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第二节 三角函数的图像与性质
考纲解读
1．理解正弦、余弦函数在区间的性质（如单调性、最大值和最小值以及与轴的交点等），理解正切函数在区间的单调性．
2．了解函数的物理意义，能画出的图像，了解参数对函数图像的影响．
3．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单实际问题．
命题趋势探究
1．形如的函数性质为高考必考内容，可在选择题，填空题中直接考查其周期性、单调性、对称性、最值、图像的平移和伸缩变换、由图像确定解析式等，解答题常与平面向量解三角形相结合，难度为中低档．
2．本节知识在高考中出现的频率高，题型比较稳定，考点核心是把所给函数式化成的形式，解答关于其图像与性质的问题
1．“五点法”作图原理
在确定正弦函数的图像时，起关键作用的5个点是．
在确定余弦函数的图像时，起关键作用的5个点是．
2．三角函数的图像与性质
在上的图像
定义域
值域（有界性）
最小正周期（周期性）
奇偶性（对称性） 奇函数 偶函数
单调增区间
单调减区间
对称轴方程
对称中心坐标
最大值及对应自变量值 时 时
最小值及对应自变量值 时 时
函数 正切函数
图像
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数，图像关于原点对称
单调性 在上是单调增函数
对称轴 无
对称中心
3．与的图像与性质
（1）最小正周期：．
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A]．
（3）最值
假设．
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心．
假设．
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．
（5）单调性．
假设．
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．例如，函数的图像向右平移个单位，得到的图像表达式是，而不是；再如，将图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数图像表达式是，而不是．此点要引起同学们的的别注意．
题型归纳及思路提示
思路提示
一般将所给函数化为或，，然后依据的性质整体求解．
一、函数的奇偶性
例4．16函数是R上的偶函数，则等于（ ）
A．0 B． C． D．
解析 因为函数是R上的偶函数，所以其图像关于轴对称，有正弦函数的对称性知，当时，，又，所以．故选C．
评注 由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若为奇函数，则；
（2）若为偶函数，则；
（3）若为奇函数，则；
（4）若为偶函数，则；
若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数．
变式1 已知，函数为奇函数，则等于（ ）．
A．0 B．1 C．-1 D．
解析 依题意，函数为奇函数，则，故．故选．
变式2 设，则“”是“为偶函数”的（ ）．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不比哟啊条件
解析 若，则是偶函数，但是若是偶函数，则也成立．故””是” 为偶函数”的充分而不必要条件． 故选．
变式3设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）．
A． B． C． D．
分析 根据为偶函数，则求解．
解析 因为为偶函数，所以，即函数在处取得极值，故．故选．
例4．17设函数，则是（ ）．
A. 最小正周期为的奇函数
B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数
D. 最小正周期为的偶函数
解析 ，所以是最小正周期为的偶函数．故选B．
变式1 若函数，则是（ ）
A. 偶函数且最小正周期为
B. 奇函数且最小正周期为
C. 偶函数且最小正周期为
D. 奇函数且最小正周期为
分析 将函数解析式化为的形式．
解析 ，函数为偶函数，且最小正周期．故选．
变式2 下列函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
解析 易知选项都是偶函数，单调性与周期性在一起先考虑周期性． ，排除．，则，都是减函数，，易排除．故选．
评注 的周期．
二、函数的周期性
例4．18函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
解析 函数，．故选A
评注 关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数的周期分别为，．
（2）函数，的周期均为
（3）函数的周期均．
变式1 函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
解析 ，最大值为．故选．
变式2 已知函数，则的最小正周期为_____．
解析
