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数学 选择性必修第二册
人教版 A 版
第四章 数列
4.1 数列的概念
4.2 等差数列
4.3 等比数列
4.4 数学归纳法
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.2 导数的运算
5.3 导数在研究函数中的应用
第四章 数列
4.1 数列的概念
一、数列
1.数列：按照一定顺序排列着的一列数称为数列。
（1）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项。
（2）首项：数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做
首项）。
（3）记法：排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。所以，数列的一般形式可以写成 a1，a2，
a3，…，an，… . 简记为 {an} 。({ }此时表示数列，而不是集合)
2.数列的分类
（1）按照数列的项数分：
①有穷数列：项数有限的数列
②无穷数列：项数无限的数列
（2）按照数列的变化趋势分：
①递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。
②递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。
③常数列：各项都相等的数列。
④摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
3.数列与数集：数列是按照一定顺序排列的一列数。数集则是无序的。
4.通项公式
*
（1）数列可以看成以正整数集 N （或它的有限子集{1,2，…，n}）为定义域的函数
an=f(x)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。反过来，对于函数 y=f(x)，
如果 f(i)（i=1,2,3,…）有意义，那么我们可以得到一个数列
f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…。 n f(n)
数列是特殊的函数（离散函数）
1 a1
2 a2
3 a3
（2）如果数列 {an} 的第 n 项与序号 n 之间 ··· ···
n an
的关系可以用一个式子来表示，那么这个 ··· ···
公式叫做这个数列的通项公式。
5.递推法：如果已知数列{an}的首项（或前几项），且任一项 an 与它的前一项 an-1 （或前
几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。用递推公式
给出数列的方法叫做递推法。
6.数列的表示方法：图像、列表、公式、递推公式
4.2 等差数列
一、等差数列
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个
数列就叫做等差数列。（后项-前项）
（1）这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
2.等差中项：由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。
这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项。
（1）求等差中项：d=an-an-1 或 d=an+1-an
+
（2）a，A，b 为等差数列，则有 2A=a+b ， 得 A=
2
3.等差数列的通项公式： an = a1 +(n-1)d = (a1-d)+nd (类似一元一次方程)
（1）推导：一般地，如果等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d，我们根据等差数列的定义，可以得到 a2-
a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，所以有
a2=a1+d，a3=a2+d=( a1+d)+d=a1+2d，a4=a3+d=( a1+2d)+d= a1+3d，……
由此，得出等差数列的通项公式 an = a1 +(n-1)d = (a1-d)+nd
4.关于等差数列的公式
（1）若 m+n=p+q ，则 am+an=ap+aq
（2）若 m+n=2p ，则 am+an=2ap
（3）若 an = a1 +(n-1)d ，则 an = am +(n-m)d

（4）d=

（5）若{an}为等差数列，公差为 d，则数列 ak，ak+m，ak+2m，…，公差为 md
5 已知数列{an}的通项公式为 an=pn+q，其中 p，q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？
解：取数列{an}中的任意相邻两项 an 与 an-1 (n＞1)求差，得
an- an-1 =(pn+q)-[p(n-1)+q] = pn+q-(pn-p+q) =p ，
它是一个与 n 无关的常数，所以{an}是等差数列。
二、等差数列{an}的前 n 项和：
1.数列{an}的前 n 项和：一般地，我们称 a1+a2+a3+…+an 为数列{an}的前 n 项和，用 Sn 表示，即 Sn =
a1+a2+a3+…+an 。
2.等差数列{an}的前 n 项和
（1）推导：对于公差为 d 的等差数列， 倒序相加求和
Sn =a1+(a1+d)+ (a1+2d)+…+[a1+(n-1)d] ① (第 1 项+…+第 n 项)
Sn =an+(an-d)+ (an-2d)+…+[an-(n-1)d] ② (第 n 项+…+第 1 项)
由①+②，得 2Sn=(a1+an)+ (a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an)，由此得到等差数列{an}的前 n 项和的公式
n( 1+ ) 项数(首项+末项)Sn= =
2 2
代入等差数列的通项公式 an = a1 +(n-1)d，Sn 也可以表示用首项 a1 与公差 d 表示，即
n(n 1)d
Sn=na1+
2
3.在等差数列{an}中。前 n 项和 Sn 的性质
（1）Sm ，S2m- Sm ，S3m- S2m 也成等差数列，公差为 m
2d
S S S d
（2）等差数列 { }，即数列 m 1 ， m， m+1 ，公差为
n m 1 m m+1 2
a
（3） m
S
= 2m 1 (am，bm 为等差数列，S、T 为前 n 项和)
2 1
4.裂项求和：设法将数列的每一项拆成两项（裂项），并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，
其余各项都能前后相消，进而可求出数列的前 n 项和。
5.常见的裂项公式：
1 1 1
（1） = -
n(n+1) n n+1
1 1 1 1
（2） = ( - )
n(n+k) k n n+k
1 1 1 1
（3） = ( - )
(2n 1)(2n+1) 2 2n 1 2n+1
1 1
（4） = ( √n + k - √n )
√ + + √ k
1 1 1 1
（5） = [ - ]
n(n+1)(n+2) 2 n(n+1) (n+1)(n+2)
6.在等差数列{a2n}中，所有奇数项和为 S 奇=(a1+nd)(n+1)
推导：S 奇=a1+a3+a5+…+a2n-1+a2n+1 ①
=a1+(a1+2d)+(a1+4d)+…+(a1+2nd-2d)+(a1+2nd)
S 奇= a2n+1+ a2n-1+…+ a3+ a1 ②
=(a1+2nd)+ (a1+2nd-2d)+…+(a1+2d)+ a1
①+②得，2 S 奇=(2a1+2nd)(n+1) 所以 S 奇=(a1+nd)(n+1)
4.2 等比数列
一、等比数列
1.等比数列：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数
列叫做等比数列。
（1）这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（q≠0）。
（2）等比中项：若 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。则有

= ， G2=ab （a,b 同号） G=±√

2.等比数列{an}的通项公式：
an =a q
n-I
1 （q≠0）

推导： an =a q
n-m
m , 公比为 q=


3.已知 Sn 和 an 的关系，在 n≥2 时，往往得到 an 与 an-1 的关系
4. M=√ ,是 a，M，b 为等比数列的既不充分也不必要条件
5.证明数列为等比数列常用的方法：

（1）定义法： +1

= = q （q 为常数，n≥2）
1
（2）等比中项法：an+1
2= a *n · an+2 （an≠0，n∈N ）
（3）通项法：an =a1q
n-1
6.等比数列性质：
（1）若 m+n=q+p ，则 am · an = ap · aq
（2）若 m，n，p，为等差数列，则 am 、 an 、ap 为等比数列。
（3）若 a1、a2、…、an-1、an 为等比数列，则 a1 ·an = a2 ·an-1= a3 ·an-2 =…
（4）若{an}是公比为 q 的等比数列，则{ λan } （λ为常数）、{｜an｜} 、√ 仍为等比数列，公比分别
为 q、｜q｜、√ 。

（5）若{an}、{bn}是公比分别为 p、q 的项数相同的等比数列，则 {an·bn}、{
} 仍为等比数列，公比分


别为 pq、 。

（6）若{an}是公比为 q 的等比数列，且 an＞0，则 {logc an} 是以 logcq 为公差的等差数列。
（7）若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则数列{ } 是公比为 C
d 的等比数列。
7.关于等比数列{an}的单调性：
（1）单调递增：①a1＞0，q＞1 时 ②a1＜0，0＜q＜1 时
（2）单调递减：①a1＞0，0＜q＜1 时 ②a1＜0，q＞0 时
（3）常数列：q=1 时
（4）摆动数列：q＜0 时
8.求等比数列时的设项方法：

（1）三个数： 、a、aq 公比为 q


（2）四个数： 3 、 、aq、aq
3 公比为 q2 ＞0

9.求等差数列时的设项方法：
（1）三个数：a-d、a、a+d 公差为 d
（2）四个数：a-3d、a-d、a+d、a+3d 公差为 2d
二、等比数列的前 n 项和
1.公式的推理：
数列{an}的前 n 项和：一般地，对于等比数列 a1，a2，a3，…，an ，的前 n 项和是
Sn = a1+a2+a3+…+an ，根据等比数列的通项公式，得 错位相减法
Sn = a1+a1q+a1q
2+…+a1q
n-1 ①，如果用公比 q 乘①的两边，可得
qSn = a q+a q
2
1 1 +…+a q
n
1 ②，用①-②得：(1-q)Sn =a1-a
n
1q
(1 )
所以，得 Sn =
1 （q≠1）
1
2.等比数列的前 n 项和的公式： （代入通项公式）

