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第二节 数列的通项公式与求和
考纲解读
掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法.
能在具体的问题情境中，识别数列的等差和等比关系，抽象出模型，并能用有关知识解决相应的问题.
命题趋势探究
从内容上主要考查：
等差和等比数列与其他知识点的综合运用，用数列知识解决实际问题；从递推公式中构造等差或等比数列，并求出其通项公式.
从考查形式和能力上看，有选择题、填空题、解答题.其中以解答题为主，且难度较大.在解题过程中往往要用到函数与方程思想、化归思想与分类讨论思想.
从命题趋势上看，主要有数列与方程、不等式、函数、解析几何的综合题，以概率为背景结合计数原理考查数列知识及数列建模的应用题.
知识点精讲
基本概念
若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.
数列的第项与项数之间的函数关系，可以用一个公式来表示，那么就是数列的通项公式.
注：①并非所有的数列都有通项公式；
②有的数列可能有不同形式的通项公式；
③数列的通项就是一种特殊的函数关系式；
④注意区别数列的通项公式和递推公式.
题型归纳及思路提示
题型85 数列通项公式的求解
思路提示
常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用与的关系求解.
观察法
根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.
利用递推公式求通项公式
①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得
②叠乘法：形如 的解析式， 可用递推多式相乘求得
③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列
构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法.
利用与的关系求解
形如的关系，求其通项公式，可依据
，求出
观察法
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分.②考虑各项的变化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列.
例6.20写出下列数列的一个通项公式：
（1）
（2）2,22,222，，；
数列中各项为：12,1122,111222，，，
变式1 将全体正整数排成一个三角形数阵，如下所示，则第行
（）从左到右的第3个数为__________
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
变式2 观察下列等式：
，
，可以推测，当时，，，，
利用递推公式求通项公式
叠加法
数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和
例6.21 已知数列满足 ，且，求
数列的通项公式.
变式1 已知数列中，，，求数列的
通项公式
变式2 已知数列中，， ，则____
A、 B、 C、 D、
变式3 已知数列中，，，且，
（，）
（1）设，证明：是等比数列.
（2）求数列的通项公式
变式4 数列中，，（为常数），且 成公比不为1的等比数列.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式
2、叠乘法
数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式
例6.22 已知数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A、 B、 C、 D、
变式1 已知数列中，，，求数列的通项公式
3、构造辅助数列法
（1）待定系数法
形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解.也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项.
例6.23 已知数列中，，，求的通项公式.
分析：式子形如（为常数，且），故利用构造法转化.
变式1 已知，（，），求的通项公式.
例6.24 在数列中，， （），求数列 的通项公式.
2、同除以指数
形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为，同类型（1）.
例6.25 已知数列中，，（，），求数列的通项公式.
评注：一般地，对于形如 ，）的数列求通项公式，两边同除以转化为待定系数法求解；两边同除以转化为叠加法求解.
变式1 在数列中，，
（1）设，试证明：数列是等差数列.
（2）求数列的前项的和
取倒数法
对于，取倒数得.
当时，数列是等差数列；
当时，令，则，可用待定系数法求解.
例6.26 在数列中，，，求数列的通项公式.
变式1 已知数列中首项，（），求数列的通项公式.
变式2 已知数列中首项，前项的和为，且满足（，），求数列的通项公式.
取对数法
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解.
例6.27 已知数列中首项，且 （），则数列的通项_______
变式1 已知数列中首项，且 （），求数列的通项
已知通项公式与前项的和关系求通项问题
对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择.一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况.
简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，如已知（，）；其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形，如已知（，）；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围.
例6.28 已知正项数列中，前项的和，且满足，求数列的通项公式.
评注：本题是关于与的关系式问题中第一个方向的典型题目，本题的闪光点是未给出的直接形式，需要考生稍加变形，转化为后，才可使求解方向变得更为明朗.
变式1 已知数列的前项的和，，（）
（1）设，求；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，求
例6.29 已知数列中，，且对于任意正整数有，求数列的通项公式
变式1 已知数列中，，，前项和满足（，）
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式
变式2 设数列是正数组成的数列，且有，求数列的通项公式.
例6.30 设数列的前项的和为，已知.
