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第五节 直线、平面垂直的判定与性质
考纲解读：
1．以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些关于空间图形位置关系的简单命题。
命题趋势探究：
在高考中，对垂直关系的考察一般有两种方式：
（1）考察垂直关系的有关定义、判定及性质，即通过有关命题的真假判定，直接考查有关的判定和性质定理。
（2）以空间几何体为载体，证明有关线线、线面、面面的垂直关系。
知识点精讲：
1、定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相
互垂直.
2．判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-13）
表8-13
文字语言 图形语言 符号语言
判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面 线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
平行与垂直的关系1 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
平行与垂直的关系2 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-14）
表8-14
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行
文字语言 图形语言 符号语言
垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行
线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
二、斜线在平面内的射影
1.斜线的定义
一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足.
2.射影的定义
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
3.直线与平面所成的角
平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是的角，故直线与平面所成的角的范围是.
如图8-122所示，是平面的斜线，为斜足；是平面的垂线，为垂足；是在平面的射影，的大小即为直线与平面所成的角的大小.
三、平面与平面垂直
1.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角，二面角的范围是.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
2.平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.（如图8-124所示，若，，且，，
，则）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
题型归纳及思路提示
题型115 证明空间中直线、平面的垂直关系
思路提示
线线线面面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质（）；
⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（∥）；
⑤面面垂直的性质（）.
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）.
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图8-125所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置.
一、线线垂直
证明线线垂直常用线面垂直的性质（线面垂直线线垂直）.
例8.33 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A．∥， B．，∥
C．，∥ D．∥，
解析：举例排除法
如图8-126所示，以正方体为模型，构造相应的直线和平面，利用排除法，选C.
评注：此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，
进而进行判断.
变式1：在正四棱锥中，，是中点，是的重心，则在平面中经过点且与直线垂直的直线有多少条？
解析 如图8-333所示，设正四棱锥P-ABCD的底面边长为a,则侧棱长为。由PM⊥BC，得。连接PG并延长与AD相交于点N，则PN=，MN=AB=a, 所以, 所以PM⊥PN。又AD∥BC，所以PM⊥AD，所以PM⊥平面PAD，所以在平面PAD中经过点G的任意一条直线都与PM垂直，故有无数条。
变式2：已知是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：①；②；③；④.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________.
分析 垂直关系中线面垂直是核心，因此是最强的条件
解析 如图8-334所示，
由α⊥β，m⊥α，n⊥βm⊥n；或m⊥n，n⊥β，m⊥αα⊥β。
变式3：在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是正方体表面上的一点，若，则线段的长度的取值范围是_______________.
分析 构造过点且垂直于直线AF的平面与正方体的表面相交所成的截面，将空间问题转化为平面问题求解。
解析 如图8-335所示，过作平面垂线直线AF，连接，DF，取CD的中点E，连接，易证⊥AF，在正方形中，点E，F分别为CD，的中点，则，且在正方体中，AD⊥平面，得AD⊥，AD∩DF=D，所以⊥平面ADF，则⊥AF，，因此AF⊥平面，将平面延展交正方体的表面于，则AF⊥平面。在平面中，过的任意直线均垂直于AF，所以的最大值为，且，所以线段的长度的取值范围为。
例8.34 如图8-127所示，在直棱柱中，，垂足为.求证：
.
分析：线面垂直的判定及性质进行转化.
解析：在直棱柱中，因为底面，所以，又，，，平面内，所以平面，又平面内，故.
评注： 证明线线垂直的方法很多，除了平面几何（等腰三角形底边上的中线是高，勾股定理逆定理，菱形对角线互相垂直等）中的，空间几何中的方法是线垂直于面的定义，三垂线定理及其逆定理，空间向量等，究竟选用哪个，如果是平面垂直考虑前者，如果是异面垂直考虑后者，对于由线面垂直推导线线垂直，如何确定线与面，这要求根据图形结构及条件选择一直线垂直于经过另一直线的平面.
变式1：如图8-128所示，四棱锥的底面是正方形，平面，点是上异于点的任意一点，求证：.