．故的最小正周期为．
变式3 设函数，则为（ ）
A. 周期函数，最小正周期为
B. 周期函数，最小正周期为
C. 周期函数，最小正周期为
D. 非周期函数
解析 作出的图像，如图4-48所示，由此可知，周期为．故选．
二、函数的单调性
例4．19函数为增函数的区间是（ ）
A． B． C． D．
解析 因为，
所以的递增区间实际上是
的递减区间．
令，
解得．
令，得，又因为，
所以．即函数的增区间为．故选C
评注 三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，如由解出的范围，所得区间即为增区间；由解出的范围，所得区间即为减区间．若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．如，令，即，可得为原函数的减区间．
对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．
变式1 若函数在内单调递增，则可以是（ ）．
A．1 B． C． D．
解析 由已知，函数在上单调递减，则，,解得．令得．故选．
评注 的最小正周期为， 的最小正周期为（同时也是其周期），两者相加所得函数的最小正周期为较大者．
变式2 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析 对于选项；对于选项，其单调性都与一致，故同真同假，因选项唯一，故排除．对于选项，因，所以非单调递增，对于选项，，所以在上单调递增．故选．
变式3 已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）若的最小正周期为，求的单调递减区间．
解析 ．
（1）的值域为；
（2），故，如图4-49所示，，函数的单调递减区间为．
四、函数的对称性（对称轴、对称中心）
例4．30函数图像的对称轴方程可能是（ ）
A． B． C． D．
解析 解法一：已知的对称轴方程是
令，得，
当时，，故选D．
解法二，当时，．其正弦值为0；
当时，，其正弦值不等于1或-1
当时，，其正弦值不等于1或-1
当时，，这时．
故选D
评注 关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
变式1 已知函数的最小正周期为，则该函数的图像（ ）．
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
解析 函数的最小正周期为,则，则，将代入，，故函数的图像关于对称．故选．
变式2 的图像的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
解析 解法一：因为的对称中心为，令，，由，得，所以的一个对称中心是．故选．
解法二：将选项代入，得．故是的一个对称中心． 故选．
变式3 已知将函数的图象向右平移个单位之后与的图象重合，则（ B ）
A．9 B．6 C．4 D．8
变式4 将函数的图像沿轴向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
解析 ，平移后图像所对应的解析式为,其关于轴对称，所以，故或，则的最小值为．故选．
五、三角函数性质的综合
思路提示
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．
因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；
对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
例4．21设，其中若对一切恒成立，则
①
②；
③既不是奇函数也不是偶函数；
④的单调递增区间是；
⑤存在经过点的直线与函数的图像不相交．
以上结论正确的是_______（写出所有正确命题的序号）
分析 函数，，其中一条对称轴为，函数的最小正周期，通过对称轴对称中心（对称轴与零点相距的奇数倍）通过对称轴奇偶性（若函数为奇函数，则等于的奇数倍；若函数为偶函数，则等于的偶数倍）；通过对称性单调性（在相邻的两条对称轴之间，单调递增或单调递减）．
解析 ，其中，对一切恒成立，知直线是的对称轴，又的最小正周期为．
对于①：可看做，加了个周期所对应的函数值，所以．故①正确
对于②：函数周期，因为，所以，
因此错误，故②不正确．
对于③：因为既不是的奇倍数，也不是的偶倍数，所以函数的图像既不关于原点对称，也不关于轴对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数，故③正确
对于④：依题意，函数相邻两条对称轴，在区间上函数单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故④不正确．
对于⑤：因为（其中），所以，又，所以，因此经过点的直线与函数的图像相交，⑤不正确，应填①③．
例4．22设，其中
（1）求的值域；
（2）若在区间上为增函数，求的最大值．
解析
因为所以函数的值域为．
（2）解法一：，由在区间上为增函数，的
故，得，则的最大值为．
解法二：由在区间上为增函数，含原点的增区间的对称型可知函数在上也为增函数，故，即，得，故，则的最大值为
