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第五章 平面向量
本章知识结构图
第一节平面向量的线性运算及其坐标表示
考纲解读
1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念及两个向量相等的含义与向量的几何表示.
2、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.
3、了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线的条件.
命题趋势探究
从内容上看，高考重点考查向量的基本概念及运算，尤其是向量数量积运算及其几何表示，平面向量的坐标运算也是运算的关键，通过坐标运算可将几何问题转化成代数问题，进行垂直、平行关系的判定及夹角的求解，从形式上看，既有选择题，也有填空题，从能力上看，侧重于对学生运算和数形结合能力进行考查.
平面向量的综合问题时新热点题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主.
预测2019年高考本专题主要考查形式及内容如下：
（1）一道选择题或填空题，重点考查平行关系的判定，属于中低档题目.
（2）一道解答题，可能以三角函数、数列、解析几何为载体，考查向量的运算和性质.
知识点精讲
一、向量的基本概念
向量概念
既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中A为起点，B为终点）.
注：谈到向量必须说明其方向与大小.
向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作或.
2.零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量
零向量：长度为零的向量，记为，其方向是不确定的.
单位向量：模为1个单位长度的向量.当时，向量是与向量共线（平行）的单位向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为.
平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.
规定零向量与任何向量平行（共线），即.
注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中平行不可以重合；③， ，不一定有，因为可能为.
向量的线性运算
向量的加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量，，在平面内任取一点A，作，，则向量叫做向量与的和（或和向量），即.
向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图5-1所示，向量=.
注：①若，为不共线向量，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当，共线时，则只能用三角形法则求和向量，向量加法的本质是首尾相接.
②三角形法则可推广至若干向量的和.如图5-2所示.
2．向量的减法
（1）相反向量.
与长度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，记作-.
①规定：零向量的相反向量仍为零向量；
②-（-）=,+(-)=;
③若，互为相反向量，则=-，=-，+=.
（2）向量的减法.
向量与的相反向量的和叫做向量与的差或差向量，即-=+（-）.
向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图5-3所示，，则向量.
注：向量加法的三角形法则是两向量首尾相连，和向量是以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点；向量减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起，差向量是连接两向量的终点，箭头指向被减向量的终点的向量.
3.向量的数乘
（1）实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，它的长度和方向规定如下：
①
②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反；当时，方向不确定；时，方向不确定.
（2）向量数乘运算的运算律.
设、为任意向量，、为任意实数，则 ；；.
三、平面向量基本定理和性质
共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.
平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为.叫做向量关于基底的分解式.
注：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的. 叫做，的一个线性组合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
推论1：若，则.
推论2：若，则.
线段定比分点的向量表达式
如图5-4所示，在△ABC中，若点D是边BC上的点，且（），则向量.在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握.
三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使,其中，O为平面内一点.
此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得;
存在唯一的实数，使得;
存在唯一的实数，使得;
存在,使得.
中线向量定理
如图5-5所示，在△ABC中，若点D是边BC的中点，则中线向量,反之亦正确.
四、平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示.
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对（）叫做向量的坐标，记作=（）.
(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量（）向量点（）.
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
若=（），为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标.
（4）设A，B，则=, 即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.
五、向量的平行
设，.的充要条件是.除了坐标表示外，下面两种表达也经常使用：当时，可表示为；
当时，可表示为，即对应坐标成比例.
题型归纳及思路提示
题型72 平面向量的基本概念
思路提示
准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.
例5.1已知下列三个命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量与向量共线，则四点共线；③如果， ，那么.其中正确命题的个数是（ ）.
A．0 B .1 C.2 D.3
评注 本题容易忽视零向量这一特殊向量，认为命题③是正确的.
变式1给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点和终点相同；②若，则；
③若，则ABCD为平行四边形；④在平行四边形ABCD中，一定有；
⑤若， ，则；⑥若， ，则.
其中不正确的命题的个数是（ ）.
A.2 B.3 C.4 D.5
题型73平面向量的线性表示
1线段定比分点的向量形式在向量线性表示（运算）中的应用
例5.2设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）.
A． B.
C. D.
变式1已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且,那么（ ）.
A． B. C. D.
变式2如图5-7所示，在平行四边形ABCD中，
，,,M为BC的中点，
则（用表示）.
例5.3在△ABC中，，若点D满足则=（ ）
A. B. C. D.
评注 若则,利用此结论，本题可直接的到正确选项.
变式1在△ABC中，AB边上的高为CD，若，，，，，则（用表示）.
