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第三章 圆锥曲线的方程
3.1.1 椭圆及其标准方程 学案
一、学习目标
1.掌握椭圆的定义及标准方程.
2.理解椭圆标准方程的推导过程，体会数形结合的思想.
3.会用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.
二、基础梳理
1.椭圆的定义：把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
2.椭圆的标准方程：
①焦点在x轴上的椭圆的标准方程是.两个焦点分别是，的椭圆，且.
②焦点在y轴上的椭圆的标准方程是.两个焦点分别是，的椭圆，且.
3.解析几何中求点的轨迹方程常用的方法：寻求点M的坐标中x，y与，之间的关系，然后消去，，得到点M的轨迹方程.
三、巩固练习
1.已知椭圆的焦距是，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于2，则椭圆的标准方程为( )
A. B.或
C. D.或
2.已知椭圆的左、右焦点分别是，焦距，过点的直线与椭圆交于P、Q两点，若，且，则椭圆C的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆C的左、右焦点分别为，短轴长为2，O为坐标原点，点P在C上且（c为椭圆C的半焦距），直线与C交于另一个点Q，若，则C的标准方程为( )
A. B. C. D.
4.设P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
A. B. C. D.
5.已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点为，则下列条件中不能求出椭圆方程为的是( )
A.短半轴长为2 B.长半轴长为
C.离心率为 D.一个顶点坐标为
6.“”是“方程表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.（多选）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点(离地心最近的点)距地面,远地点(离地心最远的一点)距地面,并且三点在同一直线上,地球半径约为,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为,则( )
A. B. C. D.
8.（多选）“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的一个必要条件可以是( )
A. B. C. D.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由已知得,,所以，，因此，故椭圆方程为或.
2.答案：A
解析：如图，，则，
延长交椭圆C于点M，得，
设，则，据椭圆的定义有，在中，得，
又在中，得
故，则椭圆C的方程为.
3.答案：A
解析：由题意知，所以点在以O为圆心，为直径的圆上，连接，则.设，由于，所以，根据椭圆的定义可知，，所以，所以，则.又，所以为等腰直角三角形，可得.由题意知，又，所以，所以C的标准方程为.
4.答案：C
解析：由题意知.由椭圆的定义可知，点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为.
5.答案：D
解析：由椭圆的一个焦点为，再加上，，中任一个，都可求出椭圆方程为，而加上一个顶点坐标为不可求出椭圆方程为.
6.答案：B
解析：若方程表示椭圆,则,解得且,所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.
7.答案：ABD
解析：地球的中心是椭圆的一个焦点,结合图形可得(*),故A,B正确；由(*),可得,故C不正确；由(*),可得.,,故D正确.
8.答案：ABC
解析：若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，所以“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的一个必要条件可以是“”“”和“”，故选ABC.

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