )2= 3 得 x4 + y
2= 1，
2
所以轨迹方程为 x4 + y
2= 1；
故答案为：①②③
15.(2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测)已知在直角坐标平面内，两定点F 0,1 ，M 1,-1 ，动点Q满足以FQ为直
径的圆与 x轴相切．直线FQ与动点Q的轨迹E交于另一点P，当∠PMQ= 90°时，直线PQ的斜率为_____
_．
【答案】12
y+ 1
【解析】设Q x,y ，FQ的中点坐标为 12 x, 2 ，
由于动点Q满足以FQ为直径的圆与 x轴相切，
所以 1 22 × x +
y+ 1
y- 1 2= 2 ，整理得Q点的轨迹方程为 x2= 4y.
依题意可知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为 y= kx+ 1，
由 y= kx+ 1 2= 消去 y并化简得 x
2- 4kx- 4= 0，Δ= 16k2+ 16> 0，
x 4y
设P x1,y1 ,Q x2,y2 ，
则 x1+ x2= 4k,x1x2=-4，

由于∠PMQ= 90°，所以MP MQ= 0，
即 x1- 1,y1+ 1 x2- 1,y2+ 1 = x1- 1 x2- 1 + y1+ 1 y2+ 1 = 0，
x1x2- x1+ x2 + 1+ y1y2+ y1+ y2 + 1= 0，
+ x1x2
2
x1x2 16 + k- 1 x1+ x2 + 4= 0，
- + -4
2
4 16 + k- 1 4k + 4= 0，4k
2- 4k+ 1= 0，解得 k= 12 .
故答案为：12
2 2
16.(2022·全国·高三专题练习) x y 3已知椭圆 4 + 9 = 1，一组平行直线的斜率是 2 ，当它们与椭圆相交时，这些直线被
椭圆截得的线段的中点轨迹方程是__．
【答案】y=- 32 x(- 2< x< 2)
【解析】设这组平行直线的方程为 y= 32 x+m，
y= 32 x+m联立方程组 2 y2 ，整理得 18x
2+ 12mx+ 4m2- 36= 0，
x 4 + 9 = 1
由 Δ= 144 18-m2 > 0 可得-3 2则 x1+ x2=- 23m，所以它们与椭圆交点的中点坐标为 -
1 m, 13 2m ，
即这些点均在轨迹 y=- 32 x(- 2< x< 2)上，
即直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 y=- 32 x(- 2< x< 2).
故答案为：y=- 32 x(- 2< x< 2)．
四、解答题
17.(2022·四川内江·模拟预测 (理))在△ABC中，A(-2,0)，B(2,0)，AC与BC 1斜率的积是- 4 ．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)P(4,0)，求PC的中点M的轨迹方程．
y y
【解析】(1)设点C坐标为 (x,y)，由题知 k 1AC kBC= x+ 2 × x- 2 =- 4
2
整理得点C的轨迹方程为 x4 + y
2= 1(x≠±2)
(2)设点M坐标为 (x,y)，点C坐标为 (x0,y0)
x0+ 4
由中点坐标公式得 2
= x
y ，即
x0= 2x- 4
0 = y y0= 2y 2
将 x0= 2x- 4
2
代入 x
2
+ 2= ( ≠± ) 2x- 4得点 的轨迹方程为： = 4 y 1 x 2 M 4 + 2y
2= 1(y≠ 0)，即
y 2y
x- 2 2+ 4y2=
0
1(y≠ 0)
2 2
18.(2022· x y全国·高三专题练习)设椭圆 5 + 4 = 1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C，曲线C的两条切线PA、
PB交于点P，且与C分别切于A、B两点，求PA PB的最小值．
【解析】设椭圆的两切线为 l1，l2．
①当 l1⊥ x轴或 l1 x 轴时，对应 l2 x 轴或 l2⊥ x轴，可知切点为；
②当 l1与 x轴不垂直且不平行时，x≠± 5，设 l1的斜率为 k，则 k≠ 0，
l2的斜率为- 1 ，并设 l1,l2 的交点为 x0,y0 ，k
2 2
则 l1的方程为 y- y0= k x- x +
y
x0 ，联立 5 4 = 1，
得： 5k2+ 4 x2+ 10 y0- kx0 kx+ 5 y0- k0x0 2- 20= 0 ，
∵直线与椭圆相切，∴Δ= 0，得 5 y - kx 2k20 0 - 5k2+ 4 y0- kx 20 - 4 = 0，
∴ x2- 5 k2- 2x y k+ y20 0 0 0- 4= 0，
∴ k是方程 x20- 5 k2- 2x0y0k+ y20- 4= 0 的一个根，
同理- 1 是方程 x20- 5 k2- 2x0y0k+ y20- 4= 0 的另一个根，k
∴ k - 1
2
= y0- 4 得 x2+ y22- 0 0= 9，其中 x≠± 5，k x0 5
∴交点的轨迹方程为：x2+ y2= 9 x≠± 5 ，∵ ± 5,±2 也满足上式；
综上知：轨迹C方程为 x2+ y2= 9；
设PA=PB= x ，∠APB= θ，则在△AOB与△APB中应用余弦定理知，
AB2=OA2+OB2- 2OA OB cos∠AOB=PA2+PB2- 2PA PB
cos∠APB，
即 32+ 32- 2 3 3cos 180°-θ = x2+ x2-
9 1+ cosθ
2x x cosθ ，即 x2= ，
1- cosθ

