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中考数学复习几何压轴题专项练习
1.如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E、F分别为AC、AB上的动点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF＝∠CBE，H为边AB的中点，连接CH，交BE于点G.
(1)求证：CF＝BG；
(2)如图②，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP＋CF；
(3)如图③，在(2)的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．
2.如图①，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°.
(1)求的值；
(2)如图②，将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α(0°＜α＜60°)，判断线段AG与BE之间的数量关系；
(3)如图③，菱形GECF在旋转过程中，当A，G，F三点在一条直线上时，连接CG并延长，交AD于点H.若CE＝2，GH＝，求AH的长．
3.四边形ABCD中，E为边BC上一点，F为边CD上一点，且∠AEF＝90°.
(1)如图①，若ABCD为正方形，E为BC中点，求证：＝；
(2)若ABCD为平行四边形，∠AFE＝∠ADC.
①如图②，若∠AFE＝60°，求的值；
②如图③，若AB＝BC，EC＝2CF，求cos∠AFE的值．
4.如图①，四边形ABCD为矩形，点E为AB的中点，将△ADE沿DE折叠，点A落在矩形ABCD内的点F处．
(1)延长DF交BC于点G，连接EG.求证：△EGF≌△EGB；
(2)在(1)的条件下，若点G是BC的中点，CD＝2，求BC的长；
(3)如图②，已知tan∠ADE＝，连接BF，FC，若△ADE的面积为25，求△BCF的面积．
5.在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，E为CD上一点，F为平行四边形ABCD的边上的动点．
(1)如图①，当F在边AB上，若DF＝BE，求证：四边形DFBE为平行四边形；
(2)如图②，当F在边BC上，若BE为∠ABC的平分线，连接DF交BE于点G，已知tan∠BGF＝，DE＝BF，求的值；
(3)如图③，当F在边BC上，连接AF交对角线BD于点P，连接AE，若AB＝BC＝2，BP＝2CE，求2EA＋AP的最小值．
6.已知，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝90°，分别过点B，D作BF∥AD，DF∥AB，BF与DF交于点F，连接AF.
(1)如图①，若点E在AC上，AB＝6，tan∠DAC＝，求AF的长；
(2)如图②，将△DEC绕点C逆时针旋转，使点E落在BC上，若AD＝CD，AF交BC于点G，DF交BC于点H，求的值；
(3)如图③，若AB＝6，DE＝2，在△DEC绕点C旋转的过程中，当AF的长最大时，求四边形ABFD的面积．
7.证明推断：如图①，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE.
(1)①证明：DQ＝AE；②求的值；
(2)类比探究：如图②，在矩形ABCD中，＝k(k为常数)．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：在(2)的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．
8.如图①，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点(点E与点A，B不重合)，连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F.
(1)若BE＝1，求AF的长；
(2)如图②，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；
(3)如图③，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，求出AG的最小值，并求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．
9.如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，将△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE.
(1)求∠BEC的度数；
(2)如图②，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，若AE＝15，DE＝7，求AB的长；
(3)如图③，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．
10.在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，将△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为点E且在AD上，BE交PC于点F.
(1)如图①，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；
(2)如图②，当AD＝25，且AE＜DE时，求的值；
(3)如图③，当BE·EF＝108时，求BP的长．
11.已知，在正方形ABCD中，点M，N为对角线AC上的两个动点，且∠MBN＝45°，过点M，N分别作AB，BC的垂线相交于点E，垂足分别为F，G，设△AFM的面积为S1，△NGC的面积为S2，△MEN的面积为S3.
(1)如图①，当四边形EFBG为正方形时，
①求证：△AFM≌△CGN；
②求证：S3＝S1＋S2；
图①
(2)如图②，当四边形EFBG为矩形时，判断S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若BG∶GC＝m∶n(m>n)，求AF∶BF的值．
图②
12.已知在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，得到△ODC，点D在BO上，连接BC.