（1）设，证明：数列是等比数列.
（2）求数列的通项公式.
变式1 已知数列的前项之和为，且.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式，请指出为何值时，取得最小值，并说明理由.
变式2 已知数列的前项和为，且满足.
（1）写出数列的前3项；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）求.
变式3 设数列的前项和为.已知.
（1）求的值；（2）求数列的通项公式.
题型86 数列的求和
思路提示
求数列前项和的常见方法如下：
（1）通项分析法.
（2）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式.
（3）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列.
（4）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式.常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.
（5）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.
（6）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.
一、通项分析法
例6.31 求数列的前项的和.
.
评注 先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前项和问题应该强化的意识.
变式1 求数列9，99，999，，的前项和.
二、公式法
利用等差、等比数列的前项和公式求和.
例6.32 已知等差数列中，，求数列的前项和.
评注 针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解.
变式1 如图6-4所示，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点.再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，记点的坐标为.
（1）试求与的关系；
（2）求.
三、错位相减法
求数列{}和{}的前项和，数列， 分别为等差与等比数列.求和时，在已知求和式的两边乘以等比数列公比后，与原数列的和作差，即，然后求即可.
例6.33 （1）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
（2）已知数列的前项和为，且，数列中，，点在直线上.
（1）求数列， 的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求.
评注 由于结果的复杂性，自己可以通过代入等验证，等以确保所求结果的准确性.
变式1（2017天津理18）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
变式2 已知数列的前项和，是等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）令求数列的前项和.
四、分组求和法
对于既非等差又非等比数列的一类数列，若将数列的项进行适当地拆分，可分成等差、等比或常数列，然后求和.
例6.34 在数列中.
（1）设，证明为等比数列； （2）求数列的前项和.
变式1 已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且.
（1）求；
（2）求数列的前项和.
变式2 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表6-1的同一列.
表6-1
第1列 第2列 第3列
第1行 3 2 10
第2行 6 4 14
第3行 9 8 18
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
五、裂项相消法
将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.
常用的裂项相消变换有：
1.分式裂项
；
.
2.根式裂项
.
3.对数式裂项
.
4.指数式裂项
；
.
使用裂项法，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项；应注意到，由于数列中每一项均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样的多，切不可漏写未被消去的项.未被消去的项有前后对称的特点，即经过裂项后有“对称剩项”的特征.另外从实质上看，正负项相消是裂项法的根源和目的.
例6.35 求数列的前项和.
评注 如果数列的通项公式可以写成的形式，常采用裂项求和的方法.特别地，当数列形如，其中是等差数列时，可尝试使用此法.
变式1 已知数列，求它的前项和.
例6.36 已知等差数列满足，的前项和.
（1）求及；
（2）令，求数列的前项和.
评注 采用裂项相消法求解数列的前项和，消项时要注意相消的规律，可将前几项和表示出来，归纳规律.一般来说，先注意项数，如果是每两项作为一组相消，则最终剩余项数为偶数项；再看大小，若前面保留的是分母最小的若干项，则最后必会保留分母最大的若干项.
变式1 设正项数列前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
变式2 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前项和.
六、倒序相加法
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）.
例6.37 设，求的值.
变式1 函数，当时，.
（1）求的值；
（2）已知数列满足，求；
（3）若，求.
变式2 已知函数对任意都有.
（1）求的值；
（2）若数列满足，数列是等差数列吗？试证明之；
（3）设，，求数列的前项和.
变式3 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，求.
最有效训练题24（限时45分钟）
1.已知数列，则是数列的（ ）
A．第18项 B．第19项 C．第17项 D．第20项
2.已知各项均不为零的数列，定义向量，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若对任意的，总有成立，则数列是等差数列
B．若对任意的，总有成立，则数列是等比数列
C．若对任意的，总有成立，则数列是等差数列
D．若对任意的，总有成立，则数列是等比数列
3.设是单调递减的等差数列，前3项的和是15，前3项的积是105，当该数列的前项和最大时，（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4.设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（ ）.
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则数列前6项的和为（ ）.