S = 1
(1 )
= 1

n （q≠1）
1 1
Sn = na1 （q=1）
3.性质：
（1） Sn ，S2n – Sn ，S3n – S2n 为等比数列，那么公比为 q
n 。
S偶
（2）等比数列{an}项数为 2n，则 = q 。
S奇
a [1 ( 2) ]
证明：当 q≠1 时，S 偶=a2+a4+…+a2n =
2 ①.
1 2
a [1 ( 2) ] ① S偶 a
S 奇 = a1+a3+…+a2n-1 =
1
2 ②. 则用 = =
2 =q .
1 ② S奇 a1
当 q=1 时，显然成立。
（3）若{an}为等比数列，则 S
n
n=Aq +B ，且 A+B=0
1(1
) 1 证明：Sn = = (1 )=
1 - 1 · qn = - 1 · qn +- 1
1 1 1 1 1 1
三、数列求和的常用方法
1.错位相减法：等比数列（形如 an =bn · Cn ，且{bn}为等差数列，{Cn}为等比数列。）
2.倒序相加法：等差数列
3.并项求和法：（摆动数列）
4.裂项相消法：（把数列的通项拆成两项之差求和，正负项相消，剩下首尾若干项。）
1 1 1
（形如： = - 等）
n(n+1) n n+1
5.分组求和法：（形如：an=bn+Cn ，{bn}、{Cn}同为等差数列或等比数列。）
1 1 1
例：设 x≠0，求和 Sn=(x+ )
2+(x2+ )2+…+(xn+ )2
2

2 1 4 1 1解：Sn=(x +2+ )+ (x +2+ )+…+(x
2n+2+ )
2 4 2
1 1 1
=2n+( x2+ x4+…+x2n)+( + + )
2 4 2
当 x2 =1 即 x=±1 时 ，Sn=2n+n+n=4n
1 1
2(1 2 2 ) 2(1 2
)
当 x ≠1 时 ，Sn=2n+ +
1 2 1 2
6.求 an 的方法：
（1）观察法（规律）
（2）公式法（直接）
（3）已知 Sn 求 an （an=Sn-Sn-1 ，n≥2，验证 n=1 时是否成立）
3
例 3：数列{an}的前 n 项和 Sn = an-3 ,求 an .
2
3
解：当 n=1 时，a1=S1= a1-3 ,得 a1=6
2
3 3
当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1 = an - an-1 ,化简得 =3
2 2 1
所以{an}为等比数列，a =6×3
n-1
n =2×3
n ，此时 n=1 时亦成立，
所以 an=2×3
n 。
（4）构造法 （形如 an+1 = p·an+q ） 变换为 an++1+x=p(an+x) 形式后求 q
例 4：已知 a1=3，an+1=2an+3，求 an
解：化为 an+1+x=2(an+x)形式 ∴ an+1=2an+x ∴x=3
于是有 an+1+3=2(an+3) ，∴q=2 ，∴{an+3}是以 a1+3=6 为首项，公比为 2 的
等比数列 ∴an+3=6×2
n-1 ，∴a nn=3(2 -1)
（5）累加法 （ 形如 an+1 -an=f(n) ）
例 5：已知数列{an}中，a1=1,且 an+1-an=3
n-n，求 an
解：∵an+1-a
n n-1
n=3 -n ∴an-an-1=3 -(n-1)
a -a =3n-2n-1 n-2 -(n-2)
… a3-a2=3
2-2
a2-a1=3-1
两边分别相加：a -a =(3n-1+3n-2n 1 +…+3)-[(n-1)+(n-2)+…+1]
3(1 3 1) ( 1)
= - ·（-1）
1 3 2
从而可以解出 an
+1
（6）累乘法 （ 形如 = f(n) ）

+2
例 6：已知 a1=1， +1 = ，求 an


解：∵ +1
+2 +1
= 所以 =
1 1

1 =
2 2
4
… 3 =
2 2
2 3 =
1 1
( +1) ( +1)
两边分别相乘： = ，∵a1=1 ，∴an= ，a1 亦成立
1 2 2
( +1)
∴an=
2
（7）作商法
（ 形如 a1 · a2 · a3 …an = f(n) ）
当 n=1 时 ，an=f(1)
( )
当 n≥2 时 ，an=
( 1)
例 7：在{an}中，a1=1 ，有 a1 · a2 · a3 …an =n
2 ，求 a3+a5
解：a1 · a2 · a3 …an =n
2
①
a1 · a2 · a3 …an-1 =(n-1)
2 ②
① 61
∴ 得 an=( )
2 ∴a3+a5=
② 1 16
（8）倒数法

例 8：在{an}中，a1=1 ，a 1n= ,求 an .
3 1+1

解：∵a = 1
1 3
∴ = 1
+1 1
n =3+
3 1+1 1 1
1
即{ }为首项为 1，公差为 3 的等差数列。

1 1
∴ =1+(n-1)·3=3n-2 ∴ an=
3 2
4.4 数学归纳法
一、数学归纳法
1.数学归纳法：一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当 n 取第一个值 n0（n0 属于 N
*）时命题成立；
（2）（归纳递推）假设 n=k（k≥n0，k∈N
*）时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。
2.归纳法的分类：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法其中特点是“特殊→一般”
（1）不完全归纳法：根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法叫作不完全归纳法
（2）完全归纳法：把研究对象一一都考察到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。
1
例 1：用数学归纳法证明：13 + 23 + + 3 = 2( + 1)2（n∈N*）
4
1
证明：①当 n=1 时，左边= 13 = 1，右边= × 12 × (1 + 1)2 = 1，等式成立。
4
1
②假设当 n=k（k∈N*）时，等式成立，即13 + 23 + + 3 = 2( + 1)2，
4
1
那么13 + 23 + + 3 + ( + 1)3 = 2( + 1)2 + ( + 1)3
4
2 1= ( + 1) [ 2 + ( + 1)]
4
1
= ( + 1)2( + 2)2
4
1
= ( + 1)2 [ ( + 1) + 1 ]2
4
即当 n=k+1 时，等式也成立。根据①②可知，等式对任意 n∈N*都成立。
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
一、变化率问题
△y f(x ) f(x )
1.平均变化率： = 2 1
△x x2 x1
2.瞬时变化率：
一般地，函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0+△x 的平均变化率在△x→0 时的
△y f( 0+△x) f( 0)极限，即 lim = lim
△x→0 △x △x→0 △x
3.函数 f(x)在 x=x0 处的导数：
函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数，记作 f'(x0)或 y'｜x=x0 ,即
△y f( +△x) f( )
f'(x0)= lim = lim 0 0
△x→0 △x △x→0 △x
二、导数的概念及其几何意义
1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数就是曲线 y=f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 k，即
f( +△x) f( )
K= f'(x0)= lim 0 0
△x→0 △x
2.导函数：
从求函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的过程可以看到，当 x=x0 时，f'(x0)是一个确定的数。这样，当 x
变化时，f'(x)便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数（导数）。即
f( +△x) f( )
f'(x)=y'= lim 0 0
△x→0 △x
5.2 导数的运算
一、基本初等函数的导数
（一）、几个常用函数的导数
△y f(x+△x) f(x) c c △y
1.函数 y=f(x)=c 的导数： = = = 0 ，所以 y'= lim = lim 0 = 0
△x △x △x △x→0 △x △x→0
△y f(x+△x) f(x) x+△x x △y
2.函数 y=f(x)=x 的导数： = = = 1，所以 y'= lim = lim 1 = 1
△x △x △x △x→0 △x △x→0
△y f(x+△x) f(x) (x+△x)2 x2 x2+2x·△x+(△x)2 x2
3.函数 y=f(x)=x2 的导数: = = = = 2x +△ x，
△x △x △x △x
△y
所以 y'= lim = lim (2x +△ x) = 2x
△x→0 △x △x→0
1 1
1 △y f(x+△x) f(x) x (x+△x) 1
4.函数 y=f(x)= 的导数: = = x+△x x = = ，所以
x △x △x △x x(x+△x)△x x2+x·△x
△y 1 1
y'= lim = lim ( ) =
△x→0 △x 2△x→0 x +x·△x x2
△y f(x+△x) f(x) √x+△x √ (√x+△x √ )(√x+△x+√ ) 1
5.函数 y=f(x)= √ 的导数: = = = = ，所以
△x △x △x △x(√x+△x+√ ) √x+△x+√
△y 1 1
y'= lim = lim =
△x→0 △x △x→0 √x+△x+√ 2√
（二）、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.导数公式
函数 导函数
f(x)=c f'(x)=0
f(x)=xa（a∈Q*） f'(x)=axa-1
f(x)=sinx f'(x)=cosx
f(x)=cosx f'(x)= - sinx
f(x)=ax f'(x)=axlna（a>0）
f(x)=ex f'(x)=ex
1
f(x)=logax f'(x)= （a>0，a≠1）

