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第七章 不等式
本章知识结构图
第一节 不等式的性质
考纲解读
1. 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式（组）的实际背景.
2. 掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件,理解绝对值不等式的性质.
命题趋势探究
高考中单纯考查不等式性质的题目不多,但不等式知识几乎可以渗透到高考的每一个考点.不等式的性质是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据,所以它仍是高考的一个重点内容. 主要考查一下几点：①依据给定的条件,利用不等式的性质判断不等式或与证明不等式有关的结论是否成立；②利用不等式的性质与实数和函数的性质相结合,进行大小比较；③判断不等式中条件与结论之间的关系,是充分条件、必要条件还是充要条件；④求参数的取值范围；⑤证明不等式时往往使用不等式的推出特征,而解不等式时,则要求同解变形.
从命题的趋势来看,预测2019年本专题在高考中会有如下动向：
（1）对不等式性质的考查一般不会直接命题,往往与其他知识相结合,如与指数函数、对数函数、数列等结合.
（2）若直接命题,则通常比较容易,会出现在选择题或填空题中,若与其他知识相结合,则有可能在解答题中出现,作为求解或证明的一个步骤,为中档难度题.
知识点精讲
一、 基本概念
不等关系与等量关系一样,也是自然界中存在的基本数量关系,他们在现实世界和日常生活中大量存在. 不等关系建立在表示数量的代数式之间,可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“”,“”,“”,“”,“”等）连接的式子叫做不等式,其中“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫做非严格的不等式. 不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代替不等式中的字母,不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母,不等式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数代替不等式中的字母,不等式都不能成立）.
二、基本性质
不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时,对每一条性质要弄清条件和结论,注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式,还要掌握法则成立的条件,避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.
1. 两个不等式的同向合成,一律为“”（充分不必要条件）
（1）（传递性,注意找中间量）
（2）（同向可加性）
（3）（同正可乘性,注意条件为正）
注：如,其逆命题不成立,如但是.
2. 一个不等式的等价变形,一律为“”（充要条件）,这是不等式解法的理论依据
（1）
（2）（对称性）
（3）（乘正保号性）
（4）
（5）（不等量加等量）
（6）（乘方保号性,注意条件为正）
（7）（开方保号性,注意条件为正）
（8）（同号可倒性）；.
最为重要的3条不等式性质为：①；
②；③在不等式问题中都有重要的应用,但应注意他们的适用条件,可以用口诀“同向同正可乘；同号取倒需反向”来记忆.
题型归纳及思路提示
题型88 不等式的性质
思路提示
应用不等式的基本性质,不能忽视其性质成立的条件,解题时要做到言必有据,特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时,有时可用特殊值验证法,以提高解题的效率.
例7.1 对于实数,有以下命题：①若,则；②若,则；③若则；④若,则；⑤若,,则. 其中真命题的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
分析： 判断命题的真假,要紧扣不等式的性质,应注意条件与结论之间的联系.
解析：①中值的正负或是否为零未知,因而判断不等关系缺乏依据,故该命题是假命题；②中,由可知,则故该命题是真命题；③中,不等式两边同乘,可得,若同乘,可得,易知成立,故该命题为真命题；④中,由可知,故有,又因,由“同向同正可乘”性可知成立. 故该命题为真命题；⑤中,由已知因为,故,又,所以,故该命题为真命题. 综上所述,②③④⑤都是真命题,故选C.
评注：准确记忆各性质成立的条件,是正确应用的前提. 在不等式的判断中,特殊值法是非常有效的方法,如变式3.
变式1 设,若,则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
解析 由知,,所以,故选C.
评注：本题考查绝对值得概念和性质,如果用特殊值法也能求解.如取,可排除A,B,D,选项.故选C.
变式2 设是非零实数,若,则下列不等式中成立的是（ ）
B. C. D.
解析 解法一：排除法和赋值法.令,对于选项A：,故错；对于选项B：令,故排除选项B；对于选项D：令,显然错误,因此排除D选项.故选C.