A． B． C．3 D．8
6.对于数列，如果及，使成立，其中，则称为阶递推数列，给出下列三个结论：
①若为等比数列，则是1阶递推数列；
②若为等差数列，则是2阶递推数列；
③若数列的通项公式为，则是3阶递推数列.
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7.根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）-1，7，-13，19，，=_____________；
（2）0.8，0.88，0.888，，=_____________；
（3），=_____________；
（4）0，1，0，1，，=_____________.
8.（2016上海理11）无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大值为 .
9.在数列中，，且，则__________.
10.根据下列条件，确定数列的通项公式.
（1）已知数列的前项和；
（2）已知数列的满足，且；
（3）；
（4）在数列中，；
（5）在数列中，；
（6）在数列中，.
11.已知数列满足（为实数，且），，，，且，，成等差数列.
（1）求的值和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
12. 已知数列的首项
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.第二节 数列的通项公式与求和
考纲解读
掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法.
能在具体的问题情境中，识别数列的等差和等比关系，抽象出模型，并能用有关知识解决相应的问题.
命题趋势探究
从内容上主要考查：
等差和等比数列与其他知识点的综合运用，用数列知识解决实际问题；从递推公式中构造等差或等比数列，并求出其通项公式.
从考查形式和能力上看，有选择题、填空题、解答题.其中以解答题为主，且难度较大.在解题过程中往往要用到函数与方程思想、化归思想与分类讨论思想.
从命题趋势上看，主要有数列与方程、不等式、函数、解析几何的综合题，以概率为背景结合计数原理考查数列知识及数列建模的应用题.
知识点精讲
基本概念
若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.
数列的第项与项数之间的函数关系，可以用一个公式来表示，那么就是数列的通项公式.
注：①并非所有的数列都有通项公式；
②有的数列可能有不同形式的通项公式；
③数列的通项就是一种特殊的函数关系式；
④注意区别数列的通项公式和递推公式.
题型归纳及思路提示
题型85 数列通项公式的求解
思路提示
常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用与的关系求解.
观察法
根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.
利用递推公式求通项公式
①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得
②叠乘法：形如 的解析式， 可用递推多式相乘求得
③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列
构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法.
利用与的关系求解
形如的关系，求其通项公式，可依据
，求出
观察法
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分.②考虑各项的变化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列.
例6.20写出下列数列的一个通项公式：
（1）
（2）2,22,222，，；
数列中各项为：12,1122,111222，，，
分析：通过观察，找出所给数列的特征，求出其通项.
解析：（1）①原数列中的数的符号一正一负，故摆动数列乘以；
②绝对值后分子分母无明显的规律，但通过对偶数各项分子分母同乘以2，可使分子出现规律为3,4,5,6，，则.
解法一：
解法二：原数列即
（3）
变式1 将全体正整数排成一个三角形数阵，如下所示，则第行
（）从左到右的第3个数为(_n^2-n+6__)\2_______
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
变式2 观察下列等式：
，
，可以推测，当时，，，，
分析 通过观察的变化规律能求出的通项公式；同时通过前6个式子，不难发现的规律.
解析 的变化规律为，即分子成等差数列，故能求出的通项公式， 由前6个式子，当时，没有常数项，当时，没有一次项， 当时，没有平方项，当为k时，没有项，故=0.
利用递推公式求通项公式
叠加法
数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和
例6.21 已知数列满足 ，且，求
数列的通项公式.
分析：式子 是形如的形式，
故利用叠加法求和.
解析： 可得
，（）
，
相加可得：（），且也满足上式，
故
变式1 已知数列中，，，求数列的
通项公式
解析 由已知
故=
且，所以时，也满足上式.
故
变式2 已知数列中，， ，则____
A、 B、 C、 D、
分析 递推公式满足的形式，其中，用叠加法求解.
解析 ，即，
故，
叠加得，
故，且当时，也满足上式.故选A.
变式3 已知数列中，，，且，
（，）
（1）设，证明：是等比数列.
（2）求数列的通项公式
解析 （1）证明：由题设得，
即.又所以是首项为1，公比为q的等比数列.
（2）由（1）知.将以上各式相加，
得
所以当n=1时，，满足时的形式；
当q=1时，是差为1的等差数列，所以.
故.