解析 如图8-336所示，连接BD，因为底面ABCD的正方形，所以AC⊥BD，又SD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以SD⊥AC，又BD∩SD=D，且BD，SD平面BDS，所以AC⊥平面BDS，又BE平面BDS，所以AC⊥BE。
变式2：如图8-129所示，已知三棱锥中，平面，，，为上一点，，分别为和的中点.
求证：.
解析 如图8-337(a)所示，取AB的中点,连接，设，设AC=1，依题意，由点S为线段BC的中点，故，，，如图8-337(b)所示，在△BSN中，由余弦定理得：
，则。
那么
则∠BNS=45°，故，则，又为△PAB的中位线，得∥PA，PA⊥平面ABC，所以⊥平面ABC，故⊥NS，且∩=，平面，所以NS⊥平面，CM平面，故CM⊥NS。
变式3：如图8-130所示，在四面体中，，，，
且，点为的中点.求证：在上存在一点，使，并计算的值.
解析 如图8-338所示，在平面OAB内作ON⊥OA交AB与点N，连接CN，又OC⊥OA，OC∩ON=O，且OC，ON平面OCN，所以OA⊥平面OCN，又CN平面OCN，所以OA⊥CN，取AN的中点Q，则PQ∥CN，故PQ⊥OA，在三角形OAB中，∠OAB=∠OBA=30°，在Rt△ONB中，∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO，所以NB=NO，在Rt△AON中，∠OAN=30°，所以ON=，所以。
例8.35 如图8-131所示,在长方形中，，为的中点，为线段上（端点除外）一动点.现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足.设，则的取值范围是__________.
分析：对这类动态问题要深入地抓住其中的定性，掌握变中不变的因素是解题的关键.就本题而言，在矩形中，引于交于，在折起的过程中，
始终保持与垂直的关系，即在平面内的射影始终保持着与、共线，所以我们可以把空间问题转化为平面问题，即在点的位置确定后，的位置将固定不动，值也不会因折起而变化，因此在平面图形中，利用相似建立的表达式，求其取值范围.
解析：如图8-132（a）所示，过作于点，连接，易得，与折前的图形相比，可知折前的图形中，三点共线，且（如图8-132（b）所示）,于是∽，所以，即，所以，又
，故.
评注：本题的解法为借助平面解决空间问题的典范，抓住面面垂直、线面垂直等空间问题的核心内容是解答各种立体几何问题的基本思路.
立体几何问题的基本思路.
变式1 如图8-133所示，正四面体中，棱长为4，是的中点，在线段上运动（不与重合），过点作直线平面，与平面交于点，给出下列命题：①平面；②点一定在直线上；③，其中正确的是（ ）.
①② ①③ ②③ ①②③
解析 因为A-BCD是正四面体，M为BC的中点，所以AM⊥BC，DM⊥BC，且AM∩DM=M，所以BC⊥平面AND，故①正确；由BC⊥平面ADM，BC平面ABC，故平面ABC⊥平面ADM，平面ABC∩平面ADM=AM，过点P作直线⊥平面ABC，则平面ADM，又Q∈，Q∈平面BCD，故Q∈平面BCD∩平面ADM，平面BCD∩平面ADM=DM，则Q∈DM，故②正确；由点M为BC的中点，得，故③不正确，故选A。
例8.36 如图8-134所示，在直三棱柱中，平面侧面.求证：.
分析 通过线面垂直，证明线线垂直.
解析 如图8-135所示，过点在平面内作于点，连接，则由平面侧面，则平面侧面，得平面，又，所以.因为三棱柱是直三棱柱，故，所以，又，从而，又，故.
评注 垂面里面作垂线，有效地将面面垂直转化为线面垂直.
变式1 如图8-136所示，在三棱锥中，，.求证：.
分析 通过线面垂直的性质定理，证明线面垂直。
解析 如图8-339所示，取AB的中点D，连接PD，CD。
因为AP=BP，所以PD⊥AB。
又因为AC=BC，所以CD⊥AB。
有PD∩CD=D，所以AB⊥平面PCD，PC平面PCD，所以PC⊥AB。
二、线面垂直
垂直关系中线面垂直是重点.
线垂面哪里找
线垂面有何用
证明线面垂直常用两种方法.
