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第二节 空间几何体的直观图与三视图
考纲解读
1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的机构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2.能画出简单空间图形（长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等及其及其简易组合）的三视图， 能识别三视图, 能所表示的立体模型, 并会用斜二测画法画出它们的直观图.
3.会用平行投影, 画出简单空间图形的三视图与直视图, 了解空间图形的不同表示形式.
4. 会画某些建筑物的三视图与直视图(在不影响图形特征的基础上, 尺寸、线条等不作严格要求).
命题趋势探究
高考中对本节内容的考查, 可以分为以下两类.
(1)柱、锥、台、球的定义和相关性质是基础, 以它们为载体考查线线、线面、面面间的关系是中点。
(2)三视图为新课标新增内容, 所以高考会加大对其考查的粒度.
在高考中,主要考查三视图和直观图, 特别是通过三视图确定原几何体的相关量. 多以选择填空题为主,也不排除通过三视图来还原几何体的直观图的解答题, 侧重于考查考生对基础知识的掌握以及应用所学知识解决问题的能力.
知识精讲
一、空间几何体的直观图
1.斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下:
(1)建立直角坐标系. 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 ,建立直角坐标系.
(2)画出斜坐标系. 在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形. 在已知图形平行于 轴的线段, 在直观图中画成平行于 使 (或), 它们确定的平面表示水平平面.
(3)画出对应图形. 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于 轴的线段, 且长度保持不变; 在已知图形平行于 轴的线段, 在直观图中画成平行于 轴, 且长度变为原来的一般. 可简化为 “横不变, 纵减半”.
(4)擦去辅助线. 图画好后, 要擦去 轴、 轴及为画图添加的辅助线(虚线). 被挡住的棱画虚线.
注: 直观图和平面图形的面积比为.
2.平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的, 中心投影的投影线相交于一点.
二、空间几何体的三视图
1.三视图的概念
将几何体由前至后、由左至右、由上至下分别作正投影得到的三个投影图依次叫做该几何体的正(主)视图、左(侧)视图、俯视图, 统称三视图. 它们依次反应了几何体的高度与长度、高度与宽度、长度与宽度.
2.作、看三视图的三原则
(1)位置原则:
度量原则 长对正、高平齐、宽相等 即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽
虚实原则 轮廓线、现则实、隐则虚
俯视图
几何体上下方向投影所得到的投影图 反映几何体的长度和宽度
口诀
正侧同高 正府同长 府侧同宽 或长对正、高平齐、宽相等
三、常见几何体的直观图与三视图
常见几何体的直观图与三视图如表8-3所示.
题型归纳及思路提示
题型 斜二测画法与直观图
思路提示
注意用斜二测画法画直观图时水平方向与竖直方向长度的不同 它们与实物图的对应关系
例 下列叙述中正确的个数是
①相等的角在直观图中仍相等
②长度相等的线段, 在直观图中长度仍相等;
③若两条线段平行, 在直观图中对应的线段仍平行;
④若两条线段垂直, 则在直观图中对应的线段也互相垂直.
A. 0 B.1 C.2 D. 3
(2)如图8-10所示, 是 水平放置的直观图, 则 的面积为( )
A.6 B. C. D. 12
解析(1)①因为 的直观图为 或 , 故①不正确;
②因为 方向的线段的直观图在 方向的长度减半, 故②不正确;
③因为所有 方向的线段的直观图方向不变, 所以 方向的线段的直观图均在原有基础上旋转 , 故方向统一, 故③正确.
④由③中叙述知, ④不正确. 故选B.
(2) ①
②
①÷②得 , 所以 .
而 ,所以 , 即 .
故选D.
评注 (1)”斜”指的是在直观图中, 轴的夹角为 , “二测”指的是 “平行关系不变”, 以及 “长度纵变横不变”.
(2)直观图中保持不变的有线段的同向性与同向线段长之比. 直观图与原图的面积关系: .
变式1 已知正 的边长为 , 以它的一边为 轴, 对应的高为 轴, 画出它的水平放置的直观图 , 则 的面积为( D ).
A. B. C. D.
变式2 利用斜二测画法, 一个平面图形的直观图时边长为1的正方形, 如图8-11所示,则该平面图形的面积为( )
A. B.2 C. D. 4
解析 S,即，S=2,故选C.
题型 直视图 三视图
思路提示
已知直观图描绘三视图的原则是:
先看俯视图, 观察几何体的摆放姿态, 再看正视图与侧视图同高, 正视图与俯视图同长, 侧视图与俯视图同宽.
例8.8 正三棱柱 如图8-12所示, 以面 为正前方画出的三视图正确的是( ).