= 9 1+ cosθ cosθPA PB PA PB cos∠APB= x xcosθ= ，1- cosθ
令 t= 1- cosθ∈ 0,2 ，则 cosθ= 1- t，
9 2- t 1- t 9 t2- 3t+ 2
PA PB= t = t = 9 t+
2
t - 3 ≥ 9 2 t 2t - 3 = 9 2 2- 3 ，
当且仅当 t= 2

t ，即 t= 2 时，PA PB取得最小 9 2 2- 3 ；
综上，PA PB的最小为 9 2 2- 3 .
2
19.(2022· · ) C: x全国 高三专题练习 已知椭圆 + y24 = 1的右焦点F与抛物线C1:y
2= 2px的焦点重合．
(1)求椭圆C的离心率与抛物线C1的方程；
(2)过焦点F的动直线与抛物线C1交于A，B两点，从原点O作直线AB的垂线，垂足为M，求动点M的轨迹方
程；
(3)点R 2, 22 为椭圆C上的点，设直线 l与OR平行，且直线 l与椭圆C交于P，Q两点，若△PQR的面积为
1，求直线 l的方程．
【解析】(1)因 a= 2，b= 1，故 c= a2- b2= 3，从而椭圆C的离心率为 e= c 3a = 2 ．
且椭圆C的右焦点F坐标为 ( 3,0)．
p
于是由椭圆C的右焦点F与抛物线C1的焦点重合，得 2 = 3，即 p= 2 3．
从而抛物线C1的方程为 y2= 4 3x．
(2)设动点M的坐标为 (x,y)，由条件OM⊥AB，且点M，F在直线AB上，可得OM⊥FM．