变式2 在△ABC中，点D在边ＡＢ上，ＣＤ平分∠AＣＢ，若，，，则等于（ ）
变式3 设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点，且,,,则与 ( ).
A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
变式4 如图5-10所示，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若,其中，则.
变式5 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则=（ ）
2向量线性运算的几何意义在解题中的应用
例5.4若非零向量满足，则（ ）
变式1 已知向量，，满足对任意，恒有，则（ ）
A. B. C. D.
变式2 已知在△ABC中，若对任意，，则△ABC一定为 （ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都不对
题型74 向量共线的运用
思路提示
要证明A，B,C三点共线，只需证明与共线，即证=（）.若已知A,B,C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=.
例5.5对于非零向量，“”是“”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
变式1 平面向量共线的充要条件是（ ）.
A. 方向相同 B. 两向量中至少有一个为零向量
C. ， D.存在不全为零的实数，
变式2在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ）.
A．3 B． C. D．2
变式3 已知A（1,3），B（4，-1），则与向量同方向的单位向量为 （ ）
A. B. C. D.
例5.6设两个非零向量与不共线.
如果，，，求证：A，C，D三点共线；
如果，，，且A，C，D三点共线，求实数的值.
分析 三点共线问题可以转化为向量共线问题解决.例如若A,B,C三点共线，则或.
变式1 已知向量，且，，，则一定共线的三点是（ ）.
A.A,B,D B. A,B,C C. B,C,D D. A,C,D
题型75 平面向量基本定理及应用
平面向量的基本定理
思路提示
平面向量基本定理是指同一平面内的任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，这就为向量的坐标表示奠定了基础，在向量运算及证明有关问题方面有广泛的应用.
例5.7 已知向量满足，则的值为________.
例5.8如图5-12所示，在平行四边形ABCD中，M和N分别为DC和BC的中点，已知，，试用，表示和.
评注 注意转化思想在本题中的应用，通过本题可以发现，只要是平面内不共线的两个向量都可以作为一组基底，而恰当地选取平面的一组基底，往往可以提高解题效率.
三点共线定理及其应用
例5.9点P在AB上，求证：且（，O是AB外一点）.
评注 本题考查平面向量基本定理即对共线向量的理解，所证明的结论即为三点共线定理.应该广泛应用本题所得到的结论进行解题.
三点共线定理： A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使,其中，O为AB外一点.
变式1 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（-1,3），若点C满足,其中,，则点C的轨迹方程为 （ ）
变式2 已知数列为等差数列，前项和为.若
点，且P,A,B三点共线，则=_________.
变式3 如图5-14所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M和N，若，，则的值为______.
例5.10给定两个长度为1的平面向量和，它们
的夹角为，点C在以点O为圆心的圆弧上运动
.若，其中，则的最大值
是________.
评注 本题解法一利用三点共线的向量形式，巧妙地利用转化思想化曲为直，解法之妙值得品味.
变式1 如图5-16所示，在扇形OAB中，∠AOB=，C为弧AB上一个动点，若，则的取值范围是_____________.
例5.11如图5-17所示，在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC，CD的中点，DE与AF交于点H，设，，则等于 （ ）
评注 应熟练掌握平面向量解决三点共线问题的基本方法，即A,B,C三点共线有且只有
一组实数，使得，且.O为平面ABC内任意一点.
变式1 如图5-19所示，设Ｇ是△OAB的重心，过G的直线与OA，OB分别交于P和Q，已知，求证：.
题型76 向量与三角形的四心
思路提示
用向量有关知识表示三角形的内心、外心、垂心、重心的位置实质是描述三角形的角平分线、垂直平分线、高及中线.
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上.
P为△ABC的内心.
（2）外心：P为△ABC的外心.
（3）垂心：P为△ABC的垂心.
（4）重心：P为△ABC的重心.
一、内心
例5.12 O为△ABC所在平面内一定点，动点P满足,,则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）.
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
变式 1 已知非零向量与满足=0,且，则△ABC为 （ ）
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形
二、重心
例5.13 若O为△ABC内一点，,则O是△ABC的 （ ）
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
变式1 在△ABC中，O为平面上任意一点，
证明：G为△ABC的重心.
三、垂心
例5.14 求证：△ABC中，O为△ABC的垂心.
变式1 O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，（）则点P的轨迹一定通过△ABC（ ）.
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
四、外心
例5.15 求证：若O是△ABC的外心，H是△ABC的垂心，则（欧拉定理的引理）.
