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第四节 直线、平面平行的判定与性质
考纲解读
1．要理解空间直线和平面各种位置关系的定义.
2．以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定，理解其判定定理与性质定理.
命题趋势探究
有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线面关系的判定和推理；一类是几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力.
平行关系是立体几何中的一种重要位置关系，在高考中，选择题、填空题几乎每年都考，难度一般为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.
（1）高考始终把直线与平面、平面与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以棱柱、棱锥为背景设计命题.考查的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平面几何有关知识考查.
（2）以棱柱、棱锥为依托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两异面直线间的距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想.
知识点精讲
一、直线和平面平行
1．定义
直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥
2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-9）
表8-9
文字语言 图形语言 符号语言
线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
面∥面线∥面 如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-10）
表8-10
文字语言 图形语言 符号语言
线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行
二、两个平面平行
1．定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:对于平面和,若,则∥
2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-11）
表8-11
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行
线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行 ∥
3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-12）
表8-12
文字语言 图形语言 符号语言
面//面线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
面//面线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
题型归纳及思路提示
题型114 证明空间中直线、平面的平行关系
思路提示：
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图8-90所示.
（1） 证明直线与平面平行的常用方法：
利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2） 证明面面平行的常用方法：
利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
利用面面平行的判定定理；
利用两个平面垂直于同一条直线；
证明两个平面同时平行于第三个平面.
（3） 证明线线平行的常用方法：利用直线和平面平行的判定定理；利用平行公理；
1、 线面平行的判定定理与线面平行的性质定理的应用
例8.24已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A.若 B.
C. D.
变式1已知是两条不同的直线，是二个不同的平面，给出下列四个命题：
其中正确的序号是（ ）
A. B. C. D.
变式2给出以下四个命题：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直；
如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线平行；
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.
变式3若平面，直线，点B，则在平面内过点B的直线中（ ）
A.不一定存在与平行的直线. B.只有两条与平行的直线.
C.存在无数条与平行的直线. D.只有一条与平行的直线.
例8.25如图8-92所示，已知分别为空间四边形的边上的点，若,求证：.
变式1 如图8-93所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD//BC,E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点，证明：EF//A1D1.
变式2如图8-94所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,设平面PAB平面PCD=m,求证：CD//.
二 线面平行的证明方法：
线面平行的证明方法主要有两种：（1）由线线平行线面平行，其证明途径通过平面外的直线与平面内的直线平行，推得直线与平面平行，也可以作辅助线，构造相似三角形或平行四边形，得到线线平行，从而推出线面平行；（2）由面面平行线面平行，由已知或构造直线所在的平面与已知平面平行，证明直线与平面平行.
方案一：由线线平行和线面平行的相互转化，求证线面平行.
例8-26如图8-95所示，圆锥顶点为P，底面圆心为O，AB和CD是底面圆O上的两条平行弦，证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面.
变式1 如图8-96所示，在三棱锥P-ABC中，E,F,分别是PA,PC的中点，记平面BEF与平面ABC的交线为，试判断直线与平面PAC的位置关系，并加以证明.
方案二：平行进面法（同向进面法）
思路提示：如图8-97所示，证明AB//.
分析过程：
四边形为平行四边形.
例8．27如图8-98所示，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E,F分别是AB和PD的中点，求证AF//平面PCE.
变式1 如图8-100所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为OA的中点，N为BC的中点，求证:直线MN//平面OCD.
变式2如图8-101所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF//AB,AB=2EF,H为BC的中点，求证：FH//平面EDB.
例8.28如图8-102所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CD的中点，在棱AA1上是否存在点P,使得DP//平面B1AE,若存在，求的值；若不存在，说明理由.
变式1如图8-104所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD,AB=2CD.在棱PB上是否存在点M使得CM//平面PAD 若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
变式2如图8-105所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1中点，在棱C1D1上是否存在一点F,使得B1F//平面A1BE 证明你的结论.