评注 一般的，若为奇函数，在上为增函数，其中，若令，则，即可求出的范围．
变式1 已知函数，其中常数，若在上单调递增，求的取值范围．
解析 因为函数为奇函数，且知函数在上单调递增，则函数也在区间上单调递增，因此,且，得．故的取值范围为．
变式2 已知函数，在上的虽小值为-2，则的最小值为_____．
解析 因为函数知函数为奇函数，且函数在上的最小值为，故函数在上有最小值为，最大值，则，且，得．故的取值范围为．
例4．23若，且在上有最小值无最大值，则______．
解析 依题意，如图4-24所示，在处取得最小值，故得．取，得．
评注 本题融汇了三角函数的最值（对称轴）、周期性、单调性之间的相互关系与转化
题型62 根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式．
思路提示
已知函数图像求函数的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定，由适合解析式点的坐标确定，但有图像求得的的解析式一般不唯一，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式，可以求得相关特定系数，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（及图像上升时与轴的交点）为；“第二点”（即图像曲线的最高点）为；“第三点”（及图像下降时与轴的交点），为；“第四点”（及图像曲线的最低点）为；“第五点”（及图像上升时与轴的交点）为．
例4．24函数的部分图像如图4-25所示，那么=（ ）
A． B．-1
C． D．
分析 对于的解析式的确定，通过最值确定A，周期T确定，特征点（尤其是极值点）来确定；对于零点要分析向上零点还是向下零点．
解析 解法一：依题意得，
所以，故选B
解法二：由函数，得，则相邻的零点与对称轴之间的距离为，因此图中向上的零点是，则满足所以故，故选B
评注 对于三角函数问题中的“知图求式”（及其性质），应重点关注以下方面
（1）周期（可推出的值域范围）
（2）振幅（可推出A（A>0））
（3）特征点（可形成三角方程，以求的值）
对于本题代入零点，（为上零点），则满足，所以，对于正弦型函数，若已知上零点，则．同理，若已知下零点，则．
变式一 函数的部分图像如图4-26所示，则_______．
解析 解法一：依题意，由题图4-26知,所以代入最小值点，得，则．因此，所以．
解法二：依题意，由题意4-26知，为下零点，则，且,，所以．
变式二 已知函数的图像如图4-27所示，，则（ ）
A． B．
C． D．
解析 如图4-50所示，函数的周期,因此，且，所以，故．故选．
评注 本题考查了利用函数的周期性与对称性（图像），求解函数值．
例4．25已知函数的部分图像如图4-28所示，求函数的解析式．
分析 有最小值为-2确定A，由周期确定，但本题的周期
不易求解，我们可抓住，且，建立周期
T的不等关系，从而得到的取值范围，在建立的等量关
系（根据零点），最终建立求得，而的确定可通过特征点
（0,1）得到．
解析 有图知，将点（0,1），代入中，得，即，又，且（0,1）点在函数的单调增区间上，故，又，得，又因为，得，故，又点在函数图像上，且为函数的下零点，所以，解得，因此，得，又，因此，此时．
所以
变式一 已知，如果存在正整数常数使得函数的图像经过点（1,0）如图4-29所示，求的值．
解析 因为，所以函数的最小正周期,由题图知，且，即，则，得，又是正整数，所以．
方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值）
求解函数解析式（即的值的确定）
例4．26已知函数为R上的偶函数，其中点是一个对称中心，且在区间上为单调函数，求函数的解析式．
分析 本题的目标是求因为为偶函数，则必关于轴对称，因此化为的形式，由函数在上单调，则最多只会是半个周期，即，从而得得的范围，再代入对称中心求解．
解析 由函数为R上的偶函数，则，得，且在区间上为单调函数，得，即，故，又得．，同时点为函数的一个对称中心，的，则，因此，得所以或1得或2，所以函数的解析式为或．
评注 根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解．
变式一：已知函数图像的两条相邻对称轴的距离为，且经过点（0,2）．
（1）求的最小正周期；
（2）求函数的解析式．
解析 （1）函数图像的两条相邻对称轴的距离等于其最小正周期的一半，即,所以的最小正周期是．
（2）由，得，故，又图像经过点，得，得，从而．
题型63 函数的值域（最值）
思路提示
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．
（1），设，化为一次函数在上的最值求解．
（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）
（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型．
（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．
