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第三节　三角恒等变换
考纲解读
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式.
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系.
能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）.
命题趋势探究
高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳定，属中下档难度.
考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主.
化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）.
知识点精讲
常用三角恒等变形公式
和角公式
差角公式
倍角公式
降次（幂）公式
半角公式
辅助角公式
角的终边过点，特殊地，若或，则
常用的几个公式
题型65　两角和与差公式的证明
题型归纳及思路提示
思路提示
推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.
例4.33　证明
(1)
(2)用证明
(3)用(1)(2)证明
变式１　证明：
题型66　化简求值
思路提示
　　三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.
(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.
(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.
(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.
一、化同角同函
例4.34　已知则
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解析　解法一：化简所求式
评注　解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构造法较为简单.
变式1　若则
变式2　若，是第三象限角，则
　　　　　 　　　　 　
变式3　若，则
　　　　　　　　　　 　　　　　
二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）
　 将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公式.
　 常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，诱导等.
1.和、差角变换
如可变为；可变为；可变为
例4.35　若则的值为（　　）.
　　　或　　　　　　　　　
评注　利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：
等.解题时，要注意根据已知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号.
变式1　已知则
　　 　　　　　　　　　　
变式2 若，则
二、辅助角公式变换
例4.36　已知，则的值为（　　　）.
　　　 　　　 　　　
变式1设则a,b,c　的大小关系为（　）.
A.a变式2将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
变式3 已知，则（ ）
A． B． C． D．
变式4 设当时，函数取得最大值，则__________
3.倍角，降幂（次）变换
例4.37 已知为第二象限角，则
变式1　若则
变式2 已知，则=（ ）.
A． B． C． D．
变式3已知且求值.
变式4若，则
　　 　 　　　 　　　
变式5已知，且，则
4.诱导变换
例4.38若，则
　 　　　　
变式1 是第二象限角，，则
变式2 若，则
变式3 ，则____________．
最有效训练题19（限时45分钟）
1.已知函数设，则的大小关系为（ ）.
A.a2.函数的最大值为（ ）.
A． B．1 C． D．
3.若，则
　　　 　　　 　　　
4.已知，且，则
　　　 　　　　 　　　　
5.函数的部分图像如图4－33所示，设Ｐ是图像的最高点，Ａ，Ｂ是图像与x轴的交点，则
Ａ.10　　　Ｂ.8　　　
6.函数的最大值是（　　　　）.
　
7.已知，则
8. 已知，，则 .
9.
10.已知，且，则
11.已知函数
（1）求函数的最小正周期和值域；
（2）若是第二象限角，且，求的值.
12.已知三点
（1）若，求角；
（2）若，求的值.第三节　三角恒等变换
考纲解读
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式.
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系.
能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）.
命题趋势探究
高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳定，属中下档难度.
考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主.
化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）.
知识点精讲
常用三角恒等变形公式
和角公式
差角公式
倍角公式
降次（幂）公式
半角公式
辅助角公式
角的终边过点，特殊地，若或，则
常用的几个公式
题型65　两角和与差公式的证明
题型归纳及思路提示
思路提示
推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.
例4.33　证明
(1)
(2)用证明
(3)用(1)(2)证明
解析(1)证法一：如图4－32（a）所示，设角的终边交单位圆于
,由余弦定理得
证法二：利用两点间的距离公式.
如图4－32（b）所示
由得，故
即化简得
　
变式１　证明：
解析 ⑴由在公式中用代替就得到同理可证⑵，⑶，证明过程略。
题型66　化简求值
思路提示
　　三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.
(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.
(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.
(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.
一、化同角同函
例4.34　已知则
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解析　解法一：化简所求式
由得即两边平方得
即
所以故选Ａ.
解法二：化简所求式
故选Ａ.
评注　解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构造法较为简单.
变式1　若则
解析 化同角。
切化弦，。
变式2　若，是第三象限角，则
　　　　　 　　　　 　
解析 由是第三象限角，，得
= 故
故选.
另解，同上得 = =
故选。
变式3　若，则
　　　　　　　　　　 　　　　　
解析 因为 ，又，
得所以，故选.
二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）
　 将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公式.
　 常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，诱导等.
