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2023届圆锥曲线压轴题——范围问题
一、圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法：
1.函数法
用其他变量表示参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
2.不等式法
根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．
3.判别式法
建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的取值范围．
4.数形结合法
研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.
二、思维导图梳理
三、典例分析
例1.已知椭圆，为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求的取值范围．
自主练习
1.设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.
2.已知圆M：及定点，点A是圆M上的动点，点B在上，点G在上，且满足，，点G的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线和分别交于P、Q两点.当时，求（O为坐标原点）面积的取值范围.
例2.已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，若，，成等比数列，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦与，求的取值范围．
自主练习
1.已知，分别为椭圆的左 右顶点，为右焦点，点为上的一点，恰好垂直平分线段(为坐标原点)，.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交于，两点，若点满足(，，三点不共线)，求四边形面积的取值范围.
2.已知抛物线上一点到焦点的距离.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.
四、综合训练
1.已知椭圆C：上的点到右焦点F的最大距离为，离心率为．
求椭圆C的方程；
如图，过点的动直线l交椭圆C于M，N两点，直线l的斜率为，A为椭圆上的一点，直线OA的斜率为，且，B是线段OA延长线上一点，且过原点O作以B为圆心，以为半径的圆B的切线，切点为令，求取值范围．
2023届圆锥曲线压轴题——范围问题解析
一、圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法：
1.函数法
用其他变量表示参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
2.不等式法
根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．
3.判别式法
建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的取值范围．
4.数形结合法
研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.
二、思维导图梳理
三、典例分析
例1.已知椭圆，为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求的取值范围．
【解答】解：由已知得，解得，椭圆
设，，，，，
由已知得，，
由消去得
则
又
又△，
，，．
的取值范围是
自主练习
1.设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根据题意求出，进而可求出结果；
（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.
【详解】
解：（1）由题设条件可得，，解得，
∴，所以椭圆的方程为
（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，得矩形的面积
当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，
设直线的方程为，与椭圆联立可得
，
由，得
显然直线的直线方程为，直线，间的距离
，
同理可求得，间的距离为
所以四边形面积为
（等号当且仅当时成立）
又，
故由以上可得外切矩形面积的取值范围是
2.已知圆M：及定点，点A是圆M上的动点，点B在上，点G在上，且满足，，点G的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线和分别交于P、Q两点.当时，求（O为坐标原点）面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意得到GB是线段的中垂线，从而为定值，根据椭圆定义可知点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，即可求出曲线C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，表示处的面积代入韦达定理化简即可求范围.
【详解】
（1）为的中点，且是线段的中垂线，
，又，
∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，设椭圆方程为（），
则，，，所以曲线C的方程为.
（2）设直线l：（），
由消去y，可得.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
所以，.①
又由可得；同理可得.
由原点O到直线的距离为和，
可得.②
将①代入②得，
当时，，
综上，面积的取值范围是.
例2.已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，若，，成等比数列，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦与，求的取值范围．
【解答】解：（1）易知，得，则，
而，又，得，，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）①当两条直线中有一条斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，由题意易得；
②当两条直线斜率都存在且不为0时，由（1）知，
设，、，，直线的方程为，则直线的方程为，
将直线方程代入椭圆方程并整理得：，
显然△，，，
，同理得，
所以，，
令，则，，设，
，所以，，所以，，，则．
综合①②可知，的取值范围是．
自主练习
1.已知，分别为椭圆的左 右顶点，为右焦点，点为上的一点，恰好垂直平分线段(为坐标原点)，.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交于，两点，若点满足(，，三点不共线)，求四边形面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据条件得，从而得解；
（2）由题意可知直线的斜率不为，设直线的方程为：，设的中点为，则，知四边形为平行四边形，由，结合韦达定理可得表达式，进而可得范围.
【详解】
（1）由题意可知，，
∵恰好垂直平分线段，∴，
令，代入得：，∴，
∴，解得，∴椭圆的方程为：.
（2）由题意可知直线的斜率不为，设直线的方程为：，
设，，联立方程，消去得：，∴，
∴，，
设的中点为，则，
∴与互相平分，四边形为平行四边形，
∴
，
令，则，
∵在上单调递增，
∴，∴，∴.
综上所述，四边形面积的取值范围为.
2.已知抛物线上一点到焦点的距离.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】
（1）由题意确定p的值即可确定抛物线方程；
（2）很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得是方程的两根，联立直线方程与抛物线方程可得点的横坐标 .结合韦达定理将原问题转化为求解函数的值域的问题即可.
【详解】
（1）由抛物线定义,得，由题意得：
解得
所以，抛物线的方程为.
（2）由题意知，过引圆的切线斜率存在，设切线的方程为，则圆心到切线的距离，整理得，.
设切线的方程为,同理可得.
所以，是方程的两根，.
设，由得，，
由韦达定理知，，所以，同理可得.
设点的横坐标为，则
.
设，则，
所以，，对称轴，所以
四、综合训练
1.已知椭圆C：上的点到右焦点F的最大距离为，离心率为．
求椭圆C的方程；
如图，过点的动直线l交椭圆C于M，N两点，直线l的斜率为，A为椭圆上的一点，直线OA的斜率为，且，B是线段OA延长线上一点，且过原点O作以B为圆心，以为半径的圆B的切线，切点为令，求取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【分析】
依题，结合离心率求得a与c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
由已知可得直线l的方程，与椭圆C：联立，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得弦，写出OA所在直线方程，与椭C：联立求得，得到，利用换元法求得的范围，把转化为含的代数式求解．
【详解】
依题，，解得，，
．椭圆C的方程为；
由已知可得直线l的方程为：，与椭圆C：联立，
得，由题意，
设，，则，．
弦，
OA所在直线方程为，与椭C：联立，解得，
．．
令，则，
则，
得到，
．
令，由知，，换元得：
，其中．
．

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