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第十章 圆锥曲线
本章知识结构图
第一节 椭圆及其性质
考纲解读
1. 了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2. 掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质
3. 了解椭圆的简单应用
4. 理解数形结合的思想
命题趋势研究
椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有题型
预测2019年高考对本节考查内容为：
（1） 利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题.
（2） 利用已知条件求出椭圆的方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中档题目为主，每年高考分值大多保持在5分.
知识点精讲
1、 椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注明：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在.
2、 椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示.（如下表10-1）
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围 且 且
顶点 、、 、、
轴长 长轴长 短轴长 长轴长 短轴长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程 （不考）
点和椭圆的关系
切线方程
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为便得
切点弦所在的直线方程
焦点三角形面积 ①为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径 左焦半径：又焦半径： 上焦半径：下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，,,则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
题型归纳及思路提示
题型136 椭圆的定义与标准方程
思路提示
（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.
②与椭圆共焦点的椭圆可设为.
③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.
1． 椭圆的定义与标准方程的求解
例10.1 动点到两定点的距离之和为10，则动点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
变式1 求焦点的坐标分别为，且过点的椭圆的方程.
变式2 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.
例10.2 在△，已知，动点使得△的周长为10，则动点的轨迹方程为_________.
变式1 已知动圆过定点，且与圆相切，求动圆圆心的轨迹方程.
变式2 已知一动圆与圆外切，与圆内切，试求动圆圆心的轨迹方程.
变式3 已知圆，圆圆，动圆与圆内切，与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程.
例10.3 已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
变式1 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线交于两点，且△的周长为16，那么的方程为__________.
变式2 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过，则椭圆的方程为_________.
变式3 经过两点的椭圆的标准方程是________________.
2． 椭圆方程的充要条件
例10.3 若方程表示椭圆，则的取值范围是__________.
变式1 如果表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________.
变式2 “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
变式3 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是____________.
题型137 离心率的值及取值范围
思路提示
求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法和定义法.
例10.4 已知椭圆
(1)若长轴长，短轴长，焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为__________.
(2)若长轴长，短轴长，焦距成等比数列，则该椭圆的离心率为__________.
变式1 椭圆的左右顶点分别是，左右焦点分别是.若成等差数列，则此椭圆的离心率为____________.
变式2 已知椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是___________.
例10.6 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
变式1 已知正方形，以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______.
变式2 已知椭圆的左右焦点分别为，，且，点在椭圆上，且垂直于轴，，则椭圆的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
变式3 已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距，若直线与椭圆的一个交点满足，则椭圆的离心率等于_________.
变式4 设，是椭圆的两焦点，以为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为，若直线与圆相切，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
例10.7椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上存在点使，则椭圆的离心率的取值范围为_________.
变式1 已知，是椭圆的两焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆的离心（ ）
A. B. C. D.
例10.8 椭圆的两个焦点，，若为其上一点，且，，则此椭圆离心率的取值范围为____________
变式1椭圆的两个焦点，，椭圆上存在使得椭圆方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
变式2 已知椭圆的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则椭圆的离心率的取值范围为_________.
题型138 焦点三角形
思路提示
焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即.
例10.9已知，是椭圆的两个焦点， 为椭圆上一点，且，若的面积为9，则_________.
变式1 已知是椭圆的两个焦点，为该椭圆上一点，且，求的面积.
变式2 已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则点到轴的距离为____________.
例10.10 已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上的一动点.
（1）求的取值范围；
（2）求的取值范围；
变式1 椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围（ ）
A. B. C. D.
变式2 设是椭圆上一动点，分别是左、右两个焦点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
变式3 设椭圆的焦点为，是椭圆上任一点，若的最大值为，则此椭圆的离心率为____________.
最有效训练题42（限时45分钟）
1. 已知点，椭圆与直线交于，则的周长（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
2.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
3. 椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图10-4所示，椭圆中心在原点，是左焦点，直线与交于，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 若椭圆的离心率，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A.2 B.3 C. 6 D. 8
7. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，若线段的延长线交于点，且，则的离心率为__________.
