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第六章 数 列
本章知识结构图
第一节 等差数列与等比数列
考纲解读
理解等差数列、等比数列的概念.
掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
了解等差数列与一次函数、等比数列的性质以及函数的关系一直是高考中的热点.
命题趋势探究
从内容上看，等差、等比数列的性质以及与函数的关系一直是高考中的热点.
2. 在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力.
3. 从命题形式上看,以选择、填空题为主,难度不大.
知识点精讲
一、基本概念
1.数列
(1)定义.
按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.
(2)数列与函数的关系.
从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在中,当自变量时,所对应的函数值就构成一数列,通常记为,所以数列有些问题可用函数方法来解决.
2.等差数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示,即.
(2)等差数列的通项公式.
若等差数列的首项是,公差是,则其通项公式为,是关于的一次型函数.或,公差(直线的斜率)().
(3)等差中项.
若成等差数列,那么叫做与的等差中项,即或,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.
(4)等差数列的前项和(类似于),是关于的二次型函数(二次项系数为且常数项为0).的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上.
3.等比数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母表示,即.
(2)等比数列的通项公式.
等比数列的通项,是不含常数项的指数型函数.
(3).
(4)等比中项
如果成等比数列,那么叫做与的等比中项,即或(两个同号实数的等比中项有两个).
(5)等比数列的前项和
注①等比数列的前项和公式有两种形式,在求等比数列的前项和时,首先要判断公比是否为1,再由的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比是否为1时,要分与两种情况讨论求解.
②已知(项数),则利用求解;已知,则利用求解.
③,为关于的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列,前项和为,则.解:等比数列前项和,则.
二、基本性质
1.等差数列的性质
(1)等差中项的推广.
当时,则有,特别地,当时,则有.
(2)等差数列线性组合.
①设是等差数列,则也是等差数列.
②设是等差数列,则也是等差数列.
(3)有限数列.
①对于项数为的等差数列,有:
(Ⅰ).
(Ⅱ).
②对于项数为的等差数列,有;
(Ⅰ).
(Ⅱ).
(4)等差数列的单调性及前项和的最值.
公差为递增等差数列,有最小值;
公差为递减等差数列,有最大值;
公差为常数列.
特别地
若,则有最大值(所有正项或非负项之和);
若,则有最小值(所有负项或非正项之和).
(5)其他衍生等差数列.
若已知等差数列,公差为,前项和为,则:
①等间距抽取为等差数列,公差为.
②等长度截取为等差数列,公差为.
③算术平均值为等差数列,公差为.
2.等差数列的几个重要结论
(1)等差数列中,若,则.
(2)等差数列中,若,则.
(3)等差数列中,若,则.
(4)若与为等差数列,且前项和为与,则.
3.等比数列的性质
(1)等比中项的推广.
若时,则,特别地,当时,.
(2)①设为等比数列,则(为非零常数),,仍为等比数列.
②设与为等比数列,则也为等比数列.
(3)等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定).
当或时,为递增数列;
当或时,为递减数列.
(4)其他衍生等比数列.
若已知等比数列,公比为,前项和为,则:
①等间距抽取
为等比数列,公比为.
②等长度截取
为等比数列,公比为(当时,不为偶数).
4.等差数列与等比数列的转化
(1)若为正项等比数列,则为等差数列.
(2)若为等差数列,则为等比数列.
(3)若既是等差数列又是等比数列是非零常数列.
题型归纳及思路提示
题型 等差、等比数列的通项及基本量的求解
思路提示
利用等差(比)数列的通项公式或前项和公式,列出关于基本量的方程或不等式从而求出所求的量.
一、求等差数列的公差及公差的取值范围
例6.1 记等差数列的前项和为,若,则该数列的公差( ).
A.7 B.6 C.3 D.2
解析 ①
②
由式①②可解得,故选C.
评注 求解基本量用的是方程思想.
变式1 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）.
A．1 B．2 C．4 D．8
解析 ，，联立
，得，即，所以.故选C.
变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差的取值范围是( ).
A. B. C. D.
解析 由已知心有，故排除C；
又由得解出故选B.
二、求等比数列的公比
例6.2（1）（2018北京卷文） “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
（2）在等比数列中,,则公比的值为( ).
A.2 B.3 C.4 D.8
解析 因为,所以则,故选A.
变式1 等比数列的前项和为,且成等差数列,若,则( ).
A.7 B.8 C.15 D.16
解析 设{an}的公比为q，由成等差数列知，即，且，故得.所以.故选C.
变式2 等比数列的前项和为,若成等差数列,则的公比为.
解析 解法一：等比数列{an}的公比（因为不成等差数列），由成等差数列，得，
即，解得.
解法二：由成等差数列， 得，，，
.
评注 等比数列{an}的前n项和为，若成等差数列，
则得
三、求数列的通项
例6.3 (1）等差数列中，，.求的通项公式；
(2)记为等比数列的前项和.已知，.