(1)如图①，求线段BC的长；
(2)如图②，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长；
(3)如图③，点M是线段OC的中点，点N是线段OB上的动点(不与点O重合)，求△CMN周长的最小值．
13.在正方形ABCD中，M为CD的中点，N为BC上一个动点．
(1)如图①，若BN＝3NC，求证：AM⊥MN；
(2)如图②，在(1)条件下，连接BD交AN，AM于点E、F，若DF＝7，求BE的长；
(3)如图③，过点N作NH⊥AN交AM延长线于点H，连接AC交NH于点G，若tan∠BAN＝，求的值．
14.在△ABC中，以AB为斜边作直角△ABD，使点D落在△ABC内，已知∠ADB＝90°.
(1)如图①，若AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝6，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；
(2)如图②，若AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP＝CP；
(3)如图③，若AD＝BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE＝EC，试判断线段BF，FC，AD之间的数量关系．
15.如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交直线CD于点F，过M作MN⊥EF，交射线BC于点N，连接NF，点P是线段NF的中点．
(1)连接PM，PC，求证：PM＝PC；
(2)如图②，当点N与C重合时，求AE的长；
(3)试探究，当点E从点A运动到点B时，求点P经过的路径长．
16.如图①，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°.
(1)求的值；
(2)如图②，将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角(0°＜α＜60°)，试判断线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，菱形GECF在旋转过程中，当A，G，F三点在一条直线上时，连接CG，并延长，交AD于点H.若CE＝2，GH＝，求AH的长．
答案
1. (1)证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°，
∵H是边AB的中点，
∴∠ACH＝∠BCH＝45°，
∴∠A＝∠BCG，
在△CAF和△BCG中，
∵，
∴△CAF≌△BCG(ASA)，
∴CF＝BG；
(2)证明：∵PC∥AG，
∴∠PCA＝∠CAG，
∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，
∴△ACG≌△BCG(SAS)，
∴∠CAG＝∠CBE，
∵∠PCG＝∠PCA＋∠ACG＝∠CAG＋45°＝∠CBE＋45°，
∠PGC＝∠GCB＋∠CBE＝∠CBE＋45°，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG，
∵PB＝PG＋BG，BG＝CF，
∴PB＝CP＋CF；
(3)解：如解图，过点E作EM⊥AG，交AG于点M，
∵S△AEG＝AG·EM＝3，
由(2)得：△ACG≌△BCG，
∴BG＝AG＝6，
∴×6×EM＝3，
解得EM＝，
设∠FCH＝α，则∠GAC＝2α，
∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2α，
∵∠ACH＝45°，
∴2α＋α＝45°，α＝15°，
∴∠ACF＝∠GAC＝30°，
在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，
AM＝＝3，
∴M是AG的中点，
∴AE＝EG＝2，
∴BE＝BG＋EG＝6＋2，
在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，
∴CE＝BE＝3＋，
∴AC＝AE＋EC＝2＋3＋＝3＋3.
2. 解：(1)如解图①，过点E作EH⊥CG于点H，
∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，
∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，
∵EH⊥CG，
∴2GH＝CG，
∴＝cos30°＝，
∴＝2·＝，
∵EG∥CD，AB∥CD，
∴GE∥AB，
∴＝＝；
图①
(2)AG＝BE.理由如下：
如解图②，连接CG，
∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，
∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，
∴△ECG∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∵∠ECB＝∠GCA，
∴△ECB∽△GCA，
∴＝＝，
∴AG＝BE；
图②
(3)∵∠AGH＝∠CGF＝30°.∠AGH＝∠GAC＋∠GCA，
又∵∠DAC＝∠HAG＋∠GAC＝30°，
∴∠HAG＝∠ACH，
∵∠AHG＝∠AHC，
∴△HAG∽△HCA，
∴HA∶HC＝GH∶HA，
∴AH2＝HG·HC，
∵CE＝2，GH＝，CG＝CE.
∴GC＝2，
∴HC＝3，
∴AH2＝HG·HC＝×3＝9，
∵AH＞0，
∴AH＝3.
3. (1)证明：设正方形的边长为2a.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB＋∠FEC＝90°，∠FEC＋∠EFC＝90°，
∴∠AEB＝∠EFC，
∴△ABE∽△ECF，
∴＝，
∵BE＝EC＝a，AB＝CD＝2a，
∴CF＝a，DF＝CD－CF＝a，
∴＝＝；
(2)解：①如解图①，在AD上截取DM＝DF，连接MF.