解法二：推演法. 对于选项A：,因为,但不能确定的符号,故的符号不能确定,故选项A不正确；对于选项B：,但的符号不确定,故的符号不能确定,故选项B不正确；对于选项C：.故选C
变式3 若,则下列结论中正确的是（ ）
A. 和均不成立
B. 和均不成立
C. 不等式和均不成立
D. 不等式和均不成立
解析 解法一：因为,所以,所以,又因为,,所以,故不成立.因为,所以,所以,故不成立.故选B.
解法二：排除法.选项A中成立,排除选项A；选项C与D中成立,排除选项C,D.其证明如下：因为,,所以,
因为,故.故选B.
评注：本题也可以用特殊值法求解.如取,则可以排除选项A、C、D,故选B.
变式4若,且,则下列代数式中值最大的是( )
A. B. C. D.
解析 解法一：特殊值法.取,,,,则,
,,因为.故选A.
解法二：因为,所以,即,同理,从而
,又因为…①
…②,由①②得.故选A.
题型89 比较数（式）的大小与比较法证明不等式
思路提示
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形； （3）判断差式与0的大小； （4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小； （4）下结论.
其中变形是关键,变形的方法主要有通分、因式分解和配方等,变形要彻底,要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法,如果要比较的两数（式）均为正数,且是幂或者因式乘积的形式,也可考虑使用作商法,作商法比较大小的原理是：
若,则;;;
若,则;;；
例7.2 若且,试比较与的大小.
解析：解法一：,因为且,所以,所以.
解法二：,因为且,所以,又,所以,
变式1 若,试比较与的大小
分析 这两个代数式都是多项式,可采用作差法比较大小.此外,由于两式右共同的因式,也可以采用作商法.留意到,要比较的两式均小于0,变成正再使用作商法,能降低失误的可能性.这是易错点,需引起同学们的注意.
解析 解法一：
.由于,所以且,故.所以.
解法二：作商法. ,因为
,所以,证毕.
变式2 设且,试比较与的大小
分析 利用作商法比较大小的步骤为：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论.
解析 ,因为,且.若,,,所以,故；若,,,所以,故,综上所得.
评注 对于与大小的比较除了利用作商法外,还可以利用引入对数运算然后作差比较.对与分别取对数,,
,则
①当时,,所以,故
②当时,,所以,故,综上所得.
例7.3 在锐角中,若函数在上单调递减,则下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
解析：因为在锐角中有由在上为单调递增函数,所以,且,又函数在上单调递减,所以,故选D.
变式1 已知函数是上的偶函数,且在区间上是增函数,令,,则（ ）
A. B. C. D.
分析 充分利用函数和三角函数的性质比较大小.
解析 因为是R上的偶函数,所以,
,又因为,且在上是增函数,故,故选A.
变式2 已知函数那么的值( )
A. 一定大于0 B. 一定小于0 C. 等于0 D. 确定
分析 利用函数的单调性判定大小关系.
解析 由函数可得在R上单调递增且为奇函数,因此,即,得,同理,,将三式相加得到,变形
,得,故选B.
题型90 已知不等式的关系,求目标式的取值范围
思路提示
在约束条件下求多变量函数式的范围时,不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围,否则会导致范围扩大,而只能建立已知与未知的直接关系.
例7.4 已知且则的取值范围是 .
解析：解法一：令得,,解得.
即. 由得所以. 故的取值范围是.
解法二：本题还可以利用“线性规划”的方法求解.
如图7-1所示,当直线过点时,取最大值,点的坐标为,所以；当直线,过点时,取最小值,当的坐标为,所以,
又本题不取边界,因此的取值范围是.
评注：不能求出独立的范围内,简单利用不等式性质求解,可结合后面线性规划理解并求解.
变式1 已知且,,求的范围.
解析 ,,,令,得
,即,得.因此,又 ,,得,,故
,所以的范围是.
变式2 设为实数,满足,则的最大值是 .