评注 由三角形重心的性质定理可以很快地得到欧拉定理：对于△ABC的重心G，，
再由上述引理，，所以
，即三角形的外心、重心、垂心三点共线
（欧拉线），且重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍.
变式1 已知点O，N,P在△ABC所在平面内，且，，，则点O，N，P依次是△ABC的 （ ）
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
题型77 平行向量的坐标运算
思路提示
向量的坐标是向量的代数表示，每一种向量运算都对应着其坐标运算，因此解决向量的相关问题可以通过向量的代数运算去进行.
例 5.16 已知平面向量，向量,,其中和是不同时为零的实数.若，求此时和满足的函数关系式.
）.
变式1 平面内给定3个向量，，，回答下列问题.
（1）求；
（2）求满足的实数；
（3）若，求实数；
（4）设满足，且=1，求.
题型78 向量共线（平行）的坐标表示
思路提示
向量平行（共线）问题，可以转化为向量的几何表示，如果涉及到坐标,则有其坐标表示形式如下：平面向量，，若，则=0，（或，）.但要问同向或反向还需求.
例 5.17 已知两个向量，，当实数取何值时，向量与平行？
评注 本题从两向量平行的线性表示与坐标表示形式两个角度来解决问题，两种方法的本质是一样的，在研究两向量平行时，若向量的坐标的坐标已知，用解法二更简单一些.
变式1 设向量满足，且的方向相反，则的坐标为______.
例5.18 已知向量，，，且A，B，C三点共线，则的值为（ ）
变式1 设，，且，则锐角为_______.
变式2 △ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为，设向量，若，则角C的大小为 （ ）.
最有效训练题21（限时45分钟）
1.下列各命题中：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.
假命题的个数为（ ）
A．2 B.3 C.4 D.5
2.如图5-22所示，在中，O为对角线BD，AC的交点，E为AO中点，连接DE并延长交AB于F，若，，则（ ）.
A.
B.
C.
D.
3.已知向量，不共线，（），.如果，那么（ ）.
A. 且同向 B. 且反向
C. 且同向 D. 且反向
4. 设非零向量，满足，则（ ）.
A B. C. D.
5.若向量，，，则（ ）.
A. B. C. D.
6.已知△ABC和点M满足.若存在实数使得成立，则=（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D.5
7.在中，，，.若，，且，则的值为 .
8.已知，，的模长是1，且与所成的角与与所成的角相等，=_______.
9.如图5-23所示，在中，，AC与BE相交于点F，，则=_______.
10.已知向量，满足，，则的最小值是 ，最大值是 .
11.如图5-24所示，在△OAB中，点Ｃ是点Ｂ关于点Ａ的对称点，，ＤＣ和ＯＡ交于点E,设.
(1)用和表示向量,;
(2)若,求实数的值.
12.设两个非零向量与不共线,
(1)若,,.求证: A,B,D三点共线;
(2)试确定实数使和共线.
图 5-2
D
A
图5-4
C
B
图5-5
D
A
C
B
图 5-24第五章 平面向量
本章知识结构图
第一节平面向量的线性运算及其坐标表示
考纲解读
1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念及两个向量相等的含义与向量的几何表示.
2、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.
3、了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线的条件.
命题趋势探究
从内容上看，高考重点考查向量的基本概念及运算，尤其是向量数量积运算及其几何表示，平面向量的坐标运算也是运算的关键，通过坐标运算可将几何问题转化成代数问题，进行垂直、平行关系的判定及夹角的求解，从形式上看，既有选择题，也有填空题，从能力上看，侧重于对学生运算和数形结合能力进行考查.
平面向量的综合问题时新热点题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主.
预测2019年高考本专题主要考查形式及内容如下：
（1）一道选择题或填空题，重点考查平行关系的判定，属于中低档题目.
（2）一道解答题，可能以三角函数、数列、解析几何为载体，考查向量的运算和性质.
知识点精讲
一、向量的基本概念
向量概念
既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中A为起点，B为终点）.
注：谈到向量必须说明其方向与大小.
向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作或.
2.零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量
零向量：长度为零的向量，记为，其方向是不确定的.
单位向量：模为1个单位长度的向量.当时，向量是与向量共线（平行）的单位向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为.
平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.
规定零向量与任何向量平行（共线），即.
注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中平行不可以重合；③， ，不一定有，因为可能为.
向量的线性运算
向量的加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量，，在平面内任取一点A，作，，则向量叫做向量与的和（或和向量），即.
