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2023届圆锥曲线压轴题——最值问题
与圆锥曲线有关的最值问题是高考命题的热点，直线或圆锥曲线运动变化时，点、线、曲线之间的关联受到一定范围的制约，于是产生了对最值的探索这类问题．探求直线或圆锥曲线运动变化得到的几何图形中的最值是高考考查圆锥曲线中常见的题型．
一、圆锥曲线中的最值问题的求解方法：
1.几何法
题目中的条件带有明显的几何特征，则考虑用几何性质来解决，特别要注意到利用圆锥曲线的定义及平面几何中的定理、性质等进行求解．
2.代数法
题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则考虑先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值常见的方法有配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等，别忘了终极方法——导数法！
二、思维导图梳理
三、典例分析
例1.已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，为其右焦点，为椭圆上一点，且与轴垂直，．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于不同的两点、，若以为直径的圆恒过原点，求弦长的最大值．
自主练习
1.如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．
（Ⅰ）已知直线的斜率为，用，，表示点的坐标；
（Ⅱ）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为．
2.已知椭圆，它的上，下顶点分别为，，左，右焦点分别为，若四边形为正方形，且面积为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线，，它们与椭圆分别交于点，，，，且四边形是菱形．求证：
①直线，关于原点对称；
②求出该菱形周长的最大值．
例2.已知椭圆（）的离心率为，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于、两点，点与原点关于直线对称，试求四边形的面积的最大值.
自主练习
1.已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F1的直线l交椭圆于A，B两点，当△ABF2面积最大时，求直线l的方程.
2.已知点，是椭圆的左，右焦点，椭圆上一点满足轴，，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于两点，当的内切圆面积最大时，求直线的方程.
例3.已知点P是曲线C：＋y2＝1上任意一点，点P在x轴上的射影是C，＝2.
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)过点(－，0)的直线交点P的轨迹于点A，B，交点Q的轨迹于点M，N，求|MN|2－|AB|的最大值．
自主练习
1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，椭圆C上的点到其左焦点F1的最大距离为1＋.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆C左焦点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线m：x＝－2，过点F1作直线l的垂线与直线m交于点T，求的最小值和此时直线l的方程．
2.设以△ABC的边AB为长轴且过点C的椭圆Γ的方程为＋＝1(a>b>0)，椭圆Γ的离心率e＝，△ABC面积的最大值为2，AC和BC所在的直线分别与直线l：x＝4相交于点M，N.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)设△ABC与△CMN的外接圆的面积分别为S1，S2，求的最小值．
四、综合练习
1.已知椭圆的右焦点F到左顶点的距离为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上），若，延长AO交椭圆与点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.
2.已知椭圆方程为，射线（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．
（1）求证直线AB的斜率为定值；
（2）求△AMB面积的最大值．
3.已知椭圆过点,直线与椭圆相交于两点(异于点).当直线经过原点时,直线斜率之积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线斜率之积为,求的最小值.
2023届圆锥曲线压轴题——最值问题解析
与圆锥曲线有关的最值问题是高考命题的热点，直线或圆锥曲线运动变化时，点、线、曲线之间的关联受到一定范围的制约，于是产生了对最值的探索这类问题．探求直线或圆锥曲线运动变化得到的几何图形中的最值是高考考查圆锥曲线中常见的题型．
一、圆锥曲线中的最值问题的求解方法：
1.几何法
题目中的条件带有明显的几何特征，则考虑用几何性质来解决，特别要注意到利用圆锥曲线的定义及平面几何中的定理、性质等进行求解．
2.代数法
题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则考虑先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值常见的方法有配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等，别忘了终极方法——导数法！
二、思维导图梳理
三、典例分析
例1.已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，为其右焦点，为椭圆上一点，且与轴垂直，．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于不同的两点、，若以为直径的圆恒过原点，求弦长的最大值．
【解答】解：（1）由已知得，，
又，，
椭圆的方程为
（2）当直线的斜率不存在或斜率为零时，易知；
当直线的斜率存在且不为零时，直线，互相垂直且由图象的对称性知，直线，为椭圆有四个交点，从中任取两点作弦长所得的值相等．设直线方程为：，联立：解得：，不妨取，同理取，
则
综上 可知：
自主练习
1.如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．
（Ⅰ）已知直线的斜率为，用，，表示点的坐标；
（Ⅱ）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为．
【解答】解：（Ⅰ）设直线的方程为，由，消去得
．
由于直线与椭圆只有一个公共点，故△，即，
此时点的横坐标为，代入得
点的纵坐标为，点的坐标为，，
又点在第一象限，故，故，
故点的坐标为，．
（Ⅱ）由于直线过原点且与直线垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离，整理得：，因为，所以，当且仅当时等号成立．
所以，点到直线的距离的最大值为．
2.已知椭圆，它的上，下顶点分别为，，左，右焦点分别为，若四边形为正方形，且面积为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线，，它们与椭圆分别交于点，，，，且四边形是菱形．求证：
①直线，关于原点对称；
②求出该菱形周长的最大值．
【解答】（1）解：由题意可知，，得，．
椭圆的标准方程为；
（2）①证明：设的方程为，，，，，
设的方程为，，，，，
联立，得，
由△，得，
，，
；
同理，四边形是菱形，，，又，，可得直线，关于原点对称；
②椭圆关于原点对称，，关于原点对称，，关于原点对称，
且，，，
四边形是菱形，，，即，，
化简得：．设菱形的周长为，
则
．当且仅当，即时取等号，此时，满足．菱形周长的最大值为．
例2.已知椭圆（）的离心率为，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于、两点，点与原点关于直线对称，试求四边形的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）2
【分析】
（1）由题得：过椭圆的左焦点和上顶点的直线方程为，又由该直线与圆相切得到：，联立，解方程组即得；
（2）由题得直线的斜率一定存在，可设直线，代入椭圆方程，消元化简得：
，由弦长公式求得，再求出点到直线的距离，算出，最后求出四边形的面积的最大值.