1
f(x)=lnx f'(x)=

二、导数的四则运算法则
[ f(x) ± g(x) ] ' = f'(x) ± g'(x)
[ f(x) · g(x) ] ' = f'(x) ·g(x) + f(x) · g'(x)
f(x) f′(x) · g(x) f(x)·g′(x)
[ ] ' = 2 （g(x)≠0） g(x) [ g(x) ]
三、简单复合函数的导数
1.复合函数：一般地，对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x)，如果通过变量 u，y 可表示成 x 的函数，那么称
这个函数为函数 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数，记作 y=f( g(x) )。
（1）复合函数 y=f( g(x) )的导数和函数 y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为：
yx'=yu' ·ux'=f '(u)·g' (x)
（2）求复合函数的导数：
例①：求函数 y=(2x+3)2 的导数：
解：函数 y=(2x+3)2 可以看作函数 y=u2 和 u=2x+3 的复合函数，
根据复合函数求导法则有：
yx'=yu'·ux' =(u2) '·(2x+3) ' =4u =8x+12
5.3 导数在研究函数中的应用
一、函数的单调性
1.一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间（a，b）内，
①如果 f'(x)>0，那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增；
②如果 f'(x)<0，那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减；
2.求函数单调区间的步骤：
①求出函数定义域及 f'(x)；
②解 f'(x)>0，f'(x)<0 并与定义域求交集；
③确定单调区间。
3.已知函数 y=f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数的取值范围的步骤：
①求导数 y= f'(x)；
②转化为 f'(x)≥0 或 f'(x)≤0 在 x∈[a，b]上恒成立问题；
③由不等式恒成立求参数范围；
④验证等号是否成立。
4.证明不等式 g(x)>φ(x) [或 g(x)≥φ(x)] 成立，可构造函数 f(x)=g(x)-φ(x)，后利用导数研究函数 f(x)>0
[或 f(x)≥0]，从而得不等式 g(x)>φ(x) [或 g(x)≥φ(x)] 成立。
1
例①：当 x>0 时，证明不等式 ln(x+1)>x- x2 .
2
1 1
证明：设 f(x)= ln(x+1) ，g(x)= x- x2 .F(x)= f(x)- g(x) ，则 F(x)= ln(x+1)- x+ x2 .
2 2
1 2
函数 F(x)的定义域为（-1，+∞），则 F' (x)= 1 + = ，当 x>0 时，
x+1 x+1
F' (x)>0 恒成立，则函数 F(x)在（0，+∞）上是单调递增函数，
1
故 F(x)>F(0)=0，从而 f(x)>g(x)，即 ln(x+1)>x- x2 。
2
二、函数的极值与最大(小)值
1.极值点：极大值点、极小值点
2.极值：一般地，求函数 y=f(x)的极值的方法是：解方程 f'(x)=0 ，当 f'(x0)=0 时：
①极大值：如果在 x0 附近的左侧 f'(x)>0，右侧 f'(x)<0，那么 f(x0)是极大值；
②极小值：如果在 x0 附近的左侧 f'(x)<0，右侧 f'(x)>0，那么 f(x0)是极小值；
3.求函数 f(x)极值的步骤：
①求函数的定义域
②求函数的导数 f'(x)
③令 f'(x)=0，求出全部的根 x
④列表
⑤判断得结论
4.不等式恒成立（或有解）与函数最值间的转化关系：
①不等式 a≥f(x)恒成立 ：a≥f(x)的最大值 ；
②不等式 a≤f(x)恒成立 ：a≤f(x)的最小值 ；
③不等式 a≥f(x)有解 ：a≥f(x)的最小值 ；
④不等式 a≤f(x)有解 ：a≤f(x)的最大值 。
5.一般地，求函数 y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
①求函数 y=f(x)在[a，b]内的极值
②将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最
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第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
6.2 排列与组合
6.3 二项式定理
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.2 离散型随机变量及其分布列
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.4 二项分布与超几何分布
7.5 正态分布
第八章 成对数据的统计分析
8.1 成对数据的相关关系
8.2 一元线性回归模型及其应用
8.3 分类变量与列联表
第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的
方案，那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法。
二、分布乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成
这件事共有 N=m×n 种不同的方法。
（1）无论第 1 步采用哪种方法，都不影响第 2 步方法的选取。
三、区别于联系
分类加法计数原理 分类乘法计数原理
每类方法都能独立地完成这件事，它 任何一步都不能独立完成这件事，缺少
本
是独立的、一次性的且每次得到的是 任何一步也不能完成这件事，只有各个
最后结果，只需一种方法就可完成这 步骤都完成了，才算完成这件事。
质
件事。
关系 分类互斥 分步互依
6.2 排列与组合
一、排列
1.排列：一般地，从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
2.排列数：从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不
同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示。
3.排列数公式： Amn = n(n 1)(n 2) ··· (n m + 1)
其中，n，m∈N*且 m≤n
4.全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列。这时公式中 m=n，即有
Amn = n(n 1)(n 2) ··· 3 · 2 · 1
5.阶乘：n 个不同元素全部取出的排列数，等于正整数 1 到 n 的连乘积。正整数 1 到 n 的连乘积，叫做
n 的阶乘，用 n! 表示。所以 n 个不同元素的全排列数公式可以写成
Amn = n! 规定 0!=1
m A
n
A = n
n!
6.排列数公式的阶乘表示： n An m
=
n m (n m)!
（1）公式推理：Amn = n(n 1)(n 2) ··· (n m + 1)
n(n 1)(n 2) ··· (n m + 1)(n m)(n m 1) ··· 3 · 2 · 1
=
(n m)(n m 1) ··· 3 · 2 · 1
n! Ann
= =
(n m)! An mn m
7.性质： Amn = n
m 1
An 1
Am = mAm 1 + mn n 1 An 1
例 1：求3Ax8 = 4A
x 1
9 中的 x.
3 · 8！ 4 · 9！ 3 · 8！ 4 · 9·8！
解： = 化简 =
(8 x)！ (10 x)！ (8 x)！ (10 x)(9 x)(8 x)！
得 90-19x+x2=12 ，解得 x=13 或 x=6
又 x≤8 且 x-1≤9，即 x≤8，所以 x=6.
例 2：求证：Amn +mA
m 1
n = A
m
n+1
n！ m · n！
证明：左边 = +
(n m)！ (n m+1)！
n！( + )+m·n！
=
(n m+1)！
n！( + )
=
(n m+1)！
( + )！
= =右边
(n m+1)！
8.拓展
有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的（不一定相邻）方法：
（1）整体法：即若 m+n 个元素排成一列，其中 m 个元素之间的先后顺序确定不变，将这 m+n 个元素
排成一列，有 Am+nm+n 种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他 n 个元素的位置不动，把这 m 个元
Am+nm+n
素交换顺序，有 Amm 种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有 m 种满足条件的不同排Am
法。
（2）插空法：即 m 个元素之间的先后顺序不变，因此先排列这 m 个元素，只有一种排法，然后把剩
下的 n 个元素分类或分步插入由以上 m 个元素形成的空当中。
例 1：7 人排成一列，甲必须在乙的后面（可不相邻），有 2520 种不同的排法
A7
解： 72 = 2520 A2
例 2：用 1，2，3，4，5，6，7 组成没有重复数字的七位数，若 1，3，5，7 的顺序一定，则有 210
A7
个七位数符合条件。 解： 74 = 210 A4
二、组合
1.组合：一般地，从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素
中取出 m 个元素的一个组合。
2.组合数：从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不
同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 表示。
3.组合数公式：
m A
m
n n(n 1)(n 2)···(n m+1) Cn = = Amm m!
n!
=
m!( )!
m，n∈N ，m≤n 规定C0n = 1
4.组合数的性质：
Cm = Cn m C5n n 8 = C
3
8
Cm mn+1 = Cn + C
m 1
n C
4 = C47 6 + C
3
6
5.解方程注意验根：
y
（1）当Cxn = Cn 时，y=x 或 x+y=n 。（n≥x，n≥y，x,y∈N
）
6.3 二项式定理
一、二项式定理
1.二项式定理：
(a + b)n = C0an + C1an 1 1 + C2an 2 2 +··· +Ckan k +··· +Cnn n n n nb
n
（n∈N ）
2.特点
（1）各项的次数都等于二项式的幂指数 n。
（2）字母 a 按降幂排列，字母 b 按升幂排列。
（3）展开式共有 n+1 项，比二项式的次数多 1。
3.二项式系数：Ckn ，k∈{ 0，1，2，…，n}
4.二项展开式的通项： Ckan k n ，
它是展开式的第 k+1 项，可用 k n k +1表示，即 +1 = Cna .
1 6
例 1：求 （2√x ） 的展开式.
√x
1 6 2x 1 1解： (2√x ) = ( )6 = (2x 1)6
√x √x x3
1
= [(2x)6 C16(2x)
5 + C26(2x)
4 C36(2x)
3 + C46(2x)
2 C56(2x)
1 + C66 ] x3
1
= (64x6 6 · 32x5 + 15 · 16x4 20 · 8x3 + 15 · 4x2 6 · 2x + 1
x3
3 2 60 12 1 = 64x 192x + 240x 160 + +
x x2 x3
例 2：求(1 + 2x)7的展开式的第 4 项的系数
解： T = C3 43+1 71 (2x)
3 = 280x3 系数为 280
1
例 3：求(x )9的展开式中x3的系数.
x
解：T k 9 k
1 k
n+k = C9x ( ) = ( 1)
kCkx9 2k9
当 9-2k=3 时，即 k=3 时 ，x3的系数为 ( 1)3C39 = 84
例 4.：求(x y)(x + y)8 的展开式中x2y7的系数.
解： (x + y)8的通项公式： = Crx8 r r +1 8 y
7 78 = 7+1 = C8xy = 8
7 ， 6 2 67 = 6+1 = C8 y = 28
2y6
所以含x2y7的项为： · 8 7 · 28 2y6 = 20 2y7
x2y7的系数为-20
5.二项式的特定项：
（1）常数项：令通项中变元的指数为零。
（2）有理项：令未知量的指数为整数。