∵∠ADC＝60°，
∴△DMF是等边三角形，
∴DF＝MF，∠DMF＝∠DFM＝60°，
∴∠AMF＝120°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ECF＝120°，
∴∠AMF＝∠ECF，
∵∠AFE＝60°，
∴∠AFM＋∠EFC＝60°，
∵∠EFC＋∠FEC＝60°，
∴∠AFM＝∠FEC，
∴△AMF∽△FCE，
∴＝＝，
∵∠AFE＝60°，∠AEF＝90°，
∴＝，
∴＝；
图①
②如解图②，过点F作FT＝FD交AD于点T，作FH⊥AD于点H，
则∠FTD＝∠FDT，
∴180°－∠FTD＝180°－∠D，
∴∠ATF＝∠C，
又∵∠TAF＋∠D＝∠AFE＋∠CFE，且∠D＝∠AFE，
∴∠TAF＝∠CFE，
∴△FCE∽△ATF，
∴＝＝，
设CF＝2，则CE＝4，可设AT＝x，则TF＝2x，AD＝CD＝2x＋2，
∴DH＝DT＝，且＝＝，
由cos∠AFE＝cos∠D，
得＝，
解得x＝6，
∴cos∠AFE＝＝＝.
图②
4. (1)证明：由折叠的性质可得，∠DFE＝∠A，AE＝FE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠EFG＝∠B＝90°，
∵点E为AB边的中点，
∴EA＝EB，
∴EF＝EB，
在Rt△EGF和Rt△EGB中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△EGB(HL)；
(2)解：由折叠的性质可得AD＝DF，
由(1)知Rt△EGF≌Rt△EGB，
∴GF＝BG，
又∵∠C＝90°，AB＝CD，GB＝GC，
∴DF＝2GF，DG＝DF＋GF＝3GF，
∵DG2＝DC2＋CG2，
∴(3GF)2＝(2)2＋GF2，
∴GF＝1，
∴BC＝2GF＝2；
(3)解：如解图中，过点F作FT⊥AB于点T，连接AF，设BT＝a.
由折叠的性质可知，DE⊥AF，AE＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EAD＝90°，
∴∠BAF＋∠DAF＝90°，∠DAF＋∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
同理可证∠BAF＝∠BFT，
∴tan∠BFT＝tan∠BAF＝tan∠ADE＝，
∴FT＝3a，AT＝9a，
∴AB＝10a，
∴AE＝BE＝5a，AD＝3AE＝15a，
∵S△ADE＝×15a×5a＝25，
∴a2＝＝，
∴S△BCF＝×15a×a＝a2＝5.
5. (1)证明：如解图①，过点D作DM⊥BA交BA的延长线于点M，过点B作BN⊥DC交DC的延长线于点N.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，
∴∠DAM＝∠BCN，
∵∠DMA＝∠BNC＝90°，
∴△ADM≌△CBN(AAS)，
∴DM＝BN，AM＝CN，
∵DF＝BE，
∴Rt△DMF≌Rt△BNE(HL)，
∴MF＝NE，
∴AF＝CE，
∵AB＝CD，
∴BF＝DE，
∵DF＝BE，
∴四边形DFBE为平行四边形；
图①
(2)解：如解图②，作DR∥BE交AB于点R，连接RF交BE于点O，过点A作AK⊥RD于点K，
∵BR∥DE，RD∥BE，
∴四边形RBED是平行四边形，
∴BR＝DE，
∵DE＝BF，
∴BR＝BF，
∵∠ABC＝60°，
∴△BRF是等边三角形，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠RBO＝∠OBF＝30°，
∴∠BOR＝90°，∠ORD＝∠BOR＝90°，
∵RD∥BE，
∴∠BGF＝∠RDF，
∵tan∠BGF＝，
∴tan∠RDF＝，
设BF＝a，则RF＝a，
∴RD＝＝2a，
∵∠BRF＝60°，
∴∠ARD＝30°＝∠ADR，
∴DK＝RK＝a，
∴AD＝＝＝a，
在Rt△RDF中，RF2＋RD2＝FD2，
∴FD＝a，
∴＝＝；
图②
(3)解：如解图③，连接AC，作CQ∥BD，使得CQ＝AB，连接QE，AQ.
