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3．3.2　抛物线的几何性质(1)
1. 了解抛物线的简单的几何性质，如范围、对称性、顶点和开口方向．
2. 再次感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．
3. 根据抛物线的方程解决简单的实际问题．
活动一 了解抛物线的几何性质
探究：类比研究椭圆、双曲线几何性质的方法，填写下表：
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图　　形
范　　围
对称性
顶　　点
开口方向
离心率
焦点坐标
准线方程
活动二 掌握抛物线几何性质的简单应用
例1　求适合下列条件的抛物线的方程．
(1) 顶点在原点，准线方程为x＝3；
(2) 对称轴为x轴，顶点在原点，且过点(－3，4)．
例2　(1) 求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径的长为8的抛物线方程，并写出它的焦点坐标和准线方程；(通径：过抛物线的焦点与其对称轴垂直的弦)
(2) 已知抛物线关于y轴对称，顶点在坐标原点，且过点M(，－2)，求其标准方程．
活动三 掌握抛物线的几何性质在实际问题中的简单应用
例3　某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm)
活动四 掌握抛物线几何性质的综合应用
例4　如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，P是抛物线上的一个动点，点A(3，2)，求PA＋PF的最小值，并求此时点P的坐标．
　若将例4中的点A(3，2)改为点A(0，2)，求点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
例5　已知P为抛物线y2＝2x上的任意一点，设A(a，0)(a>0)，且PA＝d，试求d的最小值．
1. 若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是(　　)
A. (－m，－n) B. (m，－n) C. (－m，n) D. (－n，－m)
2. 已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2，则p的值为(　　)
A. 2 B. 2或4 C. 1或2 D. 1
3. (多选)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若AF＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. 焦点坐标为(2，0) B. 准线方程为x＝－1
C. 线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为3 D. 点A的坐标为(3，±2)
4. 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点M(2，m)满足MF＝6，则抛物线C的方程为________．
5. 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．若点P到直线x＝－1的距离为d，点A(－1，1)，求PA＋d的最小值．
参考答案与解析
【活动方案】
探究：略
例1　(1) 设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，由题意，得＝3，则p＝6，
所以抛物线的方程为y2＝－12x.
(2) 由题意，得抛物线的焦点在x轴负半轴上，设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，将点(－3，4)代入，得16＝6p，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝－x.
例2　(1) 当焦点在x轴正半轴上时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由题意，得2p＝8，所以y2＝8x，焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2；当焦点在x轴负半轴上时，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，由题意，得2p＝8，所以y2＝－8x，焦点坐标为(－2，0)，准线方程为x＝2.
(2) 由题意可设该抛物线的方程为x2＝－2py，p>0.将点M(，－2)代入方程，得3＝4p，解得p＝，所以抛物线的标准方程为x2＝－y.
例3　在车灯的一个轴截面上建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，灯泡安装在其焦点F处．在x轴上取一点C，使OC＝69，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，则AB是灯口直径，即AB＝197，则点B.
将点B坐标代入方程y2＝2px，解得p≈70.3，
此时焦点F的坐标约为(35，0)，
所以灯泡应安装在距顶点约35 mm处．
例4　将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
因为>2，所以点A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，
由定义知PA＋PF＝PA＋d.
当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为，
即PA＋PF的最小值为，
此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
所以点P的坐标为(2，2)．
故当点P的坐标为(2，2)时，PA＋PF的最小值为.
跟踪训练　 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，
所以当P，A，F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝＝.
例5　设点P(x0，y0)(x0≥0)，则y＝2x0，
所以d＝PA＝＝＝.
当00，
所以当x0＝0时，dmin＝a；
当a≥1时，1－a≤0，
所以当x0＝a－1时，dmin＝.
综上所述，当0当a≥1时，dmin＝.
【检测反馈】
1. B　解析：由抛物线y2＝－13x关于x轴对称易知，点(m，－n)一定在该抛物线上．
2. B　解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2，所以即代入抛物线方程可得8＝2p，解得p＝2或p＝4.
3. BCD　解析：由题意易知F(1，0)，准线方程为x＝－1，点F到准线的距离为2，点A到准线的距离为AF＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为＝3，所以点A的坐标为(3，±2)．故选BCD.
4. y2＝16x　解析：设抛物线的准线为l，作MM′⊥直线l于点M′，交y轴于点M″.由抛物线的定义，得MM′＝MF＝6，结合xM＝2可知M′M″＝6－2＝4，即＝4，所以2p＝16，所以抛物线的方程为y2＝16x.
5. 由题意，得抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
由已知及抛物线的定义，得PF＝d，
于是问题转化为求PA＋PF的最小值．
由平面几何知识知，当F，P，A三点共线时，PA＋PF取得最小值，最小值为AF＝，
即PA＋d的最小值为.

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