变式4 数列中，，（为常数），且 成公比不为1的等比数列.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式
解析 （1）因为成等比数列，所以解得c=0或c=2.
当c=0时，公比为1，不符合题意，故c=2.
（2）当时，有
所以
又，故，
当n=1时，上式也成立，所以.
2、叠乘法
数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式
例6.22 已知数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：数列的递推公式是形如的形式，故可以利用叠乘法求解.
解析：由变形得 ，从而 ，，
，故（）
即（），所以（，），且满足上式，故（），选B
变式1 已知数列中，，，求数列的通项公式
解析 由变形得，从而，，，
故
且，故
且n=1时， 也满足上式.
故通项公式为
3、构造辅助数列法
（1）待定系数法
形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解.也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项.
例6.23 已知数列中，，，求的通项公式.
分析：式子形如（为常数，且），故利用构造法转化.
解析：解法一、设等价于，得到
，对应，得到
故原递推式等价于，因此数列为首
项为，公比为的等比数列，所以，
故
解法二、由得 （，），
因此（，），所以数列
是首项为，公比为的等比数列.
叠加得到：
故 （）
变式1 已知，（，），求的通项公式.
解析 由即
比较得，故
例6.24 在数列中，， （），求数列 的通项公式.
分析：将原递推公式转化为，即，比较，得，，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，故，即 （）
2、同除以指数
形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为，同类型（1）.
例6.25 已知数列中，，（，），求数列的通项公式.
解析：解法一、将两边同除以得，
则，则
解法二、将两边同除以得，
令，得，构造，得，因此数列为等比数列，且，则 （），
故，进而得到
评注：一般地，对于形如 ，）的数列求通项公式，两边同除以转化为待定系数法求解；两边同除以转化为叠加法求解.
变式1 在数列中，，
（1）设，试证明：数列是等差数列.
（2）求数列的前项的和
解析 （1）证：由已知得，
又因此是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知
两边同乘以2，得 ②
②－①得：
取倒数法
对于，取倒数得.
当时，数列是等差数列；
当时，令，则，可用待定系数法求解.
例6.26 在数列中，，，求数列的通项公式.
分析：式中含有形如和的分式形式，故考虑利用倒数变换求其通项公式.
解析：因为，所以，即数列是等差数列，，故（）
变式1 已知数列中首项，（），求数列的通项公式.
解析 由题意设得.
即故是以为首项，以为公比的等比数列.
所以
所以.
变式2 已知数列中首项，前项的和为，且满足（，），求数列的通项公式.
分析 式中含有形如的分式形式，考虑利用倒数变换求其通项公式.
解析 所以是首项为1，公差为2的等差数列.
所以
所以
且当n=1 时，a1=1不满足上式，
所以
取对数法
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解.
例6.27 已知数列中首项，且 （），则数列的通项_______
分析：取对数时，常用以为底的对数，便于计算.
解析：因为，所以对两边取以3为底的对数，得到，故是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，所以（）
变式1 已知数列中首项，且 （），求数列的通项
解析 依题意，
得，
故数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以.
已知通项公式与前项的和关系求通项问题
对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择.一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况.
简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，如已知（，）；其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形，如已知（，）；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围.
例6.28 已知正项数列中，前项的和，且满足，求数列的通项公式.
解析：由已知，可得 ①
类比得到（，）②
式①式②得
即 所以，又因为，故（，），因此数列为等差数列，且首项为1，公比为2 故 （）
评注：本题是关于与的关系式问题中第一个方向的典型题目，本题的闪光点是未给出的直接形式，需要考生稍加变形，转化为后，才可使求解方向变得更为明朗.
变式1 已知数列的前项的和，，（）
（1）设，求；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，求
解析 （1）由已知 ①
可得 ②
①－②得即
所以可知数列是等比数列，且首项为公比为2.
所以
（2）为等比数列，得
（3）由（1） 即所以
所以数列为等差数列，且首项
所以
评注 本题中的第（3）问难度较大.若应用“目标意识”引领我们的解题思路，则题目的求解变得很简单，也就是由题目中有这种形式，想到在基础上，两边同除以，即达到转化目的。
例6.29 已知数列中，，且对于任意正整数有，求数列的通项公式
分析：已知与的关系，求数列的通项公式利用=（，）求解，将试题右边的含的式子换成来处理.