向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图5-1所示，向量=.
注：①若，为不共线向量，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当，共线时，则只能用三角形法则求和向量，向量加法的本质是首尾相接.
②三角形法则可推广至若干向量的和.如图5-2所示.
2．向量的减法
（1）相反向量.
与长度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，记作-.
①规定：零向量的相反向量仍为零向量；
②-（-）=,+(-)=;
③若，互为相反向量，则=-，=-，+=.
（2）向量的减法.
向量与的相反向量的和叫做向量与的差或差向量，即-=+（-）.
向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图5-3所示，，则向量.
注：向量加法的三角形法则是两向量首尾相连，和向量是以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点；向量减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起，差向量是连接两向量的终点，箭头指向被减向量的终点的向量.
3.向量的数乘
（1）实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，它的长度和方向规定如下：
①
②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反；当时，方向不确定；时，方向不确定.
（2）向量数乘运算的运算律.
设、为任意向量，、为任意实数，则 ；；.
三、平面向量基本定理和性质
共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.
平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为.叫做向量关于基底的分解式.
注：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的. 叫做，的一个线性组合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
推论1：若，则.
推论2：若，则.
线段定比分点的向量表达式
如图5-4所示，在△ABC中，若点D是边BC上的点，且（），则向量.在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握.
三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使,其中，O为平面内一点.
此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得;
存在唯一的实数，使得;
存在唯一的实数，使得;
存在,使得.
中线向量定理
如图5-5所示，在△ABC中，若点D是边BC的中点，则中线向量,反之亦正确.
四、平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示.
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对（）叫做向量的坐标，记作=（）.
(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量（）向量点（）.
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
若=（），为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标.
（4）设A，B，则=, 即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.
注： 设是夹角为的两个单位向量，且，，求的值.
错解 因为=+=，所以=，则=.
剖析 上面解法中，=是错误的，虽然题目中的是单位向量，但它们并不垂直，只有当是单位向量，且时，才能按上述方法计算，一般地，题目中使用单位正交基底（多用）表示向量时，才等价于给出坐标.即若，则等价于给出
五、向量的平行
设，.的充要条件是.除了坐标表示外，下面两种表达也经常使用：当时，可表示为；
当时，可表示为，即对应坐标成比例.
题型归纳及思路提示
题型72 平面向量的基本概念
思路提示
准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.
例5.1已知下列三个命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量与向量共线，则四点共线；③如果， ，那么.其中正确命题的个数是（ ）.
A．0 B .1 C.2 D.3
分析 联系向量的基本概念，注意零向量.
解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，如；②不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；③不正确当时，则不一定共线.所以①，②，③均不正确.故选A.
评注 本题容易忽视零向量这一特殊向量，认为命题③是正确的.
变式1给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点和终点相同；②若，则；
③若，则ABCD为平行四边形；④在平行四边形ABCD中，一定有；
⑤若， ，则；⑥若， ，则.
其中不正确的命题的个数是（ ）.
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 两个向量的起点和终点相同，则两向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，因为向量是可以平移的故①不正确；
∣ ∣=∣∣，但，方向不确定，所以，不一定相等，故
②不正确；因为可能有,,,在同一条直线上，所以③不正确；零向量与任一向量都平行，所以当=0时，与不一定平行，故⑥不正确；易知④，⑤都不正确。故选.
题型73平面向量的线性表示
线段定比分点的向量形式在向量线性表示（运算）中的应用
例5.2设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）.
A． B.
C. D.
解析 如图5-6所示，因为，故点P为线段AC的中点，因此.故选B.
变式1已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且,那么（ ）.
A． B. C. D.
分析 结合已知条件中向量的关系，利用平面向量的几何表示进行转化。
解析 如图5-37所示，因为是所在平面内一点，为边的中点，所以,又0,即0,故.故选。
变式2如图5-7所示，在平行四边形ABCD中，
，,,M为BC的中点，
则（用表示）.
解析 解法一：如图5-38所示，连接,交于点，则，因为,所以为的中点，又点为的中点，故-+.
解法二：(+)，
—（+）=（—）=—+。
解法三 ：特殊化思想。本题为向量的线性表示题目，对题目中的平行四边形无特别要求，故可以把此平行四边特殊化为正方形(便于建立直角坐标系，从而得到坐标)。如图5-39所示，令
,把此正方形的顶点置于原点，所在直线为轴，则各点的坐标为：(4,2), (4,4), (3,3),此时,
=(4,0)，=（0,4），设+，则有。
故有。
评注 本题考查的是向量的线性表示，应结合图形的特点，恰当选择加法或减法运算，在求解中应尽量遵循“置于三角形中，就近表示，宜加不减”的原则。若为选择题或填空题，还可以使用特殊化思想求解。
例5.3在△ABC中，，若点D满足则=（ ）
A. B. C. D.
分析 根据题意画出草图，利用向量的加、减、数乘的几何意义表示.
