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专题21圆周运动中的临界极值问题
【知识梳理】
一、竖直面内圆周运动的临界问题
1．两类模型对比
轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑)
实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
受力示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上
力学方程
临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg
讨论分析 (1)最高点，若v≥ ，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则 到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0时， ＝m，F弹指向圆心并随v的增大而
2．解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用 提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用 定理找出两处速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据 求出压力。
二、水平面内圆周运动的临界问题
1．运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆。
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供 ，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2．过程分析
重视过程分析，在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题。
3．方法突破
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到 。
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为 。
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等。
4．解决方法
当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
【专题练习】
一、单项选择题
1．如图所示，质量可以不计的细杆长为l，一端固定着一个质量为m的小球，另一端能绕光滑的水平轴O转动，让小球在竖直平面内绕轴O做半径为l的圆周运动，小球通过最高点时的线速度大小为v，下列说法中正确的是（　　）
A．小球能过最高点的临界条件是
B．当小球通过最高点时，小球可能处于超重状态
C．在最高点时，若，则小球与细杆之间的弹力随v增大而减小
D．在最高点时，若，则小球与细杆之间的弹力随v减小而增大
2．旋转餐桌的水平桌面上，一质量为的茶杯（视为质点）到转轴的距离为r，茶杯与旋转桌面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为，餐桌带着茶杯以周期T匀速转动时，茶杯与餐桌没有发生相对滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A．动摩擦因数的最小值为
B．将茶杯中的水倒出后仍放在原位置，以相同的周期匀速转动餐桌，茶杯可能发生相对滑动
C．增大茶杯到转轴的距离时，动摩擦因数减小
D．若减小餐桌的转动周期T，则茶杯与餐桌可能发生相对滑动
3．过山车的部分轨道可简化为半径为、的圆，其底部位于同一水平面上，。质量为的一节过山车（可简化为质点）以某一速度滑上半径为的轨道时，恰好能通过轨道的最高点；若过山车通过轨道的最高点时速度恰好与通过的最高点时相等，则过山车通过的最高点时对轨道压力为（　　）
A．0 B． C． D．
4．如图所示，转动轴垂直于光滑平面，交点O的上方h处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长AB=l>h，小球可随转动轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动。要使球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是（　　）
A． B． C． D．
5．质量为m的小球，由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a长为l，当轻杆以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω=时，b绳拉力不为零
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
6．如图所示，粗糙水平转盘上，质量相等的A、B两个物块（均可视为质点）叠放在一起，随转盘一起做匀速圆周运动，它们到转轴的距离均为r。A、B之间的动摩擦因数为，B与转盘之间的动摩擦因数为，各接触面之间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　）
A．在随转盘做匀速圆周运动过程中，物块A所需要的向心力由重力和B对它的支持力提供
B．A、B均未发生滑动时，A、B之间的摩擦力和B与转盘之间的摩擦力大小相等
C．若，随着转盘角速度的增加，A先相对B发生滑动
D．若，为保证A、B均不发生滑动，转盘转动的角速度最大为
7．两个质量均为m的小木块a和（均可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴的距离为L，b与转轴的距离为2L，a、b之间用长为L的强度足够大的轻绳相连，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，开始时轻绳刚好伸直但无张力，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　）
A．b比a先达到最大静摩擦力
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．是b开始滑动的临界角速度
D．当时，a所受摩擦力的大小为
8．如图所示，一质量为的人站在台秤上，台秤的示数表示人对秤盘的压力；一根长为的细线一端系一个质量为的小球，手拿细线另一端，小球绕细线另一端点在竖直平面内做圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最高点，则下列说法正确的是（　　）
