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第二节 平面向量的数量积
考纲解读
理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
掌握数量积的坐标表示，会进行两个平面向量数量积的运算.
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题.
命题趋势探究
平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、求夹角、距离等是每年必考内容，单独命题时，以选择、填空题的形式出现，注意考查向量的运算及性质，高考中，与向量有关的解答题一般与其他内容相结合（如解析几何、三角函数、平面几何）进行考查，重在考查向量的工具性作用，向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，应引起重视.
预测2019年高考将考查平面向量的数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数结合的解答题也是热点之一，每年高考分值一般保持在5分左右.
知识点精讲
平面向量的数量积
(1) 已知两个非零向量和，作＝，＝，∠AOB＝θ(0≤θ≤)叫作向量与的夹角．记作，并规定.如果与的夹角是，就称与垂直，记为.
(2) ||| |cos 叫作与的数量积(或内积)，记作,即＝| || |cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量与垂直的充要条件是=0.
两个非零向量与平行的充要条件是＝| || |.
二、平面向量数量积的几何意义
数量积等于的长度| |与在方向上的射影| |cos θ的乘积．即＝| || |cos θ.( 在方向上的射影| |cos θ;在方向上的射影| |cosθ).
三．平面向量数量积的重要性质
性质1 .
性质2
性质3 当与同向时；当当与反向时.
或.
性质4
性质5
注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题.
四、平面向量数量积满足的运算律
（1）（交换律）；
（2）为实数）；
（3）（分配律）。
数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律，不可约分
.
五、平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量由此得到
若；
设两点间距离
设的夹角，则
非零向量的充要条件是.
由得.
六、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但.
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且
题型归纳及思路提示
题型79 平面向量的数量积
思路提示
平面向量的数量积的计算有其定义式和坐标式，若告诉坐标或容易建立坐标系利用坐标计算，否则运用定义式.这里要考虑将向量尽可能转化为共线或垂直.
一、平面向量的数量积
例5.19 （1）在（ ）
A． -16 B. -8 C. 8 D.16
（2）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则________;的最大值为___________.
（3）在，M是BC的中点AM=1，点P在AM上且满足，则等于 ( )
A． B. C. D.
分析利用向量数量积的几何意义（投影）求解.
变式1 如图5-27所示，在平行四边形ABCD中，，垂足为P，且，则=_____________.
变式2 在，若G为的重心，则=_____________.
例5.20如图5-28所示，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若的值是：_____________.
变式1 如图5-30所示在是边BC上一点，______________.
变式2 如图5-31所示，在____________.
变式3 已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
例5.21 已知向量满足则_____________.
.
变式1在则=____________.
变式2 向量满足且则______.
变式3 设向量满足且若则_____________.
例5.22 设是单位向量且则的最小值为（ ）.
A． B. C. D.
变式1 已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足则的最大值是（ ）
A．1 B. 2 C. D.
变式2若平面向量满足，则的最小值是：_____.
例5.23 在中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=____________.
评注利用中线向量求解，可得衍生结论,利用这一结论可求解向量数量积运算中有关中线向量所涉及的最值计算的问题，其变式题如下.
变式1 设，是边上一点，满足且对于边上任一点，恒有,则（ ）
A. B. C. C.
变式2 点P是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（ ）.
B. C. C.
二．平面向量的夹角
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角.
例5.24 已知向量则的夹角是___________.
例5.25 已知是非零向量且满足则的夹角是（ ）.
A． B． C． D.
评注求两向量的夹角主要是应用公式来解决，为此应该求出的值或与的关系，或在坐标已知的情况下直代带入计算.
例5.26 已知向量满足则的夹角为（ ）
A． B． C． D.
变式1 已知是非零向量，且满足，则与的夹角是_________.
变式2 若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则的夹角的取值范围是___________.
例题5.27 已知的夹角为，求使向量与的夹角为锐角的的取值范围.
分析由公式可知，夹角若为锐角，则，即，同时也应注意从以上结果中排除同向共线这一情形.
评注注意当时，已包括了向量与的夹角为，即方向相同的情况，故应排除.本题若改为“与的夹角为钝角，求的范围”，同样需用且排除两向量方向相反的情况.
变式1 设两个向量，满足的夹角为，若向量与的夹角为钝角，求实数t的范围.
