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20
第四节　解三角形
考纲解读
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
能够运用正弦定理、余弦定理等　知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
命题趋势探究
1.本节为高考的必考和重点考查内容，在选择题、填空题和解答题中都有出现，并越来越成为三角函数部分的核心考点.
2.题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；三是最值问题.
题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度.
知识点精讲
在中，角所对边依次为
1.角的关系
2.正弦定理
为的外接圆的直径）.
　正弦定理的应用：
①已知两角及一边求解三角形.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：
若a若a〉b,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.
3.余弦定理
（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）
（已知三边求角）.
余弦定理的应用：
①已知两边及夹角求解第三边；
②已知三边求角；
③已知两边及一边对角不熟第三边.
4.三角形面积公式
题型归纳及思路提示
题型67　正弦定理的应用
思路提示
（1）已知两角及一边求解三角形；
（2）已知两边一对角；.
（3）两边一对角，求第三边.
一、利用正弦定理解三角形
例4.39　已知中，求及边长
分析　已知两角及一边用正弦定理.
解析　因为为的内角，所以有
因为且所以.由此知据正弦定理得所以因此且得
故因此
由正弦定理得得
评注　本题已知两角及一边，用正弦定理：在中，
变式1　在中，角所对边依次为
则角Ａ的大小为　　　　　　.
分析 已知两边一对角求另一对角，利用正弦定理。
解析 由 得， ，即 ，又
故 ，又 故
例4.40　在中，角所对边依次为记若函数是常数）只有一个零点，则实数的取值范围是（　　）.
或　　　　　 或
分析　三角形问题首先根据题意画出三角形，ＡＣ的最小值为ＢＣ边的垂线段，再根据零点的意义及函数求解.
解析　由且，得如图4－34所示，由知ＡＣ边和的最小值为唯一的符合即若则此时存在函数有唯一零点，若时，则此时以点Ａ为圆心，b边为半径的圆与ＢＣ边及延长线有两个交点，如图4－34所示，则存在两个值使得有两个零点.若时，则则以点Ａ为圆心，b边为半径的圆与ＢＣ边及延长线（除点Ｂ外）只有一个交点，使得，故函数有唯一零点.综上，实数k的取值范围为或故选Ｄ.
评注　三角形问题一般先根据题意作出图 形，抓住已知量，充分想到三角形的边角关系及正弦定理，并尽可能转化和构造 直角三角形.
变式1 （1）在中，已知角所对的边分别为且 如果三角形有解，则角A的取值范围是 ;
解析 （1）解法一：在 中，由正弦定理得，得 ，又 ，故 ，且 ,则角
的取值范围是
解法二：（图像法）由题意 先固定好边，则点必在为圆心，半径 的圆周上（如图4-52（ ）所示），有构成三角形，不在所在的直线上，则边所在的临界位置如图4-52（ ）所示，此时 且 ，再结合对称性，角的取值范围是。
(2) 在中，已知角所对的边分别为且如果三角形有解，则角B的取值范围是 ;
如（1）中解法二知，由题意 ，先固定好长边，则点必在以为圆心，为半径的圆上，如图4-52（ ）所示，此时 且 ，再结合对称性，角的取值范围是.
（3）在中，已知角所对的边分别为且如果三角形有解，则角C的取值范围是 .
由题意知 ,先固定好长边，则点必在以为圆心，3为半径的圆上，如图4-52()所示，且点不在所在的直线上，则边的临界位置如图4-52()，此时，且,再结合对称性，角的取值范围是。
图4-52
变式2在中，内角的对边分别是，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
因为,所以由正弦定理可得:，又利用余弦定理可得: 由于,解得:,故选A.
二、利用正弦定理进行边角转化
例4.41 在中，若A=2B，则的取值范围为（ ）.
分析 题中有边与角的关系及角的范围，可考虑用正弦定理转化为角的关系，再由角的范围来定边的范围.
解析 由正弦定理知且即得，因此所以 故选A.
评注 在中，利用正弦定理，进行边与角的转化，在条件中有边也有角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公式来求解.
变式1 （1）若在锐角中，若A=2B，则的取值范围为 ;
（2）若在直角中，若A=2B，则的取值集合为 ;
（3）若在钝角中，若A=2B，则的取值集合为 .
解析 由正弦定理知
(1)若为锐角三角形，则
因此，,
所以的取值范围为.