（3）中间项： ① n 为偶数，中间项为第 + 1 项。
2
+1 +1
② n 为奇数，中间项为第 项 和 + 1 项
2 2
（4）求最大项：设第 k+1 项系数 +1 最大，则满足 Tk+1≥Tk 且 Tk+1≥Tk+2 。
二、二项式系数的性质
1. (a + b)n展开式的二项系数
(a + b)1 1 1
(a + b)2 1 2 1
(a + b)3 1 3 3 1
(a + b)4 1 4 6 4 1
(a + b)5 1 5 10 10 5 1
(a + b)6 1 6 15 20 15 6 1
2.规律
（1）在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的两个二项式系数相等。
（2）在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和
Cr = Cr + Cr 1n+1 n n 。
3.作用：可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助它直接写出
各项的二项式系数。
4.对于(a + b)n展开式的二项系数 C0n，C
1，C2n n， ···，C
n
n ，将此看作C
r
n是以 r 为自变量的函数 f(r)，其
定义域是{0，1，2，…，n}。 f(r)
（1）对称性
（2）增减性与最大值
（3）各二项式系数的和
r
5.二项式系数的性质
性质 内容
Cmn = C
n m
n ，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数
对称性
相等。
如果二项式的幂指数 n 是偶数，那么展开式中一项的二项式系数最大。
增减性
与
如果 n 为奇数，那么其展开式中间两项的二项式系数相等且同时取得
最大值 1 +1
最大值。C 2 = C 2n n
二项展开式各二项式系数的和等于2 ，即
二项式 (1 + )2 = 2 = C0 + C1 2 n n + Cn +··· +Cn 。
系数的和 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2 1
即 C1 + C3n n + C
5
n +···= C
2 4
n + Cn + C
6 1
n +···= 2 。
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
一、条件概率
P(AB)
1.条件概率：一般地，设 A，B 为两个事件，且 P(A)>0，称 P(B|A) = 为在事件 A 发生的条件
P(A)
下，事件 B 发生的概率。P(B|A)读作 A 发生的条件下 B 发生的概率。
（1）性质：
①任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间，即 0≤P(B|A)≤1
②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B ∪ C | A) = P(B|A) + P(C|A)
P(AB) n(AB)
2.条件概率求法公式： P(B|A) = =
P(A) n(A)
P(AB) = P(A|B) · P(B) = P(B|A) · P(A)
二、全概率公式
1.全概率公式：一般地，设 A1，A2，……，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪……∪An=Ω，且 P(Ai)＞
0，i=1,2，……，n，则对任意的事件 Ω，有

( ) =∑ ( ) ( | )
=1
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一。
2.贝叶斯公式：设 A1，A2，……，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪……∪An=Ω，且 P(Ai)＞0，
i=1,2，……，n，则对任意的事件 Ω，P(B)＞0 有
P(Ai)P(B|Ai) P(Ai)P(B|Ai)
P(Ai|B) = = n ，i = 1,2,…，n P(B) ∑k=1P(Ak)P(B|Ak)
7.2 离散型随机变量及其分布列
一、离散型随机变量
1.随机变量：在随机实验中，确定了一个对应关系，使得每一个实验结果都能用一个确定的数字表示，
在这个对应关系下，数字随着实验结果（自变量）的变化而变化。随机变量常用 X，Y，ξ，η…表示。
2.离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量。通常
用大写英文字母表示随机变量，例如 X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如 x，y，z。
二、离散型随机变量的分布列
1.概率分布列：一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1，x2，…， ，我们称 X 取每一个值
的概率 P(X= )= Pi，i=1,2,…,n 为 X 的概率分布列，简称分布列。
（1）离散型随机变量 X 的概率分布列：（简称 X 的分布列）
X x1 x2 … xi … xn
P P1 P2 … Pi … Pn
（2）性质：①离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。② Pi
≥ 0 （i=1,2,…,n） ∑ =1 = 1
（3）表示方法：①表格法（分布列） ②解析式法（ P(X=xi )=pi ） ③图像法(条形统计图)
2.两点分布
（1）两点分布：若随机变量 X 的分布列具有右表的形式，则称 X 0 1
X 服从两点分布，并称 p=P（X=1）为成功概率。 P 1-P P
（2）性质：
①一般地，在只有两个结果的随机试验中，用 0 表示事件不成功，1 表示事件成功，即随机变量的取值
只有 0 和 1 两个，故又称为 0-1 分布。
②两点分布应用广泛，如抽取的彩票是否中奖。
③试验结果只有两个可能性，且其概率之和为 1。
7.3 离散型随机变量的数字特征
一、离散型随机变量的均值
1. 离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称 EX= x1p1+ x2p2+…+ xipi+…xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望。
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
2.性质：
若 Y=aX+b，其中 a，b 是常数（X 是随机变量），则 Y 也是随机变量，且有
E(aX+b)=aE(X)+b
a=0 时，E(b)=b，即常数的均值就是这个常数本身。
性质
a=1 时，E(X+b)=E(X)+b，即随机变量 X 与常数之和的均值等于 X 的
特例
均值与这个常数的和。
b=1 时，E(aX)=aE(X)，即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数
与随机变量均值的乘积。
①结论：E(aX+bY)=aE(X)+b E(Y)
②若随机变量 X 服从两点分布，则有 E(X)=p .
③若 X～B(n，p)，则 E(X)=np
二、离散型随机变量的方差
1.离散型随机变量的方差：设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则 ( )2 描述了 xi (i=1，2，…，n)相对于均值 EX 的偏离程度。
①方差： = ∑ =1( ( ))
2 ②标准差： √ （记作σX） σ（西葛马）
2.意义：反映随机变量的取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；反之，越分
散。
3.离散型随机变量 X 加上一个常数 b，仅仅使 X 的值产生一个平移，不改变 X 与其均值的离散程度，方
差保持不变，即 D(X + b) = D(X)
4.离散型随机变量 X 乘以一个常数 a，其方差变为原方差的 a2倍，即 D(aX) = a2D(X)
5.性质：
①D(aX+b)= 2D(X)
②若 X 服从两点分布，则 DX=p(1-p)
③若 X～B(n，p)，则 DX=np(1-p)
7.4 二项分布与超几何分布
一、二项分布
1.伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的实验叫做伯努利试验。
2.我们将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机实验成为 n 重伯努利试验。显然，n 重伯努
利试验具有如下共同特征：
（1）同一个伯努利试验重复做 n 次；
（2）各次实验的结果相互独立。
3.二项分布：一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次实验中事件 A 发生的概率为 p（0＜p＜1），用 X 表
示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为
( = ) = (1 ) ， = 0,1,2, …， .
如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p)
由二项式定理，容易得到
n n
∑P(X = k) =∑Ck knp (1 p)
n k = [p + (1 p)]n = 1
k=0 k=0
二、超几何分布
1.超几何分布：一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品，从 N 件产品中随机抽取 n 件（不
放回），用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为
Ck Cn k
P(X = k) = M N Mn （k=m，m+1，m+2，…，r） CN
其中 n，N，M∈ ，M≤N，n≤N，m=max{ 0，n-N+M }，r=min{ n，M }
如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布
X 0 1 … m
0 0 1 1
P
…






2.设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机抽取

n 件产品中的次品数。令 = ，则 p 是 N 件产品的次品率，而 是抽取的 n 件产品的次品率，我们


猜想 ( ) = ，即 E(X)=nP.