方法一：线面垂直的判定.
线线垂直线面垂直，符号表示为：，，，，，那么.
方法二：面面垂直的性质.
面面垂直线面垂直，符号表示为：，，，，那么.
例8.37 已知直线和两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）.
若，则 若,，则
若，则 若，则
解析 举反例排除法，如图8-137所示在正方体中，，，而平面与平面相交，故选项错；，平面，而，故选项错.故选.
另解：由“垂直于同一条直线的两个平面平行”知选项正确.
变式1 已知直线平面，直线平面，有下面4个命题：
①；②；③；④.
其中正确的命题是（ ）.
①② ③④ ②④ ①③
解析 在①中，由⊥平面α，α∥β，知⊥β，由mβ，所以⊥m，故①正确；在②中，与m可能相交、平行或异面，故错误；在③中，由∥m, ⊥平面α，知m⊥平面α，mβ,所以平面α⊥平面β，故③正确；④显然不正确，故正确的命题是①③，故选D。
变式2 设和是两条不同的直线，和是两个不同的平面，给出下列4个命题：
①若，则； ②若，则；
③若，则或；④若，则.
其中正确命题的序号为 .
解析 ②中有可能存在m∥β等情形，故②不正确。①③④正确。
例 8.38 如图8-138所示，在正方体中，为其对角线.求证：.
分析 由线面垂直的判定定理,证明直线与的两条相交线垂直.
解析 如图8-139所示,连接.因为在正方体中平面,所以,且,又,所以,因此,同理,又,所以.
评注 判断线线垂直与线面垂直,最基本的思路是:“一直线与三角形两边所在的直线垂直，必垂直于第三边所在直线”，这里要抓住线线垂直与线面垂直的互相转化.
变式1 如图8-140所示，正四棱柱中，，点在上且.求证：.
解析 如图8-340所示，连接AC交BD于点F，则BD⊥AC。有因为正四棱柱，所以⊥BD，又，所以BD⊥平面，又平面，所以BD⊥。
在平面中，两件EF交于点G，由于，故Rt△∽Rt△FCE，得∠AA1C=∠CFE，所以∠CFE与∠FCA1互余，于是A1C⊥EF。A1C与平面BDE内两条相交直线BD，EF都垂直，所以A1C⊥平面BDE。
评注 证明线线垂直时，常用共面构造相似三角形处理，如图8-341所示
1 在正方形ABCD中，AC⊥BD，如图8-341(a)所示。
2 在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，则CE⊥DF，如图8-341(b)所示。
3 在矩形ABCD中，E为AB的中点，AB=BC，则BD⊥CE，如图8-341(c)所示。
4 在矩形ABCD中，若EB：BC=BC：CD，则由Rt△EBC∽Rt△BCD可得BD⊥CE，如图8-341(d)所示。
变式2 如图8-141所示，在四棱锥中，，为的中点，为的中点，，，连接并延长交于.求证：.
解析 在△ABD中，因为点E是BD的中点，所以EA=EB=ED=AB，故∠BAD=，∠ABE=∠AEB=。因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，从而有∠FED=∠BEC=∠AEB=，所以∠FED=∠FEA，故EF⊥AD，AF=FD。又PG=GD，所以FG∥PA。又PA⊥平面ABCD，所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG。
变式3 如图8-142所示，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，.
求证：.
解析 依题意知底面ABCD是直角梯形，如图8-342所示，做DE⊥AB于点E，由AB=BC=2，CD=SD=1得DE=BC=2，AD2=AE2+DE2=12+22=5，又△SAB为等边三角形，故SE=SA×sin60°=，SA=SB=2，所以DE2=4=SD2+SE2，AD2=5=SD2+SA2,由勾股定理逆定理知，∠DSE=90°，且∠ASD=90°，即SD⊥SE，SD⊥SA，又SA∩SE=S，SA，SE平面SAB，所以SD⊥平面SAB。
三、面面垂直
主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）.证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.
例8.39 如图8-143所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱，，则它的5个面中，互相垂直的面有 对.
解析 依题意，，，底面是边长为的正方形，则，故为直角三角形，所以，由
.同理可证：，，，.故互相垂直的面有5对.