变式2 设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ）.
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
变式3 若向量与不共线，，则向量与的夹角为（ ）
A．0 B． C． D.
三、平面向量的模长
求模长，用平方，.
例5.28 已知，向量与的夹角为，求.
.
评注在求解向量的模长时，常用到如下公式来求解.
（1）或；
（2）；
（3）若则.
变式1 已知向量满足的夹角为，则=________.
变式2 已知向量满足=2,则等于( )
A．1 B． C． D.
变式3在中，已知求.
例5.29已知向量的夹角为,,则等于（）
A．5 B．4 C．3 D.1
变式1 13.已知向量，的夹角为，， ，则 .
变式2 已知，则的夹角为________.
变式3 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，,则（）
A．8 B．4 C．2 D.1
例5.30 已知平面向量，满足，且的夹角，则的取值范围是___________.
变式1 若均为单位向量，且，则的最大值为（）
A． B．1 C． D.2
变式2 已知为单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（）
A． B． C． D.
例5.31 在平面上，，若，则的取值范围是（）.
A． B． C． D.
变式1 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则（）
A．2 B．4 C．5 D.10
最有效训练题22（限时45分钟）
1.下列四个命题中真命题的个数为（ ）
若，则；若，且；
；.
A．1 B．2C．3 D.4
2.已知向量，则向量的夹角为（ ）.
A． B． C． D.
3.已知向量，若向量满足，则=（ ）
A． B． C． D.
4.在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ）.
A．3 B． C. D．2
5.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）.
A. B. C. D.
6.已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .
7.已知向量满足的夹角为，则在方向上的投影是_______.
8.已知，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是________.
9.已知向量垂直，则=_______.
10.已知两点,且点P使成公差为非负实数的等差数列.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若为与的夹角，求的取值范围.
11.已知向量
且
（1）求函数的表达式；
（2）若，求的最大值与最小值.
图5-27
D
O
C
A
P
B
图5-28
D
F
C
A
B
E
图5-30
D
C
A
B
图5-31
D
C
A
B第二节 平面向量的数量积
考纲解读
理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
掌握数量积的坐标表示，会进行两个平面向量数量积的运算.
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题.
命题趋势探究
平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、求夹角、距离等是每年必考内容，单独命题时，以选择、填空题的形式出现，注意考查向量的运算及性质，高考中，与向量有关的解答题一般与其他内容相结合（如解析几何、三角函数、平面几何）进行考查，重在考查向量的工具性作用，向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，应引起重视.
预测2019年高考将考查平面向量的数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数结合的解答题也是热点之一，每年高考分值一般保持在5分左右.
知识点精讲
平面向量的数量积
(1) 已知两个非零向量和，作＝，＝，∠AOB＝θ(0≤θ≤)叫作向量与的夹角．记作，并规定.如果与的夹角是，就称与垂直，记为.
(2) ||| |cos 叫作与的数量积(或内积)，记作,即＝| || |cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量与垂直的充要条件是=0.
两个非零向量与平行的充要条件是＝| || |.
二、平面向量数量积的几何意义
数量积等于的长度| |与在方向上的射影| |cos θ的乘积．即＝| || |cos θ.( 在方向上的射影| |cos θ;在方向上的射影| |cosθ).
三．平面向量数量积的重要性质
性质1 .
性质2
性质3 当与同向时；当当与反向时.
或.
性质4
性质5
注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题.
四、平面向量数量积满足的运算律
（1）（交换律）；
（2）为实数）；
（3）（分配律）。
数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律，不可约分
.
五、平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量由此得到
若；
设两点间距离
设的夹角，则
非零向量的充要条件是.
由得.
六、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有.
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但.
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且
题型归纳及思路提示
题型79 平面向量的数量积
思路提示
平面向量的数量积的计算有其定义式和坐标式，若告诉坐标或容易建立坐标系利用坐标计算，否则运用定义式.这里要考虑将向量尽可能转化为共线或垂直.
一、平面向量的数量积
例5.19 （1）在（ ）
A． -16 B. -8 C. 8 D.16
（2）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则________;的最大值为___________.
（3）在，M是BC的中点AM=1，点P在AM上且满足，则等于 ( )
A． B. C. D.
分析利用向量数量积的几何意义（投影）求解.
解析（1）在 =16，故选D.