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，
∴四边形ABCD是菱形，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠DBC＝∠BDC＝∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝2，∠ACB＝∠ACD＝60°，
∵CQ∥BD，
∴∠DCQ＝∠BDC＝30°，
∴∠ABP＝∠QCE，
∵＝＝2，
∴△ABP∽△QCE，
∴＝＝2，
∴EQ＝PA，
∴2EA＋PA＝2(AE＋AP)＝2(AE＋EQ)，
∵AE＋EQ≥AQ，AQ＝＝＝，
∴AE＋EQ的最小值为，
∴2AE＋PA的最小值为2.
图③
6. 解：(1)∵BF∥AD，DF∥AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴AB＝DF＝6，
∵tan∠DAC＝＝，
∴AE＝2DE，
∴AE＝2EC，
∵AE＋EC＝AC＝AB＝6，
∴DE＝EC＝2，AE＝4，
∴EF＝DF－DE＝4，
∴AF＝＝＝4；
(2)设AD＝CD＝a，
∴AB＝AC＝2a，
∵∠BAC＝∠CED＝90°，AB＝AC，ED＝EC，
∴BC＝AB＝4a，DE＝EC＝＝a，
∴BE＝3a，
由(1)可知，四边形ADFB是平行四边形，且∠BAD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴AD＝BF＝a，AB＝DF＝2a，
∴AF＝＝＝a，
∵BF∥AC，
∴△BGF∽△CGA，
∴＝＝＝2，
∴GC＝2BG，AG＝2GF，
∴GC＝2GB
＝2(BC－GC)，
AG＝2GF
＝2(AF－AG)，
∴GC＝a，AG＝a，
∴GE＝GC－EC＝a，
∴＝.
(3)如解图，连接BD交AF于点H，过点A作AO⊥BC于点O，连接OH，
∵AB＝6，DE＝2，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴BC＝6，CD＝2，
∵AO⊥BC，
∴AO＝BO＝CO＝3，
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴BH＝DH，AF＝2AH，
∵BH＝DH，BO＝CO，
∴OH＝CD＝，
∵AH≤AO＋OH＝4，
∴当点A，点O，点H三点共线时，AH有最大值，即AF有最大值为8，
∴∠BAF＝45°，
∴四边形ABFD的面积＝AB·AF·sin∠BAF＝6×8×＝48.
7. 解： (1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ.
∴∠QAO＋∠OAD＝90°.
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO＋∠OAD＝90°.
∴∠QAO＝∠ADO.
∴△ABE≌△DAQ(ASA)，
∴DQ＝AE；
②解：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，
∴DQ∥FG，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴FG＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴FG＝AE，
∴＝1；
(2)解：＝k.
理由：如解图①，过点G作GM⊥AB于点M.
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE＋∠AFO＝90°，∠AFO＋∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴＝，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴＝＝＝k；
图①
(3)解：如解图②，过点P作PN⊥BC交BC的延长线于点N.
由＝，设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，
∵＝，FG＝2，
∴AE＝3，
∴(3k)2＋(9k)2＝(3)2，
∴k＝1或－1(舍弃)，
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC∶AB＝2∶3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PNE＝90°，
∴∠FEB＋∠PEN＝90°，∠PEN＋∠EPN＝90°，
∴∠FEB＝∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EN＝，PN＝，
∴CN＝EN－EC＝－3＝，
∴PC＝＝.
图②
8. 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB＋∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF＋∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
又∵AB＝BC，∠FAB＝∠EBC＝90°，
∴△ABF≌△BCE(ASA)，
∴AF＝BE＝1.
(2)如解图①，延长CD，BF交于点H，
∵点E是AB的中点，
∴BE＝AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，AD＝AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB＋∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF＋∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
又∵AB＝BC，∠FAB＝∠EBC＝90°，
∴△ABF≌△BCE(ASA)，
∴BE＝AF，
∴BE＝AF＝AB＝AD，
∴AF＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠H，
在△ABF和△DHF中，
，
∴△ABF≌△DHF(AAS)，
∴AB＝DH，
∴DH＝CD，
又∵BF⊥CE，
∴∠CGH＝90°，
∴DC＝DH＝DG.