解析 解法一：如图5-8所示,
=.故选A.
解法二：因为由定比分点线性表示知.故选A.
解法三：特殊化思想：如图5-9所示，把此三角形特殊为等腰直角三角形，并把点A置于原点O，且AB=AC=1，则各点坐标为：B（1,0），C（0,1）D（，）=.故选A.
评注 若则,利用此结论，本题可直接的到正确选项.
变式1（2012大纲全国理6改编）在△ABC中，AB边上的高为CD，若，，，，，则（用表示）.
解析 如图5-40所示，因为，所以，所以，又
，所以，又⊥,所以,所以=，因此=4,即,则。
变式2 在△ABC中，点D在边ＡＢ上，ＣＤ平分∠AＣＢ，若，，，则等于（ ）
解析 解法一：如图5-41所示，因为平分∠,由角平分线定理得,所以,则。故选 。
解法二：特殊化思想，如图5-42所示，把此三角形特殊唯一直角三角形，并把点置于原点，且=1,=2,则各点坐标为（1,0），（0,2），:+=1，:=，联立解得，设
即=，解得，则。
故选。
变式3 设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点，且,,,则与 ( ).
A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
解析 如图5-43所示，,
故,则向量与向量反向平行。故选。
变式4 如图5-10所示，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若,其中，则.
【例5.3变式4】
解析 解法一：因为
,则,故。
解法二：如图5-44所示，延长交延长线于点 ，印点为边的中点，故△≌△，得==2,故:=2:1,则
,因此。
解法三：特殊化思想。如图5-45所示，把此平行四边形特殊为正方形，并把点置于原点，且==1.则各点坐标为 (1，0),(1，1),(0,1),(,1)， (1,), 可得 得
所以 ，故
变式5 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则=（ ）
分析 结合题意，利用向量的几何表示画出草图，如图5-46所示
解析 解法一：利用平面几何知识，可得 ∽ 所以
解法二;特殊化思想。如图5-47所示，由
评注 本题关键是要得到 有定比分点公式可知
向量线性运算的几何意义在解题中的应用
例5.4若非零向量满足，则（ ）
分析 对于，可通过数形结合的方法转化为等腰三角形处理.
解析 如图5-11所示，，设，，
，延长线段AB到C，使得BC=AB，连接DC，则，，，则△ACD为直角三角形，且∠ADC=，故，即成立，故选A.
变式1 已知向量，，满足对任意，恒有，则（ ）
A. B. C. D.
分析 显然对 进行平方处理会比较繁琐，不妨利用向量的几何表示，即用数形结合的思想解本题。
解析 如题5-48所示，设
变式2 已知在△ABC中，若对任意，，则△ABC一定为 （ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都不对
分析 利用向量的几何意义来解释。
解析 如图5-49所示，
因此 为直角三角形。
题型74 向量共线的运用
思路提示
要证明A，B,C三点共线，只需证明与共线，即证=（）.若已知A,B,C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=.
例5.5对于非零向量，“”是“”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 对于非零向量，若则，因此；但时，未必有。故选A.
变式1 平面向量共线的充要条件是（ ）.
A. 方向相同 B. 两向量中至少有一个为零向量
C. ， D.存在不全为零的实数，
解析 选项中， 既可同向，又可反向，故选项不一定成立。
选项中，若
选项 中，若 故选项不一定成立。选项中，
令
（2）当 故选项成立。故选.
变式2在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ）.
A．3 B． C. D．2
解析 解法一：由题意，作出图像，如图所示．设与切于点，联结．以点
为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为
．因为，．所以．因为切于点．所以⊥．所以是斜边上的高．，
即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．
设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程，
而，，．
因为，
所以，．
两式相加得
(其中，)，
当且仅当，时，取得最大值为3．故选A.
解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得的最大值为3.
变式3 已知A（1,3），B（4，-1），则与向量同方向的单位向量为 （ ）
A. B. C. D.
解析 由
例5.6设两个非零向量与不共线.
如果，，，求证：A，C，D三点共线；
如果，，，且A，C，D三点共线，求实数的值.