1.和、差角变换
如可变为；可变为；可变为
例4.35　若则的值为（　　）.
　　　或　　　　　　　　　
分析　建立未知角与已知角的联系，
解析　解法一：因为所以，则　
解法二：因为，所示
故选Ｃ.
评注　利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：
等.解题时，要注意根据已知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号.
变式1　已知则
　　 　　　　　　　　　　
分析 沟通未知角与已知角的联系，.
解析 ，因为
，所以.
, ,
因.
变式2 若，则
分析 沟通未知角与已知角的联系
解析 =
因为
， ，
，
二、辅助角公式变换
例4.36　已知，则的值为（　　　）.
　　　 　　　 　　　
分析　将已知式化简，找到与未知式的联系.
解析　由题意，
，得
所以故选Ｃ.
变式1设则a,b,c　的大小关系为（　）.
A.a解析 解法一：辅助角公式变换
，所以 ，故选
解法二：
故 ，且 得 ，故选
变式2将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
解析 因为，所以，则在上递减
变式3 已知，则（ ）
A． B． C． D．
由，展开化简可得，所以
变式4 设当时，函数取得最大值，则__________
因为，其中，又当当时，函数取得最大值，所以，即，所以＝
3.倍角，降幂（次）变换
例4.37 已知为第二象限角，则
分析　利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解.
解析　解法一：因为所以
得，即.又因为为第二象限角且
，则
所以故为第三象限角，
.故选Ａ.
解法二：由为第二象限角，得，
且，又，则
，得，
所以，
故选Ａ.
变式1　若则
分析 使用凑角法沟通未知角与已知角的联系
解析 ，
= ，故选
变式2 已知，则=（ ）.
A． B． C． D．
解析 .
故选A.
变式3已知且求值.
分析 使用凑角法沟通未知角与已知角的联系
，，
。
变式4若，则
　　 　 　　　 　　　
解析 ，
，
故选.
变式5已知，且，则
解析 由 得故
所以 ，所以
，又因为
所以 所以原式=
4.诱导变换
例4.38若，则
　 　　　　
分析　化同函以便利用已知条件.
解析　解法一：
故选Ｃ.
解法二：则
故
故选Ｃ.
变式1 是第二象限角，，则
解 ，
变式2 若，则
分析 使用凑角法沟通未知角与已知角的联系
解析 因为 ，所以 。
又 ，得
故
故
所以 。
变式3 ，则____________．
解析 由题设可得,解之得,故,故应填.
最有效训练题19（限时45分钟）
1.已知函数设，则的大小关系为（ ）.
A.a2.函数的最大值为（ ）.
A． B．1 C． D．
3.若，则
　　　 　　　 　　　
4.已知，且，则
　　　 　　　　 　　　　
5.函数的部分图像如图4－33所示，设Ｐ是图像的最高点，Ａ，Ｂ是图像与x轴的交点，则
Ａ.10　　　Ｂ.8　　　
6.函数的最大值是（　　　　）.
　
7.已知，则
8. 已知，，则 .
9.
10.已知，且，则
11.已知函数
（1）求函数的最小正周期和值域；
（2）若是第二象限角，且，求的值.
12.已知三点
（1）若，求角；
（2）若，求的值.
最有效训练题19
1、 解 ,故 ，
，因为 在区间 上单调递增，故
故选.
2、解
.故选A.
3、 解 依题意得
，故选.
4、 解 因为
所以 因为
又
所以 故选.
5、 解析 过 作⊥交于点，由= 得 ，
= 故选.
6、 解 的几何意义为点（-4,3）与单位圆上一点所在直线的斜率，设其斜率为，则有 即 ， 得
（舍）， 。故选.
7、 解 由 ，所以 ，所以
8、 由 又，
所以 .因为，所以，.
因为，
所以.
9、4 解 原式= = .
10、 解 由 ，得 所以 于是
由 得
因为 ，所以
由得
, 所以
11、解析 （1）因为 所以函数的最小正周期为 ，值域为
（2）因为 所以 即 。因为
又因为 为第二象限角，所以 ,
所以，原式==
12、解析 （1）因为 由 得
整理得 ，所以
因为 ，所以
（2）因为 所以 即 ，所以 ，得 ，所以
.

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