（5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围．
例4．27函数的最小值是（ ）
A．-1 B． C． D．1
分析 将函数转化为的形式求最值
解析 函数最小值为，故选B．
评注 若本题改为“”则最小值为0，在解题过程中，若存在换元环节，应注意新元取值范围的限定．
变式1 函数的值域为（ ）．
A．[-2,2] B． C．[-1,1] D．
解析
,其值域为．故选．
变式2 函数在区间上的最大值是（ ）．
A．1 B． C． D．
解析 ．又，所以，即，故的最大值为．故选．
例4．28函数的最大值为（ ）
A．7 B． C．5 D．4
分析 由，利用诱导公式把转化为，化不同角为相同角，将函数化为的形式．
解析
，所以．故选C．
变式1 求函数的值域
解析 ．因此的值域是．
变式2 求函数的值域．
解析 因为
．又，所以，．所以函数在上的值域为．
例4．29求函数的最大值和最小值．
分析 通过二倍角公式和同角公式将函数的公式化简为的形式，换元转化为求二次函数在给定区间上的最值．
解析
令，则，因为，所以当时，取最大值6，即的最大值为6；当时，取最小值，即的最小值为．
变式1 已知，求函数的最小值．
解析 ，因为，所以，所以当时，．
变式2 求函数的最大值．
解析 ，令，则；对称轴为，①当即时，；②当，即，；③当，即，．
变式3 若有实数解，试确定实数的取值范围．
解析 由得，．当时，有最小值为；当时，有最大值为．故函数值域为．即当时，方程有实数解．
变式4 若关于的方程在上恒成立，求实数的取值范围．
解析 不等式在上恒成立．等价于．因为，令，则，则，故的范围是．
例4．30对于函数，下列结论中正确的是（ ）．
A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
分析 形如的函数的最值，可考虑用函数的有界性求解．
解析 解法一：，令，则在区间上单调递减，即只有最小值无最大值．故选B
解法二：，
得，解得，所以只有最小值无最大值．故选B
变式1 求函数的值域．
分析 形如的函数的最值，可考虑用数形结合思想求解．
解析 解法一：由，得，设点，则可看作是单位圆上的动点与点连线的斜率．如图4-51所示，，故，由对称性得．所以，故，即函数的值域为．
解法二：，得，，解得．
变式2 若，则函数的最大值为_______．
解析 由题意知，令，由知，即，则（当且仅当，即时取“”）．故函数的最大值为．
题型64 三角函数图像变换
思路提示
由函数的图像变换为函数的图像．
方法一：先相位变换，后周期变换，再振幅变换．
的图像的图像
的图像
的图像
例4．31把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，在向下移1个单位长度，得到的图像时（ ）．
分析 利用三角函数的图像与变换求解
解析
结合选项可知，函数图像过．故选A
变式1 为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）．
A．向左平移个单位 B． 向右平移个单位
C．向左平移个单位 D． 向右平移个单位
分析 函数的图象向右平移个单位得，所以，
因为，所以，选B．
变式2 已知，，则的图像（ ）．
A．与图像相同
B．与图像关于轴对称
C．是由的图像向左平移个单位得到
D．是由的图像向右平移个单位得到
分析 用诱导公式化同弦．
解析 ，将函数的图像向左平移个单位，所得函数．故选．
变式3 已知曲线，，则下面结正确的是（ ）.
A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
解析 解析 ，，
首先曲线、统一为一三角函数名，可将用诱导公式处理．
．横坐标变换需将变成，
即．
注意的系数，在右平移需将提到括号外面，这时平移至，
根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移．故选D.
例4．32已知函数，其图像过点．
（1）求的值
（2）将图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值
解析 由题意把点代入函数的解析式得
（1），
（2）
，
依题意，
当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值．
变式1已知向量，函数
的最大值为6．
（1）求A
（2）求将函数的图像向左平移个单位，再将所的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域
解析 （1）．因为，由题意知．
（2）由（1）得，将函数的图像向左平移个单位后得到的图像，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图像．因此，因为，所以，故在上的值域为．
最有效训练题18
1．已知函数，在时取得最大值，则在上的单调增区间是（ ）．
A． B． C． D．
2．若直线与函数和的图像分别交于P,Q两点，则的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．设函数，其中.若，，且的最小正周期大于，则（ ）.
