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第三章 导数与定积分
本章知识结构图
第一节 导数的概念与运算
考纲解读
1、了解导数概念的实际背景.
2、能理解导数的几何意义.
3、能根据导数的定义，求函数（为常数），的导数.
4、能利用常见基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则，求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限形如的复合函数）的导数.
命题趋势探究
预测2019年高考依然以考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线斜率为主，可能出选择题、填空题，也可能在解答题中出现，较容易.
知识点精讲
一、基本概念
1、导数的概念
设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数
在处的导数，记作或即
2、导数的几何意义
函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中为切线的倾斜角，如图3—1所示，过点的切线方程为同样，可以定义曲线在的法线为过点与曲线在的切线垂直的直线.过点的法线方程为
3、导数的物理意义:设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车
走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度.若令，则可以认为
，即就是时刻的瞬时速度.
二、基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式如表3—1
，为正整数
为有理数
表3—1
注：
三、导数的运算法则（和、差、积、商）
设均可导，则
（1） （2）
（3） （4）
注：
四、复合函数的导数
复合函数的导数与函数的导数之间具有关系
该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”，也就是先把当作一个整体，把对求导，再把对求导，这两者的乘积就是复合函数对的导数，即.
题型归纳及思路提示
题型39 导数的定义
思路提示：对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.
例3.1 设存在，求下列各极限.
(1) (2)
分析 ，导数的定义中，增量的形式是多样的，但不论选择哪种形式，必须选择相应的形式.利用函数在点处可导的条件，可以将已知极限变形转化为导数定义的结构形式.
变式1 若则（ ）
Ａ、 B、 C、3 D、2
变式2 设在处可导，则=（ ）
A、2 B、 C、 D、
题型40 求函数的导数
思路提示 ：对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.
例3.2 求下列函数的导数.
(1) (2) (3) (4) (5) (6).
评注 对于基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数），可以直接根据导数公式求解其导数，这是整个导数运算的基础，一定要熟练掌握基本初等函数的导数公式.根式一般化成分数指数幂求导.
变式1 求下列函数的导数.
（1） （2） （3） （4）
（3）； （4）.
例3.3 求下列函数的导数
（1）；（2）；（3）；（4）.
.
评注 利用导数的运算法则求导数时，要根据法则逐步进行，不要跳步，熟练以后可适当简化运算过程.
变式1 求下列函数的导数.
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
变式2 求下列函数的导数.
（1）；（2）；（3）；（4）.
例3.4 求下列函数的导数.
（1）；（2）；（3）；（4）.
评注 新课标的考试大纲只要求掌握对复合函数型的求导.这里设中间变量，按照复合函数求导法则，，只要理解并记住这个公式，在解题时直接套用即可.
变式1 求下列函数的导数.
（1）；（2）；
（3）；（4）.
题型41 导数的几何意义
思路提示
函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知在点处的切线方程为.（2）若求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.
例3.5 设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
分析 根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线在处切线的斜率的范围是，根据导数的几何意义，只要函数的导数在这个范围即可.
评注 函数在某点处的导数、曲线在某点处的切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题时要善于在这三者之间转化.
变式1 设是偶函数，若曲线在点处的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为 .
例3.6 （1）曲线在点处的切线方程为 ；过点的切线方程为 .
（2）过点的直线与曲线相切，且不是切点，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
分析 若求曲线在点处的切线方程，则点为切点；若求曲线过点处的切线方程，则该点不一定为切点，应先设切点坐标，求其切线方程，代入，求其切点坐标.
变式1 设函数，设曲线在点处的切线方程为，求的值.
变式2 已知函数，，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值.
变式3 已知函数，和直线，又.
（1）求的值；
（2）是否存在，使直线既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
例3.7 在平面直线坐标系中，已知点是函数的图像上的动点，该图像在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是 .
分析 先设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线方程，从而求出的纵坐标，同理可求出的纵坐标，将表示成的函数，最后借助导数的方法求出函数的最大值.
评注 利用切点横坐标可以表示曲线上任一点处切线的方程为：.
变式1 设点在曲线上，点在曲线上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
最有效训练题14（限时45分钟）
1．设，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．若函数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．正弦曲线上一点，以点为切点的切线，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则的值为 ．
8．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进的距离为米，则列车刹车后 秒内停下来，期间列车前进了
米．
9．如图3-2所示，函数的图像是折线段，其中的坐标分别为，那么 （用数字作答）．
10．已知，其导函数为，设，则 ．
11．已知曲线.
（1）求曲线在处的切线的方程；
（2）若，且直线与曲线相切于点，求直线的方程及切点坐标；
（3）在（1），（2）条件下，设与相交于，与轴的交点为，求的面积.
12．已知三次曲线的图像关于点中心对称.