分析 三点共线问题可以转化为向量共线问题解决.例如若A,B,C三点共线，则或.
解析 （1），，，,所以与共线.又因为与有公共点C，所以A，C，D三点共线.
（2），因为A,C,D三点共线，所以与共线，从而存在实数使得，即，由平面向量基本定理得
，解得.故实数的值为.
变式1 已知向量，且，，，则一定共线的三点是（ ）.
A.A,B,D B. A,B,C C. B,C,D D. A,C,D
分析 由共线向量的条件逐一分析
解析 因为 所以,,,三点共线。故选
题型75 平面向量基本定理及应用
平面向量的基本定理
思路提示
平面向量基本定理是指同一平面内的任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，这就为向量的坐标表示奠定了基础，在向量运算及证明有关问题方面有广泛的应用.
例5.7 已知向量满足，则的值为________.
解析 由平面向量基本定理可知，解得，故.
评注 向量的线性表示对同一组基底而言，具有唯一性.
变式1 设，是不共线的非零向量，且，.
求证：可以作为一组基底；用表示向量；
若，求的值.
解析 （1）证明:假设
即 ,
得
不共线，则 可以作为一组基底。
（2）设
得
得解得所以
（3）由
得 ，
例5.8如图5-12所示，在平行四边形ABCD中，M和N分别为DC和BC的中点，已知，，试用，表示和.
分析 本题若直接用，表示，.有一定的困难，可转化一下角度，用，作为平面的一组基底，表示出，，进而求出，.
解析 因为M和N分别为DC和BC的中点，所以，，于是有 .解得，即，.
评注 注意转化思想在本题中的应用，通过本题可以发现，只要是平面内不共线的两个向量都可以作为一组基底，而恰当地选取平面的一组基底，往往可以提高解题效率.
三点共线定理及其应用
例5.9点P在AB上，求证：且（，O是AB外一点）.
分析 如图5-13所示，由于点P在AB上，可知与共线，设= ，可利用以点O为起点的向量进行转化.
解析 因为P在AB上，所以与共线，所以
= ，故，所以
，令
，则且（）.
评注 本题考查平面向量基本定理即对共线向量的理解，所证明的结论即为三点共线定理.应该广泛应用本题所得到的结论进行解题.
三点共线定理： A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使,其中，O为AB外一点.
变式1 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（-1,3），若点C满足,其中,，则点C的轨迹方程为 （ ）
解析 因为 故,,三点共线，则动点的轨迹方程为直线的方程。由(3，1),(-1，3),得的直线方程为+2-5=0.故选.
变式2 已知数列为等差数列，前项和为.若
点，且P,A,B三点共线，则=_________.
分析 由,,三点共线，得
解析 因为为坐标原点，且,,三点共线，所以 ，又数列 为等差数列，则
评注 本题将数列与平面向量有机结合在一起，体现了高考试题在知识的交汇点处命题的原则。
变式3 如图5-14所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M和N，若，，则的值为______.
解析 解法一：因为点是的中点，所以
又,,三点共线，所以
解法二：特殊位置法。取点 与点重合，点与点重合，此时==1，得+=2
例5.10给定两个长度为1的平面向量和，它们
的夹角为，点C在以点O为圆心的圆弧上运动
.若，其中，则的最大值
是________.
解析 解法一：如图5-15所示，连接AB交OC与点D，由A,D,B三点共线，可设（），又O,D,C三点共线，可设,得，与对应可得，要求解的最大值，等价于求解的最大值.因为，要使得最大，故最小，显然当OD时，最小，最大，即最大，因为AO=OB，∠AOB=，则∠OAB=，则，，即最大值为2.
解法二：如图5-15（）所示，A，B（1,0）， =，且=1，得，令，则，得，整理得，，得，故的最大值为2，即最大值为2.
解法三：设，则，
=== ①
=== ②
所以=，因此当时，即时，取得最大值为2.
评注 本题解法一利用三点共线的向量形式，巧妙地利用转化思想化曲为直，解法之妙值得品味.
变式1 如图5-16所示，在扇形OAB中，∠AOB=，C为弧AB上一个动点，若，则的取值范围是_____________.
