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直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲解读
能根据给定直线、圆的方程，判定直线与圆的位置关系，能根据给定的两个圆的方程判定两圆的位置关系.
能用直线和圆的方程解决一些简单的问题
初步了解用代数法处理几何问题的思想
命题趋势探究
直线与圆的位置关系是高考考查的热点之一，通常涉及位置关系判定、圆的切线、直线与圆相交的弦长、公共弦、弦中点的问题等.
圆的切线和弦的问题时本节中点，也是历届高考的热点之一，从试题层次上来看，大多为选择题，填空题，解题时应充分利用圆的性质，并注意数形结合思想的应用.
作为平面解析几何的主要内容，预测2023年高考中直线圆的位置关系仍将是考查的重点.
知识点精讲
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
直线与圆的位置关系判断
几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
则直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 ，消元得到一元二次方程，判别式为，则：
则直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离.
两圆位置关系的判断
是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
关于圆的切线的几个重要结论
过圆上一点的圆的切线方程为.
过圆上一点的圆的切线方程为
过圆上一点的圆的切线方程为
求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值.若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.
题型132 直线与圆的相交关系
思路提示
研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长、弦心距和半径之间形成的数量关系.
例9.28 已知圆：，直线：，设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则=___________.
分析 先求出圆心到直线的距离，在进行判断
解析 因为圆心到直线的距离为1，又因为圆的半径为，故圆上有4个点符合条件.
评注 若圆上到直线的距离等于2的点的个数为，则；若，则圆上到直线的距离等于
变式1已知圆：，直线：，设圆上到直线的距离等于1的点的个数有两个，则的取值范围___________.
解析 由已知圆的半径为2，若圆上到直线的距离等于1的点的个数有两个，则圆心到直线的距离的取值范围是(1,3),即故的取值范围是
例9.29 已知圆：，直线：，
当直线与圆相交时，求实数的取值范围;
当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.
分析 根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题.
解析 （1）圆：，故圆心为，因为直线与圆相交，所以圆心为到直线的距离，解得，
故实数的取值范围是
（2）由题意，直线与圆相交于两点，且，故有，化简可得，即或，故所求直线的方程为或.
评注 在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长，弦心距，半径长构成直角三角形的三边.
变式1 对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（ ）
A．相离 B. 相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
解析 解法一：因为圆心到直线的距离半径所故位置关系是相交但直线不过圆心.故选
解法二：直线恒过点其在圆的内部，直线的斜率又一定存在.故选
变式2 已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|＝________.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－3y＋6＝0，则y1＋y2＝3，又y2＝2，∴y1＝，∴A(－3，)，B(0，2).过A，B作l的垂线方程分别为y-＝-(x＋3)，y－2＝-x，令y＝0，则xC＝-2，xD＝2，∴|CD|＝2-(-2)＝4.
变式3 已知直线经过点且与圆相交，截得弦长为，求直线的方程.
解析 当直线的斜率存在时，设即
则圆心到直线的距离
又弦长故
所以解得故
当的斜率不存在时，由知
综上所述，所求直线为或
评注 当直线与圆相交所得弦长不为最长或最短弦时，必有两条符合，不可忽视斜率不存在的情形(若只求得一个则另一条直线斜率不存在).
例9.30 过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D. 5
解析 设圆心到直线的距离，由弦长公式可知当距离最大时，弦长最小.又，当直线时取等号，故.所以.故选B
评注 过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦.
变式1在圆上,与直线的距离最小值是_____________.
解析 圆的半径是2,圆心到的距离是,所以圆上,与直线的距离最小值是,所以应该填.
例9.31 已知圆的方程为.设该圆过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
解析 可化为，故圆心坐标，半径为5，点在圆内，因为最长，所以为直径，即，最短，且过点，所以，所以，故选B
变式1 如图所示，已知,为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为__________.
解析 设圆心到的距离为垂足分别为则四边形为矩形，有由平面几何知识知
所以四边形
当且仅当时等号成立.
即四边形面积的最大值为5.
评注 一般地，四边形
例9.32 已知圆，过点的直线交圆于两点，若（为圆心），则直线的方程为__________.
解析 设直线，即
则圆心到直线的距离为.又，故，即△是等腰三角形，.
所以
即，故直线：或
变式1 已知O为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于两点.若，求直线的方程.
解析 解法一：依题意直线的斜率存在，且过点故设因为两点在圆上，所以又
所以所以故圆心到直线的距离故解得
所以直线的方程为或
解法二：设直线的方程为联立消得
设
则
由
解得
所以直线的方程为或
变式2 已知圆：上的两点关于直线:对称，且（为坐标原点），求直线的方程
解析 设因关于直线对称，所以直线 过圆心，即所以直线的斜率为
故设直线的方程为
有消得
故即 ①
②
因为所以
即即 ③
把①②代入③得， 解得或符合①.