析 解法一：设,,且,,又
,所以,所以的最大值是27.
解法二：,化简得,,得,
,所以的最大值是27.
评注 本题通过恒等变换将变形为关于与的表达式,然后利用整体代换的方法求解.
最有效训练题26（限时45分钟）
1. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设,则下列不等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知并且,那么一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若，且，则下列不等式成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
5. 若，给出下列不等式 其中正确的个数是（ ）
①； ②； ③
A. B. C. D.
6. 已知下列四个条件中,使得成立的必要而不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知四个条件：能推出成立的有 个.
8. 若,则的取值范围是 .
9. 已知下列三个不等式：①；②；③,以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可能成 个正确命题.
10. 已知且,求的取值范围.
11. 设且求的取值范围.
12. 若实数满足,试比较的大小.
最有效训练题26
1．C 解析 通过特殊值验证，排除后容易判断C正确.故选C.
2．C 解析 因为,所以,既,选项A不正确；对于选项B：,因此选项B不正确 ；对于选项C：；对于选项D：,所以选项D不正确. 故选C.
3．B 解析 由,且,得所以,故选B.
4.B 解析 由题意知，，所以，，
.故选B.注:本题也可采用特殊值法，如，易得结论.
5. D 解析 由于，所以，故，正确.，故正确.,所以成立.故一共有个正确.故选D .
6.A 解析 依题意成立的必要而不充分条件是.故选A.
7.3 解析 ①；②；③推不出；
④.故成立的有三个.
8． 解析 因为,,所以 ,.
9．3 解析 ⑴对②变形,由,得②成立,
①③②.
⑵若,,则,所以①②③.
⑶若,,则,所以②③①.
综上所述,可组成3个正确命题.
10．解析 设,
所以解得
所以.
所以,即.所以的取值范围是.
11．解析 解法一：设为待定系数,
则,
即,于是得得.
所以,因,
所以,故.
则的取值范围是.
解法二：由得
所以,故,
则的取值范围是.
12．解析 ,故.
①
②
由①加②得,
因,所以.
由①减②得,所以,所以.综上,.
可行域
应用题
目标函数
不等式的性质
基本不等式
一元二次不等式
简单的线性规划
证明
最值问题
和定值,积最大；积定值,和最小
应用时注意：一正二定三相等
几何意义：是直线在轴上截距的倍,在轴上截距的倍
：构造一次函数
QUOTE ：构造两点间的距离
QUOTE ：归结为一次型或点线距离型
QUOTE ：构造斜率
借助二次函数的图象
三个二次的关系
不等式第七章 不等式
本章知识结构图
第一节 不等式的性质
考纲解读
1. 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式（组）的实际背景.
2. 掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件,理解绝对值不等式的性质.
命题趋势探究
高考中单纯考查不等式性质的题目不多,但不等式知识几乎可以渗透到高考的每一个考点.不等式的性质是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据,所以它仍是高考的一个重点内容. 主要考查一下几点：①依据给定的条件,利用不等式的性质判断不等式或与证明不等式有关的结论是否成立；②利用不等式的性质与实数和函数的性质相结合,进行大小比较；③判断不等式中条件与结论之间的关系,是充分条件、必要条件还是充要条件；④求参数的取值范围；⑤证明不等式时往往使用不等式的推出特征,而解不等式时,则要求同解变形.
从命题的趋势来看,预测2019年本专题在高考中会有如下动向：
（1）对不等式性质的考查一般不会直接命题,往往与其他知识相结合,如与指数函数、对数函数、数列等结合.
（2）若直接命题,则通常比较容易,会出现在选择题或填空题中,若与其他知识相结合,则有可能在解答题中出现,作为求解或证明的一个步骤,为中档难度题.
知识点精讲
一、 基本概念
不等关系与等量关系一样,也是自然界中存在的基本数量关系,他们在现实世界和日常生活中大量存在. 不等关系建立在表示数量的代数式之间,可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“”,“”,“”,“”,“”等）连接的式子叫做不等式,其中“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫做非严格的不等式. 不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代替不等式中的字母,不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母,不等式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数代替不等式中的字母,不等式都不能成立）.