变式1 如图8-144所示，在斜三棱柱中，，，则在底面上的射影必在（ ）.
直线上 直线上 直线上 内部
解析 如图8-343所示，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B，所以AC⊥平面ABC1，AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1， C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A。
变式2 下列命题中错误的是（ ）
如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
如果平面平面，平面平面，，那么平面
如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
解析 两个平面α，β垂直时，设交线为,在在平面α内与平行的直线都平行于平面β，故选项A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故选项B正确；若两个平面都与第三个平面垂直时，则这两个平面的交线与第三个平面垂直，故选项C正确。两个平面α⊥平面β，α∩β=,α，且β，但直线与平面β不一定垂直，故选项D错误，故选D。
例8.40 如图8-145所示，在三棱柱中，底面，，点在棱上.求证：平面平面.
分析 根据面面垂直的判定定理，由线面垂直面面垂直.究竟是证哪个面内线垂直于哪个面，这就需要先分析图形结构与题设条件，考虑哪条线与面的垂直关系易证.
解析 因为底面，，所以.又，所以，，故平面.又平面，所以平面平面.
变式1 如图8-146所示，在三棱锥中，，，是的中点，且.求证：平面平面.
解析 因为AC=AB，所以△ABC是等腰三角形，又D是AB的中点，所以CD⊥AB，又VC⊥底面ABC，所以VC⊥AB。
又VC∩CD=C，于是AB⊥平面VCD，又AB平面VAB，所以平面VAB⊥平面VCD。
评注 证明面面垂直的关键是在其中的一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直。
变式2 如图8-147所示，四边形为正方形，平面，，.求证：平面平面.
解析 解法一：如图8-344所示，取PD的中点H，连接HQ，因为PD∥QA，QA=PD，AQHD，所以四边形AQHD为平行四边形，所以AQ=QH=PD，又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，故△ADQ与△QHP均为等腰直角三角形，则DQ=PQ=AD，所以DQ2+PQ2=PD2，由勾股定理逆定理知∠DQP=90°，故PQ⊥DQ，又PD⊥平面ABCD，且CD平面ABCD，所以PD⊥CD，又四边形ABCD为正方形，故CD⊥DA，又DA∩PD=D，所以CD⊥平面PDAQ，又PQPDAQ，故CD⊥PQ②
由①②且CD∩DQ=D知PQ⊥平面DCQ，又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ。
解法二：如图8-345所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz。依题意有Q（1,1,0），C（0,0,1）P（0,2,0），则：
因为即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC=D，所以PQ⊥平面DCQ，又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ。
变式3 如图8-148所示，在五棱锥中，平面，，，，，，，三角形是等腰三角形.求证：平面平面.
解析 在△ABC中，因为∠ABC=45°，BC=4，AB=，
所以AC2=AB2+BC2-2ABACcos45°=8，
因此AC=，故BC2=AB2+AC2
最有效训练题35（限时45分钟）
1.设是直线，是两个不同的平面，则有（ ）.
若，，则
若，，则
若，，则
若，，则
2.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（ ）.
充分不必要条件
必要不充分条件
充分必要条件
既不充分也不必要条件
3.已知表示两个互相垂直的平面，表示一对异面直线，则的一个充分条件是（ ）.
4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）.
若，，，则
若，，则或
若，，则
若，，，则
5.如图8-149所示，四边形中，，，，.将沿线段折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题中正确的是（ ）.
平面平面
平面平面
平面平面
平面平面
6.在四面体中，，，分别是，，的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）.
平面
平面
平面平面
平面平面
7.表示直线，表示平面.
①若，，则；
②若，垂直于内任意一条直线，则；
③若，，，则；
④若不垂直于平面，则不可能垂直于平面内无数条直线；
⑤若，，，则.
上述五个命题中，正确命题的序号是 .
8.已知垂直于平行四边形所在的平面，若，则平行四边形一定是 .
9.已知四棱锥的底面是矩形，底面，点分别是棱的中点，则
①棱与所在的直线垂直；
②平面与平面垂直；
③的面积大于的面积；
④直线与直线是异面直线.