故直线的方程为或
题型133 直线与圆的相切关系
思路提示
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切线.
例9.33 求经过点与圆相切的直线方程.
分析 将点代入圆方程得，知点是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点坐标.
解析 解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为，则所求直线方程为，整理成一般式为.由圆的切线的性质，可得，化简得，解得或.
故所求切线方程为：或.
解法二：依题意，直线的斜率存在，设所求切线方程为（是切点），将坐标代入后得，由，解得或.
故所求切线方程为：或.
评注 已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：①设切点，用切线公式法；②设切线斜率，用判别式法：③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况.
变式1如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
分析 求圆的切线方程可依据圆心到切线的距离等于半径长.
解析 (1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，
由题意，得＝1，解得k＝0或－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为[0，].
评注 求过一定点的圆的切线方程，首先判断点是否在圆上.若在圆上，则该点为切点；若在圆外，切线必有两条，一般用圆心到直线的距离等于半径长来解较为简单.若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与轴垂直的另一条切线.
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
变式2 直线与圆相切，则的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
解析 因为直线过定点而此定点在圆上，因此可以得出过此切点的切线方程为整理为故选
例9.34 自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，求入射光线所在直线的方程.
分析 利用对称性解决此类反射问题.根据光学特征，对称性的使用既可以使用点的对称，也可以使用圆的对称.
解析 已知圆关于轴的对称圆的方程为，可设光线所在直线方程为，所以直线与圆相切，圆心到直线的距离，解得或.
所以光线所在的直线方程为或.
变式1 自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，求反射光线所在直线的方程.
解析 点关于轴的对称点为则反射光线必过如图9—33所示.设反射光线所在直线方程为直线与圆相切，圆心
到直线的距离解得或所以光线所在直线的方程为或
评注 当然，例9.34中也可以使用对称点的求解方法，先求出反射光线所在的直线方程，再利用入射光线与反射光线关于轴对称特征，求出所求入射光线的直线方程.通过例9.34和其变式题，我们可以领会到入射光线与反射光线的求解是不同的，其依据就是便于所求直线方程的求解.
变式2圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A.－ B.－ C. D.2
解析 由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.答案 A
题型134 直线与圆的相离关系
思路提示
关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题.
例9.35 （1）直线的点到圆上的点的距离最小值是____________.
（2）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
分析 过直线上任意一点向圆引切线，即可得到，那么，当切线长取最小值时，即取最小值.
解析 （1）圆可化为，故圆心到直线的距离，则所求距离最小值为
过作垂直于直线于点，过作相切圆与，连接，则切线长的最小值为，圆心到直线的距离，，故选A.
变式1 已知点是直线上一动点，是圆的两切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为（ ）
A. 3 B. C. D. 2
分析 利用数形结合思想求解四边形面积的最小值.
解析 如图9—34所示，连接则
四边形面积的最小值转化为切线长的最小值.
过作垂直于直线于点过点作切圆于点连接那么切线长的最小值为且
因为所以得
又因为所以故选
评注 若将本题中四边形的最小面积是2改为四边形的最小周长是6，实际上情形一致.因为四边形周长的最小值，可转化为切线长的最小值，这与例9.35变式1在本质上是一致的.
变式2 已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足.
（1）求实数间满足的等量关系；
（2）求线段长的最小值.
解析 (1)如图9—35所示，连接因为点为切点，由勾股定理有即
化简得
(2)解法一：如图9—35所示，由得，
当时取等号，即
解法二：依题意，过点作直线于点过点作切圆于点则此时的长度最小，由得
题型135 圆与圆的位置关系
思路提示
已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：
两圆外离；
（2）两圆外切；
（3）两圆相交；
（4）两圆内切；
（5）两圆内含；
两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查.
例9.36 圆和圆的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
分析 判断圆心距与两圆半径的关系
解析 由圆得，，
圆得，，
，两圆相交，故选B.
变式1 (2016·山东，7)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解析 ∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，
圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得＋()2＝a2，解得a＝2.
∴M(0，2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1，1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.
∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.
变式2 在平面直角坐标系中，点，直线：，设圆的半径为1，圆心在上，
若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
若圆上存在点M，使求圆心C的横坐标的取值范围。
分析 (1)两直线交点即为圆心，从而可得圆的方程，然后求出切线方程；(2)由题意建立关于的方程，通过方程有解求得的取值范围.
