资源简介

第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
考纲解读
理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解平面基本性质可以作为推理依据的公理和定理.
命题趋势探究
（1）考查内容.
①近年来，高考命题呈现出由考查知识向考查能力方向转变的趋势，题目新颖，灵活性强，立体几何试题经常以简单几何体为载体，考查线面位置关系，以中档难度题为主；
平面的基本性质、公理、公理的推论及直线与平面的位置关系，都是每年必考的知识点，试题难度不大，多为选择题和填空题.
②垂直是直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系中的纽带，常常起到承上启下的作用，或称“二传手”，不少问题常以垂直为解题的突破口，然后深入，主要考查渗透转化思想.
（2）本专题知识的考查多为识记，理解内容，如果掌握了方法，题目一般不是太难，每年高考分值约5分.
知识的精讲
一、平面的基本性质
平面的基本性质如表8-4所示.
表8-4
名称 图形 文字语言 符号语言
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
公理2 过不在同一直线上的三点有且只有一个平面 A,B,C不共线A,B,C且是唯一确定的
公理2的推论 推论1 经过一条直线和该直线外一点有且只有一个平面 若点A,则经过点A和直线a有且仅有一个平面
推论2 两条相交直线确定一个平面 有且只有一个平面，使
推论3 两条平行直线确定一个平面 a∥b有且只有一个平面，使
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 若则且
二、空间直线与直线的位置关系
1.位置关系如表8-5所示.
表8-5
位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面
图形
符号 a∥b
公共点个数 1 0 0
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内
2.公理4（平行公理）：平行与同一直线的两条直线互相平行.
3.定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等（同向）或互补（反向）.
三、空间中的直线与平面的位置关系（见表8-6）
位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线）
图形
符号 ∥
公共点个数 无数个 1 0
四、空间中的平面与平面的位置关系（见表8-7）
表8-7
位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直
图形
符号 ∥ ，
公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上
注：垂直是相交（成90o）的特殊情形，异面直线经平移后相交成90o也叫垂直.
题型归纳及思路提示
题型111 证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
思路提示
要证明“点共面”、“线共面”可先由部分直线活点确定一个平面，再证其余直线或点也在该平面内（即纳入法）；证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线，证明 “线共点”问题是证明三条或三条以上直线交于一点，思路是：先证明两条直线交于一点，再证明交点在第三条直线上.
例8.19如图8-73所示，平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，
求证：C,D,F,E四点共面.
变式1 如图8-75所示，已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,点F在CC1上，且AE=FC1,求证E,B,F,D1四点共面.
变式2 如图8-76所示，在六面体ABCD-A1B1C1D1中，上下底面均为正方形，平面A1B1C1D1，平面ABCD.求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD 共面.
例8.20 如图8-77所示，空间四边形ABCD中，E,F,G分别在AB,BC,CD上，且满足AE：EB=CF：FB=2：1，CG：GD=3：1，过E,F,G的平面交AD于H，连接EH,HG.(1)求AH：HD;(2)求证：EH,FG,BD三线共点.
变式1 如图8-78所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB,AA1的中点.求证：（1）E,C, D1,F四点共面；（2）CE,D1F,DA三线共点.
变式2如图8-79所示，点E,F,C,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点，证明：EF,HG,DC三线共点.
题型112 截面问题
思路提示
截面问题是平面基本性质的具体应用，先由确定平面的条件确定平面，然后做出该截面，并确定该截面的形状.例8.21如图8-80所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的是 .（写出所以正确命题的编号）.
①当时，S为四边形；
②当时，S为等腰梯形；
③当时，S与C1D1的交点R满足；
④当时，S为六边形；
⑤当时，S的面积为.
变式1 如图8-82所示，是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：
①过点有且只有一条直线与直线都相交；
②过点有且只有一条直线与直线都垂直；
③过点有且只有一个平面与直线都相交；
④过点有且只有一个平面与直线都平行.
其中真命题是（ ）.
A.②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③
变式2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，过对角线的一个平面交于E，交与F，得四边形，给出下列结论：
①四边形有可能是梯形；
②四边形有可能是菱形；
③四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④四边形有可能垂直与平面；
⑤四边形面积的最小值为.