方案三：相交进面法（不同向进面法）
思路提示：如图8-106（a）（b）所示，证明AB∥α。
分析过程（1）：
AB∥α AB∥CD 在三角形ABE中
分析过程（2）：
AB∥α AB∥CD 在三角形CDE中
例8.29如图8-107（a）所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点。求证：A1C∥平面AB1D。
变式1 如图8-108所示，三棱锥P-ABC中，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，G为OC的中点。求证：FG∥平面BOE。
变式2 如图8-109所示，在三棱柱ABC-A’B’C’中，点M、N分别为A’B和B’C’的中点。证明：MN∥平面A’ACC’
变式3 如图8-110所示，在四面体A-BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC。求证：PQ∥平面BCD
例8.30如图8-111所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，O为AC的中点。在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1ABB1，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置。
变式1 如图8-113所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PM=t PC，试确定t的值，使PA∥平面MQB。
方案四：由面面平行证线面平行思路提示：证明AB∥α。
分析法过程：
AB∥α 平面β∥α（AB β），（其中平面β通常为平面ABX）
例8.31改编）如图8-114所示，四边形ABCD与BDEF均为平行四边形。
求证：FC∥平面EAD。
变式1 如图8-115所示，几何体E-ABCD是四棱锥，ΔABD为正三角形，CB=CD。若∠BCD=120o，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC。
三、面面平行的证明
思路提示：
常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面。
例8-32 如图8-116所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、F分别为BC、BB1、AA1的中点。求证：平面B1FC∥平面EAD。
变式1 如图8-117所示，点C在以AB为直径的⊙O上，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC。求证：平面MOE∥平面PAC。
最有效训练题34（限时45分）
1．在空间中，下列命题中正确的是（ ）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
2．设m、n是平面α内的两条不同直线；、是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（ ）
A．m∥β且∥α B．m∥且n∥ C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥
3．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中是真命题的是（ ）
A．若m、n与α所成的角相等，则m∥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若mα，n∥α，则m∥n
4．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的命题是（ ）
A．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β B．若mα，nβ，α∥β，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥a D．若m∥n，n⊥α，则m⊥α
5．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，aα，a∥β
C．存在两条平行直线a、b，aα，bβ，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a、b，aα，bβ，a∥β，b∥α
6．已知两条不同直线a、b和不重合平面α、β，则a∥b的一个充分条件是（ ）
A．a∥α，b∥α B．a∥α，b∥β，a∥β
C．a⊥α，b⊥β，a∥β D．a⊥β，a⊥α，b∥β
7．在四面体ABCD中， M、N分别是ΔACD、ΔBCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是
8．如图8-118所示是一正方体的表面展开图，B、N、Q都是所在棱的中点，则在原正方体中，下列五个命题①AB与CD相交；②MN∥PQ；③AB∥PE；④MN与CD异面；⑤MN∥平面PQC.
其中真命题的序号是
9．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面给出下列命题：
①若m∥α，则m平行与平面α内的任意一条直线
②若α∥β，mα，nβ，则m∥n
③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
④若α∥β，mα，则m∥β
上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）
10．如图8-119所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件 时，有MN∥平面B1BDD 1。
11．如图8-120所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，若M、N 是棱BC上的两个三等分点。求证：A1N∥平面AB1M。
12．如图8-121所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。
（1）求三棱锥D-AEC的体积；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上的确定一点N，使得MN∥平面DAE。
性质
性质
性质
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
图 8-90第四节 直线、平面平行的判定与性质
考纲解读
1．要理解空间直线和平面各种位置关系的定义.
2．以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定，理解其判定定理与性质定理.
命题趋势探究
有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线面关系的判定和推理；一类是几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力.
平行关系是立体几何中的一种重要位置关系，在高考中，选择题、填空题几乎每年都考，难度一般为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.
（1）高考始终把直线与平面、平面与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以棱柱、棱锥为背景设计命题.考查的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平面几何有关知识考查.
（2）以棱柱、棱锥为依托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两异面直线间的距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想.