8. 椭圆的左，右顶点分别是，左、右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为____________.
9.椭圆上的一点到两焦点的距离的乘积为，则当取最大值时，点的坐标是___________.
10. 已知椭圆的离心率为，经过点，
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的左焦点，判断以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由.
11. 已知椭圆的长、短轴端点分别为，从此椭圆上一点，（在轴上方）向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设是椭圆上任意一点，分别是左、右焦点，求的取值范围.
12. 已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是，
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆的长轴上，点是椭圆上任意一点，当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，求实数的取值范围.
曲线与方程
轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法
圆锥曲线
椭圆
双曲线
抛物线
定义及标准方程
性质
范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线）
离心率
对称性问题
中心对称
轴对称
点(x1，y1) eq \o(\s\do3(───────→),\s\up3(关于点(a，b)对称))点(2a－x1，2b－y1)
曲线f (x，y) eq \o(\s\do3(───────→),\s\up3(关于点(a，b)对称))曲线f (2a－x，2b－y)
eq \b\lc\{(\a\al(A·\f(x1＋x2,2)＋B·\f(y1＋y2,2)＋C＝0,\f(y2－y1,x2－x1)·(－\f(A,B))＝－1))
特殊对称轴
x±y＋C＝0
直接代入法
点(x1，y1)与点(x2，y2)关于直线Ax＋By＋C＝0对称
F
x
O
D
C
B
A
y
图10-4第十章 圆锥曲线
本章知识结构图
第一节 椭圆及其性质
考纲解读
1. 了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2. 掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质
3. 了解椭圆的简单应用
4. 理解数形结合的思想
命题趋势研究
椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有题型
预测2019年高考对本节考查内容为：
（1） 利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题.
（2） 利用已知条件求出椭圆的方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中档题目为主，每年高考分值大多保持在5分.
知识点精讲
1、 椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注明：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在.
2、 椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示.（如下表10-1）
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围 且 且
顶点 、、 、、
轴长 长轴长 短轴长 长轴长 短轴长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程 （不考）
点和椭圆的关系
切线方程
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为便得
切点弦所在的直线方程
焦点三角形面积 ①为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径 左焦半径：又焦半径： 上焦半径：下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，,,则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
题型归纳及思路提示
题型136 椭圆的定义与标准方程
思路提示
（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.
②与椭圆共焦点的椭圆可设为.
③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.
1． 椭圆的定义与标准方程的求解
例10.1 动点到两定点的距离之和为10，则动点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
解析 依题意，动点的轨迹是椭圆，且焦点在轴上，设方程为，由，得，则椭圆方程为，故选B.
变式1 求焦点的坐标分别为，且过点的椭圆的方程.
解析 由椭圆的定义知，从而，又焦点在轴上，故椭圆的方程为.
评注 也可用待定系数法，设椭圆方程为，由，求出.
变式2 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.
解析 解法一： 若焦点在轴上，设椭圆的标准方程是，左右焦点分别为，则，所以，在方程中，令，得，又，所以，即椭圆的方程为，同理可得焦点在轴上的标准方程.
解法二： 设椭圆的两个焦点分别为，则，由椭圆定义知，即，由知，垂直于长轴.
故在中，，所以，于是，又所求的椭圆的焦点可以在轴上，也可以在轴上，故所求的椭圆方程为或.
评注 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成.
(2)过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦叫作通径，其长度为.
例10.2 在△，已知，动点使得△的周长为10，则动点的轨迹方程为_________.
解析 由题意，故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆（除去左右顶点），即，则，则轨迹方程为
变式1 已知动圆过定点，且与圆相切，求动圆圆心的轨迹方程.
解析 如图10-49所示，由题设知动圆P与圆B内切，设动圆P和定圆B内争于点M，动点P到定点和圆心的距离之和等于圆B的半径，即
.
所以点P的轨迹是以A，B为两焦点，长半轴长为4，
短半轴长为的椭圆，故其标准方程
为.
变式2 已知一动圆与圆外切，与圆内切，试求动圆圆心的轨迹方程.