其中正确的是（ ）
A.①②③④ B. ②③④⑤ C. ①③④⑤ D. ①②④⑤
题型113 异面直线的判定
思路提示
判定空间两条直线是异面直线的方法如下：
（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线.
（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面.
例8.22 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）.
A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交
变式1 已知空间三条直线，若与异面，且与异面，则（ ）
A. 与异面
B. 与相交
C. 与平行
D. 与异面、相交、平行均有可能
变式2 已知为不垂直的异面直线，是一个平面，则在上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确的结论的编号是 （写出所有正确的编号）.
变式3 若直线不平行于平面，且，则（ ）
A. 内的所有直线与异面
B. 内不存在与平行的直线
C. 内存在唯一的直线与平行
D. 内的直线与都相交
例8.23如图8-83所示，已知两个正方形和不在同一个平面内，和分别和为的中点，用反证法证明：直线与是异面直线.
变式1在正方体中，棱的中点分别是，如图8-84所示，判断点是否共面？并说明理由.
最有效训练题33（限时45分钟）
1.下列命题正确的是（ ）
A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
2.下列四个命题：①若直线是异面直线，是异面直线，则是异面直线；②若直线相交，相交，则相交；③若∥，则与所成的角相等；④若，则∥，其中真命题的个数是（ ）
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
3.设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A. 在平面内有且只有一条直线与直线垂直
B. 过直线有且只有一个平面与平面垂直
C. 与直线垂直的直线不可能与平面平行
D. 与直线平行的平面不可能与平面垂直
4.平行六面体中,既与共面也与共面的棱的条数为（ ）
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
5.如图8-85所示，是正方体的棱的中点，给出下列四个命题：
①过点有且只有一条直线与直线都相交；
②过点有且只有一条直线与直线都垂直；
③过点有且只有一个平面与直线都相交；
④过点有且只有一个平面与直线都平行；
其中真命题是（ ）
A.②③④ B. ①③④
C. ①②④ D. ①②③
6．如图8-86所示，在四面体中，若截面是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）
A. B. ∥截面
C. D.异面直线与所成的角为
图8-86
7．过正方体的顶点作直线，使与直线所成的角都相等，这样的直线可以作 条
8．如图8-87所示，是正方体的表面展开图，分别是棱的中点，与在原正方体中的位置关系为
9．下列命题中不正确的是
①没有公共点的两条直线是异面直线；
②分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；
③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；
④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面；
10．在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于有这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是 （写出所有正确结论的编号）
①能构成每个面都是等边三角形的四面体；
②能构成每个面都是直角三角形的四面体；
③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体；
11．如图8-88所示，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且
（1）求证：四点共圆；
（2）设与交于点，求证：三点共线
12．如图8-89所示，正方体中，分别是，的中点，问：
（1）和是否为异面直线？说明理由；
（2）和是否为异面直线？说明理由；
B
F
C
G
H
A
E
D
图8-77第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
考纲解读
理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解平面基本性质可以作为推理依据的公理和定理.
命题趋势探究
（1）考查内容.
①近年来，高考命题呈现出由考查知识向考查能力方向转变的趋势，题目新颖，灵活性强，立体几何试题经常以简单几何体为载体，考查线面位置关系，以中档难度题为主；
平面的基本性质、公理、公理的推论及直线与平面的位置关系，都是每年必考的知识点，试题难度不大，多为选择题和填空题.
②垂直是直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系中的纽带，常常起到承上启下的作用，或称“二传手”，不少问题常以垂直为解题的突破口，然后深入，主要考查渗透转化思想.
（2）本专题知识的考查多为识记，理解内容，如果掌握了方法，题目一般不是太难，每年高考分值约5分.
知识的精讲
一、平面的基本性质
平面的基本性质如表8-4所示.
表8-4
名称 图形 文字语言 符号语言
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
公理2 过不在同一直线上的三点有且只有一个平面 A,B,C不共线A,B,C且是唯一确定的
公理2的推论 推论1 经过一条直线和该直线外一点有且只有一个平面 若点A,则经过点A和直线a有且仅有一个平面
推论2 两条相交直线确定一个平面 有且只有一个平面，使
推论3 两条平行直线确定一个平面 a∥b有且只有一个平面，使
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 若则且
二、空间直线与直线的位置关系
1.位置关系如表8-5所示.