于是OM FM = 0．
即 (x,y) (x- 3,y) = x(x- 3) + y2= 0(x≠ 0)．
2
故动点M的轨迹方程为： x- 32 + y2=
3
4 (x≠ 0)．
(3)由于 k = 1OQ 2 ，设直线 l方程为 y=
1
2 x+ t，P x1,y1 ，Q x2,y2 ．
y= 12 x+ t
x1+ x2=-2t
由 2 x2 得 x + 2tx+ 2t
2- 2= 0，故 x x = 2t21 2 - 2 ． + y2 = 1 Δ=-4 t24 - 2 > 0 t2< 2
则 |PQ| = 1+ 14 x1+ x2
2- 4x1x 52= 2 4t
2- 4 2t2- 2 = 5 2- t2 ．
= |t| = 2|t|又点R到直线 l的距离 d ，故由
1 21+ 2
5
S△PQR= 1
2|t|
2 5 2- t
2 = 2- t2 t2= 1，
5
解得 t2= 1，从而 t=±1．因此，直线 l的方程为 y= 12 x± 1．
20.(2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测)在平面直角坐标系 xOy中，已知A1,A2两点的坐标分别是 (- 3,0),
( 3,0)，直线A1B,A2B 1相交于点B，且它们的斜率之积为 3 .
(1)求点B的轨迹方程；
(2)记点B的轨迹为曲线C，M ,N ,P,Q是曲线C上的点，若直线MN，PQ均过曲线C的右焦点F且互相垂直，线
段MN的中点为R，线段PQ的中点为T. 是否存在点G，使直线RT恒过点G，若存在，求出点G的坐标，若不存
在，说明理由.
【解析】(1)设M (x,y)，因为直线A1B,A2B相交于点B求曲线的轨迹方程
【考点预测】
曲线的方程和方程的曲线
在直角坐标系中，如果是某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f x,y = 0的实
数解建立了如下的关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解 (完备性)
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (纯粹性)
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．事实上，曲线可以看作一个点集C，以一个二元方程的
条件 (1) C F
解作为坐标的点也组成一个点集F，上述定义中 C=F条件 (2) F C
【方法技巧与总结】
一、直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
(1)建系：建立适当的坐标系
(2)设点：设轨迹上的任一点P x,y
(3)列式：列出有限制关系的几何等式
(4)代换：将轨迹所满足的条件用含 x,y的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为 x,y的方程式化简
(5)证明 (一般省略)：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 (对某些特殊值应另外补充检验)．简记为：建
设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
二、定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点 P和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦
点的特征：(1)关于坐标轴对称的点；(2)标记为F的点；(3)圆心；(4)题目提到的定点等等．当看到以上的标志
的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
三、相关点法求动点的轨迹方程
如果动点P的运动是由另外某一点P 的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该点坐标满足某已知曲线方程)，
则可以设出P(x,y)，用 (x,y)表示出相关点P 的坐标，然后把P 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨
迹方程．
四、交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点 (含参
数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为
参数．
五、参数方程法求动点的轨迹方程
动点M (x,y)的运动主要是由于某个参数 φ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即
x= f(φ) = ( )，再消参.y g φ
六、点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代
入圆锥曲线方程，两式相减可得 x1+ x2，y1+ y2，x1- x2，y1- y2等关系式，由于弦AB的中点P(x,y)的坐标满足
y - y
2x= x1+ x2，2y= y + y AB 2 11 2且直线 的斜率为 x - x ，由此可求得弦AB中点的轨迹方程．2 1
【题型归纳目录】
题型一：直接法
题型二：定义法
题型三：相关点法
题型四：交轨法
题型五：参数法
题型六：点差法
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
【典例例题】
题型一：直接法
1.(2022· · ) P x
2 y2
例 全国 高三专题练习 已知点 是椭圆 6 + 4 = 1上任意一点，过点P作 x轴的垂线，垂足为M，则线段
PM的中点N x,y 的轨迹方程为______．
例2.(2022·河南河南·模拟预测 (理)) 3已知平面上的动点P到点O(0,0)和A(2,0)的距离之比为 2 ，则点P到 x轴的
距离最大值为_____.
例3.(2022· 1 1全国·高三课时练习)已知点P x,y 到定点M 0, 2 的距离比它到 x轴的距离大 2 ．
(1)求点P的轨迹C的方程；
例4.(2022·湖南·模拟预测)已知平面直角坐标系中有两点F1 -2,0 ,F2 2,0 ，且曲线C1上的任意一点P都满足 PF1
PF2 = 5．求曲线C1的轨迹方程并画出草图；
例5.(2022·湖南湘潭·高三开学考试) 已知A,B两点的坐标分别为 (-2,0),(2,0)，直线AP,BP 的交点为P，且它们的
1
斜率之积- 4 ．求点P的轨迹E的方程;
题型二：定义法
例6.(2022·全国·高三专题练习)已知定点A(1，1)和直线 L：x+ y- 2= 0，那么到定点A和到定直线 L距离相等的点
的轨迹为 ( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线
例7.(2022·全国·高三专题练习)已知圆F： x- 2 2+ y2= 1，动圆P与圆F外切，且与定直线 x=-3相切，设动点P的
轨迹为E．求E的方程；
例8.(2022·江西南昌·三模 (理))已知两条直线 l1：2x- 3y+ 2= 0，l2：3x- 2y+ 3= 0，有一动圆 (圆心和半径都在变
动)与 l1，l2都相交，并且 l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 26，24，则动圆圆心的轨迹是 ( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 直线
例9.(2022·上海市大同中学高三开学考试)已知定点P -4,0 和定圆Q:x2+ y2= 8x，动圆M和圆Q外切，且经过点
P，求圆心M的轨迹方程_______
例10.(2022·全国·高三专题练习)设动圆M与 y轴相切且与圆C:x2+ y2- 2x= 0相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为
______.
例11.(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末)已知圆C ：x21 + y+ 3 2= 9和圆C2：x2+ y- 3 2= 1，动圆M同
时与圆C1及圆C2外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______.
例12.(2022·全国·高三专题练习 (理))设圆 x2+ y2+ 2x- 15= 0的圆心为A，直线 l过点B 1,0 且与 x轴不重合，l交
圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．证明 EA + EB 为定值，并写出点E的轨迹方程；
例13.(2022·全国·高三专题练习)已知P是圆A:(x- 1)2+ y2= 16上的动点，M是线段AP上一点，B -1,0 ，且 PM
= MB ，求点M的轨迹C的方程
例14.(2022·河南郑州·高三阶段练习 (理))如图，已知圆F1的方程为 (x+ 1)2+ y2= 498 ，圆F2的方程为 (x- 1)
2+ y2=
1
8 ，若动圆M与圆F1内切与圆F2外切．
求动圆圆心M的轨迹C的方程；
例15.(2022·山东潍坊·模拟预测)已知圆M与圆F1： x+ 2 2+ y2= 1外切，同时与圆F2： x- 2 2+ y2= 49内切.
说明动点M的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；
例16.设圆 x2+ y2+ 2x- 15= 0的圆心为A，直线 l过点B(1,0)且与 x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的
平行线交AD于点E，求点E的轨迹方程．
题型三：相关点法
例17.(2022·全国·高三课时练习)设A,B分别是直线 y= 2x和 y=-2x上的动点，且满足 AB = 4，则AB的中点M
的轨迹方程为 ( )
2 2 2 2
A. x2+ y = 1 B. y2+ x y16 16 = 1 C. x
2- 2 x16 = 1 D. y - 16 = 1
例18.(2022·全国·高三课时练习)已知△ABC的顶点B -3,0 ，C 1,0 ，顶点A在抛物线 y= x2上运动，则△ABC的
重心G的轨迹方程为______．
例19.(2022·全国·高三课时练习)当点P在圆 x2+ y2= 1上变动时，它与定点Q 3,0 的连线PQ的中点的轨迹方程是
( )
A. x2+ y2+ 6x+ 5= 0 B. x2+ y2- 6x+ 8= 0
C. x2+ y2- 3x+ 2= 0 D. x2+ y2+ 3x+ 2= 0
例20.(2022·全国·高三课时练习)已知A、B分别是直线 y= 33 x和 y=-
3
3 x上的两个动点，线段AB的长为 2 3，
P是AB的中点．求动点P的轨迹C的方程．
题型四：交轨法
2 2
例21.(2022· x y四川凉山·高三期末 (理))设椭圆 4 + 8 = 1的上、下顶点分别为A、B，直线 y=m与椭圆交于两点M、
N，则直线AM与直线BN的交点F一定在下列哪种曲线上 ( )
A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆
22.( ) (2022· · ) C x
2 y2 3
例 多选题 江苏 南京市第一中学高三开学考试 已知椭圆 ：a + 2 = 1(a> 2)的离心率为 ，过点P
3
(1，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足AP= λPB.动点Q满足AQ=-λQB，则下列结论正确的是 ( )
A. a= 3
B. 动点Q的轨迹方程为 2x+ 3y- 6= 0
C. 线段OQ(O 3 13为坐标原点)长度的最小值为 13
D. 线段OQ(O为坐标原点) 6 13长度的最小值为 13
例23.(2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校高三阶段练习)在矩形ABB A 中，A A= 8,AB= 6，把边AB分成 n等
份，在B B的延长线上，以B B的 n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点A 作直线，过B B延长线
上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程是_____
______.
2
例24.( y河北省邢台市名校联盟 2022届高三上学期开学考试数学试题)已知A1、A2为椭圆C：x2+ 3 = 1的左右顶
点，直线 x= x0与C交于A、B两点，直线A1A和直线A2B交于点P.求点P的轨迹方程.
例25.(2022·河南·新蔡县第一高级中学高三阶段练习 (理))已知反比例函数 y= 1x 的图像C是以 x轴与 y轴为渐近线
的等轴双曲线.
(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设A1 A2为双曲线C的两个顶点，点M x0,y0 N y0,x0 是双曲线C上不同的两个动点.求直线A1M与A2N
交点的轨迹E的方程；
例26.(2022·全国·高三专题练习)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，F 1,0 ，过直线 l：x= 4左侧且不在 x轴上的
动点 P，作 PH⊥ l于点 H，∠HPF的角平分线交 x轴于点 M，且 PH =
2 MF ，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C与 x轴正半轴交于点A1，过点S -4,0 的直线 l1交C于A，B