解析 解法一;不妨设扇形半径为1，以为坐标原点， 所在直线为轴，建立如图5-50（）所示的直角坐标系，则(1，0),( ),再设 则（ ， ），故由 所以+3=
可知 都是第四象限角。
所以
。
所以+3的取值范围为
解法二:如图5-50（）所示，取的三等分点（靠近点），连接交于点，由 得 因为点,,三点共线，
所以 ，
又 的取值范围为，
所以+3的取值范围是
【例5.11变式1】
例5.11如图5-17所示，在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC，CD的中点，DE与AF交于点H，设，，则等于 （ ）
分析 本题主要考查向量的线性运算，可以利用三点共线定理相关知识求解.
解析 解法一： 因为E，H，D三点共线，所以可设，又因为与共线，则存在实数，使，所以，即，且，不共线，得.故=.故选B.
解法二：特殊化思想.如图5-18所示，,直线AF的方程为：，直线DE的坐标方程为：，联立得,得，即.设，则.，即.故选B.
评注 应熟练掌握平面向量解决三点共线问题的基本方法，即A,B,C三点共线有且只有
一组实数，使得，且.O为平面ABC内任意一点.
变式1 如图5-19所示，设Ｇ是△OAB的重心，过G的直线与OA，OB分别交于P和Q，已知，求证：.
解析 证明：设为的中点，因为是 的重心，为的中点，故
评注 若本题作为填空题或选择题，则可以使用特殊化思想，若使得直线,此时
题型76 向量与三角形的四心
思路提示
用向量有关知识表示三角形的内心、外心、垂心、重心的位置实质是描述三角形的角平分线、垂直平分线、高及中线.
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上.
P为△ABC的内心.
（2）外心：P为△ABC的外心.
（3）垂心：P为△ABC的垂心.
（4）重心：P为△ABC的重心.
一、内心
例5.12 O为△ABC所在平面内一定点，动点P满足,,则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）.
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
分析 根据平面向量的几何表示及内心的定义解题.
解析 因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向为∠BAC的角平分线的方向，又.所以的方向与方向相同，而==，即与同方向，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选B.
变式 1 已知非零向量与满足=0,且，则△ABC为 （ ）
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形
解析 由 又〈 〉= 为等边三角形，故选。
评注 本题考查向量在三角形中的应用，牢记三角形的内心在向量 所在的直线上。
二、重心
例5.13 若O为△ABC内一点，,则O是△ABC的 （ ）
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
解析 如图5-20所示，以为邻边作平行四边形OBDC.取BC的中点为E，则,的，即，故O为△ABC的重心.
故选D.
变式1 在△ABC中，O为平面上任意一点，
证明：G为△ABC的重心.
解析 证明：
知是的重心。若为 的重心 ，= 所以=。三、垂心
例5.14 求证：△ABC中，O为△ABC的垂心.
解析 由；
同理；,因此，O为△ABC的垂心.
变式1 O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，（）则点P的轨迹一定通过△ABC（ ）.
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
解析 由于
=
所以在 边的高上。
故当 ( )时，
通过 的垂心，
故选.
四、外心
例5.15 求证：若O是△ABC的外心，H是△ABC的垂心，则（欧拉定理的引理）.
解析 如图 5-21所示，连接BO并延长交外接圆于点D，连接AD，CD，有，因为BD为圆O的直径，则DA⊥AB,CH⊥AB,CD⊥BC,又因为AH⊥BC，故CH//DA且AH//DC，得四边形AHCD为平行四边形，从而有，又，得.
评注 由三角形重心的性质定理可以很快地得到欧拉定理：对于△ABC的重心G，，
再由上述引理，，所以
，即三角形的外心、重心、垂心三点共线
（欧拉线），且重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍.
变式1 已知点O，N,P在△ABC所在平面内，且，，，则点O，N，P依次是△ABC的 （ ）
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
解析 由点满足 ,故点为 的外心。点满足
,故点为 的重心. 点满足 .
故点为 的垂心。
故选.
题型77 平行向量的坐标运算
思路提示
向量的坐标是向量的代数表示，每一种向量运算都对应着其坐标运算，因此解决向量的相关问题可以通过向量的代数运算去进行.
例 5.16 已知平面向量，向量,,其中和是不同时为零的实数.若，求此时和满足的函数关系式.
分析 由求解.
解析 因为，且，所以存在实数，使得，即.又，不共线，故有，从而，故
=（）.
变式1 平面内给定3个向量，，，回答下列问题.
（1）求；
（2）求满足的实数；
（3）若，求实数；
（4）设满足，且=1，求.
解析 （1）
（2） .解得
（3），，
由，故.