知识点精讲
一、直线和平面平行
1．定义
直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥
2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-9）
表8-9
文字语言 图形语言 符号语言
线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
面∥面线∥面 如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-10）
表8-10
文字语言 图形语言 符号语言
线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行
二、两个平面平行
1．定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:对于平面和,若,则∥
2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-11）
表8-11
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行
线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行 ∥
3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-12）
表8-12
文字语言 图形语言 符号语言
面//面线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
面//面线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
题型归纳及思路提示
题型114 证明空间中直线、平面的平行关系
思路提示：
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图8-90所示.
（1） 证明直线与平面平行的常用方法：
利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2） 证明面面平行的常用方法：
利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
利用面面平行的判定定理；
利用两个平面垂直于同一条直线；
证明两个平面同时平行于第三个平面.
（3） 证明线线平行的常用方法：利用直线和平面平行的判定定理；利用平行公理；
1、 线面平行的判定定理与线面平行的性质定理的应用
例8.24已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A.若 B.
C. D.
解析:举反例排除,如图8-91正方体模型所示, AB//底面A1C1，AD//底面A1C1,但和AD不平行，A选项错误，同理，，.故B选项错误，AB//底面A1C1, AB//底面A1C,而两个平面为相交关系，故C错，选D.
评注：此类问题可以特殊化为一个长方体的；棱，面等，进而进行转化.
变式1已知是两条不同的直线，是二个不同的平面，给出下列四个命题：
其中正确的序号是（ ）
A. B. C. D.
变式2给出以下四个命题：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直；
如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线平行；
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.
变式3若平面，直线，点B，则在平面内过点B的直线中（ ）
A.不一定存在与平行的直线. B.只有两条与平行的直线.
C.存在无数条与平行的直线. D.只有一条与平行的直线.
例8.25如图8-92所示，已知分别为空间四边形的边上的点，若,求证：.
解析 因为,, ,所以EH//平面.又,所以EH//BD.
评注线面平行的性质定理是证明线线平行的首选方法，也是高考中使用的最多的证明方法.有时结合平行传递性来证明.
变式1 如图8-93所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD//BC,E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点，证明：EF//A1D1.
变式2如图8-94所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,设平面PAB平面PCD=m,求证：CD//.
2、 线面平行的证明方法：
线面平行的证明方法主要有两种：（1）由线线平行线面平行，其证明途径通过平面外的直线与平面内的直线平行，推得直线与平面平行，也可以作辅助线，构造相似三角形或平行四边形，得到线线平行，从而推出线面平行；（2）由面面平行线面平行，由已知或构造直线所在的平面与已知平面平行，证明直线与平面平行.
方法1：由线线平行和线面平行的相互转化，求证线面平行.
例8-26如图8-95所示，圆锥顶点为P，底面圆心为O，AB和CD是底面圆O上的两条平行弦，证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面.
分析：本题是线面平行性质判定定理及性质定理的综合，
即线线平行线面平行线线平行.
解析：设平面PAB和平面PCD的交线为.因为AB//CD,
,,所以AB//平面PCD.
又因为，
所以AB//,由直线AB在底面上，在底面外，所以有
与底面平行.
变式1 如图8-96所示，在三棱锥P-ABC中，E,F,分别是PA,PC的中点，记平面BEF与平面ABC的交线为，试判断直线与平面PAC的位置关系，并加以证明.
方案二：平行进面法（同向进面法）
思路提示：如图8-97所示，证明AB//.
分析过程：
四边形为平行四边形.
例8．27如图8-98所示，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E,F分别是AB和PD的中点，求证AF//平面PCE.
解析：如图8-99所示，取PC中点为G，连接EG,FG,由F为PD的中点，则.
由已知有，故四边形AEGF为平行四边形，因此AF//EG,
又，，所以AF//平面PCE.
评注：通过同向进面法能有效的在平面PCE中找到与AF平行的直线，点A沿AE方向进平面于点E,点F同向沿AE进平面于点G,连接EG,构造平行四边形AEGF，只要证明EG//AF即可.