3.特点：
①超几何分布描述了由有限个物体中抽取 n 个物件，成功抽出指定种类的物件的次数。
②抽取过程是不放回的。
7.5 正态分布
一、正态曲线
1 ( )
2
1.正态曲线： ( ) = 2 2 ， ∈ 其中实数μ∈R,σ＞0 为参数。
√2
显然，对任意的 x∈R，f(x)＞0，它的图像在 x 轴的上方，可以证明 x 轴和曲线之间的区域的面积为 1，
我们称 ( )为正态密度函数，称它的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
2
2.正态分布：若随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 X～N (μ，σ )
特别地，当μ=0，σ=1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布。
（1）正态分布完全由参数μ和σ确定
①标准正态分布：μ=0， σ=1
②参数μ的意义：μ就是随机变量 X 的均值。E(X)=μ
2
③参数σ的意义：σ就是随机变量 X 的标准差。D(X)= σ
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率：
P(μ-σP(μ-2σP(μ-3σ（3）性质
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交
②曲线是单峰的，它关于 x=μ对称
1
③曲线在 x=μ处达到峰值 ，并且由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，
σ√2
呈现“中间高，两边低”的形状。
④曲线与 x 轴之间的面积为 1。
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定。曲线随着μ的变化而沿 x 轴平移，如图。
μ=-1 y
μ=1
性 μ=0
质 O x
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越
集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图。
y
=0.5
=1
=2
O x
第八章 成对数据的统计分析
8.1 成对数据的相关关系
一、变量的相关关系
1.相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度的关系。
2.函数关系与相关关系的异同点：
（1）相同点：均为两个变量之间的关系。
（2）不同点：相关关系：非确定，函数关系：确定。
3.正相关（负相关）：从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加（减少）
的趋势，称这两个变量正相关（负相关）。
4、两个变量的线性相关
（1）散点图
这些点大致分布在通过散点图中心（ ， ）的一条直线附近。
5.线性相关：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线
性相关关系，这条直线叫回归直线。
（1）一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称 这两个变量非线性相关或
曲线相关。
二、样本相关系数
1.对于变量 x 和变量 y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为（ 1， 1），（ 2， 2），…，（ ， ）,
其中 1， 2，…， 和 1， 2，…， 的均值分别为 和 .将数据以（ ， ）为零点进行平移，得到平
移后的成对数据为（x1 x，y1 y），（x2 x，y2 y），…，（xn x，yn y），并绘制散点图。
2.利用散点（xi x，yi y）（i=1,2，…，n）的横、纵坐标是否同号，可以构造一个量
1
= [(x1 x)(y1 y) + (x2 x)(y2 y) + + (x n
x)(yn y)]
（1）一般情形下，Lxy＞0 表明成对样本数据正相关；Lxy＜0 表明成对样本数据负相关。
3.样本相关系数：
为了消除度量单位的影响，需要对数据做进一步的“标准化”的处理，仿照Lxy的构造方法得到
1 ∑n’ ’ ’ ’ ’ ’ i=1(xi x) (yi y)
r = (x1y1 + x2y2 + + xn n
yn) =
√∑ni=1(x
2
i x) √∑
n
i=1(yi y)
2
我们称 r 为变量 x 和变量 y 的样本相关系数。
（1）样本相关系数 r 是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性和绝对值的大小可以反映出成
对样本数据的变化特征
①当 r＞0 时，称成对样本数据正相关；
②当 r＜0 时，称成对样本数据负相关。
（2）样本相关系数 r 的取值范围：-1≤r≤1
（3）当|r|=1 时，表明成对样本数据(xi，yi)都落在直线上，即两个变量之间满足一种线性关系。
（4）样本相关系数的意义：r 的绝对值反映成对数据之间线性相关的程度。
（5）当|r|越接近 1 时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近 0 时，成对数据的线性相关程度越
若。
8.2 一元线性回归模型及其应用
一、一元线性回归模型
Y = bx + a + e
1.Y 关于 x 的一元线性回归模型：{ 2
E(e) = 0，D(e) = σ
（1）Y 称为因变量或响应变量，x 称为自变量或解释变量；
（2）a 和 b 为模型的未知参数，a 称为截距参数，b 称为斜率参数；e 是 Y 与 bx+a 之间的随机误差。
二、一元线性回归模型参数的最小二乘估计
1.经验回归方程： = x+
n
∑i=1(xi x )(yi y ) ∑
n
i=1xiyi nx · y
= =
n 2 2∑ (xi x ) ∑
n 2
i=1 i=1
xi nx
{ = ·
1 1
记x = ∑ ，y = ∑
=1 =1

我们将 = x+ 称为 Y 关于 x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回
归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的 ， 叫做 b，a 的最小二乘估计。
2.残差分析
（1）对于响应变量 Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的 称为预测值，观测
值减去预测值称为残差。残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，
以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析。
（2）残差的散点图：比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则满足一元线性回归模型对
随机误差的假设。
2
（3） 2
∑
= 1 =1
(yi )
2 ，在
2表达式中，∑ =1(yi y )
2与经验回归方程无关，残差平方和
∑ =1(yi y )
∑ =1(yi i)
2与经验回归方程有关。
3.一元线性回归方程一定过样本中心点（x ，y ）
4.在使用经验回归方程进行预测时，需注意：
（1）经验回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。
（2）我们所建立的经验回归方程一般都有时间性。
（3）在样本数据中的响应变量的取值范围内，经验回归方程的预报效果好。
（4）不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值。
8.3 分类变量与列联表
一、分类变量与列联表
1.分类变量：在讨论问题时，为了表述方便，常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，
这类随机变量称为分类变量。
2.2×2 列联表：表是关于分类变量 X 和 Y 的抽样数据的 2×2 列联表：最后一行的前两个数分别是事件
{Y=0}和{Y=1}的频数；最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的频数；中间的四个数 abcd 是事件
{X=x，Y=y} (x,y=0,1)的频数；n 是样本容量。
Y
X 合计
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合计 a+c b+d n=a+b+c+d
3.两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法
（1）频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小进行比较来分析分类变
量之间是否有关联关系。
（2）图形分析法：常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征。
二、独立性检验
1.提出零假设(原假设) 0:分类变量 X 和 Y 独立，假定我们通过简单随机抽样得到了 X 和 Y 的抽样数据列

联表，在列联表中，如果零假设 0成立，则应满足 ≈ ，即 ad-bc≈0,。因此|ad-bc|越小，说明两 + +
个分类变量之间关系越弱；反之，越强。
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量
( )2
2 =
( + )( + )( + )( + )
2.临界值：对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数 ，使得 P(x
2≥xa)=α成立，我们称 xa为α的临界
值，这个临界值可作为判断 x2大小的标准，概率值α越小，临界值 xa越大。数学 选择性必修第一册
人教版 A 版
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.2 空间向量基本定理
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.4 空间向量的应用
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.2 直线的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.4 圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.2 双曲线
3.3 抛物线
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
一、空间向量及其线性运算
1.空间向量：与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量。
（1）表示方法：空间向量可以用有向线段来表示。
B
2.向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模，有向线段的长度表示向量的模。
如图：向量 的起点是 A，终点是 B，则向量 也可记作 ，其模记为｜ ｜
或｜ ｜。
A
3.特殊向量
（1）零向量：我们规定，长度为 0 的向量叫做零向量，记为 。
（2）单位向量：模为 1 的向量。
（3）相反向量：与向量 长度相等而方向相反的向量，成为 的相反向量，记为 -
（4）相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量。因此，在空间，同向且等长的有向线段表示
同一向量或相等向量。
5.空间向量的加法与减法运算
（1）加法运算：
C B
①三角形定则（收尾相连：起点指向终点）： + = 。
②平行四边形定则（同起点）： + = 。
（2）减法运算： O
A
①三角形定则（同起点：箭头指向被减向量）： - = 。
6.空间向量的加法运算满足交换律及结合律：
（1）交换律： + = +
（2）结合律： ( + )+ = +( + )
二、空间向量的数乘运算
1.数乘运算
（1）定义：与平面向量一样，实数λ与空间向量 的乘积λ 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算。
（2）几何意义：①当λ>0 时，λ 与向量 方向相同；②当λ<0 时，λ 与向量 方向相反。λ 的长
度是 长度的｜λ｜倍。
（2）空间向量对的数乘运算满足分配率及结合律：
①分配率：λ )= λ +λ
②结合律：λ（ ）=（λμ）
2.共线向量
（1）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量
或平行向量。记作： ∥
（2）共线向量定理：对空间中任意的两个向量 、 （ ≠ ）， ∥ 的充要条件是存在实数λ，使
=λ 。
3.方向向量
（1）如图，l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 的直线，对空间任意一点 O，点 P 在直线 l 上
的充分条件是存在实数 t，使 = +t ，其中向量 叫做直线 l 的方向向量。
P
B
A
l
O
4.共面向量
（1）定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
（2）定理：①如果两个向量 、 不共线，那么向量 与向量 、 共面的充要条件是存在惟一的有
序实数对（x，y）使 =x +y
②如图，空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对（x，y）使 =x +y ；或
对空间任意一点 O，有 = +x +y 。
（3）四点共面的重要依据： C P
若空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C A B
满足向量关系式： = +y +z
（其中 x+y+z=1），则点 P 与点 A、B、C 共面。 O
三、空间向量的数量积运算
1.两个向量夹角的定义：已知两个非零向量 、 ，在空间中任取一点 O，作 = ， = ,则
B
∠AOB 叫做向量 与 的夹角，记作< ， >
O A
2.如果< ， >= ，那么向量 ， 互相垂直，记作： ⊥ （ 与任意向量相互垂直）
3.空间向量的数量积：已知两个非零向量
、 ，则｜ ｜·｜ ｜·cos< , >叫做 的数量积，记作：
即： =｜ ｜·｜ ｜·cos< , >
（1）零向量与任何向量的数量积为 0
（2）特别地， =｜ ｜·｜ ｜·cos< , > =｜ ｜2
（3） 的几何意义： 的数量积等于 的模与 在 上的投影｜ ｜·cos< , >的乘积，也
等于 的模与 在 上的投影｜ ｜·cos< , >的乘积。
4.两个向量夹角的范围：通常规定：0≤< , >≤π，且< , >=< , >
（1）当 与 共线且同向时，< , >=0
（1）当 与 共线且反向时，< , >=π
5.性质：
（1） =｜ ｜·cos< , >
（2） ，则 =0
（3）｜ ｜2 =
（4）cos< , >=
（5）｜ ｜≤｜ ｜·｜ ｜
（6）-｜ ｜·｜ ｜≤ ≤｜ ｜·｜ ｜
注：（反向：< , >=π） （同向：< , >=0）
6.空间向量的数量积满足的运算律：
（1）（λ ）· =λ( )； （ < , >不变 ）
（2） = （交换律）；
（3） = + （分配率）。
1.2 空间向量基本定理
一、空间向量基本定理
1.定理内容：如果三个向量 、 、 不共面，那么对空间任一向量 ，存在惟一的有序实数组
{x，y，z}，使得 =x +y +z
2.如果三个向量 ， ， 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{
x,y,z∈R} ，这个集合可看作是由向量 ， ， 生成的。我们把{ ， ， }叫做空间向量的一个
基底， ， ， 都叫做基向量。空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。
3.单位正交分解：特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，那么这个基
底叫做单位正交基底，常用 { ， ， k }表示。
4.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ，均可以分解为三个向量 x ，y j ，
z k ，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系：在空间选定一点 O 和一个单位正交基底{ ， ， k }，以点 O 为原点，分别以 ，
， k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴。
这时我们就建立了一个空间平面直角坐标系 Oxyz，O 叫做原点， ， ， k 都叫做坐标向量，通过每两
个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 Oxy 平面，Oyz 平面，Ozx 平面，它们把空间分成八个部分。
z
k