分析 先看俯视图, 垂点法, 把 投影到底面.
解析 由垂点法, 把分别投影到底面, 如图8-13所示, 所以俯视图中间必有线段 .故选A.
变式1 如图8-14所示, 为正三角形, 平面 且 , 则多面体 的正视图(也称主视图)是( ).
分析 由垂点法把点C投影到面A’ABB’上.
解析 由“垂点法”把点C投影到面A’ABB’上,
得正视图，如图8-276所示（因为∠A’A< BB’变式2 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥, 得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为( B ).
变式3 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积面积不可能等于( )
A. 1 B. C. D.
解析 由题可知正方体的底面与水平面平行，先把正方体正放，然后将正方体按某一侧棱逆时针旋转，易知当正方体正放时，正视图的面积最小，为1×1=1，当正方体逆时针旋转
45°时，其正视图的面积最大，为1×=，则，所以正方体的正视图面积不可能等于.故选C.
题型 直视图 直观图 简单几何体的基本量的计算
思路提示
由三视图想象出直观图必须与实物图对应, 先看俯视图, 根据三视图的形状并结合表8-1,定几何体的形状, 由口诀 “正侧同高, 正俯同长, 俯侧同宽”定几何体的相关数据.
例8.9 若某空间几何体的三视图如图8-16所示, 则该几何体的体积是( )
A. B. C. 1 D. 2
分析 三视图为2个矩形和1个三角形, 知该几何体是三棱柱.
解析 先看俯视图, 定底面, 再由正视图为矩形, 侧视图为三角形知该几何体为直三棱柱, 然后由口诀知数据, 如图8-17所示, 所以以侧面为底得体积 .
故选C.
变式1 如图8-18所示, 是一个几何体的三视图, 若其体积为 , 则 .
分析 三视图为2个矩形1个三角形，知该几何体时三棱柱。
解析 先看俯视图，定底面，将矩形中的线段“拔地而起”，再结合正视图和俯视图知几何体直观图，然后由口诀知数据，如图8-277所示，所以以侧面为底得体积
，即
变式2 如图8-19所示, 是长和宽分别相等的两个矩形, 给定下列三个命题:
①存在三棱柱, 其正视图、俯视图如图8-19所示；
②存在四棱柱， 其正视图、俯视图如图8-19所示;
③存在圆柱, 其正视图、俯视图如图8-19所示.
其中真命题的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
解析 由图可知存在相应的三棱柱、四棱柱及圆柱，其侧视图分别为等腰直角三角形、正方形、圆，故命题的个数为3个，故选A.
例8.10 如图8-20所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是低为1, 高为2的矩形, 俯视图是一个圆, 那么该几何体的表面积为( ).
A. B. C. D.
分析 由三视图是2个矩形和1个圆, 可知该几何体为圆柱.
解析 由三视图是2个矩形和1个圆, 可知该几何体是圆柱, 如图8-21所示, 再由口诀知数据, 所以几何体的表面积 . 故选B.
变式1 某个几何体的三视图如图8-22所示, 则该几何体的体积是( ).
A. B. C. D.
分析 三视图是2个矩形和1个三角形，知该几何体为直三棱柱，
解析 先看俯视图定底面———正三角形，再结合正视图，侧视图，知该几何体是正三棱柱，并由口诀知数据，如图8-278所示，说以该几何体的体积故选
变式2 若一个正三棱柱的正视图如图8-23所示, 则其侧面积等于 .
分析 正三棱柱的3个视图是2个矩形和1个正三角形.
解析 由正三棱由口诀知数据，柱的3个视图是2个矩形，1个正三角形，再结合正视图和直观图，如图8-279所示，由口诀知数据，所以侧面积
变式3 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等, 体积为 , 它的三视图中的俯视图如图8-24所示, 左视图是一个矩形, 则这个矩形的面积是 .
解析 如图8-280所示，设底面边长为，则所以由题意知这个正三棱柱的左视图是长为2,宽为的矩形，其面积为
变式4 一个几何体的三视图如图8-25所示, 则该几何体的体积为 .
解析 先看俯视图定底面——直角梯形，再结合正视图和侧视图知其直观图，并由口诀知数据，如图8-281所示，所以几何体的体积
例8.11 一个空间几何体的三视图如图8-26所示, 则该几何体的表面积为( ).
A. 48 B. C. D. 80
解析 由三视图知该几何体的直观图如图8-27所示, 该几何体的下底面是边长为4的正方形, 上底面是长为4, 宽为2的矩形; 两个梯形侧面垂直于底面, 上低长为2, 下底长为4, 高为4; 另外两个侧面是矩形, 宽为4, 长为 , 所以 . 故选C.