变式1 如图8-100所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为OA的中点，N为BC的中点，求证:直线MN//平面OCD.
的中点E，连接EM，EN，因为M，E分别为OA，OB的中点，所以EM∥AB。因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，故EM∥CD，又EM平面OCD，所以EM∥平面OCD，又N点为BC中点，所以EN∥OC，OC平面OCD，EN平面OCD，所以EN∥平面OCD，且EM∩EN=E，所以平面MEN∥平面OCD。故直线MN∥平面OCD。
解法二：（线线平行线面平行）.
如图8-314（b）所示，取OD的中点E，
连接ME，CE，因为M，E分别为OA，OD的中点，
所以MEAD，又N为BC的中点，故CNAD。
所以MENC，故四边形MNCE为平行四边形，所以MN∥CE，
CE平面OCD，MN平面OCD直线MN∥平面OCD.
评注：解法二作辅助线是同向进面，点N沿NC方向进平面于点C，点M沿同方向进平面于点E，连接CE，只要证明CE∥MN即可。
变式2如图8-101所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF//AB,AB=2EF,H为BC的中点，求证：FH//平面EDB.
解析：如图8-315所示，连接AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，又Ｈ为BC的中点，所以GHAB，又EFAB，所以EFGH，所以四边形EFHG为平行四边形，得EG∥FH，又EG平面EDB，FH平面EDB，所以FH∥平面EBD。
例8.28如图8-102所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CD的中点，在棱AA1上是否存在点P,使得DP//平面B1AE,若存在，求的值；若不存在，说明理由.
分析:先假设存在，推理出点P的位置，再证明，根据平行进面法，点D沿着DC方向到达点E,且DE=,若存在,则点P也可沿同样方向运动且等距离进入平面B1AE,从而易猜出P为AA1中点.
解析：在棱AA1上存在点P使得DP//平面B1AE,且证明如下：
如图8-103所示，取AA1中点P，AB1中点Q,连接PQ,PD,QE,则在中，PQ为中位线，即又长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CD中点，故.
故，所以四边形PQED为平行四边形，所以DP//EQ,又，，所以DP//平面B1AE.
变式1如图8-104所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD,AB=2CD.在棱PB上是否存在点M使得CM//平面PAD 若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
解析 在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD，且。
证明如下：如图8-316所示，取PB的中点M，PA的中点N，连接MN，CM，ND，则在△PBA中，MN为中线，即MNAB。
又AB∥CD，AB=2CD，故CDABMN,所以CDMN，故四边形CMND为平行四边形，所以CM∥ND，又CM平面PAD，ND平面PAD，所以CM∥平面PAD，得证。
变式2如图8-105所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1中点，在棱C1D1上是否存在一点F,使得B1F//平面A1BE 证明你的结论.