y
x
2.在空间直角坐标系 Oxyz 中， ， ， k 为坐标向量，对空间任意一点 A，对应一个向量 O A ，且点 A 的
位置由向量 O A 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 O A = i + y j + z k
3.在单位正交基底{ ， ， k }下与向量 O A 对应的有序实数组（x,y,z）叫做点 A 在空间直角坐标系中的
坐标，记作 A（x,y,z），其中 x 叫做点 A 的横坐标，y 叫做点 A 的纵坐标，z 叫做点 A 的竖坐标。
二、空间向量运算的坐标表示
1.运算 =（a1，a2，a3） （b1，b2，b3）
（1） + = (a1+b1，a2+b2，a3+b3)
（2） - = (a1-b1，a2-b2，a3-b3)
（3）λ =(λ a1，λa2，λa3)
（4） = a1b1+a2b2+a3b3
2.性质
（1） ∥ =λ a1=λb1 ，a2=λb2，a3=λb3 （λ∈R）
（2）） ⊥ =0 a1b1+a2b2+a3b3=0
（3）｜ ｜= =
（4） cos< , > = =
（5）dAB=｜ ｜= 空间两点间的距离公式
（6）若三点 A、B、C 共线，则｜AC｜=｜AB｜+｜BC｜
x +x y +y z +z
（7）中点坐标 P （ 1 20 ， 1 2， 1 2）
2 2 2
（8）对称坐标求法：（关于谁对称，谁不变，其余相反）P（x，y，z）
关于 x 轴对称： P1（x，-y，-z）
关于 y 轴对称： P2（-x，y，-z）
关于 z 轴对称： P3（-x，-y，z）
关于坐标平面 xoy 对称： P4（x，y，-z）
关于坐标平面 yoz 对称： P5（-x，y，z）
关于坐标平面 xoz 对称： P6（x，-y，z）
1.4 空间向量的应用
一、用空间向量研究直线、平面的位置关系
（一）空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量：在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量
来表示。我们把向量 称为点 P 的位置向量。
2.空间直线的向量表示式 ： =t
①空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个顶点 A 以及一个定方向确定。如图，点 A 是直线 l 上
任意一点 P，一定存在实数 t，使得 =t 。
P
O
l
②空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定。如图，设这两条直线相交于点 O，它们的方向
向量分别为 和 ，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得
=x + y .
3、平面向量的法向量的求法
（1）平面向量的法向量的定义：已知平面内α，如果直线 l ⊥α，取直线 l 的方向向量 ，则向量 叫
做平面α的法向量，或者说向量 与平面α正交。
（2）求平面法向量的坐标步骤：
①设平面的法向量为 =（x，y，z）
②找出平面内的两个不共线向量 （a1，b1，c1）， （a2，b2，c2）
③根据法向量的定义建立方程组 =0 =0
④解方程组，取其中一个解（一般令 z=1），得到法向量
（二）空间中直线、平面的平行
1.线线平行： =λ
直线 l1 、l2 的方向向量 =（a1，b1，c1）、 =（a2，b2，c2）
则 l1 ∥ l2 ∥ =λ a1=λa2、b1=λb2、c1=λc2
2.线面平行 =0 且 l α
①设直线 l 的方向向量是 =（x1，y1，z1），平面α的法向量 =（x2，y2，z2），
则 l ∥α ⊥ 且 l α =0 且 l α x1x2+y1y2+z1z2=0
l
②在平面内找 与直线 l 的方向向量 共线。
③证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示。
α
3.面面平行 ∥
①线线平行 线面平行 面面平行 α
②求出平面α，β的法向量 ， ，证明 ∥
β
（三）空间中直线、平面的垂直
1.线线垂直 =0
①设直线 l1 、l2 的方向向量为 、 ，则 =0 l1 ⊥l2
2.线面垂直 ∥ l
①设直线 l 的方向向量是 ，平面α的法向量 ， ∥ l ⊥α
α
②平面内两条相交直线与直线 l 垂直 线面垂直
β
3.面面垂直 =0
①线线垂直 线面垂直 面面垂直
α
②两平面内的法向量相互垂直
二、用空间向量研究距离、夹角问题
1.向量夹角和异面直线夹角
①不同点：向量夹角的范围：0≤< , >≤π ；异面直线夹角的范围： 0＜θ≤
②相同点：当两向量夹角为锐角时，θ=< , > ；当两向量夹角为 时，则异面直线垂直；
当两向量夹角为钝角时，θ=π-< , >
③求法：设空间直线 a，b 的方向向量分别是 ， ，两直线的夹角为θ，则
｜cosθ｜=
2.直线与平面的夹角的求法 θ∈(0， ]
①定义：平面的斜线与它在平面上的射影所成的角叫这条斜线与平面所成的角。
②范围：θ∈(0， ]
③求法：设直线 l 的方向向量 与平面α的法向量 的夹角为φ，则
sinθ=｜cosφ｜=
三、平面的夹角（二面角）的求法
1.二面角的平面角：过二面角α-l -β棱上任意一点 O 作垂直于棱 l 的平面，与面α，β的交线分别为 OA，
OB，那么∠AOB 叫做二面角α-l -β 的平面角。
α
2.二面角大小：指二面角的平面角的大小。 A
3.二面角的取值范围：[0，π] O
B
β
4.二面角的向量求法
（1）若 AB，CD 分别是二面角α-l -β的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是 与 的夹角。
α
B
C α
A β
D
β
（2）设 ， 是二面角的两个面α，β的法向量，则向量 与 的夹角（或其补角）大小就是二面角
的平面角的大小。
5.平面的法向量与两个平面夹角的关系：
已知平面α和β的法向量分别为 ，
（1）当 0≤< , >≤ 时，平面α与β的夹角为< , >
（2）当 ≤< , >≤π 时，平面α与β的夹角为 π-< , >
四、立体几何中的向量方法
1.求点与点之间的距离 dAB=
2.求点到直线的距离：已知一点 B，直线 l 过点 A，与 l 垂直的一个向量为 ,则 B 到直线 l 的距离为
d= =｜ ｜·｜cos< , >｜
3.点到平面的距离：已知平面α，其法向量为 ，在平面α上任取一点 P。空间中一点 A 到平面α的距离
为 d= =｜ ｜·｜cos< , >｜
4.异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度叫做两条异
面直线的距离。
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
一、倾斜角：直线 L 与 X 轴相交，取 X 轴为基准，X 轴正向与直线 L 向上方向之间所成的角α。[0°，180°)
二、斜率：一条直线的倾斜角α的正切值。k=tanα