两点，AS= λBS，点T满足AT = λTB，其中 λ< 1，证明：∠A1TB= 2∠TSO.
例27.(2022·全国·模拟预测 (文))设抛物线C：x2= 8y，过点 0,1 的直线 l与C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物
线的切线，两切线相交于点P，求点P的轨迹方程；
2 2
例28.( y2022· x湖南·长郡中学模拟预测)已知双曲线C： 2 - 2 = 1 a> 0,b> 0 的离心率为 2，F1，F2为双曲线C的a b
左、右焦点，A 2,3 是双曲线C上的一个点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点B 4,0 且不与渐近线平行的直线 l(斜率不为 0)与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点
2
M，N x处的切线分别为 l1，l2，点P为直线 l1与直线 l2的交点，试求点P的轨迹方程 (注：若双曲线的方程为 -a2
y2 = , x x y0y2 1，则该双曲线在点 x0 y0 处的切线方程为
0
2 - 2 = 1)b a b
例29.(2022·全国·高三专题练习)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F 0,c (c> 0)到直线 l:x- y- 2= 0的距离为
3 2
2 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点P(x0，y0)为直线 l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求直线AB的方
程，并证明直线AB过定点Q；
(3)过 (2)中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切线 l1，l2，求 l1，l2交点M满
足的轨迹方程．
x2 y2
例30.(2022·上海·高三专题练习)双曲线 2 - 2 = 1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥Aa b 1P，
A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程.
例31.(2022·全国·高三课时练习)已知点 P -2,2 、Q 0,2 以及直线 l:y= x，设长为 2 的线段AB在直线 l上移动
(如图所示)，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．
题型五：参数法
例32.(2022·新疆·皮山县高级中学高三期末 (文))已知A 2cosθ,4sinθ ，B 2sinθ,-4cosθ ，当 θ∈R时，线段AB的中
点轨迹方程为 ( )
x2 y2 2 y2 2 y2 2 y2A. 2 - 8 = 1 B.
x + x x2 8 = 1 C. 8 - 2 = 1 D. 8 + 2 = 1
例33.(2022·全国·高三专题练习 (理))已知曲线C:y= x2- 2x+ 2 和直线 l：y= kx(k≠ 0)，若C与 l有两个交点A和
B，求线段AB中点的轨迹方程.
例34.(2022· 4x江西景德镇·高三期末 (理))已知两条动直线 l1:y= 与 l2:y= λ(λ≠ 0，λ为参数)的交点为P.求点P的λ
轨迹C的方程；