A．小球运动到最高点时，小球的速度为零
B．当小球运动到最高点时，台秤的示数最小，且为
C．小球在、、三个位置时，台秤的示数相同
D．小球从点运动到最低点的过程中台秤的示数增大，人处于失重状态
9．如图所示，叠放在水平转台上的物体 A、B及物体 C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C 的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A 和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度需要满足
D．若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体
二、多项选择题
10．如图，用长为的轻绳拴着一小球（可视为质点）在竖直平面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　）
A．小球在最高点时，轻绳的拉力不可能为零
B．小球在最低点时，轻绳的拉力大小一定大于小球的重力大小
C．小球在最高点时，其向心力仅由轻绳的拉力提供
D．小球在最高点的最小速率为
11．如图所示，小球在竖直放置的内壁光滑的圆形细管内做圆周运动，则（　　）
A．小球通过最高点的最小速度为
B．小球通过最高点的速度可能为零
C．小球通过最高点时一定受到内管壁向上的支持力
D．小球通过最低点时一定受到外管壁向上的压力
12．如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块（可视为质点），当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为0）。物块和转盘间的最大静摩擦力是物块对转盘压力的倍。已知重力加速度为g，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。下列说法正确的是（　　）
A．当转盘以角速度匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为
B．当转盘以角速度匀速转动时，细绳的拉力大小为
C．当转盘以角速度匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为
D．当转盘以角速度匀速转动时，细绳的拉力大小为
13．质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，若两绳均伸直，绳b水平且长为l，绳a与水平方向成θ角。当轻杆绕竖直轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是（重力加速度为g）（　　）
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度ω的增大而增大
C．当角速度，b绳中才出现张力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的张力一定发生变化
14．如图所示的玩具装置，在光滑水平圆台的中轴上O点固定一根结实的细绳，细绳长度为，细绳的一端连接一个小木箱，此时细绳与转轴间的夹角为，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱的质量为，，，重力加速度g取，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水平圆台从静止开始缓慢加速运动，则下列说法正确的是（　　）
A．当圆台的角速度时，细绳中无张力
B．当圆台的角速度时，细绳中张力大小为0.6N
C．当圆台的角速度时，木箱对圆台无压力
D．当角速度时，细绳与转轴间的夹角为53°
15．如图所示，圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动。甲、乙物体质量分别是2m和m（两物体均看作质点），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的倍，两物体用一根刚好沿半径方向被拉直的结实轻绳连在一起，甲、乙到圆心的距离分别为r和2r。当转盘旋转角速度由零逐渐缓慢增大时（　　）
A．轻绳刚开始有拉力后，转盘旋转角速度增大，甲受到的静摩擦力先减小后增大
B．轻绳刚开始有拉力后，转盘旋转角速度增大，轻绳拉力增大
C．转盘旋转角速度很小时，轻绳拉力为0
D．转盘旋转角速度较大时，乙将拉着甲向外运动
16．如图，两个质量均为的小木块和可视为质点放在水平圆盘上，与转轴的距离为与转轴的距离为，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的倍，重力加速度大小为若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　）
A．、所受的摩擦力始终相等
B．一定比先开始滑动
C．是开始滑动的临界角速度
D．当时，所受摩擦力的大小为
17．如图1所示一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线竖直，母线与轴线之间夹角为θ，一条长度为l的轻绳，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球（可看作质点），小球以角速度ω绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，细线拉力F随ω2变化关系如图2所示。重力加速度g取10m/s2，由图2可知（ ）
A．绳长为l = 2m
B．小球质量为0.5kg
C．母线与轴线之间夹角θ = 30°
D．小球的角速度为2rad/s时，小球已离开锥面
18．如图所示，质量为的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为的匀速圆周运动，已知重力加速度为，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则（　　）
A．该盒子做圆周运动的向心力恒定不变
B．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于
C．盒子在最低点时，小球对盒子的作用力大小等于
D．盒子在与点等高的右侧位置时，小球对盒子的作用力大小等于
参考答案
1．D 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．BD
11．BD 12．ACD 13．AC 14．AC 15．BC 16．BCD 17．AB 18．BD

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