解析：当时，，及，解得
当时，由得，
变形整理得 ，数列是等差数列，首项为1，
公差为1 故，所以
适合上式，故 （）
故当时，=， 适合上式，
故（）
变式1 已知数列中，，，前项和满足（，）
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式
析 （1）因为，所以，得，
又，方程两边同除以得.
故数列是等差数列，且首项为2，公差为2.
（2）由（1）可知，所以，当；
当
又不符合上式，所以.
评注 本题是关于的关系式问题中第二个方向的典型题目，在此情形下，第（2）问中求的方法最好用代入法，即将代入已知的关系式中，可得通项公式（当然是时
的结论），然后验证n=1时是否适合即可，这种求解方法较题中步骤更为简捷，值得大家借鉴.
变式2 设数列是正数组成的数列，且有，求数列的通项公式.
析 显然已知条件中含有的关系，那么利用，将式中含有的项用替换.
解析 由，
即变形得
对于，令n=1得，得，又数列是正项数列，因此所以，即由此可得数列是首项为公差为的等差数列，故
所以
，满足
例6.30 设数列的前项的和为，已知.
（1）设，证明：数列是等比数列.
（2）求数列的通项公式.
解析 （1）在中，令，得，即，故，由知，两式相减得，即，故，且，即是以2为公比的等比数列.
（2）由且知，故，所以，即有，所以，于是，因此数列是首项为，公差为的等差数列.所以，故.
变式1 已知数列的前项之和为，且.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式，请指出为何值时，取得最小值，并说明理由.
解析 （1）当n=1时，解得
则当
所以
所以是首项为－15，公比为的等比数列.
（2）由（1）有故
当时，设
即有故当n=15时，取得最小值.
变式2 已知数列的前项和为，且满足.
（1）写出数列的前3项；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）求.
解析 （1）已知当n=1时，
可得由此得
（2）
又所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
（3）由（2）可得所以又
可得
变式3 设数列的前项和为.已知.
（1）求的值；（2）求数列的通项公式.
分析 （1）把n=1代入递推式可以得到的关系式，知
（2）递推式含有将公式
进行化异为同，得到或的递推式，构造等差数列，求出新数列的通项，进而求.
解析 （1）依题意，，又所以
（2）解法一：由题意
所以当
两式相减得：，
整理得即.又当，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，所以，所以数列的通项公式，.
解法二：因为所以
整理得所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以
所以，所以，
所以.
题型86 数列的求和
思路提示
求数列前项和的常见方法如下：
（1）通项分析法.
（2）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式.
（3）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列.
（4）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式.常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.
（5）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.
（6）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.
一、通项分析法
例6.31 求数列的前项的和.
解析 数列的通项，即，
所以数列的前项的和为
即.
评注 先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前项和问题应该强化的意识.
变式1 求数列9，99，999，，的前项和.
解析 由题意知从而数列的前n项和为
=
=
评注 求数列的前n项和的一种方法就是首先观察数列的通项公式的特征，然后合理地分析，合并，变形，使之成为常见的数列类型，再使用相应公式或选择合适的方法加以求解.
二、公式法
利用等差、等比数列的前项和公式求和.
例6.32 已知等差数列中，，求数列的前项和.
分析 根据数列为等差数列，，求出数列的通项， 从而知数列为等比数列，利用等比数列的求和公式求.
解析 设等差数列的首项为，公差为，依题意得，解得.
数列的通项公式为，由得，因为，所以数列 是首项为，公比为的等比数列.
于是得数列的前项和.
评注 针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解.
变式1 如图6-4所示，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点.再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，记点的坐标为.
（1）试求与的关系；
（2）求.
解析 （1）设由得，点处切线方程为
，由得
（2）得所以于是
三、错位相减法
求数列{}和{}的前项和，数列， 分别为等差与等比数列.求和时，在已知求和式的两边乘以等比数列公比后，与原数列的和作差，即，然后求即可.
例6.33 （1）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d= –15．
由a1= –7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
（2）已知数列的前项和为，且，数列中，，点在直线上.