图①
(3)如解图②，以BC为直径作⊙O，连接AO，OG，
∵BF⊥CE，
∴∠BGC＝90°，
∴点G在以BC为直径的⊙O上，
∵在△AGO中，AG≥AO－GO，
∴当点G在AO上时，AG有最小值，
此时如解图③，
∵BC＝AB＝4，点O是BC中点，
∴BO＝2＝CO，
∵AO＝＝＝2，
∴AG＝2－2，
∵OG＝OB，
∴∠OBG＝∠OGB，
∵AD∥BC，
∴∠AFG＝∠OBG，
∴∠AFG＝∠OBG＝∠OGB＝∠AGF，
∴AG＝AF＝2－2，
由(2)可得AF＝BE＝2－2，
∴AE＝AB－BE＝4－(2－2)＝6－2.
9. 解：(1)∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴∠ADC＝∠BEC.
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°.
∴∠BEC＝120°；
(2)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°.
∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴AD＝BE＝AE－DE＝15－7＝8，∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°.
∴∠BEC＝135°.
∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.
∴AB＝＝＝17；
(3)如解图，将△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，则△BEC≌△APC，
∴CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝5，∠BEC＝∠APC＝150°，
∴△PCE是等边三角形，
∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4，
∴∠BED＝∠BEC－∠PEC＝90°，
∵∠APD＝30°，
∴∠DPC＝150°－30°＝120°，
又∵∠DPE＝∠DPC＋∠EPC＝120°＋60°＝180°，
即点D，P，E在同一条直线上，
∴DE＝DP＋PE＝8＋4＝12，
在Rt△BDE中，BD＝＝＝13，
∴BD的长为13.
10. 解：(1)证明：在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC(SAS)．
(2)解：∵BE⊥CG，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AEB＋∠CED＝90°，
∵∠AEB＋∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴＝，
设AE＝x，
∴DE＝25－x，
∴＝，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16，
∴CE＝20，BE＝15，
由折叠的性质得，BC＝CG＝25，
∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴＝＝，
∴＝＝；
(3)解：如解图，连接FG，
∵BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF，
∵BP＝PG，
∴四边形BPGF是菱形，
∴BP∥GF，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴＝，
∴BE·EF＝AB·GF，
∵BE·EF＝108，AB＝12，
∴GF＝9，
∴BP＝GF＝9.
11. 解： (1)证明：①在正方形ABCD和正方形EFBG中，
AB＝CB，BF＝BG，∠FAM＝∠GCN＝45°，∠AFM＝∠CGN＝90°，
∴AB－BF＝CB－BG，
即AF＝CG，
∴△AFM≌△CGN(ASA)．
②如解图①，连接BD，则BD过点E，且BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD＝45°，且AC和BD相交于点O，
由①知△AFM≌△CGN，
∴AM＝CN，
∵∠BAM＝∠BCN，AB＝BC，
∴△ABM ≌△CBN(SAS)，
∴BM＝BN，∠ABM＝∠CBN，
∵∠MBN＝45°＝∠ABD，
∴∠FBM＋∠MBO＝∠MBO＋∠OBN，
∴∠FBM＝∠OBN，
∵∠BFM＝∠BON＝90°，且BM＝BN，
∴△FBM ≌△OBN(AAS)，
∴FM＝ON，
∵∠AFM＝∠EON＝90°，∠FAM＝∠OEN＝45°，
∴△AFM ≌△EON(AAS)，
同理△CGN≌△EOM(AAS)，
∴S△EOM＝S△CGN，S△EON＝S△AFM，
∵S3＝S△MEN＝S△EOM＋S△EON＝S△CGN＋S△AFM，
∴S3＝S1＋S2；
图①
(2)解：S3＝S1＋S2，理由如下：
如解图②，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFBG为矩形，
∴BD⊥AC，∠BFM＝∠BON＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，AC＝BD＝2OB，
∵∠MBN＝45°，∠FBM＝∠OBN＝45°－∠MBO，
∴△FBM∽△OBN，
∴＝，
同理△BOM∽△BGN，
∴＝，
∴＝，
∴OB2＝BF·BG，
∵S△ABC＝OB·AC＝OB·2OB＝OB2，S矩形EFBG＝BF·BG，
∴S矩形EFBG＝S△ABC，
∴S1＋S2＝S△ABC－S五边形MFBGN，S3＝S矩形EFBG－S五边形MFBGN，
∴S3＝S1＋S2；
图②
(3)解：根据题意可设BG＝mx，GC＝nx，AB＝BC＝(m＋n)x，
∴S矩形EFBG＝S△ABC＝(m＋n)2x2，
即BF·BG＝(m＋n)2x2，
∴BF＝＝
＝，
∴AF＝AB－BF＝，
∴AF∶BF＝∶＝(m－n)∶(m＋n)．
12. 解：(1)由旋转的性质可知OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝4；
(2)∵OB＝4，∠ABO＝30°，
∴OA＝OB＝2，AB＝OA＝2，
∴S△AOB＝OA·OB＝×2×2＝2.