（2）如图5-25所示，，过点E作于点F，
，所以.
（3）如图5-26所示，因为点M是BC的中点，故，.故选A.
变式1 如图5-27所示，在平行四边形ABCD中，，垂足为P，且，则=_____________.
解析 利用向量数量积的几何意义求解。
变式2 在，若G为的重心，则=_____________.
解析 由勾股定理知，是直角三角形，,所以.
例5.20如图5-28所示，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若的值是：_____________.
解析解法1：用表示是关键.
设，则.
所以.
所以，
.
解法二：向量数量积的坐标运算。以为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系xAy，如图5-29所示.
，设
由，得x=1.
则所以.
变式1 如图5-30所示在是边BC上一点，______________.
分析 将,转化为表示，利用的模长及夹角，求解.
解析 由,得,又,则
=
=-4
评注 解决向量数量积问题的关键在于将所求的问题转化为已知模长及夹角的向量上的运算以解决问题.
变式2 如图5-31所示，在____________.
分析 利用，把转化为有关的运算.
解析 解法一：由，得，
故，
可得
故＝
因为，所以
解法二：如图5-52（a）所示，过点C作AB的平行线交AD的延长线于点E，则＝
由△∽△BDA知即
所以所以故先D。
解法三：如图5-52（b）所示，建立平面直角坐标系，由得则.
图5-52
变式3 （2016天津理7）已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
解析 B 由题意作图，如图所示.则.故选B.
例5.21 已知向量满足则_____________.
解析由得，所以
.
变式1在则=____________.
解析 因为，所以，即
.
又，故=
=
变式2 向量满足且则______.
解析 解法一：由得，
即.
，故填.
解法二：（图象法）由，知，
如图5-54所示，知
变式3 设向量满足且若则_____________.
解析 解法一：由得，
故.即.
由，故，即，得，所以，又，所以.
解法二：（图象法）由，得，且，得，则以为邻边的矩形的对角线互相垂直，如图5-55所示，四边形OACB为正方形，且边长是1，，所以.
例5.22 设是单位向量且则的最小值为（ ）.
A． B. C. D.
解析由又得显然最小值为。故选D.
变式1 已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是（ ）
A．1 B. 2 C. D.
解析 由得，
又，即=，
，因此故选C.
变式2若平面向量满足，则的最小值是：_____.
解析 由.
又，则（当且仅当反向时取“=”）.
因此，得，所以最小值为.
例5.23 在中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=____________.
解析如图5-32所示，因为M为BC的中点，所以
.
评注利用中线向量求解，可得衍生结论,利用这一结论可求解向量数量积运算中有关中线向量所涉及的最值计算的问题，其变式题如下.
变式1 设，是边上一点，满足且对于边上任一点，恒有,则（ ）
A. B. C. C.
【例5.23 变式1】
分析 利用三角形的中线向量表示与，寻求解题突破口.
解析 如图5-56所示，取BC的中点M，AB的中点N，连接CN，MP0.
则=，
同理.
因为，故P0是线段AB上的任意一点中与M点的距离的最小值点，所以，如国5-56所示，又M为BC的中点，P0为BN的中点，因此P0Mo为△BCN的中位线，所以//CN，且，可得CN⊥AB，且点N为线段AB的中点，故△ABC为等腰三角形，且CA=CB.故选D.
评注 ①本题借助中线向量寻求与，的转化，将其不等关系转化为（M为BC的中点），可得，使本题的思路为之大开，眼界也为之一亮，值得品味.②本题也可以以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系解决，请读者自行尝试.
变式2 点P是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（ ）.
B. C. C.
解析 解法一：以点A1为坐标原点，建立空间直角坐标系A1-xyz.如图5-57（a）所示.
则A1（0，0，0），A（0，0，1），P（x，y，0），C1（1，1，0），x，y∈[0，1]，
，
，
所以.故选D.
解法二：（利用构造中线向量求解）如图5-57（b）所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AC1，设AC1中点为Q，连接PQ.
则=.当时，，此时取得最小值为；当点P位于A1或B1或C1或D1时，此时.所以，故选D.
二．平面向量的夹角
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角.
例5.24 已知向量则的夹角是___________.
解析设的夹角为，则又，所以.
例5.25 已知是非零向量且满足则的夹角是（ ）.