解析 依题意，两定圆的圆心和半径分别为，设动圆圆心，半径为R，则由题意可得，故
由椭圆的定义知，M在以为焦点的椭圆上，且，所以
，故动圆圆心的轨迹方程为.
变式3 已知圆，圆圆，动圆与圆内切，与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程.
解析 如图10-50所示，设动圆P的半径为，圆的半径为，圆的半径为，则，
即，
从而轨迹方程为，
设点A，B分别为圆与圆的交点，又圆P在圆内，且在圆外，P点向右可无限靠近圆与圆的交点A，B，由，解得，故，所以点P的轨迹方程为
例10.3 已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
解析 因为椭圆的长轴长是8，即，所以，离心率为，则，所以，所以椭圆的标准方程是或.故选B
变式1 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线交于两点，且△的周长为16，那么的方程为__________.
解析 设椭圆方程为，如图10-51所示，
因为的周长为，
即，
故，由知，，即，
故，
所以椭圆C的方程为.
变式2 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过，则椭圆的方程为_________.
解析 解法一：由，可得，则，可得，
，设椭圆方程为，将代入，可得
故椭圆的方程为．
解法二：由题意，故有，故设椭圆方程为，又因椭圆过点，代入椭圆方程，可得．
故椭圆的方程为，即．
评注 应牢牢掌握与离心率e有关的几个数量关系. 在椭圆中，，；在双曲线中，，．
变式3 经过两点的椭圆的标准方程是________________.
解析 设椭圆的标准方程为，
由题设得，解得，
故所求的方程为．
评注 将椭圆的标准方程设为，且，解方程组更方便．
2． 椭圆方程的充要条件
例10.4若方程表示椭圆，则的取值范围是__________.
解析 由题意可知，解得或
故的取值范围为
评注 易错点：忽略.
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：：
表示圆方程的充要条件为：：
变式1 如果表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________.
解析 由表示焦点在轴上的椭圆，则，解得．
变式2 “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析 把椭圆方程化为表示焦点在轴上的椭圆，即 ，故选C．
变式3 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是____________.
解析 原方程标准化为
因为焦点在上，所以，解得
题型137 离心率的值及取值范围
思路提示
求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法和定义法.
例10．5已知椭圆
(1)若长轴长，短轴长，焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为__________.
(2)若长轴长，短轴长，焦距成等比数列，则该椭圆的离心率为__________.
解析 （1）由题设可知，且，故，
即，即，
所以.
（2）由题设可知，且，故，
即，所以可得，
，解得或（舍去）
所以.
变式1 椭圆的左右顶点分别是，左右焦点分别是.若成等差数列，则此椭圆的离心率为____________.
解析 由题设可知，
故，即，
所以
变式2 已知椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是___________.
解析 因为，所以，即，得，又，故，即，由可得，解得
或（舍去），所以．
例10.6 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析 解法一：（定义法）令，则在中，由，
可知，由椭圆定义得，，
所以.故选B.
解法二 因为，再由，所以，得，，故所以.故选B .
解法三 同解法二，因为，在中，得，即，故有,,
所以或.故选B .
评注 求离心率的过程就是探求基本量的齐次式间的等量关系，常见的离心率公式应熟悉：①；②（椭圆）③（双曲线），另外，在求解离心率过程中要有以下意识：①利用定义的意识（定义中有，且）②获得了中的任意的两个参数间的数量关系都可以求解离心率.
变式1 已知正方形，以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______.
解析 如图10-52所示，不妨设正方形ABCD的边长为1，根据椭圆定义知
，
所以，
故椭圆的离心率为．
变式2 已知椭圆的左右焦点分别为，，且，点在椭圆上，且垂直于轴，，则椭圆的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
解析 因为AF1垂直于x轴，所以，故，又，所以，，故选C．
评注 也可由直接去解．
变式3 已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距，若直线与椭圆的一个交点满足，则椭圆的离心率等于_________.
分析 利用椭圆定义寻求之间的关系，进一步求解离心率．
解析 已知，直线过点，且斜率为，所以倾斜角．
如图10-53所示，因为，
所以，
所以，
由椭圆定义知，
所以离心率．
变式4 设，是椭圆的两焦点，以为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为，若直线与圆相切，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
解析 由直线与圆F2相切得，又，，
故，所以，故选A．
例10.7椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上存在点使，则椭圆的离心率的取值范围为_________.