1.斜率公式：直线过点 P (x ，y )，P (x ，y )，（x ≠x ）的直线的斜率 k= 2
1 1 2
1 1 1 2 2 2 1 2 （= ）
2 1 1 2
2.直线情况：
y y y y
直线情况
x x x x
α大小 （90°～180°） 0° （0°～90°） 90°
k 的取值 k＜0 k=0 k＞0 K 不存在
3.两条直线平行与垂直的判定
（1）平行：L1 : y1=k1x+b1 ①k1=k2 L1∥L2 或 L1与 L2重合
L2 : y2=k2x+b2 ②k1、k2 不存在 L1∥L2 或 L1与 L2重合
（2）垂直：L1 : y1=k1x+b1 ①k1 · k2=-1 L1⊥L2
L2 : y2=k2x+b2 ②k1不存在，且 k2=0 时 L1⊥L2
2.2 直线的方程
一、直线的点斜式方程

1.点斜式方程：直线 L 过 P0(x0，y0)，k 为斜率，由斜率公式得 k=
0 ，变形得
0
点斜式 y-y0=k(x-x0)
（1）当 k=0 时，y-y0=0 ，即 y=y0
（2）当 k 不存在时，x-x0=0 ，即 x=x0
2.斜截式方程：直线 L 与 y 轴交点（0，b），k 为斜率，由点斜式得 y-b=k(x-0)，变形得
斜截式 y=kx+b
（1）直线 L 在 y 轴上的截距：与 y 轴交点的纵坐标。

（2）适用范围：α≠90°，k≠ 。
2
二、直线的两点式方程

1.两点式方程：已知两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，（其中 x1≠x2，y1≠y2），k=
2 1，任取
2 1

P1(x1，y1)，由点斜式得 y-y
2 1
1= (x-x1)，变形得
2 1

两点式 1 = 1
2 1 2 1
2.截距式方程：已知直线 L 与 x 轴相交于（a，0），y 轴相交于（0，b），a≠0，b≠0，
0
将两点代入两点式得 = ，变形得
0 0
（1）a，b 同时存在
截距式 + = 1
（2）横截距：a
（3）纵截距：b
三、直线的一般是方程
1.一般是方程：一般式 Ax+By+C=0 （其中 A,B 不同时为 0）
2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、两条直线的交点坐标
1.两条直线 L1 ：A1x + B1y + C1 = 0 L2 ：A2x + B2y + C2 = 0
（1）有唯一解：相交 （2）无穷个解：重合 （3）无解：平行
2.直线系：具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系。
（1）设直线 L1 :A1x + B1y + C1 = 0 、L2 :A2x + B2y + C2 = 0，则过直线 L1和 L2交点的
直线系为 m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B
2 2
2y+C2)=0 ，（其中 m,n 为参数，m +n ≠0）。
可改写为（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2)=0，（其中λ为实数）。
二、两点间的距离
1.过两点：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
距离公式 ｜P1P2｜=√( 2 22 1) + ( 2 1)
2.特殊情况
（1）原点 O(0，0)与任意一点 P(x，y)距离 ： ｜OP｜=√ 2 + 2
（2）当 P1P2∥x 轴（y1=y2）时，距离： ｜P1P2｜=｜x2-x1｜
（3）当 P1P2∥y 轴（x1=x2）时，距离： ｜P1P2｜=｜y2-y1｜
（4）当点 P1，P2在直线 y=kx+b 上时，距离 ｜P 21P2｜=√1 + · ｜x2-x1｜
3.平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
三、点到直线的距离
1.点 P0(x0，y0)到直线 L：Ax+By+C=0 距离
｜A 0+ 0+ ｜距离公式 d=
√ 2+ 2
（1）点 P0(x0，y0)到 x 轴的距离：d=｜y0｜
（2）点 P0(x0，y0)到 y 轴的距离：d=｜x0｜
（3）点 P0(x0，y0)到 x 轴平行的直线 y=a 的距离：d=｜y0-a｜
（4）点 P0(x0，y0)到 y 轴平行的直线 x=b 的距离：d=｜x0-b｜
四、两平行线间的距离
1.直线 L1 :Ax + By + C1 = 0 、L2 :Ax + By + C2 = 0 ， L1∥L2 ，直线 L2的任一点 P(x0，y0)
到直线 L1的距离就是两平行直线 L1与 L2之间的距离。
｜A
距离公式 d = 0
+ 0+ 1｜ ｜ ｜ = 1 2
√ 2+ 2 √ 2+ 2
五、拓展
1.点关于点的对称问题
x +x y +y
（1）若两点（x1，y1）、（x2，y2）关于点（x0，y0）对称，则线段 AB 的中点 P( 1 2， 1 2)
2 2
2.直线关于点的对称问题
若两条直线 L1，L2关于点 P 对称，则
（1）L1上任意一点关于点 P 的对称点必须在 L2上。
（2）若 L1∥L2，则点 P 到直线 L1，L2的距离相等。
（3）过点 P 任意一直线与 L1，L2分别交于 A,B 两点，则点 P 是线段 AB 的中点。
3.点关于直线的对称问题
若 A,B 两点关于直线 L 对称，则 L 是线段 AB 的垂直平分线，则
（1）直线 AB 与直线 L 垂直。
（2）线段 AB 的中点在 L 上。
（3）直线 L 上任意一点到 A,B 两点的距离相等。
4.直线关于直线的对称问题
若两直线 L1，L2关于直线 L 对称，则
（1）L1上任意一点关于直线 L 的对称点必在 L2上。
（2）过直线 L 上的一点 P，且垂直于直线 L，作一直线与 L1，L2分别交于 A,B 两点，
则点 P 是直线 AB 的中点。
2.4 圆的方程
一、圆的标准方程 (x-a)2 + (y-b)2 = r2
1.点与圆的位置关系：
（1）点在圆上：(x-a)2 + (y-b)2 = r2
（2）点在圆外：(x-a)2 + (y-b)2 ＞ r2
（3）点在圆内：(x-a)2 + (y-b)2 ＜ r2
二、圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0
2+ 2 4
1.变形：(x+ )2+(y+ )2=
2 2 4
（1）当 D2+E2-4F＞0 时，表示圆。
（2）当 D2+E2-4F =0 时，表示点。
（3）当 D2+E2-4F＜0 时，不表示任何图形。
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
（1）当 d＞r 时，相离
（2）当 d =r 时，相切
（3）当 d＜r 时，相交
2.圆与圆的位置关系
相交 外切 外离 内切 内含
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
一、椭圆及其标准方程
1.椭圆：我们把平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆。
y
①椭圆的交点：定点 F1，F2 M
a
②椭圆的焦距：两交点间的距离｜F1F2｜
b
F1 O c F2 X
③椭圆的半焦距：焦距的一半 OF1 或 OF2
2 2
2.椭圆的标准方程： 2 + 2 =1（a>b>0）
（1）推理：由椭圆的定义，知椭圆就是集合 P={M｜｜MF1｜+｜MF2｜=2a }
2 2
∵｜MF1｜=√（x + c） + 2 ｜MF ｜=√（x c） + 22
2 2 2 2
则√

（x + c） + 2 + √（x c） + 2 =2a 化简得 2 + =1 2 2
2 2
化简过程：①移项得：√（x + c） + 2 =2a- √（x c） + 2
2 2②两边分别平方得：（x+c） + y2=4a2-4a 2 2√（x c） + 2 +(x-c) +y
2
整理得：a2-cx=a√（x c） + 2
③两边分别平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
2 2
④两边同时除以 a2(a2-c2)得 + =1
2 2 2
∵2a>2c（三角形两边之和大于第三边）即 a>c
2 2
∴a2-c2>0 令 b=√ 2 2 得到 2 + 2 =1（a>b>0）
2 2
（2）椭圆的标准方程： 2 + 2 =1（a>b>0）
①椭圆的两个交点 F1（-c，0） ，F2（c，0） 由 b=√ 2 2 解出 c
②椭圆的焦距｜F1F2｜=2a
③椭圆的半焦距｜OF1｜=｜OF2｜=a
2 2
（3）若椭圆的交点 F1，F2 在 x 轴上，则椭圆方程为： 2 + 2 =1（a>b>0）
2 2
若椭圆的交点 F1，F2 在 x 轴上，则椭圆方程为： 2 + 2 =1（a>b>0）
①判断方程：看 x2，y2 项的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上
(“谁大在谁上”）
3.椭圆的定义可用集合表示为：P={M｜｜MF1｜+｜MF2｜=2a ，2a>｜F1F2｜ }
｜F1F2｜=2c（a，c 为常数）
（1）a>c ：集合 P 为椭圆。 （3）a（2）a=c ：集合 P 为线段 F F 。 （4）a21 2 =b
2 : 方程表示为圆。
4.椭圆方程的统一形式：
mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n）
二、椭圆的简单几何性质
2 2
标准方程： 2 + 2 =1（a>b>0）
1.取值范围： x∈[-a，a] y∈[-b，b]
2.对称性：轴对称图形（坐标轴），中心对称图形（原点），椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
y
3.顶点（确定椭圆的具体位置）：椭圆与它的对称轴的交点。 B1
A1（-a，0） A2（a，0） B1（0，-b） B2（0，b）
A1 O A2 X
长轴：A1A2 （｜A1A2｜=2a） 长半轴长：a
短轴：B1B2 （｜B1B2｜=2b） 短半轴长：b B2