以上结论正确的是 .（写出所有正确结论的编号）
10.平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：
①；②；③和相交和相交或重合；④和平行和相交或重合.其中不正确的命题个数是 个.
11.如图8-150（a）所示，等腰梯形中，，，，是的中点.将沿折起后如图8-150（b）所示，使二面角成直二面角，设是的中点，是棱的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）判断能否垂直于平面，并说明理由.
12.如图8-151所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为中边上的高.
（1）证明：平面；
（2）若，，，求三棱锥的体积；
（3）证明：平面.
最有效训练35
1.B 解析 利用排除法可得选项B是正确的。因为则。
选项A：若时，α与β相交或α∥β；
选项C：若或；
选项D：若或，故选B。
2.A 解析 当α⊥β时，由于α∩β=m，bβ，b⊥m,由面面垂直的性质定理知，b⊥α，由因为aα，所以b⊥a，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件，而当aα且a∥m时，因为b⊥m，所以b⊥a,而此时平面α与平面β不一定垂直，所以“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件。
3．D 解析或，又，此时a与b位置关系不确定，排除A；
设，当时，排除B；同A的讨论一样可以排除C；
或，故D正确。故选D。
4.C 解析 如图8-346所，设平面ABB1A1为α，平面A1B1C1D1为β，有DC1∥α，但DC1不垂直于β。故选C
5.D 解析 因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，
所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD，
故CD⊥平面ABD，CD⊥AB。有AD⊥AB，AD∩CD=D，AD，CD平面ACD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC。
6.C 解析 如图8-347所示，因为D、F分别为AB，CA的中点，所以DF∥BC，所以BC∥平面PDF，故A正确。
又因为P-ABC为正四面体，所以P在底面ABC内的射影O在AE上，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥DF。
又因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，所以AE⊥DF。
又因为PO∩AE=O，所以DF⊥平面PAE，故B正确。
又因为PO平面PAE，PO⊥平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故D正确。
所以四个结论中不成立的是C，故选C。
7.②⑤ 解析 利用两个平面的位置关系判定，对①可举例如图8-348所示，需b⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明；对④a只需垂直α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线。只有②，⑤是正确的。
8.菱形 解析 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又PC⊥BD且PA∩PC=P，故BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，即平行四边形的对角线相互垂直，因此四边形ABCD为菱形。
9.①③ 解析 由条件可得AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，故①正确；因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAB，平面PAD都与平面ABCD垂直，故平面PBC不可能与平面ABCD垂直，②错；由AB=CD，PD>PA知③正确；由E，F分别是棱PC，PD的中点可得EF∥CD，又AB∥CD，所以EF∥AB，故AE与BF共面，故④错。
10.4 解析 在正方体中寻找反例，如图8-349所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
1 令AB=，BC=，AB1=m,BC1=n,但AB1与BC1不垂直，故①错；
2 令BC1=m, BC=，DA1=n, AD=，但BC∥AD，故②错；
3 m与n可以异面，故③错；
4 令BC1=m, DA1=n,BC=，AD=，则m与n异面，故④错。
故不正确的命题4个。
11.解析 （1）在等腰三角形ABCD中，因为AD∥BC，∠ABE=60°，AB=AD，如图8-350（a）所示，连接DE，过A做AN⊥BC于点N，过D做DQ⊥BC于点Q，易知BV=QC=AB=AD，NQ=AD，即BC=2AD，所以BE=EC=AD，又AD∥BC，所以四边形ABED与四边形AECD为菱形，△ABE与△ADE及△DCE均为等边三角形，又M点是AE的中点，所以BM⊥AE，DM⊥AE，又BM∩DM=M，BM，DM平面BDM，所以AE⊥平面BDM，因为BD平面BDM，所以AE⊥BD。
（2）证明：如图8-350（b）所示，以为平面BAE⊥平面AECD，且平面BAE∩平面AECD=AE，又BA=BE，M为AE的重大，所以BM⊥AE，BM平面BAE，故BM⊥平面AECD。
连接MC，EF，MF，设MC∩EF=N，由（1）知四边形AECD为菱形，又M，F分别为AE，CD的中点，所以四边形MECF为平行四边形，故N为CM的中点，又P为BC的中点，所以PN为△BCM的中位线，故PN∥BM，因此，PN⊥平面AECD，有PN平面PEF，所以平面PEF⊥平面AECD。
（3）DE与平面ABC不垂直，证明如下：假设DE⊥平面ABC，因为AB平面ABC，所以DE⊥AB，由（2）知BM⊥平面ABCD，又DE平面AECD，所以DE⊥BM，又AB∩BM=B，AB，BM平面ABM，所以DE⊥平面ABE，所以DE⊥AE，由（1）知∠AED=60°，与AE⊥DE矛盾，所以假设不成立，即DE与平面ABC不垂直。
12．解析 （1）因为AB⊥平面PAD，PH平面PAD，所以AB⊥PH，又因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD。AB∩AD=A，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD。
（2）AB⊥平面PAD，AD平面PAD，故AB⊥AD，又AB∥CD，故AD⊥CD，则AD是△BCF的高，，因为E是PB的重大，PH⊥平面ABCD，所以点E到平面ABCD的距离等于，即三棱锥E-BCF的高，于是。