求的通项公式；
解析 (1)解析 ，解得，所以（）.
(2)解析 由题意设等比数列的首项为，公比为，
则，从而，即，
整理得，因此，所以，
数列的通项公式为．
变式1 为等差数列的前项和,,则.
解析 利用等差数列的性质及通项公式求解.
因为等差数列{an}中，，即，又，
所以，则
变式2 已知两个等比数列,满足,求数列的通项公式.
解析 设的公比为q，则，
由成等比数列得，即解得所以的通项公式为.
例6.4 在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的前项和为.
解析 设该数列的公差为,前项和为.由已知,得,所以,解得或,即数列的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前项和为或.
变式1 已知数列的前项和,则其通项;若它的第项满足,则.
解析 当n=1时，，由，求得此式对于也成立.要满足只需从而有而因此
变式2 已知数列的前项和为非零实数),那么( ).
A.一定是等差数列 B.一定是等比数列
C.或者是等差数列,或者是等比数列
D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列
解析 当n=1时，得
当时，（时也成立）
当时， ，为等差数列；
当时，为等比数列，首项为公比为a.
故选C.
评注 本题还可以使用结论法，当时， 为等差数列，当时，因为系常互反的指数函数，故为等比数列.
题型81 等差、等比数列的求和
思路提示
求解等差或等比数列的前项和,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从为奇数、偶数,项的正、负进行分类.
一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)
例6.5 在等比数列中,若,则该数列的前10项和为( ).
解析 由,所以,故选B.
变式1 是由正数组成的等比数列,为前项和,已知,则.
解析 由数列为等比数列，得=1， ，又为正项数列，所以，设等比数列的公比为q，得，即，得（舍）或.=
变式2 设,则.
解析 解法一：利用公式
解法二：利用，
（指数成等差数列，，故一共有项）.
解法三：当时，
，只有D符合.故选D.
评注 等比数列的求和公式
利用时，要特别注意项数的问题，本题中的项共有项（指数成等差数列，得）
但使用即解法一不必考虑项数，只需知首项、末项及公比即可，这样计算等比数列的前项和会更加简捷.
二、关于等比数列求和公式中的讨论
例6.6 设等比数列的前项和为,若成等差数列,求数列的公比.
解析 若,则,因为,所以,与成等差数列矛盾,故.
由题意可得,即有,
整理得,又,故,即.
因为,所以,所以.
变式1 设数列是等比数列,其前项和为,且,则其公比.
解析 当时，，符合题目条件；
当时，由，因为，所以，
，，解得.
综上，公比为或.
变式2 求和.
解析 当时，；
当时，；
当且时，①
所以②
两式相减得
，
所以.
又当时，符合上式，综上，
.
三、关于奇偶项求和问题的讨论
例6.7 已知数列的通项公式为,求其前项和为.
解析 (1)当为偶数时,
.
(2)当为奇数时,则为偶数,
所以.
综上,.
评注：本题中，将为奇数的情形转化为为偶数的情形，可以避免
不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。
变式1 已知数列中，通项，求其前项和.
解析（1）当为偶数时，，
所以
.
（2）当为奇数时，则为偶数，所以
.
综上，
四、对于含绝对值的数列求和
例6.8 已知数列的前项和，数列的每一项都有
，求数列的前项和
解析：由，当时，，
当时，满足，故（）
由，当时，
此时
当时，
此时
故数列的前项和
评注：由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
(1)首先找出零值或者符号由正变负的项
(2)在对进行讨论，当时，，当时，
变式1 在等差数列中，，其前项和为
(1)求使的最小正整数
(2)求的表达式
解析 （1）由为等差数列，得，
则，得，故最小正整数为.
（2），
当时，；
当时，.
故
题型82 等差、等比数列的性质应用
思路提示
利用等差、等比数列的性质，主要是利用:
①等差中项和等比中项
②等差数列中成等差数列；
等比数列中(当时不为偶数)成等比数列.
③等差数列
④等差数列的单调性
利用以上性质，对巧解数列的选择题和填空题大有裨益。
利用性质:当时，在等差数列中，有
；在等比数列中，有求解。
例6.9 已知等差数列的前项和为，若，则等于（ ）
A、18 B、36 C、54 D、72
解析：由得，72故选D
变式1 （2015重庆理2）在等差数列中，若，，则（ ）.
A. B. 0 C. 1 D. 6
解析 由等差中项知：，所以.故选B.
变式2 在等差数列中，，则该数列的前13项和等于（ ）
A、13 B、26 C、52 D、156
解析 由，得，，，.故选B.
变式3在等差数列中，，，则该数列的前9项和等于（ ）
A、66 B、99 C、144 D、297
解析 解法一：设等差数列的首项为，公差为，则
.