变式1 如图8-28所示, 某几何体的正视图是平行四边形, 侧视图和俯视图都是矩形, 则该几何体的体积为( ).
A. B. C. D.
解析 由三视图可还原几何体的直观图如图8-282所示，此平行六面体可通过分割和补形（从左上方顶点垂直底面切开）的方法拼凑成一个长和宽均为3，高为的长方体，故所求体积是故选B.
变式2 一个几何体的三视图如图8-29所示, 则该几何体的体积是 .
解析 将几何体补形为长方体，V=2×2×3=12
变式3 一个几何体的三视图如图8-30所示,
则该几何体的表面积为 .
解析 由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加玉圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为2×（3×4+4×3+3×1）+2×1×1=2=38
例8.12 如图8-31所示, 3个直角三角形是一个体积为 的几何体的三视图,
则 cm.
解析 先看俯视图知底面为直角三角形, 再结合正视图和侧视图均为直角三角形,知其中一条侧棱垂直于底面, 如图8-32所示, 再根据口诀知数据, 所以体积 , 即 .
变式1 某四面体的三视图如图8-33所示, 该四面体四个面的面积中最大的是( ).
A. 8 B. C. 10 D.
解析 将三视图还原成几何体的直观图，如图8-283所示，它的四个面的面积分别为8,6,10,6，故最大的面积为10，故选C.
变式2 若几何体的三视图如图8-34所示, 其中正视图、侧视图为正方形， 俯视图是腰长为2的等腰直角三角形， 则该几何体的体积是（ ）。
A. B. C. D.
分析 以正方体为模型，据三视图，在正方体中挖掘几何体。
解析 如图8-284所示正方体，据俯视图知地面为等腰直角三角形，同时观察正视图及侧视图其对角线为虚线，则选取点构成四棱锥其三视图与题设符合，连接与交于O，易证⊥平面所以（，平面）=，则该几何体的体积（，平面）=故选A.
变式3 若几何体的三视图如图8-35所示, 则该几何体的体积是( ).
A. B. C. D.
分析 构造正方体，据三视图在正方体中挖掘出要求的几何体
解析 如图8-285所示正方体ABCD—,依题中三视图可知，该几何体为正方体ABCD—截去两个三棱锥与所得到的几何体，则该几何体的体积为故选C.
例8.13 一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图8-36所示,
则该几何体的侧面积为 cm2.
分析 由三视图是2个三角形和1个矩形, 可知该几何体是正四棱锥.
解析 先看俯视图定底面——正四棱锥的底面, 再结合正视图和俯视图, 将中心 “拔地而起” 得直观图, 如图8-37所示, 再由口诀知数据, 且可知斜高 , 所以几何体的侧面积 .
变式1 某四棱锥的三视图如图8-38所示, 该四棱锥的表面积是( ).
A. 32 B. C. 48 D.
解析 由四棱锥的三视图可知斜高VE=2,如图8-286所示，四棱锥的表面积是
=16+16，故选B.
变式2 一个棱锥的三视图如图8-39所示, 则这个棱锥的体积为 .
解析 观察三视图知该几何体为四棱锥，其底面是长为4宽为3的矩形，高为3，
变式3 一个五面体的三视图, 其正视图与侧视图是等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形, 部分边长如图8-40所示, 则此五面体的体积为 .
分析 三视图是2个三角形和1个四边形，可知该几何体是四棱锥。
解析 先看俯视图定底面—直角梯形，再结合正视图和俯视图得其直观图，然后由口诀知数据，如图8-287示，所以体积
题型 直视图 简单组合体的基本量的计算
思路提示
先根据三视图想象出几何的构造部分, 一般考虑的是球、柱、锥、台体的组合体或其一部分.
例8.14 如图8-41所示是一个几何体的三视图, 根据图中数据, 可得该几何体的表面积是( ).
A. B. C. D.
分析 先看俯视图定底面.
解析 先看俯视图为圆, 再结合正视图和侧视图有上、下两部分, 可知该几何体下面是圆柱, 上面是球, 如图8-42所示, 所以故选D.
评注 求几何体的表面积, 通常将所给几何体分成基本的球、柱、锥、台, 再将它们的表面积求和或作差, 求体积也是同样的道理.
变式1 一个几何体的三视图如图8-43所示(单位:m),
则该几何体的体积为 m3.
解析 此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故
变式2 一空间几何体的三视图如图8-44所示, 则该几何体的体积为( ).
