资源简介

2023届圆锥曲线压轴题——定点、点值问题
一、解题方法分析
1.定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
2.求定值问题的解题策略与步骤
(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
二、思维导图梳理
三、典例分析
例1.已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)证明：为定值．
自主练习
1.已知直线l的方程为x＝﹣2，且直线l与x轴交于点M，圆O：与x轴交于A，B两点（如图）．
（1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且O点到直线l1的距离为，求直线l1的方程；
（2）求以l为准线，中心在原点，且短轴长为圆O的半径的椭圆方程；
（3）过M点的圆的切线l2，交（2）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长．
2.已知椭圆C：的离心率为，且过点．
Ⅰ 求椭圆C的方程；
Ⅱ 若是椭圆C上的两个动点，且使的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
例2.已知椭圆的右焦点为F，A、B分別为椭圆的左项点和上顶点，ABF的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP、AQ分别与直线x＝交于点M、N．以MN为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
自主练习
1.已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且
求抛物线的方程；
动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2.已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为、，四边形的面积为4，四边形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点，为椭圆上的两个动点，的面积为1．证明：存在定点，使得为定值．
四、综合练习
1.已知直线l经过椭圆的左焦点和下顶点，坐标原点O到直线l的距离为.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若椭圆C经过点，点A，B是椭圆C上的两个动点，且的角平分线总是垂直于y轴，试问：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
2.已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，|AB|＝4．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
3.已知椭圆：的离心率为，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）以线段为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.
2023届圆锥曲线压轴题——定点、点值问题解析
一、解题方法分析
1.定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
2.求定值问题的解题策略与步骤
(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
二、思维导图梳理
三、典例分析
例1.已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)证明：为定值．
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】
（1）由得，从而可得，又有，可得，从而可求出椭圆E的方程；
（2）由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为
联立直线与椭圆的方程得韦达定理，且=，得，写出直线BP的方程，求得，同理可得，化简求得=为定值．
【详解】
解：（1）由解得或（舍去），
∴，又，，又，
，，椭圆E的方程为；
（2）由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
设，
由得，
∴，=
，∴，
=，
直线BP的方程为，令解得，则，
同理可得，=
==，为定值．
自主练习
1.已知直线l的方程为x＝﹣2，且直线l与x轴交于点M，圆O：与x轴交于A，B两点（如图）．
（1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且O点到直线l1的距离为，求直线l1的方程；
（2）求以l为准线，中心在原点，且短轴长为圆O的半径的椭圆方程；
（3）过M点的圆的切线l2，交（2）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）可设直线l1的方程为y＝k（x+2），由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得；
（2）设椭圆的方程为1（a＞b＞0），易得a＝1或b＝1，分别可得b和a值，可得方程；
（3）可设直线l2的方程为y（x+2）和椭圆联立可得5x2+8x+2＝0，由弦长公式可得．
【详解】
（1）∵点到直线的距离为.设的方程为，∴，∴.∴的方程为.
（2）设椭圆方程为，半焦距为，则.
，，∴.∴所求椭圆方程为.
（3）设切点为，则由题意得，椭圆方程为，
在中，，，则，
∴的方程为，代入椭圆中，整理得.
设，，则，.
∴.
2.已知椭圆C：的离心率为，且过点．
Ⅰ 求椭圆C的方程；
Ⅱ 若是椭圆C上的两个动点，且使的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
【答案】Ⅰ ；（Ⅱ）
【分析】
（I）由离心率可得关系，再将点坐标代入，可得间关系，又，解方程可得的值；
（II）由的角平分线总垂直于轴，可判断直线的斜率互为相反数，由两直线都过点，由点斜式可写出直线方程．一一与椭圆方程联立，消去或的值，可得一元二次方程，又点满足条件，可求得点的坐标，用表示．再由斜率公式可得直线的斜率为定值．
【详解】
(Ⅰ) 因为椭圆的离心率为, 且过点,所以, . 因为,解得, , 所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称. 设直线的斜率为, 则直线的斜率为.
所以直线的方程为,
直线的方程为.
设点, ,由消去,
得. ①
因为点在椭圆上, 所以是方程①的一个根,
则, 所以.同理.所以. 又.
所以直线的斜率为.
所以直线的斜率为定值，该值为.