例35.(2022·北京市第五十七中学高三期中)P是圆 x2+ y2= 4上的动点，P点在 x轴上的射影是D，点M满足DP=

2DM .
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2) 1过Q 1, 2 作弦且弦被Q平分，求此弦所在的直线方程及弦长；
(3)过点N (3，0)的直线 l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻
边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.
例36.(2022·全国·高三专题练习)已知直线 l1：y= k1x和 l2：y= k2x与抛物线 y2= 2px(p> 0)分别相交于A，B两点
(异于原点O)与直线 l：y= 2x+ p分别相交于P，Q两点，且 k1 k2=-2．
求线段AB的中点M的轨迹方程；
例37.(2022· · x y π江苏 周市高级中学高三阶段练习)已知直线 l: + = 1,θ∈ 0, 2 与坐标轴的交点分别为A，sinθ cosθ
B，则线段AB的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形面积为 ( )
A. π π π π2 B. 4 C. 8 D. 16
例38.(2022·全国· ) : x y 高三课时练习 已知曲线C1 a + = 1 a> b> 0 所围成的封闭图形的面积为 4 5，曲线C1的内b
2 5
切圆的半径为 3 ，记C2是以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
(1)求椭圆C2的标准方程；
(2)设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是 l上异于椭圆中心的点， MO = λ OA (O
为坐标原点，λ≠ 0)，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程．
题型六：点差法
2
例39.(2022· · x 1全国 高三专题练习)椭圆 4 + y
2= 1，则该椭圆所有斜率为 2 的弦的中点的轨迹方程为________
_________．
例40.(2022·全国·高三课时练习)斜率为 2的平行直线截双曲线 x2- y2= 1所得弦的中点的轨迹方程是______．
2 2
例41.(2022· x y全国·高三专题练习)已知椭圆 4 + 3 = 1的弦AB所在直线过点E 1,1 ，求弦AB中点F的轨迹方程.
例42.(2022·上海市行知中学高三开学考试)已知曲线 Γ上一动点P到两定点F1 0,-2 ，F2 0,2 的距离之和为 4 2，
过点Q -1,0 的直线L与曲线Γ相交于点A x1,y1 ，B x2,y2 ．
(1)求曲线Γ的方程；

(2)动弦AB满足：AM =MB，求点M的轨迹方程；
例43.(2022·全国·高三期中) (1)若双曲线的一条渐近线方程为 2x+ 3y= 0，且两顶点间的距离为 6，求该双曲线方程．
2 2
( y2)一组平行直线 y= 2x+ b x与椭圆 12 + 9 = 1相交，求弦的中点的轨迹方程．
2 2
例44.(2022· x y上海·高三专题练习)已知椭圆 + = 1，M x1,y1 ，N x2,y2 是椭圆上的两个不同的点.
4 2
(1)若点A 1,1 满足MA=AN，求直线MN的方程；