A． B． C． D.
分析要求的夹角，即利用公式求解.因此，应充分利用题设中的两个垂直条件，探求与之间的关系.
解析由已知有，即
由公式得，又，所以选B.
评注求两向量的夹角主要是应用公式来解决，为此应该求出的值或与的关系，或在坐标已知的情况下直代带入计算.
例5.26 已知向量满足则的夹角为（ ）
A． B． C． D.
解析解法一：因为，又因为
所以因为，所以，故选C.
解法二：如图5-33所示，在平行四边形OABC中，
所以，故的夹角为.
变式1 已知是非零向量，且满足，则与的夹角是_________.
解析 解法一：因为，故又，所以，而，即，设所求夹角为，由夹角公式==.又，所以，即的夹角为.
解法二：如图5-58所示，因为.可知△AOB为正三角形，故，同时平行四边形AOBC为菱形，所以OC平分，故，即的夹角为.
变式2 若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则的夹角的取值范围是___________.
解析 由题意知则，因为，所以.故填.
例题5.27 已知的夹角为，求使向量与的夹角为锐角的的取值范围.
分析由公式可知，夹角若为锐角，则，即，同时也应注意从以上结果中排除同向共线这一情形.
解析设与的夹角为，则且，
因为，所以，展开得
由，可将上述不等式化为即解得或.
由可知夹角不等于，即两向量不同向共线.
假设向量与向量同向共线，则，
则，所以.所以当两向量不同向共线时，得
故当或且时，满足题意.
即.
评注注意当时，已包括了向量与的夹角为，即方向相同的情况，故应排除.本题若改为“与的夹角为钝角，求的范围”，同样需用且排除两向量方向相反的情况.
变式1 设两个向量，满足的夹角为，若向量与的夹角为钝角，求实数t的范围.
分析 由公式可知，夹角若为钝角，则，即，同时也应注意从以上结果中排除共线反向即这一情况.
解析 由向量的夹角为钝角，得，由，，得，化简即得，解得：.当夹角为时，也有，但此时夹角不是钝角，设，，可解得，所以时，夹角，不符合题意，故.故所求t的范围是
变式2 (2017北京理6)设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ）.
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若，使，即两向量方向相反，夹角为，则.若，也可能夹角为，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.
变式3 若向量与不共线，，则向量与的夹角为（ ）
A．0 B． C． D.
解析 因为，所以，故，故选D.
三、平面向量的模长
求模长，用平方，.
例5.28 已知，向量与的夹角为，求.
分析关系式可使向量的长度与向量的数量积互相转化，因此欲求，可求，将此式展开，由已知，即，而，将上面各式的值代入，即可求得被求式的值.
解析因为，，
所以.
同理.
评注在求解向量的模长时，常用到如下公式来求解.
（1）或；
（2）；
（3）若则.
变式1 已知向量满足的夹角为，则=________.
解析 =
式2 已知向量满足=2,则等于( )
A．1 B． C． D.
解析 由题意知
即.故选D.
变式3在中，已知求.
解析
评注 本题的解法应用了余弦定理.
例5.29已知向量的夹角为,,则等于（）
A．5 B．4 C．3 D.1
解析解法一：因为，所以，即，得（舍）或，故选B.
解法二：如图5-34所示，设，则，且，
由余弦定理得，所以，
所以，解得（舍）或，故选B.
变式1 13.已知向量，的夹角为，， ，则 .
解析
，所以.
变式2 已知，则的夹角为________.
解析 因为，且，所以，所以，而，所以.
变式3 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，,则（）
A．8 B．4 C．2 D.1
解析 由得.
即，
故，得，又点M为BC的中点，则，
因为，所以，.故选C.
例5.30 已知平面向量，满足，且的夹角，则的取值范围是___________.
解析如图5-35所示，在中，由正弦定理知：，因为，所以.
变式1 若均为单位向量，
且，
则的最大值为（）
A． B．1 C． D.2
解析 解法一：由，，得，
所以所以.故选B.
解法二：如图5-59所示，在半径为1的圆O中，设，
因为，所以为钝角，又，所以点C只能在劣弧AB上运动，
又，由图可知.即最大值为1.
变式2 已知为单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（）
A． B． C． D.
解析 由得，，即，
故得
又所以，
得，因此，
解得.故选A.