A. B. C. D.
4,．已知函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数一个对称中心是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图4-30所示，点是函数的图像的最高点，M,N是该图像与轴的交点，若,则的值为（ ）
A． B． C．4 D．8
6．设函数，则下列结论错误的是（ ）.
A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在单调递减
7．已知函数，其中，且的最小正周期为，则的单调递增区间为　　　　　　．　
8．已知函数的图象和的图象对称轴完全相同，若，则的取值范围为　　　　　　　．　
9．已知函数（> 0）,若且在上有且仅有三个零点，则= ．　
10．某学生对函数进行研究后，得出如下四个结论：
①函数在上为单调递增，在上单调递减；
②存在常数，使对一切实数均成立；
③点是函数图像的一个对称中心；
④函数的图象关于直线对称．其中正确的是　　　　　　．（把所有正确的命题的序号都填上）．
11．已知函数
(1)求函数的最小正周期及图像的对称轴方程；
(2)设函数，求的值域．
12．设函数，其中 EMBED Equation.DSMT4 .已知.
（1）求 EMBED Equation.DSMT4 ；
（2）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移 EMBED Equation.DSMT4 个单位，得到函数的图像，求 EMBED Equation.DSMT4 在上的最小值.
最有效训练题18
1． 解析 由题意可得，经检验，对选项,是增函数，故选．
2． 解析 ，则,故选．
3．由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得.
故选A．
4． 解析
故选。
5． 解析 由已知得由等腰直角三角形的性质知得，，函数的单调区间为
6．　解析　函数的图像可由向左平移个单位得到，
如图可知，在上先递减后递增，D选项错误.故选D.
7．
解析
=则周期函数的单调区间为
8． 解析 由已知得，函数与的周期相同，则故的取值范围是。
9．或，即或因为函数在上有且仅有三个零点，所以,因此。
10．② 解析 因为函数为奇函数，故在对称区间上单调性相同，故①不正确，对于，因此对一切实数均成立，故②正确，显然点与不关于对称，故③不正确，显然与不关于对称，故④不正确，故选②。
11．解析
故的最小正周期为，由得，。故函数的对称轴方程为，。
⑵，当
时，取得最小值。
当=1时，取得最大值2．所以的值域为。
12．解析　　（1）因为 EMBED Equation.DSMT4 ，
所以 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 .
由题设知 EMBED Equation.DSMT4 ，所以， EMBED Equation.DSMT4 .
故 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，又 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 .
（2）由（1）得 EMBED Equation.DSMT4 所以 EMBED Equation.DSMT4 .
因为 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，
当 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 时， EMBED Equation.DSMT4 取得最小值 EMBED Equation.DSMT4 .第二节 三角函数的图像与性质
考纲解读
1．理解正弦、余弦函数在区间的性质（如单调性、最大值和最小值以及与轴的交点等），理解正切函数在区间的单调性．
2．了解函数的物理意义，能画出的图像，了解参数对函数图像的影响．
3．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单实际问题．
命题趋势探究
1．形如的函数性质为高考必考内容，可在选择题，填空题中直接考查其周期性、单调性、对称性、最值、图像的平移和伸缩变换、由图像确定解析式等，解答题常与平面向量解三角形相结合，难度为中低档．
2．本节知识在高考中出现的频率高，题型比较稳定，考点核心是把所给函数式化成的形式，解答关于其图像与性质的问题
1．“五点法”作图原理
在确定正弦函数的图像时，起关键作用的5个点是．
在确定余弦函数的图像时，起关键作用的5个点是．
2．三角函数的图像与性质
在上的图像
定义域
值域（有界性）
最小正周期（周期性）
奇偶性（对称性） 奇函数 偶函数
单调增区间
单调减区间
对称轴方程
对称中心坐标
最大值及对应自变量值 时 时
最小值及对应自变量值 时 时
函数 正切函数
图像
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数，图像关于原点对称
单调性 在上是单调增函数
对称轴 无
对称中心
3．与的图像与性质
（1）最小正周期：．
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A]．
（3）最值
假设．
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心．
假设．
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．
（5）单调性．
假设．
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．例如，函数的图像向右平移个单位，得到的图像表达式是，而不是；再如，将图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数图像表达式是，而不是．此点要引起同学们的的别注意．
题型归纳及思路提示
思路提示
一般将所给函数化为或，，然后依据的性质整体求解．
一、函数的奇偶性
例4．16函数是R上的偶函数，则等于（ ）