【详解】
（1）过椭圆的左焦点和上顶点的直线方程为，即，
又该直线与圆相切，，又离心率，，
，，
椭圆的方程为.
（2）由点与原点关于直线对称，得.
当直线的斜率不存在时，轴，四边形不存在，不合题意.
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线，设，，
将代入，得，
当，即时，，，
从而，
又点到直线的距离，，
设，则，，
当且仅当，即时等号成立，且满足，
四边形的面积的最大值为2.
自主练习
1.已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F1的直线l交椭圆于A，B两点，当△ABF2面积最大时，求直线l的方程.
【答案】（Ⅰ）y2=1；（Ⅱ）x﹣y0或x+y0.
【分析】
（Ⅰ）根据直线椭圆的过上顶点，得b=1，再利用点差法以及弦中点坐标解得a2=3，即得椭圆方程；
（Ⅱ）先设直线l方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理，并以|F1F2|为底边长求△ABF2面积函数关系式，在根据基本不等式求△ABF2面积最大值，进而确定直线l的方程.
【详解】
（Ⅰ）直线x+y=1与y轴的交于（0，1）点，∴b=1，
设直线x+y=1与椭圆C交于点M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2，y1+y2，∴1，1，
两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）=0，
∴，∴ 1，解得a2=3，
∴椭圆C的方程为y2=1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（，0），F2（，0），设A（x3，y3），B（x4，y4），
可设直线l的方程x=my，将直线l的方程x=my代入y2=1，可得（m2+3）y2﹣2my﹣1=0，则y3+y4，y3y4，
|y3﹣y4|，
∴|F1F2||y3﹣y4|||y3﹣y4|，
当且仅当，即m=±1，△ABF2面积最大，
即直线l的方程为x﹣y0或x+y0.
2.已知点，是椭圆的左，右焦点，椭圆上一点满足轴，，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于两点，当的内切圆面积最大时，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）由轴，结合勾股定理可得，从而可求出，，则可知，结合，可求出，即可求出椭圆的标准方程.
（2）设，，，与椭圆方程联立，可得，，从而可用 表示出，用内切圆半径表示出，即可知，结合基本不等式，可求出当半径取最大时， 的值，从而可求出直线的方程.
【详解】
解：（1）因为轴，所以，则，
由，，解得，，，
由椭圆的定义知， ，即，
椭圆的标准方程为.
（2）要使的内切圆的面积最大，需且仅需其的内切圆的半径最大.因为，，设，，易知，直线l的斜率不为0，设直线，联立，整理得，
故，；
所以
，
又，
故，即，；
当且仅当，即时等号成立，此时内切圆半径取最大值为，
直线l的方程为或.
例3.已知点P是曲线C：＋y2＝1上任意一点，点P在x轴上的射影是C，＝2.
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)过点(－，0)的直线交点P的轨迹于点A，B，交点Q的轨迹于点M，N，求|MN|2－|AB|的最大值．
答案　(1)x2＋y2＝4　(2)1
解析　(1)设点Q的坐标为(x，y)，
由＝2得点P的坐标为，又点P是曲线C：＋y2＝1上任意一点，
则可得＋＝1，化简得点Q的轨迹方程为x2＋y2＝4.