A. B. C. D.
分析 先看俯视图定底面，其外围是圆，可能是圆柱、圆锥或球的俯视图，又圆内是正方形及其对角线，可知该几何体为正四棱锥。
解析 先看俯视图定底面——外围是圆，再看正视图及侧视图，可分为上、下两部分，其中下半部分是矩形，所以该组合体下半部分是圆柱，再由俯视图得圆内是正方形及其对角线，并结合正视图和俯视图是三角形，知该组合体上半部分书正四棱锥，如图8-288所示，其体.故选C.
变式3 某几何体的三视图如图8-45所示, 则它的体积是( ).
A. B. C. D.
解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体，内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以故选A.
变式4 一个几何体的三视图如图8-46所示, 则该几何体的体积为 .
分析 先看俯视图定底面，外围是正方形及其对角线且为实线，内部是正方形且为虚线，注意，“实线”必为上半部分的底面，虚线必为下半部分的底面（俯视图从上往下投影）.
解析 先看俯视图定底面，外围是正方形及其对角线，是正四棱锥的俯视图，且为实线，故在上半部分，再结合正视图和侧视图为三角形，所以上半部分是正四棱锥。再由俯视图里面是正方形且为虚线，并结合正视图和侧视图为矩形，知下半部分是正四棱柱，8-289所示，故其体积
例8.15 若某几何体的三视图(单位:cm)如图8-47所示,
则此几何体的体积是 cm3.
分析 先看俯视图定底面——正四棱台的底面, 再看正视图和侧视图, 上面是矩形, 下面是等腰梯形, 属组合体.
解析 先看俯视图定底面——正四棱台的底面, 再由正视图和俯视图知该几何体上半部分是正四棱柱, 下半部分是正四棱台, 如图8-49所示, 再结合 “正侧同高, 正俯同长, 俯侧同宽”知数据, 所以几何体的体积为 .
变式1 一个几何体的三视图(单位:cm)如图8-49所示, 侧该几何体的表面积是( ).
A.280 B.292 C.360 D.372
分析 先看俯视图定底面，矩形为柱体的底面
解析 先看俯视图定底面，矩形为柱体的底面且内面是小矩形（实线），再结合正视图和侧视图可知该几何体由两个长方体组成，如图8-290所示，再由“正侧一样高，侧俯一样宽” 知数据，所以几何体的表面积
S表=2×（2×8+8×10+10×2）+2×（2+6）×8=360. 故选C.
变式2 某几何体的三视图(单位:cm)如图8-50所示, 侧此几何体的体积是 cm3.
分析 先看俯视图定底面.
解析 先看俯视图定底面，矩形为柱体的底面且内面是小矩形（虚线）再结合正视图和俯视图可知该几何体上半部分是长方体，下半部分也是长方体，如图8-291所示，再由“正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽” 知数据，所以几何体的体积
变式3 一个几何体的三视图如图8-51所示(单位:m), 则该几何体的体积为 m3.
解析 有三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的四棱柱构成的组合体，长方体的体积为3×4×2=24，四棱柱的体积是所以几何体的总体积为30.
例8.16 一个几何体的三视图及长度数据如图8-52所示，则该几何体的表面积与体积分别为（ ）.
A. 7+，3 B. 8+,3 C. 7+, D. 8+,
分析 先看俯视图定底面，再结合正视图和侧视图.
解析 解法一：先看俯视图知底面为正方形，再结合正视图和侧视图知该集合体如图8-53（a）所示，所以表面积把侧面作底知其体积 故选C.
解法二：先把侧视图分割，如图8-53（b）所示，则结合俯视图和正视图知几何体下半部分是正方体，上半部分是三棱柱（平放）如图8-53（c）所示，所以
故选C.
变式1 已知某几何体的三视图如图8-54所示，则该几何体的体积为（ ）.
A. B. C. D.
解析 解法一：观察三视图知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且由正视图知是一个底面圆的半径为1，圆柱体的高为6的圆柱体的一半，如图8-292所示，则知所求几何体体积为原体积的一半为3，故选B.
解法二：观察三视图可知，该几何体是由底面半径为1，高为2的圆柱与与该圆柱全等的圆柱斜截去一半后，一下一上拼接而成，故体积为
例8.17 如图8-55所示为由长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数为（ ）.
A.3块 B4块 C.5块 D.6块
分析 先看俯视图，从下往上“拔地而起”.
解析 先看俯视图定底，再结合正视图和侧视图，从下往上堆积可知其直观图，如图8-56所示. 故选B.
变式1 用单位立方体搭一个几何体，使其主视图和俯视图如图8-57所示，则该几何体体积的最小值与最大值分别为（ ）.