解法二：由于为等差数列，得
二、利用等差数列中成等差数列；
等比数列中（当时不为偶数成等比数列求解。
例6.10 等差数列的前项和为，若,,则等于（ ）
A、12 B、18 C、24 D、42
解析：由成等差数列且，知，可得=14+=24 故选C
评注：本题除了使用本法求解之外，还有几种求解方法，如（1）基本量法；（2）使用为等差数列求解；（3）使用求解
变式1 等差数列的前项和为，若，则（ ）
A、 B、 C、 D、
解析 由等差数列的性质知，成等差数列，令，则，，，则，所以.故选A.
变式2 等比数列的前项和为，若，则（ ）
A、2 B、 C、 D、3
解析 由等差数列的前项和为，可知成等差数列，则可设，则得，故.故选B.
用有限等差数列的性质求解
例6.11 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A、5 B、4 C、3 D、2
解析：依题意有，，
可知，得，故选C
变式1 已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，求中项
解析 设，则的中间项为，
解得即中间项为.
变式2 已知数列与都是等差数列，且前项和为与，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
解析 ，因此
，故，共个数.故选D.
利用等差、等比数列的单调性求解
例6.12 已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
解析：由递增数列的定义，（），得，即，恒成立，则，故选D
评注：（1）【错解】因为=，由题意知是递增数列，所以在上是单调递增函数。因此可得，即所求的取值范围是.以上解答由是递增数列断定在上是单调递增函数，这是错误的，因为数列通项公式中的是正整数，而不是取上的任意实数。如图6-1所示的数列显然是递增数列，但不满足，事实上，.
上述错解是由于忽略的取值范围而导致错误。
在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”。
数列的单调性与，的单调性不完全一致。
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理。但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题。即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”。
变式1 已知函数，若数列满足 (),且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
解析 因为数列为递增数列，所以在上单调递
增，故在与上分别递增，且，
故，即，故的取值范围是，故选C.
例6.13 在等差数列中，已知，前项和为，且，
求当为何值时，取最大值，并求此最大值。
分析：由及，可求出，进而求出通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用是关于的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解。
解析 解法一：因为，，所以
，得，
所以，故，当时，；当时，；所以当时，取最大值，最大值为=130
解法二：依题意，,如图6-2所示。
由得时取最大值，，得到，，=130
解法三： 由知，故，得，
，故当时取最大值，最大值为=130.
评注：求等差数列前项和的最值的常用方法如下：
（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项。
（2）利用性质求出其正负转折项，便可以求得和的最值。
（3）利用等差数列前项和为二次函数，根据二次函数的性质求最值。
变式1 数列是等差数列，若，且其前项和有最小值，
那么当取最小值时，等于（ ）
A、11 B、17 C、19 D、20
解析 由，为等差数列且其前项和有最小值，故，
因此，故，如图6-5所示，
因此当取得最小正值时，，故选D.
变式2 设等比数列的首项为，公比为，则“”是“对于任意都有”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
解析由或可得为递增数列，即，反之不一定得到，故“且”是“对于任意都有”的充分不必要条件.
变式3 已知（），则在数列的前50项中最小项和最大项分别是（ ）
A、 B、 C、 D、
解析 ，当时，单调递增，且；当时，单调递增，且，所以数列的前50项中最小项和最大项分别是.故选D.
题型83 判断和证明数列是等差、等比数列
思路提示
判断和证明数列是等差、等比数列常见的3中方法如下：
（1）定义法：对于的任意正整数，都有（或）为同一常数（用于证明）。
（2）通项公式法：
①若，则数列为等差数列（用于判断）；
②若，则数列为等比数列（用于判断）；
（3）中项公式法：
①若（），则数列为等差数列（用于证明）；
②若（），则数列为等比数列（用于证明）；
定义法
例6.14 (1)设为等差数列，证明：数列（）是等比数列。
(2)设为正项等比数列，证明：数列（）是等差数列。
分析 本题蒋函数与数列巧妙地结合，完美地进行等差数列与等比数列的转化，可利用定义法证明。
解析（1）为等差数列，则（，为常数），令，则是常数，所以数列是等比数列。
（2）为正项等比数列，则（）令，则是常数，所以数列是等差数列。
评注 将等差数列转化为等比数列，利用指数运算来转化；将正项等比数列转化为等差数列，利用对数运算来转化。
变式1 在数列中，且
（1）设，求证：数列是等比数列
（2）设，求证：数列是等差数列
解析 （1）①
②
由①-②得，所以.当时，
，所以
所以，令，所以，故数列是等比数列.
（2）因为数列是等比数列，
.
所以，
则，所以
令，又，故，
因此数列是等差数列.
变式2 数列的前项和为，已知，（），证明：数列是等比数列。
解析 由得，
所以，所以
又，因此数列是等比数列.
变式3 已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：，
（），（），
（），其中为常数，为非零常数。令（），证明：数列为等比数列
解析 ，所以，已知，所以，又，则，且，所以数列是等比数列.
中项公式法
例6.15 已知数列满足，，（）.
