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4.6 利用相似三角形测高
北师大版 九年级上册
情景导入
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．泰勒斯年轻时是一名商人，到过不少东方国家．一年春天，泰勒斯来到埃及，埃及法老对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．
你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
实践探究
操作方法：一名学生直立于旗杆影子的顶端处，测出该同学的影长和此时旗杆的影长．如图．
探究1：利用阳光下的影子
图2
图1
把太阳的光线看成是平行的．
∵太阳的光线是平行的，
∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD，
∵人与旗杆是垂直于地面的，
∴∠ABE＝∠CDB，∴△ABE∽△CDB，
∴＝，即CD＝，代入测量数据即可求出旗杆CD的高度．
图2
探究2：利用标杆
操作方法：如图3，选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上，测出此时他的脚与旗杆底部，以及与标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．
图3
A
B
F
D
N
C
M
E
图4
如图4，过眼睛所在点A作旗杆CD的垂线交旗杆CD于N，交标杆EF于M.
可得△AME∽△ANC
=
A
B
F
D
N
C
M
E
图4
CN = = =
∴CD =CN+ND= +AB
固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．
图5
操作方法：如图5，选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，
探究3：利用镜子的反射
入射角＝反射角．
∵入射角＝反射角，
∴∠AEB＝∠CED.
∵人、旗杆都垂直于地面，
图5
∴∠B＝∠D＝90°，∴△AEB∽△CED，
∴＝ ，∴CD＝.因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度．
应用举例
如图，已知高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的高度．
方法指导：利用相似三角形的性质．
解：易得△ABC∽△A′B′C′，
∴ ＝ ，即 ＝ .
解得BC＝16.
答：该建筑物的高度是16 m.
例1
九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度．
方法指导：CD∥AB,可得△CGE∽△AHE,有 ＝ ，求出AH，旗杆AB＝AH＋HB＝AH＋EF.
例2
解：由已知CG∥AH，
∴△CGE∽△AHE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AH＝11.9，
∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m).
如图是小明设计用手电筒测量某建筑物高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到该建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2 m，BP＝1.8 m，PD＝12 m，那么该建筑物的高度是多少米？
方法指导：借助物理学知识：入射角等于反射角，然后利用相似三角形的知识求解．
例3
A
B
P
D
C
F
解：由题意，得∠APB＝∠CPD.
又∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°.
∴△ABP∽△CDP.
∴ ＝ .即 ＝ ，
∴CD＝8.
答：该建筑物的高度是8.
A
B
P
D
C
F
如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．
例4
分析：本题所叙述的内容可以画出如上图那样的几何图形，即DF＝60厘米＝0.6米，GF＝12厘米＝0.12米，CE＝30米，求BC.
由于△ADF∽△AEC，
又△AGF∽△ABC，
从而可以求出BC的长．
∵AE⊥EC，DF∥EC，
∴∠ADF＝∠AEC，∠DAF＝∠EAC，
∴△ADF∽△AEC.
又GF⊥EC，BC⊥EC，
∴GF∥BC，∠AFG＝∠ACB，∠AGF＝∠ABC，
∴△AGF∽△ABC，
解：
又DF＝60厘米＝0.6米，
GF＝12厘米＝0.12米，EC＝30米，
∴BC＝6米．即电线杆的高为6米．
练一练
高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的高度．
解：设建筑物高度为x m，
答：建筑物高度为16 m．
得：x＝16，
随堂练习
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( )
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( )
A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m
A
A
3. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝
20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平
面镜的距离 SA 的长度为 .
12 cm
4．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10 cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC
之比5 : 1，要使这块石头滚动，
至少要将杠杆的A端向下压
______cm.
50
5．如图，一同学在广场边的小水坑里看到一棵树，他目测出自己与树的距离约为20 m，水坑距自己约5 m远，该同学的眼睛距离地面1.7 m，则树高约为多少米？
解：∵∠BAC＝∠EAD，∠BCA＝∠EDA，
∴△ABC∽△AED，
∴ ＝ .
设树高为x m.
则有 ＝ ，
解得x＝5.1.
答：树高约5.1 m.
6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面 上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得
竖立于地面长 1 m 的标杆的影长
为 1.2 m．
请帮助小明求出旗杆的高度．
A
B
C
D
E
解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E，
∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，
∵ 在同一时刻物高与影长成正比例，
∴ EA : ED=1 : 1.2，
∴ AE = 8 m，
∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，
∴ 学校旗杆的高度为 10 m.
A
B
C
D
课堂小结
课堂小结

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