(2)若M x1,y1 ，N x2,y2 的坐标满足 x1x2+ 2y1y2= 0，动点P满足OP=OM + 2ON (其中O为坐标原点)，求动
点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
例45.(2022·全国·高三专题练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，F为底面ABCD上一动点，且
EF与底面ABCD所成的角为 60°．若该正方体外接球的表面积为 12π，则动点F的轨迹长度为 ( )．
A. 4 39 π B.
3 π C. 2 3 π D. 4 33 3 3 π
例46.(2022·全国·高三专题练习)如图，点A是平面 α外一定点，过A作平面 α的斜线 l，斜线 l与平面 α所成角为 50°．
若点P在平面 α内运动，并使直线AP与 l所成角为 35°，则动点P的轨迹是 ( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线的一支
例47.(2022·北京市第十三中学高一阶段练习)如图，正方体ABCD-A1BlClDl中，P为底面ABCD上的动点，且PE
⊥A1C于E，且PA=PE，则点P的轨迹是 ( )
A. 线段 B. 圆弧 C. 抛物线的一部分 D. 以上答案都不对
例48.(多选题) (2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测)如图所示，在棱长为 2的正六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为
线段A1C的中点 (图中未标出)，以下说法正确的有 ( )．
A. 1线段CD中点为E，则直线OE与平面A1BCD1所成角的正弦值为 2 ．
B. 在线段AB上取靠近B点的三等分点F，则直线OF与直线C1D1不共面．
C. 在平面ABCD上存在一动点P，满足 AP + BP = 2，则P点轨迹为一椭圆．
D. 在平面C1D1AB上存在一动点Q，点Q到点O的距离和点Q到直线AB的距离相
等，则点Q的轨迹为抛物线，其准线到焦点的距离为 2．
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
49.(2022· · ( )) i z = 1- 3i例 河南开封 高三阶段练习 文 已知 为虚数单位，且 0 1+ 2i，复数 z满足 z- z0 = 1，则复数 z对应点
的轨迹方程为 ( )
A. x- 1 2+ y+ 1 2= 4 B. x- 1 2+ y+ 1 2= 4
C. x+ 1 2+ y+ 1 2= 1 D. x- 1 2+ y- 1 2= 1
例50.(多选题) (2022·重庆一中高一期末)若复数 z在复平面对应的点为 Z，则下来说法正确的有 ( )
A. 若 |z| = 3，则 Z在复平面内的轨迹为圆
B. 若 |z+ 4|+|z- 4| = 8，则 Z在复平面内的轨迹为椭圆
C. 不可能存在复数 z同时满足 |z| = 3和 |z+ 4|+|z- 4| = 10
D. 若 |z| = 3，则 |z+ 4|+|z- 4|的取值范围为 [8，10]
例51.(2022·上海市徐汇中学高三期末)如果复数 z满足 z+ 1+ 3i + |z - 2 - i| = 6，则复数 z对应的点的轨迹是
( )
A. 直线 B. 椭圆 C. 线段 D. 圆
例52.(2022·全国·高一课时练习)已知复数 z满足 |z|2- 2|z|-3= 0，则复数 z对应的点的轨迹是___________．
例53.(2022·江西赣州·高三期末 (文))设复数 z= 1+ cosθ + i sinθ(i为虚数单位)，则复数 z在复平面内对应的点
x,y 的轨迹方程为___________.
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹

例54.(2022·全国·高三课时练习)已知A 2,1 ，B 2,-1 ，O为坐标原点，动点P x,y 满足OP=mOA+ nOB，其中
m,n∈R，且m2+n2= 12 ，则动点P的轨迹方程是 ( )
y2 2 y2 2
A. x2+ x4 = 1 B. 4 + y
2= 1 C. x2- 4 = 1 D.
x
4 - y
2= 1

例55.(2022· 安徽·合肥一六八中学模拟预测 (理))已知向量 a，b是单位向量，若 a b= 0，且 c- 3a + c- 4b = 5，则
c + a 的取值范围是___________．
例56.(2022·全国·高三课时练习)设过点P x,y 的直线分别与 x轴的正半轴和 y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与

点P关于 y轴对称，O为坐标原点．若BP= 2PA，且OQ AB= 1，则点P的轨迹方程是______．

例57.(2022· 陕西师大附中高一期中)已知向量 a，b，c，满足 a = 4 a π， 与 b的夹角为 3 ，c
(c - a ) =-3，则 b- c 的
最小值为 ( )
A. 2 3+ 2 B. 3- 32 C. 3+ 1 D. 3- 1
2 y2
例58.(2022· x全国·高三专题练习)已知椭圆的标准方程为 4 + 2 = 1．

(1)设动点P满足：OP=OM +ON 1，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为- 2 ，问：是否存在
两个定点F1,F2，使得 PF1 + PF2 为定值？若存在，求F1,F2的坐标；若不存在，说明理由．

(2)设动点P满足：OP=OM + 2ON，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON - 1的斜率之积为 2 ，问：是否存
在点F，使得点P到F的距离与到直线 x= 2 10 的距离之比为定值？若存在，求F的坐标；若不存在，说明理由．
例59.(2022·重庆八中高三阶段练习)抛物线C :y2= 2px(p> 0)的焦点为 F，P在抛物线C上，O是坐标原点，当PF
与 x轴垂直时，△OFP的面积为 1.
(1)求抛物线C的方程；

(2)若A，B都在抛物线C上，且OA OB=-4，过坐标原点O作直线AB的垂线，垂足是G，求动点G的轨迹方
程.
例60.(2022·全国·高三专题练习)已知平面上一定点C(2，0) 和直线 l：x= 8，P为该平面上一动点，作PQ⊥ l，垂足