解析 (1)由题设，圆心是直线和的交点，解得点于是切线
斜率必存在.设过点的圆的切线方程为由题意得解得或故所求切线方程为或
(2)因为圆心在直线上，所以圆的方程为
设点因为所以
化简得即
所以点在以为圆心，为半径的圆上.
由题意，点在圆上，所以圆与圆有公共点，则
即整理得由得由得所以点的横坐标的取值范围是
例9.37 已知两圆和
（1）取何值时两圆外切.
（2）取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么？
（3）求时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.
分析 把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距，判断与，的关系，再用圆的几何性质分别解决（2）（3）问.
解析 两圆的标准方程分别为，
，
圆心分别为，半径分别为和，
当两圆外切时，，解得
当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心距5，故只有，
解得，两圆方程与，相减得代入，得.
两圆的公共弦所在直线方程为
，即，所以公共弦长为.
评注 应注意两圆位置关系由圆心距和两圆半径的和与差的大小关系来确定.
变式1 已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
解析 由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.
设动圆的圆心为，半径为R.
（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.
（Ⅱ）对于曲线C上任意一点，由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.∴当圆P的半径最长时，其方程为，
当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.
当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），∴设：，由于圆M相切得，解得.
当=时，将代入并整理得，解得=，∴|AB|==.
当=－时，由图形的对称性可知|AB|=，
综上，|AB|=或|AB|=.
变式2 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A.21 B.19 C.9 D.－11
解析 解析 圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆心C2(3，4)，半径r2＝.从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.
最有效训练题41（限时45分钟）
已知点在圆：内（异于圆心），则直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
2.已知，且，，则连接，两点的直线与单位圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
3.设，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4.若直线经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
5.过点的直线，将圆形区域分两部分，使得这两部分的面积之差最大，该直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 设，若直线与轴相交于点，与轴相交于，且与圆相交所得弦的长为2，为坐标原点，则△面积的最小值为___________
8.过点作直线与圆交于两点，如果，则的方程为__________.
9.在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是
10.已知点，直线及圆.
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）若直线与圆相切，求的值
（3）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值
11.已知圆的方程为（为圆心），直线的方程为，点在直线上，，过点作圆的切线，切点为.
（1）若，试求点的坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当，求直线的方程；
（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
12. 已知圆过点，且与圆关于直线对称.
（1）求圆的方程；
（2）设为圆上的一个动点，求的最小值.（为圆的圆心）；
（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于，且直线和直线的倾斜角互补，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由.
最有效训练题41
1. 解析 因为点在圆内，所以，圆心到直线的距离为
又所以直线与圆的位置关系不能确定.故选
2. 解析 因为都在直线上，原点到该直线距离故直线与单位圆相交.故选
3. 解析 因为直线与圆相切，所以，圆心到直线的距离为所以设则解得故选
4. 解析 解法一：由直线通过点而点的轨迹为圆则说明圆与直线有公共点，即直线与圆相切或相交，所以
得故选
解法二：将点代入直线中，得
因为
所以得故选
解法三：由直线通过点得
由柯西不等式得
因此，故选
5. 解析 要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直即可.又已知点则故所求直线的斜率为又所求直线过点故由点斜式得，所求直线的方程为即故选
6. 解析 设圆的圆心到直线的距离为则
故选
7. 解析 直线与两坐标轴的交点坐标为直线与圆相交所得弦长为2，圆心到直线的距离满足所以即圆心到直线的距离所以 三角形面积又当且仅当时取等号，所以最小值为3.
8.或 解析 圆的标准方程为若只需保证圆心到直线的距离等于
当直线斜率存在时，直线方程为则得
从而直线方程为.
当直线斜率不存在时，方程为，显然与的距离为3，符合题意.
综上所述，所求直线方程为或 .
9. 解析 设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上,结合限制条件 ，可得点P横坐标的取值范围为.
10． 解析 (1) 圆心C(1,2)，半径r=2，当直线的斜率不存在时，方程为x=3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知，此时直线与圆相切，当直线的斜率存在时，设方程为y―1=k(x―3)，即kx―y+1―3k=0．
由题意知，解得.
所以方程为，即.
故切线方程为或．
(2) 由题意，有，解得或．
(3) 因为圆心到直线的距离为，
所以，解得．
11． 解析 (1)依题意，设点P的坐标为，由，得，因此，解得或，
因此点P的坐标为或．
(2) 由已知直线CD的斜率存在，设其斜率为，则过点的直线方程为，即，由，得圆心M到直线CD的距离为.
所以，解得或．
故直线CD的方程是或．
(3) 设点，由可得MP为经过A，P，M三点的圆的直径，则过A，P，M三点的圆的方程为，
整理得，若经过A，P，M三点的圆过定点，则，解得或.