解析 解法一：如图8-317所示，取的中点F，连接EF，，设，连接OE，因为正方体，所以，所以四边形为平行四边形，得，又E,F分别为与的中点，所以,所以，故，所以四边形为平行四边形，得，又OE平面，平面，所以∥平面，得证。
解法二：在棱上存在点F，且F为的中点，使∥平面，证明如下：
如图8-318所示，分别取和的中点F，G。因为∥∥，且，所以四边形为平行四边形，因此∥，又E，G分别为，CD的中点，所以EG∥，从而EG∥。这说明， B，G，E四点共面，所以BG平面。因为四边形与皆为正方形，F，G分别为，CD的中点，所以FG∥∥，且FG==。因此四边形为平行四边形，所以∥BG，而平面，BG平面，故∥平面
方法三：相交进面法（不同向进面法）
思路提示：如图8-106（a）（b）所示，证明AB∥α。
分析过程（1）：
AB∥α AB∥CD 在三角形ABE中
分析过程（2）：
AB∥α AB∥CD 在三角形CDE中
例8.29如图8-107（a）所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点。求证：A1C∥平面AB1D。
分析： 要证明线面平行，可通过线线平行 线面平行，关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行。观察图形，易知采用相交进面法（不同向进面法）：点C进入平面AB1D到点D延长到B，连接A1B，与平面AB1D相交于点E，从而证明A1C∥DE即可。
解析： 如图8-107（b）所示，连接A1B∩AB1=E，连接DE。因为ABC-A1B1C1是三棱柱，所以四边形A1B1BA是平行四边形，故E为A1B的中点。又因为D是BC的中点，所以DE是ΔBA1C的中位线，所以DE∥A1C。因为DE平面AB1D，A1C平面AB1D，所以A1C∥平面A1BD。
变式1 如图8-108所示，三棱锥P-ABC中，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，G为OC的中点。求证：FG∥平面BOE。
解析 解法一：（线线平行线面平行）。如图8-319（a）所示，连接AF，设AF∩BE=I，连接OI。因为E，F为PA，PB的中点，则AF与BE的交点I为△PAB的重心，由重心的性质知AI：IF=2:1，又AG：OG=OC：OG=2:1，即，故OI∥FG，OI平面BOE，FG平面BOE，所以FG∥平面BOE。
解法二：（面面平行线面平行）。
如图8-319（b）所示，取PE的中点Q，连接QG，QF。
因为点E，O，G，Q分别是PA，AC，OC，PE是中点，在△APC中，，所以QG∥OE，OE平面BOE，QG平面BOE，故QG∥平面BOE，同理QF∥平面BOE，有QC∩QF=Q，因此平面FGQ∥平面BOE，又FG平面FGQ，所以FG∥平面BOE。
变式2 如图8-109所示，在三棱柱ABC-A’B’C’中，点M、N分别为A’B和B’C’的中点。证明：MN∥平面A’ACC’
解析 如图8-320所示，连接，。因为在直三棱柱中，点M，N分别为和的中点，所以点M为的中点，即MN是△的中位线，即MN∥。又MN平面，平面，所以MN∥平面。
变式3 如图8-110所示，在四面体A-BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC。求证：PQ∥平面BCD
解析 解法一：如图8-321（a）连接AP并延长交BD于点N，过点M做MR∥AP交BD于点R，连接CN，因为点P为BM中点，PN∥MR，所以PN=MR。同理，在△AND中，MR=AN，因此PN=AN，即，又，所以，故PQ∥NC，NC平面BCD，PQ平面BCD，所以PQ∥平面BCD。
解法二：如图8-321（b）所示，取BD的中点O，连接PO，过点Q做QR∥AD交CD于点R，连接OR，QR。因为点P为BM的中点，点O为BD的中点，则PO为△BDM的中位线，即PO∥MD，且PO=MD，因此PO∥AD，且PO=AD，又QR∥AD，且QR=AD，故POQR，所以四边形PQRO为平行四边形，则PQ∥OR，OR平面BCD,PQ平面BCD，所以PQ∥平面BCD。
例8.30如图8-111所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，O为AC的中点。在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1ABB1，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置。
解析： 在BC1上存在点E，使得OE∥平面A1ABB1，且E为BC1的中点，证明如下：如图8-112所示，连接B1C，设B1C ∩ BC1=E，连接OE。由三棱柱ABC-A1B1C1，得四边形BCC1B1为 平行四边形，故E为B1C中点，又O为AC中点，所以OE为ΔAB1C的中位线，所以OE∥AB1，有OE 平面A1ABB1，AB1 平面A1ABB1，所以OE∥平面A1ABB1。得证.