（2）若为直角三角形，则
若,则
若 则 所以的取值集合为
(3) 若为钝角三角形，则角为钝角或角为钝角。
若角为钝角，则即
得所以
若角为钝角，则且因此
所以因此所以
所以的取值范围为.
变式2 在中，，则AB+2BC的最大值为 .
解析 由正弦定理知
所以 又
所以
变式3 已知分别为三个内角的对边，，
（1）求A； （2）若，的面积为，求.
解析 （1）由及正弦定理得
因为
所以
(2) 的面积
变式4 在中，角的对边分别为已知，
（1）求证： （2）若，求的面积.
（1）证明由正弦定理得
(2)由 ，
题型68 余弦定理的应用
思路提示
(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.
(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
若余弦值
一、利用余弦定理解三角形
例4.42 在 中， ，则①a= .
②
分析 已知两边一对角，求第三边用余弦定理，求另一对角用正弦定理.
解析①由余弦定理得，，得 ，即
，且 ，故
②由正弦定理得，，即 ，得 ，又
，则
变式1在 中， ，
(1)求的值； （2）求 的值.
解析（1）
由正弦定理知即
所以
（2）已知两边及一边的对角，求解第三边，利用余弦定理得
又,
所以
变式2 在 中，若，则
解析 在中，由及+=7知，
整理得15-60=0,所以=4.
[例4.42变式3]
解析 依题意不妨设的三边长分别为那么最大角的余弦值为
变式3 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 .
解析 依题意不妨设的三边长分别为那么最大角的余弦值为
例4.43 在中，角所对边的长分别为若，则的最小值为（ ）.
解析 因为当且仅当时取“=”，所以的最小值为故选C.
变式1 在中，角所对边分别为若，求的取值范围.
解析 由余弦定理得知，
所以
所以得的取值范围为或
变式2在中，角所对边分别为若，求的最大值.
解析 =
所以,故的最大值为
二、利用余弦定理进行边角转化
例4.44在中，角所对边分别为若则角B的值为（ ）.
或 或
解析 （边化角）已知等式可变化为则得所以或.故选D.
变式1在中，角所对边分别为且
（1）求A的值；（2）求的最大值.
解析 （1）即，
(2)由得
的最大值为1
变式2 在锐角三角形中，角所对边分别为若，则
解析 角化边
变式3在中，角所对边分别为且
，求
分析 求边，故角化边
解析 由正弦、余弦定理及=3得
题型69 判断三角形的形状
思路提示
（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形.
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.
例4.45 在中，若，则此三角形必为（ ）.
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
分析 角化边或.
解析 解法一：角化边. ，则三角形为等腰三角形，故选A.
解法二：因为，
所以，
，则三角形为等腰三角形，故选A.
变式1设的内角为所对边分别为若 则的形状为（ ）.
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定
解析 （边化角）,
得=0(舍)或=1, ,
则,所以为直角三角形，故选.
变式2 在中，若，则的形状为（ ）.
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定
解析 由正弦定理得 ,
所以为钝角，故选。
变式3已知中，，则的形状为（ ）.
A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D. 等腰直角三角形
解析 解法一：由降幂公式解法二：同解法一得
变式4（1）已知函数
求的最小正周期和值域；
（2）在中，角所对边分别为若且，试判断的形状.
解析 （1）
，
由余弦定理
所以，所以.
故为等边三角形。
题型70 正、余弦定理与的综合
思路提示
先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.
例4.46在中，角所对边分别为且
（1）求证： （2）求边长的值；
（3）若，求的面积.
分析（3）中为对角线AD长，由平行四边形对角线性质可求出AC=BC，设AB中点为M，
解析 （1）利用数量积定义，
（2）如图4-35所示，取等腰三角形AB边上的中线（即高线CM，则.，故或是在方向上的投影，由向量数量积的几何意义可知
故
(3)如图4-35所示，中，
在中，
在中，
由①+②得即，在等边中，或
评注 ①+②得平行四边形公式：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和，即在中，.
变式1 在中，，则BC=（　　　　）．
解析
得
由余弦定理得变式2在中，角所对边分别为
(1)求C； （2）若，求
边化角，利用三角形内角和将的形式。
（1） 由则有
（2） 由而
则有
变式3在中，角所对边分别为且
（1）求的面积； （2），求的值.
已知两边及夹角用余弦定理
解析
（1）
（2）
变式4在中，角所对边分别为且
（1）求的值； （2）若且，求和的值.