例2.已知椭圆的右焦点为F，A、B分別为椭圆的左项点和上顶点，ABF的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP、AQ分别与直线x＝交于点M、N．以MN为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）MN为直径的圆恒过定点和．
【分析】
（1）根据ABF的面积为求出a＝2，即得解；
（2）设直线PQ的方程为，点．求出，，设以MN为直径的圆过定点P（m，n），则，联立和PQ的方程为，得到韦达定理，把韦达定理代入即得解.
【详解】
解：（1）由题得
ABF的面积，解得a＝2，
即椭圆C的标准方程为．
（2）已知点A（－2，0），设直线PQ的方程为，点．
直线AP的方程为，直线AQ的方程为，
将代入直线AP、AQ方程，
可得，．
设以MN为直径的圆过定点P（m，n），则，
即
联立椭圆和直线PQ的方程为，
可得，
化简得，即，．
代入上式化简得
，由此可知，若上式与t无关，
则，又，
因此MN为直径的圆恒过定点和．
自主练习
1.已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且
求抛物线的方程；
动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】
求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得的坐标，代入抛物线方程，解得，进而得到抛物线的方程；在轴上假设存在定点其中，使得与向量共线，可得轴平分，设，，联立和，根据恒成立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得的方程，求得，可得结论．
【详解】
抛物线C：的焦点为，准线方程为，
即有，即，则，解得，
则抛物线的方程为；
在x轴上假设存在定点其中，使得与向量共线，
由，均为单位向量，且它们的和向量与共线，
可得x轴平分，设，，联立和，
得，恒成立．，
设直线DA、DB的斜率分别为，，则由得，
，
，
联立，得，故存在满足题意，
综上，在x轴上存在一点，使得x轴平分，
即与向量共线．
2.已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为、，四边形的面积为4，四边形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点，为椭圆上的两个动点，的面积为1．证明：存在定点，使得为定值．
【解答】（1）解：由题意知，，即，
，即，又，
解得，，，椭圆的标准方程为．
（2）证明：当定点为原点时，为定值5．
证明如下：设，，，，
①当直线的斜率不存在时，，，，即，
，，，
．
②当直线的斜率存在时，设直线，代入可得，
，，，
设点到直线的距离为，则，
而，
，化简得，即，，
．
综上所述，存在定点，当为原点时，可使为定值．
四、综合练习
1.已知直线l经过椭圆的左焦点和下顶点，坐标原点O到直线l的距离为.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若椭圆C经过点，点A，B是椭圆C上的两个动点，且的角平分线总是垂直于y轴，试问：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，定值为.
【分析】
（1）先求出直线的方程，再由点到直线的距离公式得出原点到直线的距离，从而可得出答案.
(2)由条件结合（1）先求出椭圆方程，根据条件可得，设直线的方程为，与椭圆方程联立，求解出点的横坐标，同理求出点的横坐标，从而可得直线的斜率，得出答案.
【详解】
解：（1）过点，的直线的方程为
则坐标原点到直线的距离为
可得.
（2）由（1）易知，则椭圆：经过点，
解得，则椭圆：.
因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称.
则，设直线的斜率为，则直线的斜率为
所以设直线的方程为，直线的方程为
设点，.
由，消去，得.
因为点在椭圆上，则有，即.
同理可得.
所以，又.
所以直线的斜率为.
2.已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，|AB|＝4．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）1；（2）是，定值2．
【分析】
由题知,,由及的关系即可求解;
由题意可得A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0）则x02+2y02＝8，可得,分直线l的斜率存在和不存在两种情况分别求△OMN的面积即可.
【详解】
由2a＝4，e，解得a＝2，c＝2，b2＝a2﹣c2＝4，
则椭圆的方程为1；
（2）由题意可得A（﹣2，0），B（2，0），
设P（x0，y0），可得1，即x02+2y02＝8，
则 ，
因为AP∥OM,BP∥ON，则，
①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，联立椭圆方程可得y＝±，
所以,由,
可得，解得m＝±2，所以,
所以S△MNO2×22；
②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+n，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立直线y＝kx+n和x2+2y2＝8，可得（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8＝0，
可得x1+x2，x1x2，
y1y2＝（kx1+n）（kx2+n）＝k2x1x2+kn（x1+x2）+n2，
由k2，可得n2＝2+4k2，
由弦长公式可得,|MN| ，
点（0，0）到直线l的距离为，
所以S△OMNd |MN|＝2，
综上可知,△OMN的面积为定值2．
3.已知椭圆：的离心率为，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）以线段为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是，定点坐标为或
【分析】
（1）根据相切得到，根据离心率得到，得到椭圆方程.
（2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，，联立方程得到，，计算点的坐标为，点的坐标为，圆的方程可化为，得到答案.
【详解】
（1）根据题意：，因为，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，，
把直线的方程代入椭圆方程化简得到，
所以，，
所以，，
因为直线的斜率，所以直线的方程，
所以点的坐标为，同理，点的坐标为，
故以为直径的圆的方程为，
又因为，，
所以圆的方程可化为，令，则有，
所以定点坐标为或.

展开更多......

收起↑