(1)证明：数列为等比数列。
(2)求数列的通项公式。
(3)若数列满足（），证明：数列是等差数列。
分析 第（1）问利用定义证明；由第（1）问可得的通项公式；第（3）问的解答需要将的通项公式带入并整理。三问环环相扣，每一问都是后一问解题的基础。
解析 （1）因为，所以，即
，（），又，故数列是首项为2，公比为2的等比数列。
（2）由（1）得（）
故，，，，（）
叠加得到，所以（）时也成立，所以（）
（3）由（2）可知，
即，故
设为数列的前项和，则 ①，
②，
两式相减得即 ③
则有 ④（）④③得，
即（）故数列是等差数列。
评注 第（1）问给出数列的一个递推公式，要证明形如的数列为等差或等比数列，一般将递推公式代入，利用定义法证明。利用等差中项法解决第（3）问并不能明显看出来，这需要在对第（3）问的整理和变形中去发现解题方法。在解数学题时，既要有严谨的推理，也要勇于探索尝试。
变式1 设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且，，成等差数列．
(1)求数列的公比；
(2)证明：对任意成等差数列．
解析 （1）依题意，设公比不为1的等比数列的公比为，由成等差数列，得，所以，得，解得（舍），
（2）要证明对任意，成等差数列，只需证明
因为
所以对任意，成等差数列.
或利用求和公式展开.
，
因此对任意，成等差数列.
变式2设数列中的每一项都不为0 .
证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有++
解析 先证必要性.
设数列的公差为，若，则所述等式显然成立.
若则
再正充分性.依题意有
①
②
②-①得
在上式两端同乘，得③
同理可得④
③-④得，即，
所以为等差数列.
评注 本题考查等差数列、充要条件等有关知识和推理论证、运算求解能力.求解时，必要性证明的关键是利用裂项相消的方法，充分性证明的关键是利用递推关系推导出等差数列的定义.
题型84 等差数列与等比数列的综合应用
思路提示
等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列。
等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列。
一、等差数列与等比数列的相互转化
例6.16 已知数列，是各项均为正数的等比数列，设()
（1）数列是否为等比数列？证明你的结论
（2）设数列，的前项和分别为，,若，，求数列的前项和
解析 （1）数列是等比数列。依题意，设的公比为（），的公比为
（），
则，故数列是等比数列。
（2）由题意知数列，都是等差数列，且，
得到，因为，都是关于的一次型函数，可令，则当时，，即，,同理 ，故，进一步可得数列的前项和为
变式1 设数列是正项等比数列，且，那么的值是（ ）
A、30 B、20 C、10 D、5
解析 是正项等比数列，数列是等差数列，
故
故选B.
变式2 已知等比数列满足各项均为正数，且（），则当时，等于（ ）
A、 B、 C、 D、
解析 因为是正项等比数列，所以是等差数列.
故
故选C.
变式3 设是公比大于1的等比数列，前项和为，已知，且，，构成等差数列。
（1）求数列的通项；
（2）令（），求数列的前项和.
分析 为公比大于1的等比数列，取对数后为等差数列，因此Tn为等差数列的求和计算.
解析 （1）由已知得解得.
设数列的公比为q，由可得，
可知即解得
由题意得所以由可得
故数列的通项为
（2）由于，由（1）得，
所以
故
等差数列和等比数列的交汇问题
例6.17 已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为（），且，，成等差数列，求数列的通项公式。
分析 利用等比数列的性质结合已知条件求出公比，进而可得通项公式。
解析 设等比数列的公比为，因为，，成
等差数列，所以2（）=+，即，于是，又数列不是递减数列，，所以，故数列的通项公式
变式1 设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为 记，（），成等比数列，证明： （）
分析 利用将表示出来，然后根据成等比数列，得到与的关系，可验证
解析 由，得
又因为成等比数列，所以，即，化简得因为，所以
因此，对于所有的，有
从而对于所有的，有
例6.18 在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列，，，，，成等比数列，求数列的通项
解析 依题意可得，所以，由可得
，则，由已知得是等比数列。
因为所以成等比数列，首项为1，公比为3，
由此，所以（），故数列的通项为
变式1 设2009个不全相等的正数，，，依次围成一个圆圈，且，，，是公差为的等差数列，而，，，，是公比为的等比数列，，+=12，求通项（）
解析 因为是公比为的等比数列，
从而，由，
得，解得或
又均为正数，故或（舍）
从而时，
而当时，由是公比为的等比数列，，，
观察指数规律得
因此，
例6,19 设是各项均不为零的项等差数列，且公差.若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序排列）是等比数列。
（1）①当时，求的数值； ②求的所有可能值.