∵△BOC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠AOB＝60°，∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝90°.
∴AO∥BC，
∴S△AOC＝S△AOB＝2，
∵S△AOC＝AC·OP，在Rt△ABC中，AC＝＝2.
∴OP＝＝＝；
(3)如解图，连接BM，AM，AC，AN.
∵△OBC为等边三角形，点M是OC的中点，
∴BM⊥OC，即∠BMO＝90°.
在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝60°.
∵∠BOC＝60°，
∴∠BOA＝∠BOM.
在△BAO和△BMO中，
∴△BAO≌△BMO(AAS)．
∴AB＝BM，OA＝OM.
∴BO垂直平分AM，即点M关于直线BO的对称点为点A.
∵△CMN的周长为CM＋MN＋CN，且CM为定值，
∴当CN＋MN取最小值时，△CMN周长最小．
∵CN＋MN＝CN＋AN≥AC，
∴当点A，N，C三点共线时，△CMN的周长取得最小值，最小值为AC＋MC的长．
∵点M是OC的中点，
∴MC＝OC＝2.
∴AC＋MC＝2＋2.
∴△CMN周长的最小值为2＋2.
13. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝AB，∠D＝∠C＝90°，
设AD＝CD＝BC＝AB＝4a，
∵BN＝3CN，
∴CN＝a，BN＝3a，
∵DM＝CM＝2a，
∴＝＝2，
∴△ADM∽△MCN，
∴∠DAM＝∠CMN，
∵∠DAM＋∠AMD＝90°，
∴∠AMD＋∠CMN＝90°，
∴∠AMN＝90°，
∴AM⊥MN；
(2)解：如解图①，延长AM交BC的延长线于点G，设AD＝4a.
∵∠ADM＝∠GCM＝90°，DM＝CM，∠AMD＝∠GMC，
∴△ADM≌△GCM(ASA)，
∴CG＝AD＝4a，
∵AD∥BG，BN＝3CN，AD＝BC＝4a，
∴＝＝，＝＝，
∵DF＝7，
∴BF＝14，
∴BD＝14＋7＝21，
∴BE＝BD＝9；
图①
(3)解：如解图②，设AD＝4a.延长AH交BC的延长线于K.过点G作GP⊥BC于点P，过点H作HQ⊥CK于点Q.
∵tan∠BAN＝＝，
∴BN＝a，CN＝3a，
∵∠ABN＝∠GPN＝∠ANG＝90°，
∴∠ANB＋∠BAN＝90°，∠ANB＋∠GNP＝90°，
∴∠BAN＝∠GNP，
∴△ABN∽△NPG，
∴AB∶BN＝NP∶PG＝4，
设PG＝PC＝x，则PN＝4x，
∴CN＝5x＝3a，
∴x＝a，
∴PN＝a，PC＝a，
∵tan∠K＝tan∠DAM＝＝，
设HQ＝y，则KQ＝2y，
∴AD＝CK＝4a，
∴CQ＝4a－2y，
同法可证，△ABN∽△NQH，
可得AB∶BN＝NQ∶QH＝4，
∴NQ＝4y＝3a＋4a－2y，
∴y＝a，
∴PQ＝CP＋CQ＝a＋4a－a＝a，
∵GP∥HQ，
∴＝＝＝.