(2)若AB⊥x轴，则|AB|＝1，|MN|＝2，∴|MN|2－|AB|＝0；
若直线AB不与x轴垂直，设直线AB的方程为y＝kx＋k，即kx－y＋k＝0，则坐标原点到直线AB的距离d＝，∴|MN|2＝4(4－d2)＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋k代入＋y2＝1，并化简，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋12k2－4＝0，Δ＝16(k2＋1)＞0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝
＝·＝.
当k＝0时，|MN|2－|AB|＝4－4＝0；
当k≠0时，|MN|2－|AB|＝＝≤＝1，
当且仅当4k2＝即k＝±时，等号成立，综上所述，|MN|2－|AB|的最大值为1.
自主练习
1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，椭圆C上的点到其左焦点F1的最大距离为1＋.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆C左焦点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线m：x＝－2，过点F1作直线l的垂线与直线m交于点T，求的最小值和此时直线l的方程．
【解析】　(1)由题可知e＝＝，又椭圆C上的点到其左焦点的最大距离为1＋，所以a＋c＝1＋，所以a＝，c＝1，所以b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，则T(－2，0)，
所以A，B，此时＝；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8＞0，
由韦达定理得x1＋x2＝－，x1·x2＝，
则|AB|＝＝，
联立可得T，所以|TF1|＝，
所以＝＝>＝(因为1＋k2≠k2，所以等号不成立)．
综上，的最小值为，此时直线l的方程为x＝－1.
2.设以△ABC的边AB为长轴且过点C的椭圆Γ的方程为＋＝1(a>b>0)，椭圆Γ的离心率e＝，△ABC面积的最大值为2，AC和BC所在的直线分别与直线l：x＝4相交于点M，N.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)设△ABC与△CMN的外接圆的面积分别为S1，S2，求的最小值．
【解析】　(1)依题意：所以
椭圆Γ的方程为＋＝1.
(2)如图，设C(x0，y0)(y0≠0)，则＋＝1，A(－2，0)，B(2，0)．
直线AC：＝与直线l：x＝4联立得M.
直线BC：＝与直线l：x＝4联立得N.
则|MN|＝|－|＝.
设∠ACB＝α，r1，r2分别为△ABC和△CMN外接圆的半径，在△ABC中，＝2r1，所以r1＝.在△CMN中，＝2r2，所以r2＝，
＝＝＝＝.
又y02＝(4－x02)，所以＝＝·.
令t＝4－x0，因为－2＝·＝·＝·
＝·.
所以当t＝3，即x0＝1时，取得最小值，最小值为.
四、综合练习
1.已知椭圆的右焦点F到左顶点的距离为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上），若，延长AO交椭圆与点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据椭圆方程中基本量的关系与右焦点F到左顶点的距离，即可求出椭圆基本量，即得椭圆方程；
（2）首先联立方程组，利用韦达定理表示出四边形的面积，根据面积表达式的函数单调性求出面积的最值即可.
【详解】
（1）由题知，，，
解得，所以椭圆；
（2）因为过点F的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上），
设，联立，
设，，有，
因为，所以四边形AOBE是平行四边形，
所以，
有，
令，有，
当时单调递减，所以当时面积取最大值，
最大值为.
2.已知椭圆方程为，射线（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．
（1）求证直线AB的斜率为定值；
（2）求△AMB面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
(1)设,求得M的坐标,则可表示出AM的直线方程和BM的直线方程,分别与椭圆的方程联立求得和,进而求得AB的斜率;(2)设出直线AB的方程与椭圆方程联立消去y,利用判别式大于0求得m的范围,进而表示出三角形AMB的面积,利用m的范围确定面积的最大值.
【详解】
（Ⅰ）斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（，2）．
直线MA方程为，
分别与椭圆方程联立，可解出，
同理得，直线MB方程为．
∴　，为定值.
（Ⅱ）设直线AB方程为，与联立，消去y得
．
由＞0得一4＜m＜4，且m≠0，
点M到AB的距离为．
设△AMB的面积为S．　
∴．
当时，得．
3.已知椭圆过点,直线与椭圆相交于两点(异于点).当直线经过原点时,直线斜率之积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线斜率之积为,求的最小值.
【答案】 (1).(2).
【解析】
试题分析：(1)设出直线方程,利用直线的斜率公式、点在椭圆上求出椭圆的标准方程;
(2)联立直线和椭圆的方程,得到关于的一元二次方程,利用根与系数的关系、直线的斜率公式和弦长公式进行求解.
试题解析：设直线,
(1)当经过原点时,,
此时,
又,
椭圆方程为.
(2)由,
,,
由,
,
,
,
,
,
恒过定点,
===,
当时,的最小值为3,
当直线的斜率为零时,不合题意,
综上,.

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