（2）求证：对于给定的正整数，存在一个各项及公差均不为0的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。
解析 （1）①依题意，等差数列为，假设要删去或，当删去时，既是等差数列又是等比数列，故，与题意不合；当删除时，既是等差数列又是等比数列，故，与题意不合；因此删去的项只能是或若删去，则由成等比数列，得．因，故由上式得，即 ＝ 4．此时数列为，满足题设．若删去，则成等比数列，得． 因，故由上 式得，即 ＝1．此时数列为 满足题设．
综上可知的值为或1．
②一个“基本事实”：一个数列既是等差数列又是等比数列,则该数列是非零常数数列。当n≥6时，则从满足题设的数列中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故知，数列的公差必为0，这与题设矛盾．所以满足题设的数列的项数． 又因题设，故或．
当时，由（1）中的讨论知存在满足题设的数列．
当时，若存在满足题设的数列，则由“基本事实”知，删去的项只能是，从而成等比数列，故且．分别化简上述两个等式，得和，故．矛盾．因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列．综上可知，只能为4．
假设对于某个正整数，存在一个公差为的项等差数列
，其中三项，，成等比数列，这里，则有，整理得
，由得：且
或者当且时，
若且，则，矛盾。
若，等式右边为有理数，当为无理数时就产生矛盾。因此，只要为无理数，中任意三项不构成等比数列。
评注 本题考察了一个基本事实：一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列是非零常数数列。
变式1、设等差数列包含1和 ，求证：中的任意三项不构成等比数列。
解析 先设等差数列的公差为，存在，，于是
，即.
如果数列中有不同的三项构成等比数列，则
不妨设
则
由成等比数列，故
所以
化简得
①
②
①+②得，代入②中，，
，则，可得
，与假设矛盾，因此命题得证.
评注 本题实质上是例6.19的特例，由例6.19可直接推出本命题.
最有效训练题23（限时45分钟）
等差数列的公差不为零，首项，是和的等比中项，
则数列的前10项之和是（ ）
A、90 B、100 C、145 D、190
设数列为等差数列，其前项和为，已知，
，若对任意的，都有，则的值为（ ）
A、22 B、21 C、20 D、19
3、如果等差数列中，，那么（ ）
A、14 B、21 C、28 D、35
已知各项均为正数的等比数列中，，，则
（ ）
A、 B、7 C、6 D、
已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，
则数列的前5项的和为（ ）
A、或5 B、或5 C、 D、
设是任意等比数列，其前项的和、前2项的和与前3项
之和分别为，则下列等式中恒成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
已知在等差数列中，对任意的，都有，且是
方程的两实数根，且前15项的和，则数列
的公差是___________
已知为等差数列，为等比数列，其公比，且
，若，，则____（用填空）。
（1）在等比数列中，，公比，若，则
_______________。
（2）设数列，都是正项等比数列，分别为数列，
的前项之和，且，则=________.
10、设数列的前项和为.已知，，.
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和.
11、（2017全国3文17）设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
12、已知是各项均为正数的等比数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）为各项非零的等差数列，其前项和，已知，求数列的前项和.
最有效训练题23
1.B 解析 设等差数列的公差为，则，由是和的等比中项得，即得，
所以故数列的前项之和为
故选B.
2.C解析 设设等差数列的公差为，得，，且
，
，当
时，取最大值，对于，则的取值为20.故选C.
3.C 解析 由数列为等差数列，得，则.
.故选C.
4.A 解析 因为数列为正项等比数列，则故选A.
5. C 解析 设等比数列的公比为，又，若，则，即，得.所以数列的前5项和为若，则，得与题意不符合，故数列的前5项和为.故选C.
6.D 解析 依题意，成等比数列，则，得
，即，得.
故选D.
7.或 解析 由题意可得得，因为是方程的根，所以，解得或，则或均符合题意，则或.
8.＞ 解析 依题意，由为等差数列，得，为等比数列，
得，且，故因为，故等号不能成立，所以
9.（1）11；
（2）解析 因为数列，都为正项等比数列，所以为等差数列，所以故
10.解析 （1）由题意得：，则.
因为，，
所以，得.
又知，所以数列的通项公式为，.
（2）对于，，，当时，有.
设，，，，当时，有.
设数列的前项和为，则，.
当时，，时也满足此式，
所以.
11.解析 （1）令 EMBED Equation.DSMT4 ，则有 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 .
当时， EMBED Equation.DSMT4 ①
②
得 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 ，得 EMBED Equation.DSMT4 .
当时， EMBED Equation.DSMT4 也符合，所以.
（2）令 EMBED Equation.DSMT4 ，
所以
EMBED Equation.DSMT4
.
评注 本题具有一定的难度，第一问要求学生具备一定的转化与化归的思想，将不熟悉的表达形式转化为常规数列求通项问题才能迎刃而解.第二问属于常规裂项相消问题，没有难度，如果学生第一问求解时出现困难的话，可以用找规律的方法求出其通项，这样可以拿到第二问的分数，不失为一种灵活变通的处理方法.
P438
12.解析 （1）设数列的公比为，由题意知，，.
又，解得，，所以.
（2）由题意知，.
又，，所以.
令，则，
因此，
又，
两式相减得，所以.