为Q，且 PC + 12 PQ · PC -
1
2 PQ = 0．求动点P的轨迹方程；
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
2
例61.(2022· x全国·高三课时练习)设椭圆E的方程为 2 + y
2= 1，斜率为 1的动直线 l交椭圆E于A，B两点，以线段
AB的中点C为圆心， AB 为直径作圆，圆心C的轨迹方程为______．
例62.(2022·全国·高三专题练习)设不同的两点A，B在椭圆C :x2+ 2y2= 3上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原
点O，过O作OM⊥AB，M为垂足．求点M的轨迹方程.
2
例63.(2022·浙江· 2 y杭州市富阳区场口中学高三期末)已知椭圆C的离心率为 2 ，其焦点是双曲线 x
2- 3 = 1的顶点.
(1)写出椭圆C的方程；
(2)直线 l：y= kx+m与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线 l的垂线分别交 x轴 y轴于A x,0 ，B 0,y
两点，当点M运动时，求点P x,y 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
2 y2
例64.(2022· · x 3广东 高三阶段练习)已知椭圆E:
a2
+ 2 = 1 a> b> 0 的离心率是b 2 ，其左、右顶点分别是A、B，且
AB = 4．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点M、N是椭圆E上异于A、B的不同两点，设点P是以AM为直径的圆O1和以AN为直径的圆O2的另
一个交点，记线段AP的中点为Q，若 kAM kAN=-1，求动点Q的轨迹方程．
例65.(2022·全国·高三专题练习)已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆 4x2+ 5y2= 80上，且点A是椭圆短轴的一个
端点 (点A在 y轴正半轴上).
(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
(2)若角A为 900，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
【过关测试】
一、单选题
1. (2022·江苏省木渎高级中学模拟预测)复平面中有动点 Z，Z所对应的复数 z满足 |z- 3| = |z- i|，则动点 Z的轨
迹为 ( )
A. 直线 B. 线段 C. 两条射线 D. 圆

2. (2022·全国·高三专题练习)正三角形OAB的边长为 1，动点C满足OC = λOA+ μOB，且 λ2+ λμ+ μ2= 1，则点C
的轨迹是 ( )
A. 线段 B. 直线 C. 射线 D. 圆

3. (2022·全国·高三专题练习)四边形ABCD为梯形，且AB= 2DC，|DC | = |DA| = 2 ∠DAB= π， 3 ，点P是四边形
ABCD内及其边界上的点.若 (AP-DP) (PB+BA) =-4，则点P的轨迹的长度是 ( )
A. 3 B. 2 3 C. 4π D. 16π
4. (2022·全国·高三专题练习)已知复数 z满足 z+ i + z- i = 2，则 z的轨迹为 ( )
A. 线段 B. 直线 C. 椭圆 D. 椭圆的一部分
5. (2022·河南安阳·高三开学考试 (文))平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这
两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线 x- y= 0，y= 0的距离之和为 2的点P
的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ围成的图形面积为 ( )
A. 8 2 B. 6 2
C. 4 2 D. 2 2
6. (2022·河南·郑州四中高三阶段练习 (理))下列四个命题中不正确的是 ( )
A. 4若动点P与定点A -4,0 、B 4,0 连线PA、PB的斜率之积为定值 9 ，则动点P的轨迹为双曲线的一部分．
B. 设m，n∈R，常数 a> 0，定义运算“*”：m *n= m+n 2- m-n 2，若 x≥ 0，则动点P x, x * a 的轨迹是
抛物线的一部分．
C. 已知两圆A: x+ 1 2+ y2= 1、圆B: x- 1 2+ y2= 25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨
迹是椭圆．
D. 已知A 7,0 ，B -7,0 ，C 2,-12 ，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双
曲线．
7. (2022·全国·高三专题练习)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2,E F分别是棱AA1 A1D1的中点，点P为
底面四边形ABCD内 (包括边界)的一动点，若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为 ( )
A. 2 B. 5
C. 6 D. 2 2
8. (2022·安徽·合肥一中模拟预测 (文))首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的
设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷
爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看

成一个线段PQ和一段圆弧QM组成，如图所示.假设圆弧QM所在圆的方程为C :(x+ 25)2+ (y- 2)2= 162，若
某运动员在起跳点M以倾斜角为 45 且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在 y轴上的
抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为 ( )
A. y2=-32(x- 1) B. y=- 164 x
2- 3 C. x2=-32(y- 1) D. x2=-36y+ 4
二、多选题
9. (2022·福建省福州第一中学三模)已知曲线C是平面内到定点F(0,1)和定直线 l:y=-1的距离之和等于 4的点的
轨迹，若P x0,y0 在曲线C上，则下列结论正确的是 ( )
A. 曲线C关于 x轴对称 B. 曲线C关于 y轴对称
C. - 2≤ x0≤ 2 D. 1≤ |PF| ≤ 4
10.(2022·全国·高三专题练习)已知抛物线C：y2= 2px(p> 0)的焦点F与圆E:x2+ y2- 2x= 0的圆心重合，直线 l与