例5.31 在平面上，，若，则的取值范围是（）.
A． B． C． D.
分析作出示意图，利用矩形的性质求得模长的恒等式，从而求解取值范围，也可建立平面直角坐标系，通过坐标的运算来求解.
解析解法一：依题意，如图5-36（a）所示，连接交AP与点O’,在矩形中，O为平面上任意一点，,所以
,因此,
同理,因此,
所以，又，所以,
即，故选D.
解法二：因为
又
.
因为，所以故，故选D.
解法三：如图5-36（b）所示建立平面直角坐标系xAy.
设
由（*） .因为,所以.
由（*）得，且
故，所以，
因此。故选D。
评注矩形中O为平面上任意一点，有.
变式1 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则（）
A．2 B．4 C．5 D.10
解法一：延长CD至E使得CD=DE，连接AE，BE，构造矩形ACBE，据又P为CD中点，所以所以.故选D.
解法二：如图5-60所示，建立平面直角坐标系xCy，设A（0，a），B（b，0），则E（a，b），因为D是CE的中点，所以，又点P为CD中点，所以，
故.故选D.
最有效训练题22（限时45分钟）
1.下列四个命题中真命题的个数为（ ）
若，则；若，且；
；.
A．1 B．2C．3 D.4
2.已知向量，则向量的夹角为（ ）.
A． B． C． D.
3.已知向量，若向量满足，则=（ ）
A． B． C． D.
4.在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ）.
A．3 B． C. D．2
5.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）.
A. B. C. D.
6.已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .
7.已知向量满足的夹角为，则在方向上的投影是_______.
8.已知，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是________.
9.已知向量垂直，则=_______.
10.已知两点,且点P使成公差为非负实数的等差数列.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若为与的夹角，求的取值范围.
11.已知向量
且
（1）求函数的表达式；
（2）若，求的最大值与最小值.
最有效训练题22
1.A 解析 命题① 为真命题，若都为非零向量，命题显然成立，若有一个为零向量，则根据零向量方向的任意性也有成立；
命题②为假命题，若，则，若可得，因此不一定推出；
命题③为假命题，向量的数量积运算不满足结合律；
命题④为假命题，由不恒成立.综上，故选A.
2.B 解析 依题意，，得.
故选B.
3.D 解析 设，则，由∥，
得，即3x+2y+7=0①，由得3x－y=0 ②
由①②得，所以.故选D.
4.解析 解法一：由题意，作出图像，如图所示．设与切于点，联结．以点为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为．因为，．所以．因为切于点．所以⊥．所以是斜边上的高．，
即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．
设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程，
而，，．
因为，
所以，．
两式相加得
(其中，)，
当且仅当，时，取得最大值为3．故选A.
解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得的最大值为3.
5.解析 解法一（几何法）：如图所示，取的中点，联结，取的中点，由，则 ，当且仅当，即点与点重合时，取得最小值为，故选B.
解法二（解析法）：建立如图所示的直角坐标系，以的的中点为坐标原点，
所以，，．设点，，，，所以，
则其最小值为，此时，．故选B.
6. 解析 ，
，
，
所以，解得
7.1解析 易知上的投影是
8. 解析 ，若的夹角为锐角，则，且，解得，
则实数的取值范围是.
9.－3 解析 ，若，则，
即，得
10.解析 （1）设P（x，y），则
，
所以，化简得，又，所以.
故P的轨迹方程是（）.P的轨迹是是原点为圆心，为半径的右半圆.
（2）由题意知
.
又因为所以又，故.
11.解析 （1）
因为
所以，即.
（2）由（1）可得，令得.
随t的变化情况如表5-1所示.
－1 （－1，1） 1 （1，3）
+ 0 － 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
而
所以.
D
F
C
A
E
B
A
B
C
M
P
图5-25
图5-26
图5-27
D
O
C
A
P
B
图5-28
D
F
C
A
B
E
图5-29
D
F
C
A
B
E
x
y
图5-30
D
C
A
B
图5-31
D
C
A
B
图5-32
M
C
A
B
图5-33
O
C
A
B
b
c
a
图5-34
O
A
B
b
a+b+b
a
A
B
C





O
P
B1
A
x
y
B2
(a)
(b)
图5-36

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