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第三节定积分和微积分基本定理
考纲解读
1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念.
2.了解微积分基本定理的含义.
命题趋势探究
定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题.
知识点精讲
一、基本概念
1.定积分的极念
一般地，设函效在区间[a，b]上连续.用分点 将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式： ，当无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分．记为：，为被积函数，为积分变量，为积分区间，为积分上限，为积分下限．
需要注意以下几点：
（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时），称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法.
①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分的几何意义．
一般情况下，定积分的值的几何意义是介于轴、函数的图像以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号．
二、基本性质
性质1 .
性质2 （定积分的线性性质）.
性质3 （定积分的线性性质）.
性质4 （定积分对积分区间的可加性）
推广1
推广2 ．
三、基本定理
设函数是在区间上连续，且是是在上的任意一个原函数，即，则，或记为 ，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．
该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数的一个原函数．然后计算原函数在区间上的增量即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．
题型归纳及思路提示
题型51 定积分的计算
思路提示
对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例3.26及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算．
例3.25计算= ．
解析 ．
A. B. C. D.
变式1
A. B. C. D.
解析 .故选.
变式2
A.1 B. C. D.
解析 .故选.
变式3 设函数，若，则的值为 ．
解析 ，，由题意，解得（舍），故的值为.
变式4 设函数的定义域为R, 若对于给定的正数，定义函数，则当函数时，定积分的值为
（ ）
A. B. C. D.
解析 当时，，当时，，故.故选.
评注 是分段函数，把在各区间的解析式求出来，再利用定积分对区间的可加性分别求值.
例3.26 根据定积分的几何意义计算下列定积分
（1）； （2）
分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.
解析 根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故．
（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线和轴围成图形（如图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是，故．
评注 定积分的几何意义是函数和直线以及轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时,面积是正值，当函数时，积分值是负值．
变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分．
（1）； （2）； （3）； （4）．
解析 （1）根据定积分的几何意义，所求的定积分是一个底面边长分别是2,6，高为4的梯形，其面积是.故.
（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是圆在第二象限部分的面积，其面积是，故.
（3）根据定积分的几何意义，在上正弦函数和轴所围成的图形的面积和为，故.
（4）由于，所以，而在上，函数与轴所围成图形的面积的代数和为，故.所以，即，所围成的矩形的面积，该矩形的边长分别是，，故其面积是，所以.
评注 根据正弦函数、余弦函数图形的对称性，在一个周期内正弦函数、余弦函数和轴所围成的图形的面积的代数和为，利用这一性质可以方便地计算一定条件下三角函数的定积分.
题型52 求曲边梯形的面积
思路提示
函数与直线围成曲边梯形的面积为，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限．
例3.27 由曲线围成的封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
解析 由得则由和围成的封闭图形的面积为，故选A．
变式1已知二次函数的图象如图3-16所求，则它与轴所围成图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
解析 根据的图像可设，因为的图像过点，所以，所以，故.故选.
变式2 由曲线和直线所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
解析 由题意，令，得，，
即，令，得或，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值.故选.
变式3 求抛物线与围成的平面图形的面积．
解析 解法一：选用为积分变量.如图3-22所示，所求面积为.
解法二：选用作为积分变量，如图3-23所示，这时所求面积为.
评注 从上述两种解法中可以看出，对积分对比积分计算简捷，因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取至关重要，但同时也要对积分时，积分函数应是，本题需将条件中的曲线方程、直线方程化为的形式，然后求得积分.从上面题目的求解过程，我们应理解如下问题：①若选取为积分变量，则被积函数为“上函数-----下函数”；②若选择为积分变量，则被积函数为“右函数----左函数”；另外，还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.
变式4 求由两条曲线和直线所围成的面积．
解析 如图3-24所示，因为是偶函数，根据对称性，只算出轴右边图形的面积再乘以即可.
解方程组，，得交点坐标.
解法一：选择为积分变量，则.
解法二：选择为积分变量,如图3-25所示. .
最有效训练题16（限时45分钟）
1.已知函数，则（ ）
A. -2 B. C.-4 D.
2.定积分（ ）
A, B. C. D.
3.设，则（ ）
A. B. C. D.不存在
4.，则的大小关系是（ ）
A, B. C. D.
5.曲线与直线所围成的平面区域的面积为（ ）
A,１ B. ２ C. D.