C交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，且满足：OA OB= 0(其中O为坐标原点且A、B均不与O重合)，则 ( )
A. x1x2= 16,y1y2=-16 B. 直线 l恒过定点 4,0
C. A、B中点轨迹方程：y2= 2x- 4 D. △AOB面积的最小值为 16
2
11. ( y2022·福建·模拟预测)已知双曲线C:x2- 4 = 1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线C的右支上，若∠F1PF2
= θ，△PF1F2的面积为S，则下列选项正确的是 ( )
A. 若 θ= 60°，则S= 4 3
B. 若S= 4，则 PF2 = 2 3
C. 若△PF1F2为锐角三角形，则S∈ 4,4 6
2
D. 若△ 9yPF1F2的重心为G，随着点P 1的运动，点G的轨迹方程为 9x2- 4 = 1 x> 3
12.(2022·全国·高三专题练习)已知A、B两点的坐标分别是 (-1,0)，(1,0)，直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜
率之积为m，则下列结论正确的是 ( )
A. 当m=-1时，点P的轨迹圆 (除去与 x轴的交点)
B. 当-1C. 当 0D. 当m> 1时，点P的轨迹为焦点在 x轴上的双曲线 (除去与 x轴的交点)
三、填空题
13.(2022·浙江·高三开学考试)已知双曲线 x2- y2= 1与直线 l:y= kx+m k≠±1 有唯一的公共点A，过点A且与 l
垂直的直线分别交 x轴 y轴于B x0,0 ,C 0,y0 两点，当点A运动时，点D x0,y0 的轨迹方程是_________
__.
14.(2022·江西· 4 3上饶市第一中学模拟预测 (文))①已知点A 3,0 ，直线 l:x= 3 ，动点P满足到点A的距离与到直
线 l 3的距离之比为 2 ；
②已知圆C的方程为 x2+ y2= 4，直线 l为圆C的切线，记点A 3,0 ，B - 3,0 到直线 l的距离分别为 d1，d2，
动点P满足 PA = d1， PB = d2；

③点S 2 1，T分别在 x轴，y轴上运动，且 ST = 3，动点P满足OP= 3 OS+ 3 OT；
在①，②，③这三个条件中，动点P的轨迹W为椭圆的是______．
15.(2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测)已知在直角坐标平面内，两定点F 0,1 ，M 1,-1 ，动点Q满足以FQ为直
径的圆与 x轴相切．直线FQ与动点Q的轨迹E交于另一点P，当∠PMQ= 90°时，直线PQ的斜率为_____
_．
2 2
16.( y2022· · x 3全国 高三专题练习)已知椭圆 4 + 9 = 1，一组平行直线的斜率是 2 ，当它们与椭圆相交时，这些直线被
椭圆截得的线段的中点轨迹方程是__．
四、解答题
17.(2022·四川内江·模拟预测 (理))在△ABC中，A(-2,0)，B(2,0)，AC与BC 1斜率的积是- 4 ．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)P(4,0)，求PC的中点M的轨迹方程．
2 2
18.(2022·全国·高三专题练习) x y设椭圆 5 + 4 = 1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C，曲线C的两条切线PA、
PB交于点P，且与C分别切于A、B两点，求PA PB的最小值．
2
19.(2022· x全国·高三专题练习)已知椭圆C: 24 + y = 1的右焦点F与抛物线C :y
2
1 = 2px的焦点重合．
(1)求椭圆C的离心率与抛物线C1的方程；
(2)过焦点F的动直线与抛物线C1交于A，B两点，从原点O作直线AB的垂线，垂足为M，求动点M的轨迹方
程；
(3)点R 2, 22 为椭圆C上的点，设直线 l与OR平行，且直线 l与椭圆C交于P，Q两点，若△PQR的面积为
1，求直线 l的方程．
20.(2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测)在平面直角坐标系 xOy中，已知A1,A2两点的坐标分别是 (- 3,0),
( 3,0)，直线A1B,A2B 1相交于点B，且它们的斜率之积为 3 .
(1)求点B的轨迹方程；
(2)记点B的轨迹为曲线C，M ,N ,P,Q是曲线C上的点，若直线MN，PQ均过曲线C的右焦点F且互相垂直，线
段MN的中点为R，线段PQ的中点为T. 是否存在点G，使直线RT恒过点G，若存在，求出点G的坐标，若不存
在，说明理由.
2 y2
21.(2022· x湖南·长郡中学模拟预测)已知双曲线C： 2 - 2 = 1 a> 0,b> 0 的离心率为 2，F1，F2为双曲线C的左、a b
右焦点，A 2,3 是双曲线C上的一个点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点B 4,0 且不与渐近线平行的直线 l(斜率不为 0)与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点
2
M，N处的切线分别为 l1，l2，点P为直线 l1与直线 l2的交点，试求点P的轨迹方程 ( x注：若双曲线的方程为 2 -a
y2 = x x y y2 1，则该双曲线在点 x
0 0
b 0
,y0 处的切线方程为 a2 - 2 = 1)b

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