图②
14. (1)解：∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AD＝6，
∴cos∠BAD＝，
∴AB＝＝＝12，
∴AC＝AB＝12，
∵点P，M分别为BC，AB边的中点，
∴PM＝AC＝6.
(2)证明：如解图①，在ED上截取EQ＝PD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠BDP＋∠ADE＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
由旋转的性质得，∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠AED＋∠PEC＝90°，
∴∠BDP＝∠PEC，
在△BDP和△CEQ中，
，
∴△BDP≌△CEQ(SAS)，
∴BP＝CQ，∠DBP＝∠QCE，
∵∠CPE＝∠BDP＋∠DBP，∠PQC＝∠PEC＋∠QCE，
∴∠EPC＝∠PQC，
∴PC＝CQ，
∴BP＝CP.
第27题解图①
(3)解：BF2＋FC2＝2AD2.
【解法提示】如解图②，连接AF，CD，
∵EF⊥AC，且AE＝EC，
∴FA＝FC，∠FAC＝∠FCA，
∵EF⊥AC，且AE＝EC，
∴∠DAC＝∠DCA，DA＝DC，
∵AD＝BD，
∴BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠FAC＝∠FCA，∠DAC＝∠DCA，
∴∠DAF＝∠DCB，
∴∠DAF＝∠DBC，
∴∠AFB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，DA＝DB，
∴AB2＝2AD2，
在Rt△ABF中，BF2＋FA2＝AB2＝2AD2，
∵FA＝FC，
∴BF2＋FC2＝2AD2.
图②
15. (1)证明：如解图①，连接PM，PC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FCN＝90°，
∵PF＝PN，
∴PC＝FN，
∵NM⊥EF，
∴∠FMN＝90°，
∵FP＝PN，
∴PM＝FN，
∴PM＝PC.
图①
(2)解：如解图②，连接EC，设AE＝x.
∵AB∥DF，
∴∠AEM＝∠F，
∵AM＝MD，∠AME＝∠DMF，
∴△AME≌△DMF(AAS)，
∴AE＝DF＝x，EM＝FM，
∵NM⊥EF，
∴EC＝CF＝4＋x，
在Rt△EBC中，
∵EB2＋BC2＝EC2，
∴(4－x)2＋62＝(x＋4)2，
∴x＝.
∴AE＝.
图②
(3)解：如解图③，作PH⊥AD于点H.
由题意可得，点P的运动轨迹是线段PP1.
当点E与A重合时，点P是矩形CDMN的中点，
∴PH＝2，DH＝，
当点E与B重合时，点P1在AD的延长线上，设BN1＝F1N1＝m，
在Rt△CF1N1中，m2＝(m－6)2＋82，解得m＝，
∴CN1＝－6＝，
∴DP1＝CN1＝，
∴HP1＝＋＝，
在Rt△HPP1中，
PP1＝＝，
∴点P的运动路径为.
图③
16. 解：(1)如解图①，过点E作EH⊥CG于点H.
∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，
∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，
∵EH⊥CG，
∴2GH＝CG，
∴＝cos30°＝，
∴＝2·＝，
∵EG∥CD，AB∥CD，
∴GE∥AB，
∴＝＝；
图①
(2)结论：AG＝BE；
理由：如解图②，连接CG.
∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，
∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，
∴△ECG∽△BCA，∠ECB＝∠GCA，
∴＝，
∴＝，
∵∠ECB＝∠GCA，
∴△ECB∽△GCA，
∴＝＝，
∴AG＝BE；
图②
(3)∵∠AGH＝∠CGF＝30°，∠AGH＝∠GAC＋∠GCA，
∵∠DAC＝∠HAG＋∠GAC＝30°，
∴∠HAG＝∠ACH，
∵∠AHG＝∠AHC，
∴△HAG∽△HCA，
∴HA∶HC＝GH∶AH，
∴AH2＝HG·HC，
∵CE＝2，GH＝，CG＝CE.
∴GC＝2，
∵HG＝，
∴HC＝3，
∴AH2＝HG·HC＝×3＝9，
∵AH＞0，
∴AH＝3.

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