解析 （1）由正弦定理得
则
故
即
可得，又因此
（2）由=2,可得，
又，故，，代入
，得，
所以，即，所以。
题型71 解三角形的实际应用
思路提示
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.
例4.47 如图4-36所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min，在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B处匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为了130m/min，山路AC长为1260m，经测量，
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离 最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
分析 （1）的值可求得的值，然后在中利用正弦定理可得AB的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离；（3）利用正弦定理求出BC的长，再根据题意列不等式求解.
解析 （1）在中，因为所以从而
由正弦定理，得
所以索道AB的长为1040m.
(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得
由于，即，故当时，甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理，得
乙从B出发时，甲已走了还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为m/min，由题意得解得
所以为使两游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在（单位：m/min）范围内.
评注 解三角形应用题问题，关键是能根据实际问题的背景建立三角形的模型，再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特别注意结果要符合题意，并带上单位.
变式1 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位置，如图4-37所示，在海岸上选取距离1km的两个观测点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得2分钟后，该船行驶到B处，此时测得则船速为 .(km/min).
分析 先求，找一个含的三角形——（一角60°及两边,）. ,分别在及中求得（两角一边）。
解析 在中，，
在中，。
故在中，
=
，故船速为
最有效训练题20（限时45分钟）
1.在中，角所对边分别为若角依次成等差数列，且则
2.的三个内角所对边分别为则
3.已知的三边长分别为且面积则
4 . 在中，角，，的对边分别为，，，且，若的面积，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
5. .在中，，则A的取值范围是（ ）.
6.在锐角中，已知，则的取值范围为（ ）.
7.在中，若的面积为，则
8.在中，角所对边分别为如果那么角C等于 .
9. 已知，，. 点为延长线上一点，，联结，则的面积是___________，__________..
10.在中，角所对边分别为，若，则的最大值为 .
11. 的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为
（1）求； （2）若，，求的周长.
12. 的内角的对边分别为，已知．
(1)求 (2)若，面积为2，求
最有效训练题20
1. 解析 解法一：因为角、、依次成等差数列，所以。
由,可得。因为，所以,即可得,所以,即得。
故选.
解法二：因为角、、依次成等差数列，所以。由余弦定理，得,解得（舍）, ,所以。故选。
2. 解析 因为, 所以
，所以，所以故选.
3. 解析 由余弦定理知，
又，得，
因此，则，故选。
4. 解析
由题意得，
，∴，
∴，
当且仅当时，等号成立，即的最小值是，故选B。
5. 解析 依题意，由正弦定理得，变形得
，即又,故，故选。
6. 解析 依题意，得，即，得
,因此，得且,因此
，所以的取值范围为，故选.
7. 解析 由，得.据余弦定理知，得=。
8. 解析 由余弦定理
得。 所以,则。
9. 取中点为，由题知，，
所以的面积为．又，
，解得．
10. 解析 由已知即正弦定理得,在中，，故，，则，故的最大值为（当且仅当时取得）。
11.解析 （1）因为面积.且，所以，所以，
因为由正弦定理得，
由得.
（2）由（1）得，，
因为，所以
又因为，所以，，.
由余弦定理得 ①
由正弦定理得，，所以 ②
由①②得，所以，即周长为.
12.解析（1）依题得：．
因为，所以，所以，（舍去），所以.
（2）由⑴可知．因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，
所以，所以．20
第四节　解三角形
考纲解读
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
能够运用正弦定理、余弦定理等　知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
命题趋势探究
1.本节为高考的必考和重点考查内容，在选择题、填空题和解答题中都有出现，并越来越成为三角函数部分的核心考点.
2.题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；三是最值问题.
题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度.
知识点精讲
在中，角所对边依次为
1.角的关系
2.正弦定理
为的外接圆的直径）.
　正弦定理的应用：
①已知两角及一边求解三角形.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：
若a若a〉b,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.
3.余弦定理
（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）
（已知三边求角）.
余弦定理的应用：
①已知两边及夹角求解第三边；
②已知三边求角；
③已知两边及一边对角不熟第三边.
4.三角形面积公式
题型归纳及思路提示
题型67　正弦定理的应用
思路提示
（1）已知两角及一边求解三角形；
（2）已知两边一对角；.
（3）两边一对角，求第三边.
一、利用正弦定理解三角形
例4.39　已知中，求及边长
评注　本题已知两角及一边，用正弦定理：在中，
变式1　在中，角所对边依次为
则角Ａ的大小为　　　　　　.