表8-5
位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面
图形
符号 a∥b
公共点个数 1 0 0
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内
2.公理4（平行公理）：平行与同一直线的两条直线互相平行.
3.定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等（同向）或互补（反向）.
三、空间中的直线与平面的位置关系（见表8-6）
位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线）
图形
符号 ∥
公共点个数 无数个 1 0
四、空间中的平面与平面的位置关系（见表8-7）
表8-7
位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直
图形
符号 ∥ ，
公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上
注：垂直是相交（成90o）的特殊情形，异面直线经平移后相交成90o也叫垂直.
题型归纳及思路提示
题型111 证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
思路提示
要证明“点共面”、“线共面”可先由部分直线活点确定一个平面，再证其余直线或点也在该平面内（即纳入法）；证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线，证明 “线共点”问题是证明三条或三条以上直线交于一点，思路是：先证明两条直线交于一点，再证明交点在第三条直线上.
例8.19如图8-73所示，平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，
求证：C,D,F,E四点共面.
分析 证明四点共面，利用平面的确定公理，即两条相交直线确定一个平面，本题可证明DC,FE相交与一点.
解析 如图8-74所示，延长DC交AB的延长线与点G，由得延长FE交AB的延长线于G＇，同理可得故即G＇与G重合，因此，直线CD和EF相交与点G，即C,D,F,E四点共面.
变式1 如图8-75所示，已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,点F在CC1上，且AE=FC1,求证E,B,F,D1四点共面.
解析 如图8-299所示，在DD1上，取点N，使DN=AE,链接EN,CE,又AE∥DN,所以四边形AEND为平行四边形，故NEAD，又ADBC, 所以NEBC,四边形BCNE为平行四边形，所以NC∥EB,因为C1F=AE,所以FC= D1N, 又FC∥D1N,,所以四边形CFD1N为平行四边形，故D1F∥NC,从而D1F∥EB.因此，E,B,F, D1四点共面.
评注 四点共面的证法：四点在两条平行或相交的直线上。
变式2 如图8-76所示，在六面体ABCD-A1B1C1D1中，上下底面均为正方形，平面A1B1C1D1，平面ABCD.求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD 共面.
解析 如图8-299所示，=,DA=DC, ⊥平面,则⊥,⊥,又⊥平面ABCD,则⊥AD, ⊥DC,所以∥AD, ∥DC.
设∩=O.
与O重合，则
∩=O,故与AC共面，同理DB与共面.
例8.20 如图8-77所示，空间四边形ABCD中，E,F,G分别在AB,BC,CD上，且满足AE：EB=CF：FB=2：1，CG：GD=3：1，过E,F,G的平面交AD于H，连接EH,HG.(1)求AH：HD;(2)求证：EH,FG,BD三线共点.
解析 （1）因为所以EF∥AC,又EF平面ACD，所以EF∥平面ACD，而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACD=GH,所以EF∥GH,而EF∥AC,所以AC∥GH,所以即AH：HD=3：1.
（2）证明：因为EF∥GH，且所以EF≠GH,所以四边形EFGH为梯形.
令，则，而平面ABD，平面BCD，平面平面BCD=BD，所以，故EH,FG,BD三线共点.
评注 所谓“线共点”问题就是证明三条或三条以上直线交于一点，证明三线共点的思路为：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题.
变式1 如图8-78所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB,AA1的中点.求证：（1）E,C, D1,F四点共面；（2）CE,D1F,DA三线共点.
解析 （1）如图8-301所示，链接,EF, ,因为E,F分别是AB和AA1的中点，所以FE∥,又因为BC,所以四边形是平行四边形，所以∥，所以EF∥，故EF与确定平面，所以E,F,,C, ,即E,F,,C四点共面.
（2） 由（1）知EF∥,且,所以四边形CFE为梯形，所以CE与F必相交，设交点为P,则P平面ABCD,且P,F平面,所以平面ABCD,且平面，又因为平面ABCD平面=AD, 所以AD,故，,AD三线共点.