6.由直线与曲线所围成的平面图形的面积为（ ）
A, B.１ C. D.
7.抛物线与直线围成的平面图形的面积为　　　　　　．
8.已知是偶函数，且，则　　　　　　．
9. 　　　　　　．
10.已知函数的图象是折线段ABC，其中．函数的图象与轴所围成的图形的面积为　　　　　　．
11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．
（１）；　　（２）；　　（３）；　
（４）；　　（５）
１２．有一条直线与抛物线相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．
最有效训练题16
1. 解析 .故选.
2. 解析 考虑定积分的运算性质与几何意义.
表示圆弧与直线围成图形的面积表示与围成图形的面积.所以.故选.
3. 解析 .故选.
4. 解析 ,，所以.故选.
5. 解析 由，得，则曲线与直线所围成的区域面积为.故选.
7. 18 解析 如图3-26所示，要求阴影部分面积由方程组，解得两交点,选作为积分变量则，
所以.
8. 12 解析 因为，又函数为偶函数，所以，所以.
9. 解析 因为，所以.
10. 解析 依题意.则函数.函数的图像与轴所围成的图形的面积为.
11. 解析 （1）.
（2）.
（3）
.
（4）.
（5）.
12. 解析 设直线与抛物线的两个交点分别为，不妨设，则直线的方程为，即.则直线与抛物线围成图形的面积为，所以，解得，设线段的中点坐标为，其中，将代入得，消去得.所以线段的中点的轨迹方程为.
y
x
O
图3-16第三节定积分和微积分基本定理
考纲解读
1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念.
2.了解微积分基本定理的含义.
命题趋势探究
定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题.
知识点精讲
一、基本概念
1.定积分的极念
一般地，设函效在区间[a，b]上连续.用分点 将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式： ，当无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分．记为：，为被积函数，为积分变量，为积分区间，为积分上限，为积分下限．
需要注意以下几点：
（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时），称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法.
①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分的几何意义．
一般情况下，定积分的值的几何意义是介于轴、函数的图像以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号．
二、基本性质
性质1 .
性质2 （定积分的线性性质）.
性质3 （定积分的线性性质）.
性质4 （定积分对积分区间的可加性）
推广1
推广2 ．
三、基本定理
设函数是在区间上连续，且是是在上的任意一个原函数，即，则，或记为 ，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．
该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数的一个原函数．然后计算原函数在区间上的增量即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．
题型归纳及思路提示
题型51 定积分的计算
思路提示
对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例3.26及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算．
例3.25计算= ．
变式1
A. B. C. D.
变式2
A.1 B. C. D.
变式3 设函数，若，则的值为 ．
变式4 设函数的定义域为R, 若对于给定的正数，定义函数，则当函数时，定积分的值为
（ ）
A. B. C. D.
例3.26 根据定积分的几何意义计算下列定积分
（1）； （2）
评注 定积分的几何意义是函数和直线以及轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时,面积是正值，当函数时，积分值是负值．
变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分．
（1）； （2）； （3）； （4）．
题型52 求曲边梯形的面积
思路提示
函数与直线围成曲边梯形的面积为，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限．
例3.27 由曲线围成的封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
变式1已知二次函数的图象如图3-16所求，则它与轴所围成图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
变式2 由曲线和直线所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
变式3 求抛物线与围成的平面图形的面积．
变式4 求由两条曲线和直线所围成的面积．
最有效训练题16（限时45分钟）
1.已知函数，则（ ）
A. -2 B. C.-4 D.
2.定积分（ ）
A, B. C. D.
3.设，则（ ）
A. B. C. D.不存在
4.，则的大小关系是（ ）
A, B. C. D.
5.曲线与直线所围成的平面区域的面积为（ ）
A,１ B. ２ C. D.
6.由直线与曲线所围成的平面图形的面积为（ ）
A, B.１ C. D.
7.抛物线与直线围成的平面图形的面积为　　　　　　．
8.已知是偶函数，且，则　　　　　　．
9. 　　　　　　．
10.已知函数的图象是折线段ABC，其中．函数的图象与轴所围成的图形的面积为　　　　　　．
11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．
（１）；　　（２）；　　（３）；　
（４）；　　（５）
１２．有一条直线与抛物线相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．
y
x
O
图3-16

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