4.离心率（e= ）:我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 e 表示。

①e 的大小描述了椭圆的扁平程度。
②离心率的取值范围：（0，1）
③e 越接近 1，则 c 就越接近 a，从而 b=√ 2 2 越小，椭圆越扁；反之，
E 越接近 0，则 c 就越接近 0，从而 b 越接近 a，椭圆越接近圆。
二、关于椭圆的拓展
A
1.通径：过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆弦长叫通径。
2 2 F1 F2
｜AB｜=

B
P
∠
2.焦点三角形的面积： 2 1 2 △ =b tan 1 2 2
F1 F2
2
3.椭圆第二定义：平面内的点 M 到一个定点 F（c，0）的距离与它到定直线 x=±

（准线）的距离 d 的比为一个常数 e（0M（x0，y0）
｜MF｜
（1）由定义知 e= e=
d d
2 2
（2）｜MF｜=e·d=（ -x0）·e = ·e-ex0 =a-ex0 F(c,0)

2 2
（｜MF｜=a+ex0 左准线） x=- x=
3.2 双曲线
一、双曲线及其标准方程
1.双曲线：把平面内与两个定点 F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数
y
M
（小于｜F1F2｜）的点的轨迹。
①焦点：这两个定点 F1、F2
F c O
②焦距：焦点间的距离｜F F ｜ 1 F2 X 1 2
2 2
2.双曲线的标准方程： 2 - 2 =1（a>0，b>0）
（1）推理：由双曲线定义，双曲线就是集合 P={M｜｜MF1｜-｜MF2｜=2a }
2 2
｜MF1｜=√（x + c） + y2 ｜MF2｜=√（x c） + y2
2 2
∴√（x + c） + y2 - √（x c） + y2 =±2a
x2 y2
化简得 2 - 2 2 =1 ，由定义知 2c>2a，∴c
2-a2>0
a c a
2 2
令 c2-a2=b2
x y
，得 2 - 2 =1（a>0，b>0） a b
（2）焦点：F1（-c，0） F2（c，0） 焦距：｜F1F2｜=2c
3.双曲线的标准方程 （“谁正在谁上”）
2 2
①焦点在 x 轴上： 2 - 2 =1（a>0，b>0） c
2=a2+b2

2 2
②焦点在 y 轴上： 2 - 2 =1（a>0，b>0） c
2=a2+b2

2 2
4.双曲线方程的统一形式： mx +ny =1（mn<0）
二、双曲线的简单几何性质
2 2
标准方程： 2 - 2 =1（a>b>0）
1.取值范围： x≤-a 或 x≥a （ x2≥a2 ）
2.对称性：原点、x 轴、y 轴 （双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。）
y
3.顶点：双曲线与它的对称轴 x 轴的两个交点。
B2
A1（-a，0） A2（a，0） (0,b)
令 x=0，得 y2=-b2 没有实数根，
(-a,0) (a,0)
F A
O A
1(-c，0) 1 2 X
所以双曲线和 y 轴没有交点。 F2(c，0)
把 B （0，-b） B （0，b） 画在 y 轴上： (0,-b) 1 2
B1
实轴：A1A2 （｜A1A2｜=2a） 长实轴长：a
虚轴：B1B2 （｜B1B2｜=2b） 短虚轴长：b （c
2-a2=b2）

4.渐近线：矩形的两条对角线。y=± x 无限接近不相交


5.离心率（e= ，c>a>0，e>1）:我们把双曲线的焦距与实轴长的比 称为椭圆的离心率，用 e 表

√ 2 2
示。 含义： = =√( )2 1 =√ 2 1


①当 e∈(1，+∞) 时， ∈(0，+∞) ，且 e 增大， 也增大。E 增大时，渐近线与实轴的夹角增

大（斜率）。
②e 表示双曲线开口大小的一个量，e 越大，开口越大。
6. 等轴双曲线：实轴=虚轴的双曲线（a=b 时）。x2-y2=m（m≠0） 渐近线为 y=±1
二、 关于双曲线的拓展
1.关于直线与双曲线的交点：
①该直线为渐近线，则没有交点。
②平行于渐近线，则有一个交点。
③与渐近线不平行，则没有交点。
2.双曲线焦点 F 到渐近线的距离为 b
2 2
3.任意双曲线 2 - 2 =1（a>b>0） ，
θ
焦点三角形的面积： =b2cot = b2
1
△ 1 2 2 θ tan
2
4.求双曲线的方程方法：
2 2
①若已知有共同焦点，则设曲线方程为： 2 - 2 =1 解出 λ 。
2 2
②若已知渐近线，则设曲线方程为： 2 - 2 =λ (λ ≠ 0） 解出λ 。
5.
定义 ｜MF1｜-｜MF2｜=2a （ 0<2a<｜F1F2｜）
y y
M
F2
图
F1 O F X O X2
像
F1 M
2 2方程
2 2
- =1 - =1
2 2 2 2
焦点 F（±c，0） F（0，±c）
abc 关系 a2=c2-b2 a2=c2-b2
3.3 抛物线
一、抛物线及其标准方程
1.抛物线：我们把平面内与一个顶点 F 和一条直线 l（不过点 F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
y
d M
①焦点： F ( ，0) H
2

②准线：直线 l ：x=-
2
( ，0) O X
2 F ( ，0) 2
2
2.抛物线的标准方程： y =2Px （P>0）
x=-
2
（1）推理：设点 M（x，y）是抛物线上任意一点，点 M 到直 线 l 的距离为 d，
由抛物线的定义。抛物线就是点的集合 P={M｜｜MF｜=d} 。
因为 ｜MF｜=√( )2 + 2 ，d=｜x+ ｜ ,所以 √( )2 + 2 = ｜x+ ｜
2 2 2 2
2
两边分别平方化简，得 y =2Px （P>0） 。

（2）焦点：F（ ，0） （3）准线方程：x=-
2 2
3.双曲线
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y
l y
y2

O F x =2Px （P>0） （ ，0） x=- 2 2
y
y l
2
y =-2Px

x （- ，0） x= F O 2 2
（P>0）
y y
F

x2=2Py （P>0） （0， ） y=-
O x 2 2
l
y
y
2
l x =-2Py

O x （0，- ） y= 2 2
（P>0）
F

（1）相同点：顶点为原点；对称轴为坐标轴；顶点到焦点的距离=顶点到准线的距离=
2
（2）不同点：一次项变量为 x（或 y），则对称轴为 x（或 y）；
二次项系数为正（或负），则开口指向正（或负）方向。
4.与抛物线只有 1 个交点的直线：①y 轴 ②与 x 轴平行 ③相切的直线
y
2
二、抛物线的简单几何性质： y =2Px （P>0） M(x ，yA 0 0)
1.性质：
（1）范围：M（x，y） x≥0

( ，0) O X
2 F ( ，0) 2
（2）对称性：关于 x 轴对称（抛物线的轴）

x=-
（3）顶点：抛物线和它的轴的交点（原点） 2 B
（4）离心率：e=1，抛物线上的点 M 到焦点 F 的距离和它到准线的距离比。
（5）焦半径：抛物线上一点与焦点的连线的线段长：｜MF｜=x0+

2
（6）通径：通过抛物线的焦点 F 作垂直于 x 轴的直线，交抛物线于 A、B 两点，线段 AB 叫做抛物线的
通径。｜AB｜=2P
（7）焦点弦：过焦点的直线与抛物线相交所得的线段。
（8）准焦距：准线与焦点的距离为 P
2.特点：
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但无渐近线。
（2）只有一条对称轴，无对称中心。
（3）只有一个顶点，一个焦点，一条准线。
（4）离心率是确定的，e=1。
（5）P 对抛物线开口的影响：P 越大，开口越开阔（本质是成比例放大的）。
三、拓展
1.已知 AB 是抛物线 y2=2Px（P>0）的焦点弦。且 A（x1，y1）、B（x2，y2），点 F 是抛物线的焦点，M 是
AB 的中点，过点 A、B、M 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 A1、B1、M1 。则有：
2
（1）y y =-P2
y
1 2 ，x1x2=
4 A1
2
（2）｜AB｜=x1+x2+P= 2 （α为直线 AB 的倾斜角
） A（x1,y1）

M1
（3）以 AB 为直径的圆与准线 l 相切。
P2 M
（4）S△AOB=
2·sinα B1 O
1 1 2 F ( ，0) X
（5） + 为定值 2
｜AF｜ ｜BF｜
B（x2,y2）
（6）∠AM1B=∠A1FB1=90°
x=-
2

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