评注 三线共点问题，需先设两条共面的直线交于一点P，然后说明P是另外两个平面的交点，即也在第三条直线上，否则，不易证明.
变式2如图8-79所示，点E,F,C,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点，证明：EF,HG,DC三线共点.
解析 如图8-302所示，连接HE, ，GF由题意知，HC1EB，所以四边形HC1 BE是平行四边形，所以HE∥，又,BF=FC,故GF，且GFHE,所以四边形EFGH为梯形，设HGEF=K,则K平面, KEF平面ABCD,又平面ABCD平面=DC.则KDC,,所以FE,，HG，,DC三线共点.
题型112 截面问题
思路提示
截面问题是平面基本性质的具体应用，先由确定平面的条件确定平面，然后做出该截面，并确定该截面的形状.例8.21如图8-80所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的是 .（写出所以正确命题的编号）.
①当时，S为四边形；
②当时，S为等腰梯形；
③当时，S与C1D1的交点R满足；
④当时，S为六边形；
⑤当时，S的面积为.
分析 本题重点考查了截面问题，对于截面问题要利用平面的确定公理作为理论背景，尤其是两条平行直线确定一个平面.
解析 对于①②,因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，当时，这时过的截面与正方体表面交与点，且，截面，如图8-81（a）所示，截面为等腰梯形，当时，过三点的截面与正方体表面的交点在棱上，截面为四边形，如图8-81（b）所示，故①②正确；
③如图8-81（c）所示，当时，又CT=1，得 ；
④如图8-81（d）所示，当时，过点的平面截正方体所得的截面为五边形APQRS；
⑤如图8-81（e）所示当时，则过点的截面为，其截面为菱形，对角线所以的面积为
综上，正确的命题序号是①②③⑤.
变式1 如图8-82所示，是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：
①过点有且只有一条直线与直线都相交；
②过点有且只有一条直线与直线都垂直；
③过点有且只有一个平面与直线都相交；
④过点有且只有一个平面与直线都平行.
其中真命题是（ ）.
A.②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③
分析 由于作为考查对象的AB与是两条异面直线，因此对题目给出的每个命题进行考查时，一般总要借助于平面（构造某个平面）来判断，针对考查的角度不同，构造平面的方式也各异.
解析对于①，过M与AB相交的直线必在平面MAB内，过M与相交的直线必在平面M内，且平面MAB与平面M的交线既不与AB平行，也不与平行，因此过M与AB，都相交的直线必是平面MAB与平面M的交线，两个确定的平面，且有一个公共点M．其交线是唯一的，故①真；
对于②，只需了解异面直线公垂线的性质（任意两条异面直线有且仅有一条公垂线）即可，图中即为异面直线AB．的唯一一条公垂线，因此过M点有且只有一条直线与直线AB，都垂直．故②真；
对于③，在AB和上各任取一点，连同点M确定一个平面，由“任取”即知③不真.
对于④，过点M有且只有一个平面与垂直，即与AB和都平行（因该平面不经过AB和）．④直故选C.
变式2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，过对角线的一个平面交于E，交与F，得四边形，给出下列结论：
①四边形有可能是梯形；
②四边形有可能是菱形；
③四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④四边形有可能垂直与平面；
⑤四边形面积的最小值为.
其中正确的是（ ）
A.①②③④ B. ②③④⑤ C. ①③④⑤ D. ①②④⑤
解析过作平面与正方体-的截面为四边形BFD1E．如图8—303所示，
因为平面∥平而,且平面平面平面=,平面平面=,因此∥,同理∥BF．故四边形BFD1E为平行四边形,因此命题①不正确；若点E.F分别为AA1．CC1的中点，则平行四边形BFD1E的邻边BE=BF,所以四边形BFD1E为菱形，因此命题②正确；
对于命题③，四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，因此命题③正确；
对于命题④，当EF⊥平面BDD1B1时．EF 平面BFD1E,则平面BFD1E⊥平面BDD1B1，因此命题④正确；
对于命题⑤，当点F到线段BD1的距离最小时，此时平行四边彤BFD1E的面积最小，此时点E,F分别为AA1与CC1的中点,此时最小值为，因此命题⑤正确．故选B.