A．0 B． C． D．
评注 由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若为奇函数，则；
（2）若为偶函数，则；
（3）若为奇函数，则；
（4）若为偶函数，则；
若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数．
变式1 已知，函数为奇函数，则等于（ ）．
A．0 B．1 C．-1 D．
变式2 设，则“”是“为偶函数”的（ ）．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不比哟啊条件
变式3设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）．
A． B． C． D．
例4．17设函数，则是（ ）．
最小正周期为的奇函数
最小正周期为的偶函数
最小正周期为的奇函数
最小正周期为的偶函数
变式1 若函数，则是（ ）
偶函数且最小正周期为
奇函数且最小正周期为
偶函数且最小正周期为
奇函数且最小正周期为
变式2 下列函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、函数的周期性
例4．18函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
评注 关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数的周期分别为，．
（2）函数，的周期均为
（3）函数的周期均．
变式1 函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
变式2 已知函数，则的最小正周期为_____．
变式3 设函数，则为（ ）
周期函数，最小正周期为
周期函数，最小正周期为
周期函数，最小正周期为
非周期函数
二、函数的单调性
例4．19函数为增函数的区间是（ ）
A． B． C． D．
评注 三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，如由解出的范围，所得区间即为增区间；由解出的范围，所得区间即为减区间．若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．如，令，即，可得为原函数的减区间．
对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．
变式1 若函数在内单调递增，则可以是（ ）．
A．1 B． C． D．
变式2 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3 已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）若的最小正周期为，求的单调递减区间．
四、函数的对称性（对称轴、对称中心）
例4．30函数图像的对称轴方程可能是（ ）
A． B． C． D．
评注 关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
变式1 已知函数的最小正周期为，则该函数的图像（ ）．
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
变式2 的图像的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
变式3 已知将函数的图象向右平移个单位之后与的图象重合，则（ ）
A．9 B．6 C．4 D．8
变式4 将函数的图像沿轴向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
五、三角函数性质的综合
思路提示
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．
因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；
对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
例4．21设，其中若对一切恒成立，则
①
②；
③既不是奇函数也不是偶函数；
④的单调递增区间是；
⑤存在经过点的直线与函数的图像不相交．
以上结论正确的是_______（写出所有正确命题的序号）
例4．22设，其中
（1）求的值域；
（2）若在区间上为增函数，求的最大值．
评注 一般的，若为奇函数，在上为增函数，其中，若令，则，即可求出的范围．
变式1 已知函数，其中常数，若在上单调递增，求的取值范围．
变式2 已知函数，在上的虽小值为-2，则的最小值为_____．
例4．23若，且在上有最小值无最大值，则______．
评注 本题融汇了三角函数的最值（对称轴）、周期性、单调性之间的相互关系与转化
题型62 根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式．
思路提示
已知函数图像求函数的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定，由适合解析式点的坐标确定，但有图像求得的的解析式一般不唯一，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式，可以求得相关特定系数，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（及图像上升时与轴的交点）为；“第二点”（即图像曲线的最高点）为；“第三点”（及图像下降时与轴的交点），为；“第四点”（及图像曲线的最低点）为；“第五点”（及图像上升时与轴的交点）为．
例4．24函数的部分图像如图4-25所示，那么=（ ）
A． B．-1
C． D．
评注 对于三角函数问题中的“知图求式”（及其性质），应重点关注以下方面
（1）周期（可推出的值域范围）
（2）振幅（可推出A（A>0））
（3）特征点（可形成三角方程，以求的值）
对于本题代入零点，（为上零点），则满足，所以，对于正弦型函数，若已知上零点，则．同理，若已知下零点，则．
变式一 函数的部分图像如图4-26所示，则_______．