A.9与13 B.7与10 C.10与16 D.10与15
分析 先看俯视图定底面.从下往上“拔地而起”堆积
解析 先看俯视图定底面.再结合主视图，从下往上堆积，易知底层有7块，中间层至少2块，至多6块，上层至少1块，至多3块，所以该几何体至少由7+2+1=10块单位立方块构成，至多7+6+3=16块单位立方块构成，所以几何体的体积故选C.
题型110 部分三视图其余三视图
思路提示
有三视图还原几何体，画出直观图，再画其三视图.
例8.18 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图如图8-58所示，则该集合体的俯视图为( ).
解析 因为该几何体是一个大长方体去掉一个小长方体，结合正视图及侧视图中线段均为实线，所以“缺口”就在前面的左上方，所以俯视图“缺口”必在左下方且为实线.故选D.
变式1 如图8-59所示，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，该几何体的俯视图可以是（ ）.
解析 由正视图和侧视图知该几何体为柱体.
排除法：选项A中将得到正方体体积V=1.不符合题意；选项B.D中底面积均会含“”， 不符合题意；而选项C中符合题意；故选C.
变式2 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图8-60所示，则相应的侧视图可以为（ ）.
解析 由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，直观图如图8-293所示， 其侧视图是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故选D.
变式3 某几何体的正视图和侧视图均如图8-61所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）.
解析 本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图8-61所示知，原图下面图为圆柱或直棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A,B,C都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面的矩形中间应有一条虚线，故选D.
最有效训练题32（限时45分钟）
1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图8-62所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）.
2.如图8-63所示是一个正方体被过棱中点M,N，顶点的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（ ）.
3.如图8-64所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形是( ).
A.正方体 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形
4.某几何体的三视图如图8-65所示，它的体积为( ).
A.12 B.45 C.57 D. 81
5.某三棱锥的三视图如图8-66所示，该三棱锥的表面积是（ ）.
A.28+ B.30+ C.56+ D.60+
6.一个四棱锥的底面为正方形，三视图如图8-67所示，这个四棱锥的体积是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
7.若正三棱锥的主视图与俯视图如图8-68所示（单位:cm）,则它的左视图的面积为
8.一多面体的三视图如图8-69所示，则其体积为 .
9.已知某几何体的三视图如图8-70所示，则该几何体的体积为 .
10.已知△ABC的平面直观图△是边长为a的正三角形，则△ABC的面积为 .
11.某高速公路收费站入口处的安全标示墩如图8-71（a）所示.墩的上半部分是正三棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH.图8-71（b）、图8-71（c）分别是该标示墩的正（主）视图和俯视图.
（1）请画出该安全标示墩的侧（左）视图；
（2）求安全标示墩的体积；
（3）证明：直线BD⊥平面PEG.
12.如图8-72所示是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图8-72所示.
（1）求出该几何体的体积；
（2）若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；
（3）求证：平面BDE⊥平面BCD.
【例8.7变式2】
解析
最有效训练题32
1.A 解析 由直观图可知，在直观图中多边形请问正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于Y轴上的对角线长为，故选A.
2. B解析 由直观图可知，该几何体的正视图为选项B.故选B.
3. C解析 将直观图还原得如图8-294所示的 OABC
因为
所以
故原图形为菱形，故选C.
4.C 解析 该几何体下部分是半径为3，高为5的圆柱，体积为
上部分是半径为3，高为4的圆锥，体积为
所以体积为57，故选C.
5. B 解析 从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和，如图8-295所示为其直观图，由三视图知其相关数据。利用垂直关系和三角形面积公式，可得，
因此该几何体表面积故选B.
6. B 解析 这个四棱锥的底面边长为，高是底面积是×=2，故其体积为故选B.
7. 解析由该正三棱锥的主视图和俯视图可知，其左视图为一个三角形，它的底边长等于俯视图的高，即，高等于主视图的高即。所以左视图的面积为
8 解析 由三视图可知，该几何体
是一个四棱锥，底面是边长为2的正方形ABCD，一个侧面是边长为2的正三角形PAB，该侧面与底面垂直，故其体积
其直观图如图8-296所示.
9. 12 解析 由三视图可知，该几何体
是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是
10. 解析 如图8-297所示，（a）为直观图，(b)为实际图形，取所在直线轴，过的中点与成45°的直线为轴，过点作交轴于点，过点作交轴于点.
则在Rt△中，因为∠=45°，
所以
故在直角坐标系中，在轴上方轴左侧取到轴距离为到轴距离为的点A，则△ABC即为所求。
故
另解：由,知
11.解析 （1）该安全标识墩侧视图8-298所示，
（2）该安全标识墩的体积
(3) 由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，所以PH⊥EG,又ABCD-EFGH为长方体，
所以BD//FH、EG交FH于点O，则O为正方形EFGH的中心，因为P-EFGH是正四棱锥，
所以PO⊥平面EFGH，而FH平面EFGH，
所以PO⊥FH.因为FH⊥PO,FH⊥EG,
POEG,=O,PO平面PEG,,EG平面PEG.