题型113 异面直线的判定
思路提示
判定空间两条直线是异面直线的方法如下：
（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线.
（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面.
例8.22 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）.
A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交
解析 假设a与b是异面直线，而c∥a,则c显然与b不平行（否则∥，则有∥，矛盾），因此与可能相交或异面，故选.
评注 判定和证明两条直线是异面直线，常用反证法和定义法.
变式1 已知空间三条直线，若与异面，且与异面，则（ ）
A. 与异面
B. 与相交
C. 与平行
D. 与异面、相交、平行均有可能
解析 以正方体为模型分析，若与异面，与异面，则直线与直线可能平行、相交异面.故选D.
变式2 已知为不垂直的异面直线，是一个平面，则在上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确的结论的编号是 （写出所有正确的编号）.
解析以正方体为模穗分析．a．b为异面直线,a,b在上的射影可能平行、垂直或成为一条直线厦其外一点，如图8-304(a) (b) (c)所示，故选①②④，③不正确，因为若投影为同一条直线，则a,b必在同一平面内与异面矛盾．
变式3 若直线不平行于平面，且，则（ ）
A. 内的所有直线与异面
B. 内不存在与平行的直线
C. 内存在唯一的直线与平行
D. 内的直线与都相交
解析 由题意知直线与平面相交，则直线与平面内的直线只有相交和异面两种关系，因而只有选项B是正确的．故选&B.
例8.23如图8-83所示，已知两个正方形和不在同一个平面内，和分别和为的中点，用反证法证明：直线与是异面直线.
解析 假设直线与共面，连接,则平面,且平面与平面交于，由已知，两正方形和不在同一平面，故平面，又∥，所以∥平面，又平面平面，所以∥，又∥∥，所以∥，这与矛盾，故假设不成立，所以直线与不共面，直线与是异面直线.
变式1在正方体中，棱的中点分别是，如图8-84所示，判断点是否共面？并说明理由.
解析 点A．D ．H．F不共面，反证法：假设A．D ．H．F共面．连接C F．AF．HF．又AD ∥BC ，因为BC 平面BCC B ．AD 平面BCC B ，所以AD ∥平面BCC B ，因为C ∈D H，所以平面AD HF平面BCC B =C F．因为AD 平面AD HF．所以AD ∥C F．所以C F∥BC ，而C F与BC 相交，矛盾，所以假设不成立，故点A，D ．H，F不共面，
最有效训练题33（限时45分钟）
1.下列命题正确的是（ ）
A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
2.下列四个命题：①若直线是异面直线，是异面直线，则是异面直线；②若直线相交，相交，则相交；③若∥，则与所成的角相等；④若，则∥，其中真命题的个数是（ ）
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
3.设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A. 在平面内有且只有一条直线与直线垂直
B. 过直线有且只有一个平面与平面垂直
C. 与直线垂直的直线不可能与平面平行
D. 与直线平行的平面不可能与平面垂直
4.平行六面体中,既与共面也与共面的棱的条数为（ ）
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
5.如图8-85所示，是正方体的棱的中点，给出下列四个命题：
①过点有且只有一条直线与直线都相交；
②过点有且只有一条直线与直线都垂直；
③过点有且只有一个平面与直线都相交；
④过点有且只有一个平面与直线都平行；
其中真命题是（ ）
A.②③④ B. ①③④
C. ①②④ D. ①②③
6．如图8-86所示，在四面体中，若截面是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）
A. B. ∥截面
C. D.异面直线与所成的角为
图8-86
7．过正方体的顶点作直线，使与直线所成的角都相等，这样的直线可以作 条
8．如图8-87所示，是正方体的表面展开图，分别是棱的中点，与在原正方体中的位置关系为
9．下列命题中不正确的是
①没有公共点的两条直线是异面直线；
②分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；
③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；
④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面；
10．在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于有这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是 （写出所有正确结论的编号）
①能构成每个面都是等边三角形的四面体；
②能构成每个面都是直角三角形的四面体；
③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体；
11．如图8-88所示，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且
（1）求证：四点共圆；
（2）设与交于点，求证：三点共线
12．如图8-89所示，正方体中，分别是，的中点，问：
（1）和是否为异面直线？说明理由；
（2）和是否为异面直线？说明理由；
最有效训练题33
I.C 解析 如图8-305所示，在正方体-中，易知AB1与AD1与底面
所成的角为45°，但AB1与AD栩交，故选项A错.