（1）求数列， 的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求.
解析 （1），
上两式相减得，得，故，
令.
点在直线上，则，，
则是首项为1，公差为2的等差数列，.
（2），
由（1）-(2)得
，故.
评注 由于结果的复杂性，自己可以通过代入等验证，等以确保所求结果的准确性.
变式1已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
解析 （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由已知，得，而，所以.
又因为，解得.所以.
由，可得 ①
由，可得 ②
联立①②，解得，，由此可得.
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.
(2)设数列的前n项和为，
由，，有，
故，
，
上述两式相减，得
，
得.
所以数列的前项和为.
变式2 已知数列的前项和，是等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）令求数列的前项和.
解析 （1）由题意知当时，，当时，，所以.
设数列的公差为，由，即，解得，，所以.
（2）由（1）知，又，
得，
，
两式作差，得：，
所以.
四、分组求和法
对于既非等差又非等比数列的一类数列，若将数列的项进行适当地拆分，可分成等差、等比或常数列，然后求和.
例6.34 在数列中.
（1）设，证明为等比数列； （2）求数列的前项和.
解析 （1）由已知得，即，
故，且，因此是公比为的等比数列.
（2）由（1）知当时，，叠加得
，
所以，得，时也成立，又，
所以，得.
令，
，
故，
故，又，
所以.
变式1 已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且.
（1）求；
（2）求数列的前项和.
分析 根据题目的条件，求出通项公式，然后分组求和.
解析 （1）方程的两个根为
（2）因为当
所以
故
变式2 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表6-1的同一列.
表6-1
第1列 第2列 第3列
第1行 3 2 10
第2行 6 4 14
第3行 9 8 18
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
解析 （1）由表6-1可得
（2）因为
所以
五、裂项相消法
将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.
常用的裂项相消变换有：
1.分式裂项
；
.
2.根式裂项
.
3.对数式裂项
.
4.指数式裂项
；
.
使用裂项法，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项；应注意到，由于数列中每一项均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样的多，切不可漏写未被消去的项.未被消去的项有前后对称的特点，即经过裂项后有“对称剩项”的特征.另外从实质上看，正负项相消是裂项法的根源和目的.
例6.35 求数列的前项和.
解析 先分析通项公式，
所以
评注 如果数列的通项公式可以写成的形式，常采用裂项求和的方法.特别地，当数列形如，其中是等差数列时，可尝试使用此法.
变式1 已知数列，求它的前项和.
解析 因为数列的通项为
又因为
所以
例6.36 已知等差数列满足，的前项和.
（1）求及；
（2）令，求数列的前项和.
解析 （1）设的首项为，公差为，由已知可得.
所以，.
（2）因为，所以，因此，
故.
故数列的前项和.
评注 采用裂项相消法求解数列的前项和，消项时要注意相消的规律，可将前几项和表示出来，归纳规律.一般来说，先注意项数，如果是每两项作为一组相消，则最终剩余项数为偶数项；再看大小，若前面保留的是分母最小的若干项，则最后必会保留分母最大的若干项.
变式1 设正项数列前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解析 （1）当n=1时，故
=.
因为，，故
，整理得，又，所以，所以
，即数列是以2为公差，以1为首项的等差数列，所以
．
⑵，故
．
变式2 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前项和.
解析 ⑴．
⑵，，
，…，利用叠加法得．
六、倒序相加法
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）.
例6.37 设，求的值.
解析 因为
.
所以.
变式1 函数，当时，.
（1）求的值；
（2）已知数列满足，求；
（3）若，求.
解析⑴令，则，即，所以．
⑵……①
……②，①+②得．
⑶．
变式2 已知函数对任意都有.
（1）求的值；
（2）若数列满足，数列是等差数列吗？试证明之；
（3）设，，求数列的前项和.
解析 ⑴因为对任意都有，令，则，即．
⑵因为，所以有
，两式相加，可得
，
得．又因为，故数列是以为首项，以为公差的等差数列．
⑶由⑵得，则，则
，所以
．
变式3 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，求.
