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第二十四章 圆
24.4弧长和扇形面积（第2课时）
学案
一、学习目标
了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积的计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题
二、基础知识
1.玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽绳
是圆锥形，，底面半径，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？
不计接缝用料和余料，π取3.14
2.圆锥的相关概念
①圆锥：圆锥是由 和 围成的几何体（如图所示）.圆锥可以看成是由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形.
②圆锥的母线：连接 和 的线段叫做圆锥的母线.
③圆锥的高：连接 与 的线段叫做圆锥的高.
3.圆锥的母线l、圆锥的高h、圆锥底面圆的半径r三者之间的关系：
4.及时练：根据下列条件求值（其中r，h，l分别是圆锥的底面半径，高线，母线长）
（1）l＝2，r＝1，则h＝ ；
（2）h＝3，r＝4，则l＝ ；
（3）l＝10，h＝8，则r＝ ；
5.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系
6.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
7.圆锥的侧面积：
8.圆锥的全面积：
9.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（π取3.142，结果取整数）？
10.思考题
如图，有一个圆锥形的粮堆，其轴截面是边长为6m的等边三角形，在圆锥的母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在点B处，它要沿圆锥侧面到达点P处捕捉老鼠.求小猫所经过的最短路径.
三、巩固练习
1.如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12 cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为( )
A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.24 cm
2.将弧长为2πcm、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是( )
A.cm B.cm C.cm D.cm
3.如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且（表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为( )
A. B. C. D.
4.如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25π，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是( )
A. B.40π C. D.55π
5.如图是一个圆锥形雪糕冰激凌外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm.则这个冰激凌外壳的侧面积等于____________.（结果保留π）
6.如图，从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______________m.
7.在中，，，，现以AB所在直线为轴旋转一周得一个几何体（两个共底的圆锥）.
（1）请画出这个几何体的示意图.
（2）求这个几何体的全面积.
答案
基础知识
1.
2.①一个底面；一个侧面
②圆锥顶点；底面圆周上认识一点
③圆锥顶点；底面圆心
3.
4.；5；6
5.相等
6.母线
7.
8.
9.解：如图是一个蒙古包的示意图.
根据题意，下部圆柱的底面积为12m2，高h2＝1.8m；上部圆锥的高h1＝3.2－1.8＝1.4（m）
圆柱的底面圆的半径
侧面积为
圆锥的母线长
侧面展开扇形的弧长为
圆锥的侧面积为
因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡
10.解：由题意知，圆锥底面圆的直径BC＝6m，
故圆锥底面圆的周长为6πm.
设圆锥侧面展开后的扇形的圆心角为n°，
则，解得，
所以展开后，
所以圆锥的展开图如图所示.
又，
所以在中，，
所以小猫所经过的最短路程为.
巩固练习
1.答案：D
解析：设母线的长为R，由题意得，，解得，母线的长为24 cm，故选：D.
2.答案：B
解析：设圆锥的底面圆的半径为r cm，则，解得.
设圆锥的母线长为l cm，则，解得，所以圆锥的高（cm）.故选B.
3.答案：D
解析：连接OD交AC于点M，如图.由折叠可得，，，.，.设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，.故选D.
4.答案：A
解析：设底面圆的半径为R，则，解得，圆锥的母线长，所以圆锥的侧面积；圆柱的侧面积，所以需要毛毡的面积.故选A.
5.答案：36π
解析：这个冰激凌外壳的侧面积为.故答案为36π.
6.答案：
解析：连接AO，的半径为1 m，，.将扇形ABC围成一个圆锥，则的长就是圆锥的底面圆周长.设圆锥的底面圆的半径为r，则，解得.
7.答案：（1）几何体的示意图如图所示.
（2），，
由勾股定理得，.
在中，设AB边上的高为CD，
则，则.
由几何体是由两个圆锥组成，
故几何体的表面积为.
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