数列
常见递推类型及方法
逐差累加法
逐商累积法
构造等比数列{an＋eq \f(q,p－1)}
构造等差数列
①an＋1－an＝f (n)
②eq \f(an + 1,an)＝f (n)
③an＋1＝pan＋q
④pan＋1an＝an－an＋1
化为eq \f(an＋1,qn)=eq \f(p,q)·eq \f(an,qn－1)＋1转为③
⑤an + 1＝pan＋qn
公式法：应用等差、等比数列的前n项和公式
分组求和法
倒序相加法
裂项求和法
错位相加法
常见求和方法
概念
表示
等差数列与等比数列的类比
解析法：an＝f (n)
通项公式
图象法
列表法
递推公式
等差数列
通项公式
求和公式
性质
判断
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
an＋am＝ap＋ar
anam＝apar
前n项和
Sn＝eq \f(n(a1＋an),2)
前n项积(an＞0)
Tn＝eq \r((a1an)n)
等比数列
an≠0，q≠0
Sn＝eq \b\lc\{(\a\al(na1，q＝1,\f(a1(1－qn),1－q)，q≠1))
数列是特殊的函数第六章 数 列
本章知识结构图
第一节 等差数列与等比数列
考纲解读
理解等差数列、等比数列的概念.
掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
了解等差数列与一次函数、等比数列的性质以及函数的关系一直是高考中的热点.
命题趋势探究
从内容上看，等差、等比数列的性质以及与函数的关系一直是高考中的热点.
2. 在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力.
3. 从命题形式上看,以选择、填空题为主,难度不大.
知识点精讲
一、基本概念
1.数列
(1)定义.
按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.
(2)数列与函数的关系.
从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在中,当自变量时,所对应的函数值就构成一数列,通常记为,所以数列有些问题可用函数方法来解决.
2.等差数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示,即.
(2)等差数列的通项公式.
若等差数列的首项是,公差是,则其通项公式为,是关于的一次型函数.或,公差(直线的斜率)().
(3)等差中项.
若成等差数列,那么叫做与的等差中项,即或,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.
(4)等差数列的前项和(类似于),是关于的二次型函数(二次项系数为且常数项为0).的图像在过原点的直线上或在过原点的抛物线上.
3.等比数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母表示,即.
(2)等比数列的通项公式.
等比数列的通项,是不含常数项的指数型函数.
(3).
(4)等比中项
如果成等比数列,那么叫做与的等比中项,即或(两个同号实数的等比中项有两个).
(5)等比数列的前项和
注①等比数列的前项和公式有两种形式,在求等比数列的前项和时,首先要判断公比是否为1,再由的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比是否为1时,要分与两种情况讨论求解.
②已知(项数),则利用求解;已知,则利用求解.
③,为关于的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列,前项和为,则.解:等比数列前项和,则.
二、基本性质
1.等差数列的性质
(1)等差中项的推广.
当时,则有,特别地,当时,则有.
(2)等差数列线性组合.
①设是等差数列,则也是等差数列.
②设是等差数列,则也是等差数列.
(3)有限数列.
①对于项数为的等差数列,有:
(Ⅰ).
(Ⅱ).
②对于项数为的等差数列,有;
(Ⅰ).
(Ⅱ).
(4)等差数列的单调性及前项和的最值.
公差为递增等差数列,有最小值;
公差为递减等差数列,有最大值;
公差为常数列.
特别地
若,则有最大值(所有正项或非负项之和);
若,则有最小值(所有负项或非正项之和).
(5)其他衍生等差数列.
若已知等差数列,公差为,前项和为,则:
①等间距抽取为等差数列,公差为.
②等长度截取为等差数列,公差为.
③算术平均值为等差数列,公差为.
2.等差数列的几个重要结论
(1)等差数列中,若,则.
(2)等差数列中,若,则.
(3)等差数列中,若,则.
(4)若与为等差数列,且前项和为与,则.
3.等比数列的性质
(1)等比中项的推广.
若时,则,特别地,当时,.
(2)①设为等比数列,则(为非零常数),,仍为等比数列.
②设与为等比数列,则也为等比数列.
(3)等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定).
当或时,为递增数列;
当或时,为递减数列.
(4)其他衍生等比数列.
若已知等比数列,公比为,前项和为,则:
①等间距抽取
为等比数列,公比为.
②等长度截取
为等比数列,公比为(当时,不为偶数).
4.等差数列与等比数列的转化
(1)若为正项等比数列,则为等差数列.
(2)若为等差数列,则为等比数列.
(3)若既是等差数列又是等比数列是非零常数列.
题型归纳及思路提示
题型 等差、等比数列的通项及基本量的求解
思路提示
利用等差(比)数列的通项公式或前项和公式,列出关于基本量的方程或不等式从而求出所求的量.
一、求等差数列的公差及公差的取值范围
例6.1 记等差数列的前项和为,若,则该数列的公差( ).