设E．F，P．Q分别是棱AA1．BB1．CC1．DD1的中点,点A,B,A1到面EFPQ的距离相等，但平面ABB1A与平面EFPQ相交，故选项B错．
平面ABB1A1⊥平面ABCD．平面ADD1A1⊥平面ABCD．但平面ABB1A1与平面ADD1A1相交于A1A．故选项D错．故选C.
2 D 解析 如图8-306所示．
①若A1A为b,CD为a,BC为c,则a,c不异面，所以①不正确．
②若A1A为b,AB为a, A1B1为c, 则a∥c．所以②不正确．
若A1A为b,AB为a, AD为c, 则a⊥b．a⊥c．b⊥c.
且a与c相交，故④也不正确.
③由异面直线所成角的定义或等角定理知③正确．敞选D.
3. B 解析 如图8-307所示，是的斜线，PA⊥,，⊥AB则⊥，内所有与，平行的直线都垂直于m．故A错;
即可知过有且仅有一个平面PAB与垂直，
假设有两个平面都与垂直，则这两个平面的交线m 应与垂直，与条件矛盾，所以B正确；又，∥，
所以，∥，因为⊥，所以⊥，所以C错.
又在平面内取不在直线上的-点D，过D可作平面与平面PAB平行，所以∥，因为平面PAB⊥，所以平面⊥．故选B.
4.C 解析 如图8-308所示，平行六面体—与AB,
都共面的棱为BC．C1D1．DC．AA1．BB1共5条. ；
故选C.
5．C. 解析 如图8—309所示，因为点M不在B1C1上，所以由B1C1与点M可确定唯一平面B1C1M.设此平面与AA1交点为N．则N为AA1中点，在平面.ABB1A1内,B1N与BA必相交，设交点为Q．则QM与B1C1 -定不平行．所以QM与AB, B1C1都相交．由作法知，这样的直线QM有且仅有一条，所以①真;因为AB∥A1B1, A1B1与B1C1相交确定一个乎面，因为过点M作平面的垂线唯一，所以过M与AB, B1C1都垂直的直线唯一，所以②真；过M作ME∥DC,交 CC1于E,因为DC∥AB,所以ME∥AB, 过M作MF∥A1D1，交AA1于F,因为A1D1，∥B1C1，所以MF∥B1C1所以AB与B1C1都与平面MEF平行，由作法知，这样的平面MEF有且仅有一个，故④真.故选C.
6．C. 解析 如圈8—310所示，因为MN∥PQ．所以MN∥平面ABC．所以MN//AC．同理BD∥QM．因为MN⊥QM.所以AC⊥BD．所以A正确；因为AC∥MN．所以AC∥平面PQMN．故B正确；因为BD∥QM.所以PM与BD所成角即为∠PMQ．所以PM与BD成45°角，故D正确．故选C.
7.4 解析 连接AC1，则AC1与棱AB．AD．AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB.AD. AA1．所成的角也都相等．故这样的直线可以作4条．
8．平行- 解析 将展开图还原为正方体ABCD—，则E.F，G．H分别是棱A1D1．A1B1．BC．DC的中点，连结B1D1.BD(如图8-311所示)．则EF∥B1D1,GH∥BD.
又因为BB1,D1D是正方体的侧棱，所以BB1D1D.
故四边彤BB1D1D是平行四边形．所以B1D1∥BD.
所以EF//GH．即EF与GH是平行关系．
9．①② 解析 没有公接点的两直线或平行或异面，故①错；
命题②错；此时两直线有可能相交．命题③正确；因为若直线a和b异面，c∥a．则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若c∥b,又c∥a．则a∥b,这与a,b异面矛盾，故c不平行于b；命题④也正确
B
F
C
G
H
A
E
D
图8-77

展开更多......

收起↑