（1）求常数；
（2）若曲线与直线相切，求曲线的方程.
生活中的优化问题
导数的正负与单调性的关系
单调性
几何意义、物理意义
导数的应用
导数
定积分与微积分
定积分与图形的计算
导数的概念
基本初等函数的导数
导数的运算法则
三次函数的性质、图像和应用
极值
最值
6
5
4
3
2
1
O
y
x
1
2
4
3
A
B
C
图3-2第三章 导数与定积分
本章知识结构图
第一节 导数的概念与运算
考纲解读
1、了解导数概念的实际背景.
2、能理解导数的几何意义.
3、能根据导数的定义，求函数（为常数），的导数.
4、能利用常见基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则，求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限形如的复合函数）的导数.
命题趋势探究
预测2019年高考依然以考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线斜率为主，可能出选择题、填空题，也可能在解答题中出现，较容易.
知识点精讲
一、基本概念
1、导数的概念
设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数
在处的导数，记作或即
2、导数的几何意义
函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中为切线的倾斜角，如图3—1所示，过点的切线方程为同样，可以定义曲线在的法线为过点与曲线在的切线垂直的直线.过点的法线方程为
3、导数的物理意义:设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车
走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度.若令，则可以认为
，即就是时刻的瞬时速度.
二、基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式如表3—1
，为正整数
为有理数
表3—1
注：
三、导数的运算法则（和、差、积、商）
设均可导，则
（1） （2）
（3） （4）
注：
四、复合函数的导数
复合函数的导数与函数的导数之间具有关系
该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”，也就是先把当作一个整体，把对求导，再把对求导，这两者的乘积就是复合函数对的导数，即.
题型归纳及思路提示
题型39 导数的定义
思路提示：对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.
例3.1 设存在，求下列各极限.
(1) (2)
分析 ，导数的定义中，增量的形式是多样的，但不论选择哪种形式，必须选择相应的形式.利用函数在点处可导的条件，可以将已知极限变形转化为导数定义的结构形式.
解析 （1）
（2）
评注 的几种等价形式：
等.
变式1 若则（ ）
Ａ、 B、 C、3 D、2
解析
因为，故选B
变式2 设在处可导，则=（ ）
A、2 B、 C、 D、
解析
。故选D。
题型40 求函数的导数
思路提示 ：对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.
例3.2 求下列函数的导数.
(1) (2) (3) (4) (5) (6).
解析 （1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
评注 对于基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数），可以直接根据导数公式求解其导数，这是整个导数运算的基础，一定要熟练掌握基本初等函数的导数公式.根式一般化成分数指数幂求导.
变式1 求下列函数的导数.
（1） （2） （3） （4）
（3）； （4）.
解析 （1）; （2）；
（3） （4）。
例3.3 求下列函数的导数
（1）；（2）；（3）；（4）.
分析 按照导数的运算法则计算即可，注意常用导数公式的正确使用.
解析 （1）；
（2）；
（3）；
（4）.
评注 利用导数的运算法则求导数时，要根据法则逐步进行，不要跳步，熟练以后可适当简化运算过程.
变式1 求下列函数的导数.
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
分析 灵活运用复合函数的求导。
解析 （1）；（2）； （3）； （4） ；
（5）变式2 求下列函数的导数.
（1）；（2）；（3）；（4）.
解析 （1），故；
（2）；
（3）； （4）
例3.4 求下列函数的导数.
（1）；（2）；（3）；（4）.
分析 设出中间变量，按照复合函数求导法则进行.
解析 （1）设，则，由复合函数求导法则，有，再把代入得；
（2）设，则，所以，再把代入，可得；
（3）设，则，所以；
（4）设，则，所以.
评注 新课标的考试大纲只要求掌握对复合函数型的求导.这里设中间变量，按照复合函数求导法则，，只要理解并记住这个公式，在解题时直接套用即可.
变式1 求下列函数的导数.
（1）；（2）；
（3）；（4）.
解析 （1）； （2）：
（3）：
（4）
题型41 导数的几何意义
思路提示
函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知在点处的切线方程为.（2）若求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.
例3.5 设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
分析 根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线在处切线的斜率的范围是，根据导数的几何意义，只要函数的导数在这个范围即可.
解析 ，由于曲线在点处的切线倾斜角的取值范围为，所以其切线的斜率的范围为，根据导数的几何意义，得，即.故选A.
评注 函数在某点处的导数、曲线在某点处的切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题时要善于在这三者之间转化.
变式1 设是偶函数，若曲线在点处的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为 .
解析 因为函数是偶函数，其图像关于轴对称，所以函数在点处的切线斜率与在点处的切线斜率相反，故曲线在点处的切线的斜率为-1。
评注 可导偶函数的导函数为奇函数，可导奇函数的导函数为偶函数
例3.6 （1）曲线在点处的切线方程为 ；过点的切线方程为 .