A.7 B.6 C.3 D.2
评注 求解基本量用的是方程思想.
变式1 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）.
A．1 B．2 C．4 D．8
变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差的取值范围是( ).
A. B. C. D.
二、求等比数列的公比
例6.2（1）（2018北京卷文） “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（ ）
A. B.
C. D.
变式1 等比数列的前项和为,且成等差数列,若,则( ).
A.7 B.8 C.15 D.16
变式2 等比数列的前项和为,若成等差数列,则的公比为.
三、求数列的通项
例6.3 (1)）等差数列中，，.求的通项公式；
(2)记为等比数列的前项和.已知，.
求的通项公式；
变式1 为等差数列的前项和,,则.
变式2 已知两个等比数列,满足,求数列的通项公式.
例6.4 在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的前项和为.
变式1 已知数列的前项和,则其通项;若它的第项满足,则.
变式2 已知数列的前项和为非零实数),那么( ).
A.一定是等差数列 B.一定是等比数列
C.或者是等差数列,或者是等比数列
D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列
题型81 等差、等比数列的求和
思路提示
求解等差或等比数列的前项和,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从为奇数、偶数,项的正、负进行分类.
一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)
例6.5 在等比数列中,若,则该数列的前10项和为( ).
变式1 是由正数组成的等比数列,为前项和,已知,则.
变式2 设,则.
二、关于等比数列求和公式中的讨论
例6.6 设等比数列的前项和为,若成等差数列,求数列的公比.
变式1 设数列是等比数列,其前项和为,且,则其公比.
变式2 求和.
三、关于奇偶项求和问题的讨论
例6.7 已知数列的通项公式为,求其前项和为.
评注：本题中，将为奇数的情形转化为为偶数的情形，可以避免
不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。
变式1 已知数列中，通项，求其前项和.
四、对于含绝对值的数列求和
例6.8 已知数列的前项和，数列的每一项都有
，求数列的前项和
评注：由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
(1)首先找出零值或者符号由正变负的项
(2)在对进行讨论，当时，，当时，
变式1 在等差数列中，，其前项和为
(1)求使的最小正整数
(2)求的表达式
题型82 等差、等比数列的性质应用
思路提示
利用等差、等比数列的性质，主要是利用:
①等差中项和等比中项
②等差数列中成等差数列；
等比数列中(当时不为偶数)成等比数列.
③等差数列
④等差数列的单调性
利用以上性质，对巧解数列的选择题和填空题大有裨益。
利用性质:当时，在等差数列中，有
；在等比数列中，有求解。
例6.9 已知等差数列的前项和为，若，则等于（ ）
A、18 B、36 C、54 D、72
变式 在等差数列中，若，，则（ ）.
A. B. 0 C. 1 D. 6
变式2 在等差数列中，，则该数列的前13项和等于（ ）
A、13 B、26 C、52 D、156
变式3在等差数列中，，，则该数列的前9项和等于（ ）
A、66 B、99 C、144 D、297
二、利用等差数列中成等差数列；
等比数列中（当时不为偶数成等比数列求解。
例6.10 等差数列的前项和为，若,,则等于（ ）
A、12 B、18 C、24 D、42
评注：本题除了使用本法求解之外，还有几种求解方法，如（1）基本量法；（2）使用为等差数列求解；（3）使用求解
变式1 等差数列的前项和为，若，则（ ）
A、 B、 C、 D、
变式2 等比数列的前项和为，若，则（ ）
A、2 B、 C、 D、3
用有限等差数列的性质求解
例6.11 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A、5 B、4 C、3 D、2
变式1 已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，求中项
变式2 已知数列与都是等差数列，且前项和为与，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
利用等差、等比数列的单调性求解
例6.12 已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”。
数列的单调性与，的单调性不完全一致。
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理。但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题。即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”。
变式1 已知函数，若数列满足 (),且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
例6.13 在等差数列中，已知，前项和为，且，
求当为何值时，取最大值，并求此最大值。
评注：求等差数列前项和的最值的常用方法如下：
（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项。
（2）利用性质求出其正负转折项，便可以求得和的最值。
（3）利用等差数列前项和为二次函数，根据二次函数的性质求最值。
变式1 数列是等差数列，若，且其前项和有最小值，
那么当取最小值时，等于（ ）
A、11 B、17 C、19 D、20
变式2 设等比数列的首项为，公比为，则“”是“对于任意都有”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
变式3 已知（），则在数列的前50项中最小项和最大项分别是（ ）
A、 B、 C、 D、
题型83 判断和证明数列是等差、等比数列
思路提示
判断和证明数列是等差、等比数列常见的3中方法如下：
（1）定义法：对于的任意正整数，都有（或）为同一常数（用于证明）。
（2）通项公式法：
①若，则数列为等差数列（用于判断）；
②若，则数列为等比数列（用于判断）；
（3）中项公式法：
①若（），则数列为等差数列（用于证明）；
②若（），则数列为等比数列（用于证明）；
定义法
例6.14 (1)设为等差数列，证明：数列（）是等比数列。
(2)设为正项等比数列，证明：数列（）是等差数列。
评注 将等差数列转化为等比数列，利用指数运算来转化；将正项等比数列转化为等差数列，利用对数运算来转化。
变式1 在数列中，且
（1）设，求证：数列是等比数列
（2）设，求证：数列是等差数列
变式2 数列的前项和为，已知，（），证明：数列是等比数列。
变式3 已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：，
（），（），
（），其中为常数，为非零常数。令（），证明：数列为等比数列。
中项公式法
例6.15 已知数列满足，，（）.