所以FH⊥平面PEG,,而BD//FH，故BD⊥平面PEG,.
12.解析 由题意可知，四棱锥B—ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB
⊥AC,所以AB⊥平面ACDE.
又AC=AB=AE=2，DE=4，则四棱锥B—ACDE的体积为
(2)链接MN，则MN∥CE,AE∥CD,又MN=AE=CD.
所以四边形ANME为平行四边形，所以AN∥EM,因为AN平面CME，EM平面CME，
所以AN∥平面CME.
（3）因为AC=AB,N是BC的中点，所以AN⊥BC，又在直三棱柱中可知，平面ABC⊥平面BCD，所以AN⊥平面BCD，由（2）知 AN∥EM，EM ⊥平面BCD，又EM平面BDE, 所以, 平面BDE⊥平面BCD.
图 8-10
1
2
1
4
4
正视图
侧视图
俯视图
图 8-26
1
2
1
4
2
4
图 8-27
4
正视图
侧视图
俯视图
图 8-34
1
1
1
俯视图
图 8-35
正视图
侧视图
4
4
3
3
3
3
正视图
侧视图
俯视图
图 8-39
2
1
正视图
侧视图
1 1
2
2
2
2
俯视图
图 8-40
4
4
3
2
2
1
1
1
1
1
正视图
侧视图
俯视图
图 8-51
1
1
1
1
1
正视图
侧视图
俯视图
图 8-52
俯视图
侧视图
2
正视图
图 8-54
4
2
4
2
3
2
4
4
正(主)视图
侧(左)视图
俯视图
图 8-66
1
主视图
俯视图
图 8-68第二节 空间几何体的直观图与三视图
考纲解读
1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的机构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2.能画出简单空间图形（长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等及其及其简易组合）的三视图， 能识别三视图, 能所表示的立体模型, 并会用斜二测画法画出它们的直观图.
3.会用平行投影, 画出简单空间图形的三视图与直视图, 了解空间图形的不同表示形式.
4. 会画某些建筑物的三视图与直视图(在不影响图形特征的基础上, 尺寸、线条等不作严格要求).
命题趋势探究
高考中对本节内容的考查, 可以分为以下两类.
(1)柱、锥、台、球的定义和相关性质是基础, 以它们为载体考查线线、线面、面面间的关系是中点。
(2)三视图为新课标新增内容, 所以高考会加大对其考查的粒度.
在高考中,主要考查三视图和直观图, 特别是通过三视图确定原几何体的相关量. 多以选择填空题为主,也不排除通过三视图来还原几何体的直观图的解答题, 侧重于考查考生对基础知识的掌握以及应用所学知识解决问题的能力.
知识精讲
一、空间几何体的直观图
1.斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下:
(1)建立直角坐标系. 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 ,建立直角坐标系.
(2)画出斜坐标系. 在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形. 在已知图形平行于 轴的线段, 在直观图中画成平行于 使 (或), 它们确定的平面表示水平平面.
(3)画出对应图形. 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于 轴的线段, 且长度保持不变; 在已知图形平行于 轴的线段, 在直观图中画成平行于 轴, 且长度变为原来的一般. 可简化为 “横不变, 纵减半”.
(4)擦去辅助线. 图画好后, 要擦去 轴、 轴及为画图添加的辅助线(虚线). 被挡住的棱画虚线.
注: 直观图和平面图形的面积比为.
2.平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的, 中心投影的投影线相交于一点.
二、空间几何体的三视图
1.三视图的概念
将几何体由前至后、由左至右、由上至下分别作正投影得到的三个投影图依次叫做该几何体的正(主)视图、左(侧)视图、俯视图, 统称三视图. 它们依次反应了几何体的高度与长度、高度与宽度、长度与宽度.
2.作、看三视图的三原则
(1)位置原则:
度量原则 长对正、高平齐、宽相等 即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽
虚实原则 轮廓线、现则实、隐则虚
俯视图
几何体上下方向投影所得到的投影图 反映几何体的长度和宽度
口诀
正侧同高 正府同长 府侧同宽 或长对正、高平齐、宽相等
三、常见几何体的直观图与三视图
常见几何体的直观图与三视图如表8-3所示.