（2）过点的直线与曲线相切，且不是切点，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
分析 若求曲线在点处的切线方程，则点为切点；若求曲线过点处的切线方程，则该点不一定为切点，应先设切点坐标，求其切线方程，代入，求其切点坐标.
解析 （1）曲线在点处的切线的斜率为，切线方程为，即.设过点的切线的切点坐标为，则切线方程为，代入点得，，即
，得，解得或，所以切线方程为或，即或.
（2）依题意，设切点坐标为，则切线方程为
，代入点，得，即，得或，又，所以，直线的斜率为，故选C.
变式1 设函数，设曲线在点处的切线方程为，求的值.
解析 依题意，函数在点处的导函数值为，即，令，得，所以或，又，故，又，得，所以。
变式2 已知函数，，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值.
解析 依题意，，得，所以。
变式3 已知函数，和直线，又.
（1）求的值；
（2）是否存在，使直线既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
解析 （1），即，所以。
（2）设曲线在点的切线方程为，即
，则①②曲线在点处的切线方程为，即
，则③④，由④得，，当时，代入①得，则或，显然或均不满足②式，故舍去。
当代入①得，即，所以或，将代入②中不满足方程②；将代入②中满足方程，综上所述，公切线是，此时。
例3.7 在平面直线坐标系中，已知点是函数的图像上的动点，该图像在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是 .
分析 先设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线方程，从而求出的纵坐标，同理可求出的纵坐标，将表示成的函数，最后借助导数的方法求出函数的最大值.
解析 设，，的方程为，令，得.的方程为，令，得，故，设，则，令，得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，故，所以的最大值是.
评注 利用切点横坐标可以表示曲线上任一点处切线的方程为：.
变式1 设点在曲线上，点在曲线上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解析 利用互为反函数的函数图象性质结合导数求解。由题意知函数与互为反函数，其图像关于直线对称，两曲线上点之间的最小距离是与上点的最小距离的2倍，设在点处的切线与平行，有，所以与上点的最小距离是，所求距离为，故选B，
最有效训练题14（限时45分钟）
1．设，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．若函数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．正弦曲线上一点，以点为切点的切线，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则的值为 ．
8．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进的距离为米，则列车刹车后 秒内停下来，期间列车前进了
米．
9．如图3-2所示，函数的图像是折线段，其中的坐标分别为，那么 （用数字作答）．
10．已知，其导函数为，设，则 ．
11．已知曲线.
（1）求曲线在处的切线的方程；
（2）若，且直线与曲线相切于点，求直线的方程及切点坐标；
（3）在（1），（2）条件下，设与相交于，与轴的交点为，求的面积.
12．已知三次曲线的图像关于点中心对称.
（1）求常数；
（2）若曲线与直线相切，求曲线的方程.
最有效训练题14
1.D 解析 ，所以，所以，所以，故选D
2.A 解析 由题意可知，，令，则，解得。故选A
3.A 解析 故曲线在点处的切线方程为，易得切线与直线和围成的三角形的面积为，故选A。
4.D 解析 令，则为定义在上的奇函数，且当时，，因此函数在上也是单调递减，函数的草图如图3-18所示，的解集为，故选D。
5.A 解析 ，其值域为以点P为切点的切线的斜率的取值范围，为，结合正切函数图像及直线倾斜角取值范围，可知答案为，故选A。
6.A解析 由得
即，所以，所以，所以切线方程为，即，故选A
7.—2 解析 有定义知
8.30,405 解析 依题意，，即刹车后30秒车停下来，期间列车前进了405米。
9..2 由图3-2可知，
10. 解析 由，
得，
，
，因此。
11.解析（1）的斜率为，又时，，所以为过，斜率为—1的直线，其方程为，即。
（2）设切点坐标为，则，得，所以或，又，故，此时，因此直线的方程为，切点坐标为。
（3）由，解得，由的方程可知，所以。
12. 解析 （1）由题意，若在C上，则同时也在C上，即
，两式相加有
，
即，由于对任何实数t成立，故，即。
（2）有（1）条件知，即，所以。
令是C的切点，则C在该点的切线斜率为4，有C：，得，即。
又，
即，代入c得，
即，解得（无解），所以。
所以，曲线C的方程为。
生活中的优化问题
导数的正负与单调性的关系
单调性
几何意义、物理意义
导数的应用
导数
定积分与微积分
定积分与图形的计算
导数的概念
基本初等函数的导数
导数的运算法则
三次函数的性质、图像和应用
极值
最值
6
5
4
3
2
1
O
y
x
1
2
4
3
A
B
C
图3-2

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