解析 解法一：由知识点精讲中结论知，当为椭圆的短轴端点时，取得最大值，而由题意可知，若在椭圆上存在点使得，即，只需要焦点三角形的顶角最大值即可，故只需保证当点落在椭圆短轴端点处情形时的即可，所以，又因为，故所求的椭圆离心率的取值范围是
解法二：由椭圆的定义知，在中，，由勾股定理得， ，将上式化简得，根据韦达定理，可知是方程的两个根，则，即，又因为，故所求的椭圆离心率的取值范围是
变式1 已知，是椭圆的两焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆的离心（ ）
A. B. C. D.
解析 解法一：因为满足的点M总在椭圆内部，故以坐标原点为圆心，c为半径的圆总在椭圆内部，即，得．
解法二：因为满足的点M总在椭圆内部，所以对于椭圆上任意一点P都有，故最大顶角小于，从而，即，故选C．
评注：若椭圆上存在点P使得（F1，F2为焦点，），则，反之，．
例10.8 椭圆的两个焦点，，若为其上一点，且，，则此椭圆离心率的取值范围为____________
分析 根据椭圆的定义求解..
解析 解法一，由，得
，，又，即，
得，故离心率的取值范围为.
评注 若椭圆上存在点，使得，则
变式1椭圆的两个焦点，，椭圆上存在使得椭圆方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
解析 当时，，
故，即，故，经验证只有选项D符合，故选D．
变式2 已知椭圆的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则椭圆的离心率的取值范围为_________.
解析 解法一：在中，由正弦定理得，
所以 ，则，
由结论知得，则该椭圆的离心率的取值范围是．
解法二：依题意，所以 ，故，
，即，又因为，所以，该椭圆的离心率的取值范围是．
题型138 焦点三角形
思路提示
焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即.
例10.9已知，是椭圆的两个焦点， 为椭圆上一点，且，若的面积为9，则_________.
解析 焦点三角形中，，故，
又，
则，，
所以，则，故.
评注 若为一般三角形，则（用表示）.
由余弦定理得
，又，，
所以，
所以，，
所以.
本题，则，易得，故熟记椭圆焦点三角形的面积公式，对于求解选、填空题有着很大的优势.
变式1 已知是椭圆的两个焦点，为该椭圆上一点，且，求的面积.
解析 解法一：由
得．
．
解法二：设，由
得，，
．
变式2 已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则点到轴的距离为____________.
解析 如图10-54所示，设，则有，在中，由余弦定理可得，
即，解得，
又，
所以．
所以，即点P到x轴的距离为．
评注：求点P到x轴的距离等价于求P点的纵坐标的绝对值，又，所以，即，即．
在椭圆中，焦点三角形的面积，其中，请同学们记住这个结论．
例10.10 已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上的一动点.
（1）求的取值范围；
（2）求的取值范围；
解析：（1），又
故 当时，.
当时，.
所以 即 .
（2）解法一：
即 又
故 当时，.
当时，.
所以 即 .
解法二：设，则
.
又 .
故
评注：（1）若本题的第（1）问只求的最大值，则使用椭圆的定义求取更为简洁；由椭圆定义知，又因为，故有，故的最大值为4.
（2）通过本题的求解，可得到椭圆有以下重要结论：
①
②；
③；
④（当且仅当，即为椭圆的短轴端点时，取得最小值，且此时点对两个焦点的张角最大）.
以上结论在求解椭圆的焦点三角形问题时有重要的应用，值得同学们熟记.
变式1 椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围（ ）
A. B. C. D.
解析 设，
因此，则，得，，
即，故选B．
变式2 设是椭圆上一动点，分别是左、右两个焦点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
解析 由例10.10评注内容中的结论可知，当P为椭圆的短轴端点时，取得最小值，，故选C．
变式3 设椭圆的焦点为，是椭圆上任一点，若的最大值为，则此椭圆的离心率为____________.