题型归纳及思路提示
题型 斜二测画法与直观图
思路提示
注意用斜二测画法画直观图时水平方向与竖直方向长度的不同 它们与实物图的对应关系
例 下列叙述中正确的个数是
①相等的角在直观图中仍相等
②长度相等的线段, 在直观图中长度仍相等;
③若两条线段平行, 在直观图中对应的线段仍平行;
④若两条线段垂直, 则在直观图中对应的线段也互相垂直.
A. 0 B.1 C.2 D. 3
(2)如图8-10所示, 是 水平放置的直观图, 则 的面积为( )
A.6 B. C. D. 12
评注 (1)”斜”指的是在直观图中, 轴的夹角为 , “二测”指的是 “平行关系不变”, 以及 “长度纵变横不变”.
(2)直观图中保持不变的有线段的同向性与同向线段长之比. 直观图与原图的面积关系: .
变式1 已知正 的边长为 , 以它的一边为 轴, 对应的高为 轴, 画出它的水平放置的直观图 , 则 的面积为( ).
A. B. C. D.
变式2 利用斜二测画法, 一个平面图形的直观图时边长为1的正方形, 如图8-11所示,则该平面图形的面积为( )
A. B.2 C. D. 4
题型 直视图 三视图
思路提示
已知直观图描绘三视图的原则是:
先看俯视图, 观察几何体的摆放姿态, 再看正视图与侧视图同高, 正视图与俯视图同长, 侧视图与俯视图同宽.
例8.8 正三棱柱 如图8-12所示, 以面 为正前方画出的三视图正确的是( ).
变式1 如图8-14所示, 为正三角形, 平面 且 , 则多面体 的正视图(也称主视图)是( ).
变式2 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥, 得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为( ).
变式3 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积面积不可能等于( )
A. 1 B. C. D.
题型 直视图 直观图 简单几何体的基本量的计算
思路提示
由三视图想象出直观图必须与实物图对应, 先看俯视图, 根据三视图的形状并结合表8-1,定几何体的形状, 由口诀 “正侧同高, 正俯同长, 俯侧同宽”定几何体的相关数据.
例8.9 若某空间几何体的三视图如图8-16所示, 则该几何体的体积是( )
A. B. C. 1 D. 2
变式1 如图8-18所示, 是一个几何体的三视图, 若其体积为 , 则 .
变式2 如图8-19所示, 是长和宽分别相等的两个矩形, 给定下列三个命题:
①存在三棱柱, 其正视图、俯视图如图8-19所示；
②存在四棱柱， 其正视图、俯视图如图8-19所示;
③存在圆柱, 其正视图、俯视图如图8-19所示.
其中真命题的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
例8.10 如图8-20所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是低为1, 高为2的矩形, 俯视图是一个圆, 那么该几何体的表面积为( ).
A. B. C. D.
变式1 某个几何体的三视图如图8-22所示, 则该几何体的体积是( ).
A. B. C. D.
变式2 若一个正三棱柱的正视图如图8-23所示, 则其侧面积等于 .
变式3 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等, 体积为 , 它的三视图中的俯视图如图8-24所示, 左视图是一个矩形, 则这个矩形的面积是 .
变式4 一个几何体的三视图如图8-25所示, 则该几何体的体积为 .
例8.11 一个空间几何体的三视图如图8-26所示, 则该几何体的表面积为( ).
A. 48 B. C. D. 80
变式1 如图8-28所示, 某几何体的正视图是平行四边形, 侧视图和俯视图都是矩形, 则该几何体的体积为( ).
A. B. C. D.
变式2 一个几何体的三视图如图8-29所示, 则该几何体的体积是 .
变式3 一个几何体的三视图如图8-30所示,
则该几何体的表面积为 .
例8.12 如图8-31所示, 3个直角三角形是一个体积为 的几何体的三视图,
则 cm.
.
变式1 某四面体的三视图如图8-33所示, 该四面体四个面的面积中最大的是( ).
A. 8 B. C. 10 D.
变式2 若几何体的三视图如图8-34所示, 其中正视图、侧视图为正方形， 俯视图是腰长为2的等腰直角三角形， 则该几何体的体积是（ ）。
A. B. C. D.
变式3 若几何体的三视图如图8-35所示, 则该几何体的体积是( ).
A. B. C. D.
例8.13 一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图8-36所示,
则该几何体的侧面积为 cm2.
.
变式1 某四棱锥的三视图如图8-38所示, 该四棱锥的表面积是( ).
A. 32 B. C. 48 D.
变式2 一个棱锥的三视图如图8-39所示, 则这个棱锥的体积为 .
变式3 一个五面体的三视图, 其正视图与侧视图是等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形, 部分边长如图8-40所示, 则此五面体的体积为 .