例4.40　在中，角所对边依次为记若函数是常数）只有一个零点，则实数的取值范围是（　　）.
或　　　　　 或
评注　三角形问题一般先根据题意作出图 形，抓住已知量，充分想到三角形的边角关系及正弦定理，并尽可能转化和构造 直角三角形.
变式1 （1）在中，已知角所对的边分别为且 如果三角形有解，则角A的取值范围是 ;
(2) 在中，已知角所对的边分别为且如果三角形有解，则角B的取值范围是 ;
（3）在中，已知角所对的边分别为且如果三角形有解，则角C的取值范围是 .
变式2在中，内角的对边分别是，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
二、利用正弦定理进行边角转化
例4.41 在中，若A=2B，则的取值范围为（ ）.
评注 在中，利用正弦定理，进行边与角的转化，在条件中有边也有角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公式来求解.
变式1 （1）若在锐角中，若A=2B，则的取值范围为 ;
（2）若在直角中，若A=2B，则的取值集合为 ;
（3）若在钝角中，若A=2B，则的取值集合为 .
变式2 在中，，则AB+2BC的最大值为 .
变式3 已知分别为三个内角的对边，，
（1）求A； （2）若，的面积为，求.
变式4 在中，角的对边分别为已知，
（1）求证： （2）若，求的面积.
题型68 余弦定理的应用
思路提示
(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.
(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
若余弦值
一、利用余弦定理解三角形
例4.42 在 中， ，则①a= .
②
变式1在 中， ，
(1)求的值； （2）求 的值.
变式2 在 中，若，则
变式3 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 .
例4.43 在中，角所对边的长分别为若，则的最小值为（ ）.
变式1 在中，角所对边分别为若，求的取值范围.
变式2在中，角所对边分别为若，求的最大值.
二、利用余弦定理进行边角转化
例4.44在中，角所对边分别为若则角B的值为（ ）.
或 或
变式1在中，角所对边分别为且
（1）求A的值；（2）求的最大值.
变式2 在锐角三角形中，角所对边分别为若，则
变式3在中，角所对边分别为且
，求
题型69 判断三角形的形状
思路提示
（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形.
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.
例4.45 在中，若，则此三角形必为（ ）.
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
变式1设的内角为所对边分别为若 则的形状为（ ）.
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定
变式2 在中，若，则的形状为（ ）.
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定
变式3已知中，，则的形状为（ ）.
A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D. 等腰直角三角形
变式4（1）已知函数
求的最小正周期和值域；
（2）在中，角所对边分别为若且，试判断的形状.
题型70 正、余弦定理与的综合
思路提示
先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.
例4.46在中，角所对边分别为且
（1）求证： （2）求边长的值；
（3）若，求的面积.
评注 ①+②得平行四边形公式：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和，即在中，.
变式1 在中，，则BC=（　　　　）．
变式2在中，角所对边分别为
(1)求C； （2）若，求
变式3在中，角所对边分别为且
（1）求的面积； （2），求的值.
变式4在中，角所对边分别为且
（1）求的值； （2）若且，求和的值.
题型71 解三角形的实际应用
思路提示
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.
例4.47 如图4-36所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min，在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B处匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为了130m/min，山路AC长为1260m，经测量，
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离 最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
评注 解三角形应用题问题，关键是能根据实际问题的背景建立三角形的模型，再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特别注意结果要符合题意，并带上单位.
变式1 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位置，如图4-37所示，在海岸上选取距离1km的两个观测点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得2分钟后，该船行驶到B处，此时测得则船速为 .(km/min).
最有效训练题20（限时45分钟）
1.在中，角所对边分别为若角依次成等差数列，且则
2.的三个内角所对边分别为则
3.已知的三边长分别为且面积则
4 . 在中，角，，的对边分别为，，，且，若的面积，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
5. .在中，，则A的取值范围是（ ）.
6.在锐角中，已知，则的取值范围为（ ）.
7.在中，若的面积为，则
8.在中，角所对边分别为如果那么角C等于 .
9. 已知，，. 点为延长线上一点，，联结，则的面积是___________，__________..
10.在中，角所对边分别为，若，则的最大值为 .
11. 的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为
（1）求； （2）若，，求的周长.
12. 的内角的对边分别为，已知．
(1)求 (2)若，面积为2，求

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