（3）如图8-351所示，取PA中点G，连接GD，GE。
因为E是PB的中点，所以GE=AB，且GE∥AB。
而F是DC上的点且DF=AB，DF∥AB，所以GE=DF且GE∥DF。所以四边形GDPE是平行四边形，所以EF∥GD。而PD=AD，所以GD⊥PA，又因为AB⊥平面PAD，GD平面PAD，所以AB⊥GD。而AB∩PA=A，AB平面PAB，PA平面PAB，所以GD⊥平面PAB，即EF⊥平面PAB。
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a
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b
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a

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b
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a
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a
性质
性质
性质
性质
性质
判定
判定
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
线⊥面
线⊥线
面⊥面
图 8-125第五节 直线、平面垂直的判定与性质
考纲解读：
1．以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些关于空间图形位置关系的简单命题。
命题趋势探究：
在高考中，对垂直关系的考察一般有两种方式：
（1）考察垂直关系的有关定义、判定及性质，即通过有关命题的真假判定，直接考查有关的判定和性质定理。
（2）以空间几何体为载体，证明有关线线、线面、面面的垂直关系。
知识点精讲：
1、定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相
互垂直.
2．判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-13）
表8-13
文字语言 图形语言 符号语言
判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面 线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
平行与垂直的关系1 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
平行与垂直的关系2 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-14）
表8-14
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行
文字语言 图形语言 符号语言
垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行
线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
二、斜线在平面内的射影
1.斜线的定义
一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足.
2.射影的定义
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
3.直线与平面所成的角
平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是的角，故直线与平面所成的角的范围是.
如图8-122所示，是平面的斜线，为斜足；是平面的垂线，为垂足；是在平面的射影，的大小即为直线与平面所成的角的大小.
三、平面与平面垂直
1.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角，二面角的范围是.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
2.平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.（如图8-124所示，若，，且，，
，则）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
题型归纳及思路提示
题型115 证明空间中直线、平面的垂直关系
思路提示
线线线面面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质（）；
⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（∥）；
⑤面面垂直的性质（）.
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）.
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图8-125所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置.
一、线线垂直
证明线线垂直常用线面垂直的性质（线面垂直线线垂直）.
例8.33 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A．∥， B．，∥
C．，∥ D．∥，
变式1：在正四棱锥中，，是中点，是的重心，则在平面中经过点且与直线垂直的直线有多少条？
变式2：已知是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：①；②；③；④.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________.
变式3：在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是正方体表面上的一点，若，则线段的长度的取值范围是_______________.
例8.34 如图8-127所示，在直棱柱中，，垂足为.求证：
.
变式1：如图8-128所示，四棱锥的底面是正方形，平面，点是上异于点的任意一点，求证：.
变式2：如图8-129所示，已知三棱锥中，平面，，，为上一点，，分别为和的中点.
求证：.
变式3：如图8-130所示，在四面体中，，，，
且，点为的中点.求证：在上存在一点，使，并计算的值.
例8.35 如图8-131所示,在长方形中，，为的中点，为线段上（端点除外）一动点.现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足.设，则的取值范围是__________.