变式1 如图8-113所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PM=t PC，试确定t的值，使PA∥平面MQB。
解析 当时，PA∥平面MQB，证明如下：如图8-322所示，连接AC交BQ于N，连接MN，因为AQ∥BC，所以△AQN∽△CBN，所以。当时，，所以,即，故MN∥PA
又PA平面MQB，MN平面MQB，所以PA∥平面MQB。
例8.31改编）如图8-114所示，四边形ABCD与BDEF均为平行四边形。
求证：FC∥平面EAD。
分析 本题利用线线平行证明线面平行很难入手，因此考虑利用
面面平行的性质定理，及面面平行证明线面平行。
解析 因为四边形ABCD与BDEF均为平行四边形，所以BC∥AD，BF∥DE，又BC 平面EAD，AD平面EAD，故BC∥平面EAD。同理BF∥平面EAD，又BC∩BF=B，BC、BF 平面FBC，所以平面FBC平面EAD。又FC 平面FBC，所以FC∥平面EAD.
评注 本题证明线面平行是通过面面平行证明线面平行，直接由线线平行证明线面平行较之难度大。
变式1 如图8-115所示，几何体E-ABCD是四棱锥，ΔABD为正三角形，CB=CD。若∠BCD=120o，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC。
解析 如图8-323所示，取AB的中点N，连接MN，DN，又M为线段AE的中点，故MN为△ABE的中位线，所以MN∥BE，又MN平面BEC，BE平面BEC，故MN∥平面BEC①。在正△ABD中，N为AB中点，故DN⊥AB，又在△BCD中，CB=CD，∠BCD=120°，所以∠DBC=30°，故∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+30°=90°，即BC⊥AB，又DN⊥AB，且BC，DN平面ABCD，所以DN∥BC，又DN平面BEC，BC平面BEC，故DN∥平面BEC②。由①②即MN∩DN=N，MN，DN平面MND，得平面MND∥平面BEC。又DM平面MND，所以DM∥平面BEC。
三、面面平行的证明
思路提示：
常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面。
例8-32 如图8-116所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、F分别为BC、BB1、AA1的中点。求证：平面B1FC∥平面EAD。
解析 因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、F分别为BC、BB1、AA1的中点，所以AF∥B1E，故四边形AFB1E是平行四边形，即AE∥B1F。
又AE 平面B1FC，B1F 平面B1FC，故AE∥平面B1FC①。
在ΔBCB1中，DE是中位线，故DE∥CB1，又DE 平面B1FC，CB1 平面B1FC，故DE∥平面B1FC②。
由①②及AE∩DE=E，AE、DE 平面EAD，得平面B1FC∥平面EAD。
评注 证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行。
变式1 如图8-117所示，点C在以AB为直径的⊙O上，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC。求证：平面MOE∥平面PAC。
解析 因为在△PAB中O为AB中点，E为PB的中点，所以OE是中线，故OE∥PA，又OE平面PAC，PA平面PAC，故OE∥平面PAC①。又因为OM∥AC且OM平面PAC， AC平面PAC，故OM∥平面PAC②。由①②及OE∩OM=O，OE，OM平面MOE，得平面MOE∥平面PAC。
最有效训练题34（限时45分）
1．在空间中，下列命题中正确的是（ ）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
2．设m、n是平面α内的两条不同直线；、是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（ ）
A．m∥β且∥α B．m∥且n∥ C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥
3．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中是真命题的是（ ）
A．若m、n与α所成的角相等，则m∥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若mα，n∥α，则m∥n
4．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的命题是（ ）
A．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β
B．若mα，nβ，α∥β，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥a
D．若m∥n，n⊥α，则m⊥α
5．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，aα，a∥β
C．存在两条平行直线a、b，aα，bβ，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a、b，aα，bβ，a∥β，b∥α
6．已知两条不同直线a、b和不重合平面α、β，则a∥b的一个充分条件是（ ）
A．a∥α，b∥α B．a∥α，b∥β，a∥β
C．a⊥α，b⊥β，a∥β D．a⊥β，a⊥α，b∥β
7．在四面体ABCD中， M、N分别是ΔACD、ΔBCD的重心，则四面体的四个面中与MN
平行的是
8．如图8-118所示是一正方体的表面展开图，B、N、Q都是所在棱的中点，则在原正方体中，下列五个命题①AB与CD相交；②MN∥PQ；③AB∥PE；④MN与CD异面；⑤MN∥平面PQC.