因此定点坐标为或．
12．解析 (1) 设圆心，则，解得，则可设圆C的方程为，将点P的坐标代入得，故圆C的方程为.
(2) 设，则，且
设，（为参数，），则
当时，的最小值为.
(3) 由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设，
，由得
因为点P的横坐标一定是该方程的根，
故可得，同理.
则，
所以直线AB和OP一定平行.直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲解读
能根据给定直线、圆的方程，判定直线与圆的位置关系，能根据给定的两个圆的方程判定两圆的位置关系.
能用直线和圆的方程解决一些简单的问题
初步了解用代数法处理几何问题的思想
命题趋势探究
直线与圆的位置关系是高考考查的热点之一，通常涉及位置关系判定、圆的切线、直线与圆相交的弦长、公共弦、弦中点的问题等.
圆的切线和弦的问题时本节中点，也是历届高考的热点之一，从试题层次上来看，大多为选择题，填空题，解题时应充分利用圆的性质，并注意数形结合思想的应用.
作为平面解析几何的主要内容，预测2023年高考中直线圆的位置关系仍将是考查的重点.
知识点精讲
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
直线与圆的位置关系判断
几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
则直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 ，消元得到一元二次方程，判别式为，则：
则直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离.
两圆位置关系的判断
是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
关于圆的切线的几个重要结论
过圆上一点的圆的切线方程为.
过圆上一点的圆的切线方程为
过圆上一点的圆的切线方程为
求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值.若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.
题型132 直线与圆的相交关系
思路提示
研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长、弦心距和半径之间形成的数量关系.
例9.28 已知圆：，直线：，设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则=___________.
变式1已知圆：，直线：，设圆上到直线的距离等于1的点的个数有两个，则的取值范围___________.
例9.29 已知圆：，直线：，
当直线与圆相交时，求实数的取值范围;
当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.
变式1 对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（ ）
A．相离 B. 相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
变式2 已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|＝________.
变式3 已知直线经过点且与圆相交，截得弦长为，求直线的方程.
例9.30 过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D. 5
变式1在圆上,与直线的距离最小值是_____________.
例9.31 已知圆的方程为.设该圆过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
变式1 如图所示，已知,为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为__________.
例9.32 已知圆，过点的直线交圆于两点，若（为圆心），则直线的方程为__________.
变式1 已知O为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于两点.若，求直线的方程.
变式2 已知圆：上的两点关于直线:对称，且（为坐标原点），求直线的方程
题型133 直线与圆的相切关系
思路提示
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切线.
例9.33 求经过点与圆相切的直线方程.
.
变式1如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
变式2 直线与圆相切，则的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
例9.34 自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，求入射光线所在直线的方程.
变式1 自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，求反射光线所在直线的方程.
变式2(2016·新课标全国Ⅱ，6)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A.－ B.－ C. D.2
题型134 直线与圆的相离关系
思路提示
关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题.
例9.35 （1）直线的点到圆上的点的距离最小值是____________.
（2）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
变式1 已知点是直线上一动点，是圆的两切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为（ ）
A. 3 B. C. D. 2
变式2 已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足.
（1）求实数间满足的等量关系；
（2）求线段长的最小值.
题型135 圆与圆的位置关系
思路提示
已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：
两圆外离；
（2）两圆外切；
（3）两圆相交；
（4）两圆内切；
（5）两圆内含；
两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查.
例9.36 圆和圆的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
变式1 (2016·山东，7)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
变式2 在平面直角坐标系中，点，直线：，设圆的半径为1，圆心在上，
若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
若圆上存在点M，使求圆心C的横坐标的取值范围。
例9.37 已知两圆和
（1）取何值时两圆外切.
（2）取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么？
（3）求时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.
变式1 已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
变式2 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A.21 B.19 C.9 D.－11
最有效训练题41（限时45分钟）
已知点在圆：内（异于圆心），则直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
2.已知，且，，则连接，两点的直线与单位圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
3.设，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4.若直线经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
5.过点的直线，将圆形区域分两部分，使得这两部分的面积之差最大，该直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 设，若直线与轴相交于点，与轴相交于，且与圆相交所得弦的长为2，为坐标原点，则△面积的最小值为___________
8.过点作直线与圆交于两点，如果，则的方程为__________.
9.在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是
10.已知点，直线及圆.
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）若直线与圆相切，求的值
（3）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值
11.已知圆的方程为（为圆心），直线的方程为，点在直线上，，过点作圆的切线，切点为.
（1）若，试求点的坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当，求直线的方程；
（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
12. 已知圆过点，且与圆关于直线对称.
（1）求圆的方程；
（2）设为圆上的一个动点，求的最小值.（为圆的圆心）；
（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于，且直线和直线的倾斜角互补，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由.

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