变式1 如图8-133所示，正四面体中，棱长为4，是的中点，在线段上运动（不与重合），过点作直线平面，与平面交于点，给出下列命题：①平面；②点一定在直线上；③，其中正确的是（ ）.
①② ①③ ②③ ①②③
例8.36 如图8-134所示，在直三棱柱中，平面侧面.求证：.
变式1 如图8-136所示，在三棱锥中，，.求证：.
二、线面垂直
垂直关系中线面垂直是重点.
线垂面哪里找
线垂面有何用
证明线面垂直常用两种方法.
方法一：线面垂直的判定.
线线垂直线面垂直，符号表示为：，，，，，那么.
方法二：面面垂直的性质.
面面垂直线面垂直，符号表示为：，，，，那么.
例8.37 已知直线和两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）.
若，则 若,，则
若，则 若，则
变式1 已知直线平面，直线平面，有下面4个命题：
①；②；③；④.
其中正确的命题是（ ）.
①② ③④ ②④ ①③
变式2 设和是两条不同的直线，和是两个不同的平面，给出下列4个命题：
①若，则； ②若，则；
③若，则或；④若，则.
其中正确命题的序号为 .
例 8.38 如图8-138所示，在正方体中，为其对角线.求证：.
变式1 如图8-140所示，正四棱柱中，，点在上且.求证：.
变式2 如图8-141所示，在四棱锥中，，为的中点，为的中点，，，连接并延长交于.求证：.
变式3 如图8-142所示，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，.
求证：.
三、面面垂直
主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）.证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.
例8.39 如图8-143所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱，，则它的5个面中，互相垂直的面有 对.
变式1 如图8-144所示，在斜三棱柱中，，，则在底面上的射影必在（ ）.
直线上 直线上 直线上 内部
变式2 下列命题中错误的是（ ）
如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
如果平面平面，平面平面，，那么平面
如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
例8.40 如图8-145所示，在三棱柱中，底面，，点在棱上.求证：平面平面.
变式1 如图8-146所示，在三棱锥中，，，是的中点，且.求证：平面平面.
变式2 如图8-147所示，四边形为正方形，平面，，.求证：平面平面.
变式3 如图8-148所示，在五棱锥中，平面，，，，，，，三角形是等腰三角形.求证：平面平面.
最有效训练题35（限时45分钟）
1.设是直线，是两个不同的平面，则有（ ）.
若，，则
若，，则
若，，则
若，，则
2.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（ ）.
充分不必要条件
必要不充分条件
充分必要条件
既不充分也不必要条件
3.已知表示两个互相垂直的平面，表示一对异面直线，则的一个充分条件是（ ）.
4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）.
若，，，则
若，，则或
若，，则
若，，，则
5.如图8-149所示，四边形中，，，，.将沿线段折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题中正确的是（ ）.
平面平面
平面平面
平面平面
平面平面
6.在四面体中，，，分别是，，的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）.
平面
平面
平面平面
平面平面
7.表示直线，表示平面.
①若，，则；
②若，垂直于内任意一条直线，则；
③若，，，则；
④若不垂直于平面，则不可能垂直于平面内无数条直线；
⑤若，，，则.
上述五个命题中，正确命题的序号是 .
8.已知垂直于平行四边形所在的平面，若，则平行四边形一定是 .
9.已知四棱锥的底面是矩形，底面，点分别是棱的中点，则
①棱与所在的直线垂直；
②平面与平面垂直；
③的面积大于的面积；
④直线与直线是异面直线.
以上结论正确的是 .（写出所有正确结论的编号）
10.平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：
①；②；③和相交和相交或重合；④和平行和相交或重合.其中不正确的命题个数是 个.
11.如图8-150（a）所示，等腰梯形中，，，，是的中点.将沿折起后如图8-150（b）所示，使二面角成直二面角，设是的中点，是棱的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）判断能否垂直于平面，并说明理由.
12.如图8-151所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为中边上的高.
（1）证明：平面；
（2）若，，，求三棱锥的体积；
（3）证明：平面.
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a
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b
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a

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b
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a
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a
性质
性质
性质
性质
性质
判定
判定
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
线⊥面
线⊥线
面⊥面
图 8-125

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