变式二 已知函数的图像如图4-27所示，，则（ ）
A． B．
C． D．
例4．25已知函数的部分图像如图4-28所示，求函数的解析式．
变式一 已知，如果存在正整数常数使得函数的图像经过点（1,0）如图4-29所示，求的值．
方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值）
求解函数解析式（即的值的确定）
例4．26已知函数为R上的偶函数，其中点是一个对称中心，且在区间上为单调函数，求函数的解析式．
分析 本题的目标是求因为为偶函数，则必关于轴对称，因此化为的形式，由函数在上单调，则最多只会是半个周期，即，从而得得的范围，再代入对称中心求解．
评注 根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解．
变式一：已知函数图像的两条相邻对称轴的距离为，且经过点（0,2）．
（1）求的最小正周期；
（2）求函数的解析式．
题型63 函数的值域（最值）
思路提示
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．
（1），设，化为一次函数在上的最值求解．
（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）
（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型．
（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．
（5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围．
例4．27函数的最小值是（ ）
A．-1 B． C． D．1
评注 若本题改为“”则最小值为0，在解题过程中，若存在换元环节，应注意新元取值范围的限定．
变式1 函数的值域为（ ）．
A．[-2,2] B． C．[-1,1] D．
变式2 函数在区间上的最大值是（ ）．
A．1 B． C． D．
例4．28函数的最大值为（ ）
A．7 B． C．5 D．4
变式1 求函数的值域
变式2 求函数的值域．
例4．29求函数的最大值和最小值．
变式1 已知，求函数的最小值．
变式2 求函数的最大值．
变式3 若有实数解，试确定实数的取值范围．
变式4 若关于的方程在上恒成立，求实数的取值范围．
例4．30对于函数，下列结论中正确的是（ ）．
A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
变式1 求函数的值域．
变式2 若，则函数的最大值为_______．
题型64 三角函数图像变换
思路提示
由函数的图像变换为函数的图像．
方法一：先相位变换，后周期变换，再振幅变换．
的图像的图像
的图像
的图像
例4．31把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，在向下移1个单位长度，得到的图像时（ ）．
变式1 为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）．
A．向左平移个单位 B． 向右平移个单位
C．向左平移个单位 D． 向右平移个单位
变式2 已知，，则的图像（ ）．
A．与图像相同
B．与图像关于轴对称
C．是由的图像向左平移个单位得到
D．是由的图像向右平移个单位得到
变式3 已知曲线，，则下面结正确的是（ ）.
A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
例4．32已知函数，其图像过点．
（1）求的值
（2）将图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值
变式1已知向量，函数
的最大值为6．
（1）求A
（2）求将函数的图像向左平移个单位，再将所的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域
最有效训练题18
1．已知函数，在时取得最大值，则在上的单调增区间是（ ）．
A． B． C． D．
2．若直线与函数和的图像分别交于P,Q两点，则的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．设函数，其中.若，，且的最小正周期大于，则（ ）.
A. B. C. D.
4,．已知函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数一个对称中心是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图4-30所示，点是函数的图像的最高点，M,N是该图像与轴的交点，若,则的值为（ ）
A． B． C．4 D．8
6．设函数，则下列结论错误的是（ ）.
A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在单调递减
7．已知函数，其中，且的最小正周期为，则的单调递增区间为　　　　　　．　
8．已知函数的图象和的图象对称轴完全相同，若，则的取值范围为　　　　　　　．　
9．已知函数（> 0）,若且在上有且仅有三个零点，则= ．　
10．某学生对函数进行研究后，得出如下四个结论：
①函数在上为单调递增，在上单调递减；
②存在常数，使对一切实数均成立；
③点是函数图像的一个对称中心；
④函数的图象关于直线对称．其中正确的是　　　　　　．（把所有正确的命题的序号都填上）．
11．已知函数
(1)求函数的最小正周期及图像的对称轴方程；
(2)设函数，求的值域．
12．设函数，其中 EMBED Equation.DSMT4 .已知.
（1）求 EMBED Equation.DSMT4 ；
（2）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移 EMBED Equation.DSMT4 个单位，得到函数的图像，求 EMBED Equation.DSMT4 在上的最小值.

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