(1)证明：数列为等比数列。
(2)求数列的通项公式。
(3)若数列满足（），证明：数列是
评注 第（1）问给出数列的一个递推公式，要证明形如的数列为等差或等比数列，一般将递推公式代入，利用定义法证明。利用等差中项法解决第（3）问并不能明显看出来，这需要在对第（3）问的整理和变形中去发现解题方法。在解数学题时，既要有严谨的推理，也要勇于探索尝试。
变式1 设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且，，成等差数列．
(1)求数列的公比；
(2)证明：对任意成等差数列．
变式2设数列中的每一项都不为0 .
证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有++
题型84 等差数列与等比数列的综合应用
思路提示
等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列。
等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列。
一、等差数列与等比数列的相互转化
例6.16 已知数列，是各项均为正数的等比数列，设()
（1）数列是否为等比数列？证明你的结论
（2）设数列，的前项和分别为，,若，，求数列的前项和
变式1 设数列是正项等比数列，且，那么的值是（ ）
A、30 B、20 C、10 D、5
变式2 已知等比数列满足各项均为正数，且（），则当时，等于（ ）
A、 B、 C、 D、
变式3 设是公比大于1的等比数列，前项和为，已知，且，，构成等差数列。
（1）求数列的通项；
（2）令（），求数列的前项和.
等差数列和等比数列的交汇问题
例6.17 已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为（），且，，成等差数列，求数列的通项公式。
变式1 设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为 记，（），成等比数列，证明： （）
例6.18 在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列，，，，，成等比数列，求数列的通项
例6,19 设是各项均不为零的项等差数列，且公差.若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序排列）是等比数列。
（1）①当时，求的数值； ②求的所有可能值.
（2）求证：对于给定的正整数，存在一个各项及公差均不为0的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。
评注 本题考察了一个基本事实：一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列是非零常数数列。
变式1、设等差数列包含1和 ，求证：中的任意三项不构成等比数列。
最有效训练题23（限时45分钟）
等差数列的公差不为零，首项，是和的等比中项，
则数列的前10项之和是（ ）
A、90 B、100 C、145 D、190
设数列为等差数列，其前项和为，已知，
，若对任意的，都有，则的值为（ ）
A、22 B、21 C、20 D、19
3、如果等差数列中，，那么（ ）
A、14 B、21 C、28 D、35
已知各项均为正数的等比数列中，，，则
（ ）
A、 B、7 C、6 D、
已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，
则数列的前5项的和为（ ）
A、或5 B、或5 C、 D、
设是任意等比数列，其前项的和、前2项的和与前3项
之和分别为，则下列等式中恒成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
已知在等差数列中，对任意的，都有，且是
方程的两实数根，且前15项的和，则数列
的公差是___________
已知为等差数列，为等比数列，其公比，且
，若，，则____（用填空）。
（1）在等比数列中，，公比，若，则
_______________。
（2）设数列，都是正项等比数列，分别为数列，
的前项之和，且，则=________.
10、设数列的前项和为.已知，，.
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和.
11、设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
12、已知是各项均为正数的等比数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）为各项非零的等差数列，其前项和，已知，求数列的前项和.
数列
常见递推类型及方法
逐差累加法
逐商累积法
构造等比数列{an＋eq \f(q,p－1)}
构造等差数列
①an＋1－an＝f (n)
②eq \f(an + 1,an)＝f (n)
③an＋1＝pan＋q
④pan＋1an＝an－an＋1
化为eq \f(an＋1,qn)=eq \f(p,q)·eq \f(an,qn－1)＋1转为③
⑤an + 1＝pan＋qn
公式法：应用等差、等比数列的前n项和公式
分组求和法
倒序相加法
裂项求和法
错位相加法
常见求和方法
概念
表示
等差数列与等比数列的类比
解析法：an＝f (n)
通项公式
图象法
列表法
递推公式
等差数列
通项公式
求和公式
性质
判断
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
an＋am＝ap＋ar
anam＝apar
前n项和
Sn＝eq \f(n(a1＋an),2)
前n项积(an＞0)
Tn＝eq \r((a1an)n)
等比数列
an≠0，q≠0
Sn＝eq \b\lc\{(\a\al(na1，q＝1,\f(a1(1－qn),1－q)，q≠1))
数列是特殊的函数

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