二、基本性质
不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时,对每一条性质要弄清条件和结论,注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式,还要掌握法则成立的条件,避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.
1. 两个不等式的同向合成,一律为“”（充分不必要条件）
（1）（传递性,注意找中间量）
（2）（同向可加性）
（3）（同正可乘性,注意条件为正）
注：如,其逆命题不成立,如但是.
2. 一个不等式的等价变形,一律为“”（充要条件）,这是不等式解法的理论依据
（1）
（2）（对称性）
（3）（乘正保号性）
（4）
（5）（不等量加等量）
（6）（乘方保号性,注意条件为正）
（7）（开方保号性,注意条件为正）
（8）（同号可倒性）；.
最为重要的3条不等式性质为：①；
②；③在不等式问题中都有重要的应用,但应注意他们的适用条件,可以用口诀“同向同正可乘；同号取倒需反向”来记忆.
题型归纳及思路提示
题型88 不等式的性质
思路提示
应用不等式的基本性质,不能忽视其性质成立的条件,解题时要做到言必有据,特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时,有时可用特殊值验证法,以提高解题的效率.
例7.1 对于实数,有以下命题：①若,则；②若,则；③若则；④若,则；⑤若,,则. 其中真命题的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
变式1 设,若,则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
变式2 设是非零实数,若,则下列不等式中成立的是（ ）
B. C. D.
变式3 若,则下列结论中正确的是（ ）
A. 和均不成立
B. 和均不成立
C. 不等式和均不成立
D. 不等式和均不成立
变式4若,且,则下列代数式中值最大的是( )
A. B. C. D.
题型89 比较数（式）的大小与比较法证明不等式
思路提示
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形； （3）判断差式与0的大小； （4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小； （4）下结论.
其中变形是关键,变形的方法主要有通分、因式分解和配方等,变形要彻底,要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法,如果要比较的两数（式）均为正数,且是幂或者因式乘积的形式,也可考虑使用作商法,作商法比较大小的原理是：
若,则;;;
若,则;;；
例7.2 若且,试比较与的大小.
变式1 若,试比较与的大小
变式2 设且,试比较与的大小
例7.3 在锐角中,若函数在上单调递减,则下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
变式1 已知函数是上的偶函数,且在区间上是增函数,令,,则（ ）
A. B. C. D.
变式2 已知函数那么的值( )
A. 一定大于0 B. 一定小于0 C. 等于0 D. 确定
题型90 已知不等式的关系,求目标式的取值范围
思路提示
在约束条件下求多变量函数式的范围时,不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围,否则会导致范围扩大,而只能建立已知与未知的直接关系.
例7.4 已知且则的取值范围是 .
变式1 已知且,,求的范围.
变式2 设为实数,满足,则的最大值是 .
最有效训练题26（限时45分钟）
1. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设,则下列不等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知并且,那么一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若，且，则下列不等式成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
5. 若，给出下列不等式 其中正确的个数是（ ）
①； ②； ③
A. B. C. D.
6. 已知下列四个条件中,使得成立的必要而不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知四个条件：能推出成立的有 个.
8. 若,则的取值范围是 .
9. 已知下列三个不等式：①；②；③,以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可能成 个正确命题.
10. 已知且,求的取值范围.
11. 设且求的取值范围.
12. 若实数满足,试比较的大小.
可行域
应用题
目标函数
不等式的性质
基本不等式
一元二次不等式
简单的线性规划
证明
最值问题
和定值,积最大；积定值,和最小
应用时注意：一正二定三相等
几何意义：是直线在轴上截距的倍,在轴上截距的倍
：构造一次函数
QUOTE ：构造两点间的距离
QUOTE ：归结为一次型或点线距离型
QUOTE ：构造斜率
借助二次函数的图象
三个二次的关系
不等式

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