（4）. ①
②
由①②得或
故
题型78 向量共线（平行）的坐标表示
思路提示
向量平行（共线）问题，可以转化为向量的几何表示，如果涉及到坐标,则有其坐标表示形式如下：平面向量，，若，则=0，（或，）.但要问同向或反向还需求.
例 5.17 已知两个向量，，当实数取何值时，向量与平行？
解析 解法一：当与平行时，必存在唯一的实数，使，即，即成立，则，即，故当时，与平行.
解法二： 因为，，要使与平行，则，解得.
评注 本题从两向量平行的线性表示与坐标表示形式两个角度来解决问题，两种方法的本质是一样的，在研究两向量平行时，若向量的坐标的坐标已知，用解法二更简单一些.
变式1 设向量满足，且的方向相反，则的坐标为______.
解析 因为与方向相反，所以可设，所以，由，解得，故.
例5.18 已知向量，，，且A，B，C三点共线，则的值为（ ）
分析 由于A，B，C三点共线，所以与平行，即它们的对应坐标成比例，由此可求出的值.
解析 ，，又由A，B，C三点共线知与平行，即它们的对应坐标成比例，于是有，即=.故选C.
评注 牢记两向量平行的坐标表示是准确、迅速解决本类题目的关键.
变式1 设，，且，则锐角为_______.
解析 因为，所以即，又，故。
变式2 △ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为，设向量，若，则角C的大小为 （ ）.
分析 利用，转化三边关系，从而求出的大小，
解析 因为利用，所以，得，又由余弦定理可得，故，又，故.故选.
最有效训练题21（限时45分钟）
1.下列各命题中：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.
假命题的个数为（ ）
A．2 B.3 C.4 D.5
2.如图5-22所示，在中，O为对角线BD，AC的交点，E为AO中点，连接DE并延长交AB于F，若，，则（ ）.
A.
B.
C.
D.
3.已知向量，不共线，（），.如果，那么（ ）.
A. 且同向 B. 且反向
C. 且同向 D. 且反向
4. 设非零向量，满足，则（ ）.
A B. C. D.
5.若向量，，，则（ ）.
A. B. C. D.
6.已知△ABC和点M满足.若存在实数使得成立，则=（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D.5
7.在中，，，.若，，且，则的值为 .
8.已知，，的模长是1，且与所成的角与与所成的角相等，=_______.
9.如图5-23所示，在中，，AC与BE相交于点F，，则=_______.
10.已知向量，满足，，则的最小值是 ，最大值是 .
11.如图5-24所示，在△OAB中，点Ｃ是点Ｂ关于点Ａ的对称点，，ＤＣ和ＯＡ交于点E,设.
(1)用和表示向量,;
(2)若,求实数的值.
12.设两个非零向量与不共线,
(1)若,,.求证: A,B,D三点共线;
(2)试确定实数使和共线.
最有效训练题21
1. 解析 ①真命题；②假命题，若与中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不一定是有向线段，故选.
2. 解析 在,故,则
.故选.
3. 解析 由则存在，所以
又与不共线，所以，且，所以，即
，故与反向.故选。
A 解析 由平方得，即，则.故选A.
5. 解析 设，则得，因此.
故选.
6. 解析 因为,所以，点是的重心，所以,所以，故选.
7. 解析 解法一：如图所示，以向量，为平面向量的基底，则依题意可得.
又因为，则.
又因为，则，即得.
解法二：以点为坐标原点，以所在直线为轴建立直角坐标系(如图所示).依题意易得，，，则可得，，于是有，
解得.
8. 解析 若与所成的角与与所成的角相等，则，即则，因此
.
9. 解析 由三角形的相似性知，,又,则，所以
,则,故.
10. 解析 解法一：如图所示，和是以为邻边的平行四边形的两条对角线，则，是以为圆心的单位圆上的一动点，构造
图5-51
2个全等的平行四边形，平行四边形．所以．
易知当，B，C三点共线时，最小，此时；
当时，最大，此时．
解法二:
(是向量，的夹角).
所以当时，取得最小值4；当时，取得最大值.
11. 解析 （1）由题意，是的中点，且，由平行四边形法则，,所以，
（2）,又，，
所以，得。
12. 解析 （1）证明：因为,,,所以
,所以，又因为与有公共点，所以三点共线。
因为与共线，且，故存在，使得，
即，所以，因为，是不共线的两个非零向量，所以，即，解得。
图 5-2
D
A
图5-4
C
B
图5-5
D
A
C
B
图5-6
P
B
C
A
图 5-8
图 5-9
B
D
图5-11
C
A
图 5-15
图 5-24

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