其中真命题的序号是
9．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面给出下列命题：
①若m∥α，则m平行与平面α内的任意一条直线
②若α∥β，mα，nβ，则m∥n
③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
④若α∥β，mα，则m∥β
上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）
10．如图8-119所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件 时，有MN∥平面B1BDD 1。
11．如图8-120所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，若M、N 是棱BC上的两个三等分点。求证：A1N∥平面AB1M。
12．如图8-121所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。
（1）求三棱锥D-AEC的体积；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上的确定一点N，使得MN∥平面DAE。
最有效训练题34
1.D 解析 当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内的平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内的平行投影可平行，故A错误；如图8-324所示，在正方体中，直线与平面相交，故B错误；同样，在正方体中，平面及平面都与平面ABCD垂直，但此两平面相交，故C错误；由线面垂直的性质定理知D正确，故选D。
2.B 解析 如图8-325（a）所示，，，，满足且，故排除A；
如图8-325（b）所示，，，满足，，故排除C；
又如图8-325（b）所示，，，满足，，故排除D。故选B。
3.D 解析 正三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB与底面成角相等，但PA与PB相交，应排除A；
若则m与n平行，相交或异面，应排除B；
若则或应排除C；
因为m,n共面，设经过m,n的平面为β，因为，所以，
因为n∥α，所以n∥m,故选D。
4.D 解析 A中两直线m与n相交时，才能得出结论α∥β，故A错误；B中分别在两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，故B错误；C中n可能在平面α内，故C错误，故选D。
5.D 解析 如图8-326在正方体中，取平面ABCD为α，平面为β，为直线a,则a∥α，a∥β，但，知选项A错误；
如图8-327所示，则，可知满足选项B的条件，故选项B错误；
如图8-328所示，，满足，故选项C错误，由面面平行的判定定理知选项D正确，故选D。
6.C 解析 时，a与b可相交可异面也可平行，故A错误；
时，a与b可异面，故B错误；
由α⊥β，a⊥α得，a∥β货，又b∥β，此时a与b可平行也可相交或异面，排除D，故选C。
7.平面ABC和平面ABD 解析 如图8-329所示，连接AM并延长交CD于点E，因为M为△BCD的重心，所以B，N，E三点共线，由得MN∥AB，因此MN∥平面ABC，MN∥平面ABD。
8.①②④⑤ 解析 将正方体还原后如图8-330所示，则N与B重合，A与C重合，E与D重合，所以①，②，④，⑤为真命题。
9.③④ 解析 若m∥α，则m平行于过m作平面α相交的交线，并非α内任一条直线，故①错误；
若α∥β，，则可能m∥n,也可能m,n异面，故②错误；
，则③正确；，则④正确。
10.M∈线段FH 解析 因为HN∥BD，HF∥，所以平面NHF∥平面，故线段FH上任一点M与N相连，有MN∥平面。
11.分析 利用不同向进面法作辅助线。
解析 如图8-331所示，连接，设，因为为斜三棱柱，则四边形为平行四边形，点O为的中点，又点M为BN的中点，连接OM，故OM为△的中位线，则，OM平面，平面，所以平面。
12.解析 （1）如图8-332所示，因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，所以BC⊥平面ABE，则AE⊥BC。
因为BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，因为BC∩BF=B，且BC，BF平面BCE，所以AE⊥BCE，又BE平面BCE，所以AE⊥BE，所以AB=。
，
过E作EH⊥AB于H，则EH⊥平面ABC，在Rt△AEB中得，。
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE与G点，在三角形BEC中过G点做GN∥BC交EC于N点。连接MN，则，有比例关系易得。
因为MG∥AE，平面ADE，AE平面ADE，
所以MG∥平面ADE，同理，GN∥平面ADE。
所以平面MGN∥平面ADE。
又MN平面MGN，所以MN∥平面ADE。
所以N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点。
性质
性质
性质
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
图 8-90

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