分析 注意到，且当时，，利用倒序相加法求
解析 由已知得，又，两式相加得，又因为数列是以公差为2，首项为1的等差数列，所以，，因此，
．
评注 倒序相加法求数列前n项和是利用首项与第n项的代数和、第2项与第n-1项的代数和相等，依次进行下去，即利用等差数列的求和思想解题．
最有效训练题24（限时45分钟）
1.已知数列，则是数列的（ ）
A．第18项 B．第19项 C．第17项 D．第20项
2.已知各项均不为零的数列，定义向量，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若对任意的，总有成立，则数列是等差数列
B．若对任意的，总有成立，则数列是等比数列
C．若对任意的，总有成立，则数列是等差数列
D．若对任意的，总有成立，则数列是等比数列
3.设是单调递减的等差数列，前3项的和是15，前3项的积是105，当该数列的前项和最大时，（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4.设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（ ）.
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则数列前6项的和为（ ）.
A． B． C．3 D．8
6.对于数列，如果及，使成立，其中，则称为阶递推数列，给出下列三个结论：
①若为等比数列，则是1阶递推数列；
②若为等差数列，则是2阶递推数列；
③若数列的通项公式为，则是3阶递推数列.
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7.根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）-1，7，-13，19，，=_____________；
（2）0.8，0.88，0.888，，=_____________；
（3），=_____________；
（4）0，1，0，1，，=_____________.
8.无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大值为 .
9.在数列中，，且，则__________.
10.根据下列条件，确定数列的通项公式.
（1）已知数列的前项和；
（2）已知数列的满足，且；
（3）；
（4）在数列中，；
（5）在数列中，；
（6）在数列中，.
11.已知数列满足（为实数，且），，，，且，，成等差数列.
（1）求的值和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
12. 已知数列的首项
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
最有效训练题24
1．B 解析 由数列，不难观察到数列的通项公式
，令，得，则n=19．故是数列的第19项．故选B．
2．A 解析 若对于任意的总有∥成立，则，即，，则，所以
，则数列是等差数列．故选A．
对于任意的总有⊥，则，即，因此
，故
，则数列既不是等差数列，也不是等比数列．
3．A 解析 设等差数列的前三项分别为，且，
，得，且等差数列单调递减，则，故
．，当
时，取得最大值．故选A．
4．C 解析 由题意得，.
由，故是必要不充分条件.故选C.
5．A 解析 因为为等差数列，且成等比数列，设公差为，则，即.因为，代入上式可得，又，则，所以.故选A.
6．D 解析 若是等比数列，则即等比数列为1阶递归数列；若是等差数列，则，即等差数列为2阶递归数列；若数列的通项公式为，则由可得，即为3阶递归数列；综上可得，正确的结论有3个．故选D．
7．解析 ⑴符号问题可通过或表示，其各项的绝对值得排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为：．
⑵将数列变形为，所以．
⑶各项的分母分别为，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3．因此把第1项变为，至此原数列已化为，所以
．
⑷ 或或．
8． 解析 由题意或，或，依此类推，又与具备等价性，因此不妨考虑设，
若，则；若，则．按照这种逻辑，可以出现序列，或者序列，因此最大化处理可以出现，所以最大值为．
9． 2600 解析 用奇偶分析法．由已知得
所以数列的奇数项是常数1，偶数项成等差数列，公差为2，所以
．
10． 解析 ⑴ 当时，；当时，
；又时，，所以
．
⑵ 由，得，则，
，…，，叠加得，
，则．
⑶ 因为，.以上个式子相乘得
当符合公式，所以．
⑷ ，把代入得个式子，相加即可得
，所以，即
，即.当时，也符合，所以
．
⑸ 由得.令，所以是以2为公比的等比数
列，即，所以．
(6)由，得，因为，所以两边取以2为底的对数，得，所以，故
，即．
11．分析 (1)由得，先求出，分为奇数与偶数讨论即可；(2)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.
解析 (1) 由，得，又（为实数，且），，则，又因为，所以，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为
(2)由(1)得，设数列的前项和为，则，
两式相减得，
整理得.所以数列的前项和为，.
12．解析 ⑴因为，所以，所以又，所以，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列．
⑵由⑴知，即，所以．设，则，两式相减得
，所以．又，所以数列的前项和．

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