题型 直视图 简单组合体的基本量的计算
思路提示
先根据三视图想象出几何的构造部分, 一般考虑的是球、柱、锥、台体的组合体或其一部分.
例8.14 如图8-41所示是一个几何体的三视图, 根据图中数据, 可得该几何体的表面积是( ).
A. B. C. D.
变式1 一个几何体的三视图如图8-43所示(单位:m),
则该几何体的体积为 m3.
变式2 一空间几何体的三视图如图8-44所示, 则该几何体的体积为( ).
A. B. C. D.
变式3 某几何体的三视图如图8-45所示, 则它的体积是( ).
A. B. C. D.
变式4 一个几何体的三视图如图8-46所示, 则该几何体的体积为 .
例8.15 若某几何体的三视图(单位:cm)如图8-47所示,
则此几何体的体积是 cm3.
分析 先看俯视图定底面——正四棱台的底面, 再看正视图和侧视图, 上面是矩形, 下面是等腰梯形, 属组合体.
变式1 一个几何体的三视图(单位:cm)如图8-49所示, 侧该几何体的表面积是( ).
A.280 B.292 C.360 D.372
变式2 某几何体的三视图(单位:cm)如图8-50所示, 侧此几何体的体积是 cm3.
变式3 一个几何体的三视图如图8-51所示(单位:m), 则该几何体的体积为 m3.
例8.16 一个几何体的三视图及长度数据如图8-52所示，则该几何体的表面积与体积分别为（ ）.
A. 7+，3 B. 8+,3 C. 7+, D. 8+,
变式1 已知某几何体的三视图如图8-54所示，则该几何体的体积为（ ）.
A. B. C. D.
例8.17 如图8-55所示为由长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数为（ ）.
A.3块 B4块 C.5块 D.6块
分析 先看俯视图，从下往上“拔地而起”.
变式1 用单位立方体搭一个几何体，使其主视图和俯视图如图8-57所示，则该几何体体积的最小值与最大值分别为（ ）.
A.9与13 B.7与10 C.10与16 D.10与15
题型110 部分三视图其余三视图
思路提示
有三视图还原几何体，画出直观图，再画其三视图.
例8.18 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图如图8-58所示，则该集合体的俯视图为( ).
变式1 如图8-59所示，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，该几何体的俯视图可以是（ ）.
变式2 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图8-60所示，则相应的侧视图可以为（ ）.
变式3 某几何体的正视图和侧视图均如图8-61所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）.
最有效训练题32（限时45分钟）
1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图8-62所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）.
2.如图8-63所示是一个正方体被过棱中点M,N，顶点的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（ ）.
3.如图8-64所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形是( ).
A.正方体 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形
4.某几何体的三视图如图8-65所示，它的体积为( ).
A.12 B.45 C.57 D. 81
5.某三棱锥的三视图如图8-66所示，该三棱锥的表面积是（ ）.
A.28+ B.30+ C.56+ D.60+
6.一个四棱锥的底面为正方形，三视图如图8-67所示，这个四棱锥的体积是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
7.若正三棱锥的主视图与俯视图如图8-68所示（单位:cm）,则它的左视图的面积为
8.一多面体的三视图如图8-69所示，则其体积为 .
9.已知某几何体的三视图如图8-70所示，则该几何体的体积为 .
10.已知△ABC的平面直观图△是边长为a的正三角形，则△ABC的面积为 .
11.某高速公路收费站入口处的安全标示墩如图8-71（a）所示.墩的上半部分是正三棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH.图8-71（b）、图8-71（c）分别是该标示墩的正（主）视图和俯视图.
（1）请画出该安全标示墩的侧（左）视图；
（2）求安全标示墩的体积；
（3）证明：直线BD⊥平面PEG.
12.如图8-72所示是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图8-72所示.
（1）求出该几何体的体积；
（2）若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；
（3）求证：平面BDE⊥平面BCD.
图 8-10
1
2
1
4
4
正视图
侧视图
俯视图
图 8-26
正视图
侧视图
俯视图
图 8-34
1
1
1
俯视图
图 8-35
正视图
侧视图
4
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3
3
3
3
正视图
侧视图
俯视图
图 8-39
2
1
正视图
侧视图
1 1
2
2
2
2
俯视图
图 8-40
4
4
3
2
2
1
1
1
1
1
正视图
侧视图
俯视图
图 8-51
1
1
1
1
1
正视图
侧视图
俯视图
图 8-52
俯视图
侧视图
2
正视图
图 8-54
4
2
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2
3
2
4
4
正(主)视图
侧(左)视图
俯视图
图 8-66
1
主视图
俯视图
图 8-68

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