解析 由例10.10评注内容中的结论可知， ，当点P为椭圆的短轴端点时取得最大值，故
最有效训练题42（限时45分钟）
1. 已知点，椭圆与直线交于，则的周长（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
2.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
3. 椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图10-4所示，椭圆中心在原点，是左焦点，直线与交于，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 若椭圆的离心率，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A.2 B.3 C. 6 D. 8
7. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，若线段的延长线交于点，且，则的离心率为__________.
8. 椭圆的左，右顶点分别是，左、右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为____________.
9.椭圆上的一点到两焦点的距离的乘积为，则当取最大值时，点的坐标是___________.
10. 已知椭圆的离心率为，经过点，
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的左焦点，判断以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由.
11. 已知椭圆的长、短轴端点分别为，从此椭圆上一点，（在轴上方）向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设是椭圆上任意一点，分别是左、右焦点，求的取值范围.
12. 已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是，
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆的长轴上，点是椭圆上任意一点，当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，求实数的取值范围.
最有效训练42
1．B 解析 如图10-55所示，直线过椭圆的左焦点为椭圆的右焦点，因此的周长为，故选B．
2．B 解析 两圆心C，D恰为椭圆的焦点，所以 ，无论P位于椭圆上的何处，均有的最小值为10-1-2=7，故选B．
3．A 解析 ，故选A．
4．B 解析 依题意，，由，得，即，得，得，故选B．
5．D 解析 若椭圆的焦点在x轴上，则，解得；若椭圆的焦点在y轴上，则，解得，所以m的值为3或，故选D．
6．C 解析 由椭圆方程，得，设，则 ，因为P为椭圆上一点，所以，所以 ，所以的最大值在时取得，且最大值为6，故选C．
7． 解析 设椭圆C的焦点在x轴上，如图10-56所示，，则，因为，
所以，得，得，即，所以．
8． 解析 由椭圆的性质可知：，又已知成等比数列，故，即，则，故．
9．和 解析 依题意，， （当且仅当时取“=”），此时取最大值为25，点P的坐标为和．
10． 解析 (1)因为椭圆的离心率为，且经过点，所以 “=”），解得，所以椭圆C的方程为．
(2)由(1)知椭圆C的左焦点F的坐标为，以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为，圆心坐标，半径为2，以PF为直径的圆的方程为，圆心坐标是，半径为，因为两圆心之间的距离为，
故以PF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆内切．
11． 解析 (1)因为，则，所以，因为，所以，所以，故．
(2)设，所以，
，
当且仅当时， ，所以．
12． 解析 (1)设椭圆C的方程为，则，所以椭圆C的方程为．
(2)设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，因为，
所以
，
因为当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当时， 取最小值，
又，所以，解得，又点M在椭圆的长轴上，
故实数m的取值范围是．
曲线与方程
轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法
圆锥曲线
椭圆
双曲线
抛物线
定义及标准方程
性质
范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线）
离心率
对称性问题
中心对称
轴对称
点(x1，y1) eq \o(\s\do3(───────→),\s\up3(关于点(a，b)对称))点(2a－x1，2b－y1)
曲线f (x，y) eq \o(\s\do3(───────→),\s\up3(关于点(a，b)对称))曲线f (2a－x，2b－y)
eq \b\lc\{(\a\al(A·\f(x1＋x2,2)＋B·\f(y1＋y2,2)＋C＝0,\f(y2－y1,x2－x1)·(－\f(A,B))＝－1))
特殊对称轴
x±y＋C＝0
直接代入法
点(x1，y1)与点(x2，y2)关于直线Ax＋By＋C＝0对称
A
y
x
O
B
M
P
图10-49
A
B
x
y
-6
-2
2
4
图10-50
A
x
y
B
F2
F1
O
图10-51
y
x
A
B
C
D
O
y
x
M
F1
F2
O
图10-53
x
y
F1
F2
P
O
图10-54
F
x
O
D
C
B
A
y
图10-4
y
x
A
B
M
O
图10-55
y
x
O
B
D
D1
图10-56
F

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